由一推论的四种证法谈解题的灵活性——《数理化学习》高一二版2014第10期

由一推论的四种证法谈解题的灵活性
福建 罗重华
（福建省连城县第二中学 366200）
(通讯住址：366200 福建省连城县莲峰镇石门湖新村1幛18号)
推论：
做匀变速运动的物体，在各个连续相等的时间t 内的位移分别是S 1、S 2、S 3……S n ，如果加速度是a ，则：△S=S 2-S 1=S 3-S 2=S n -S n-1＝at 2
证法一：
前n 个t 秒内的位移：S 前n =v 0nt+
2
1a （nt ）2 ……（1） 前（n-1）个t 秒内的位移：S 前n-1=v 0(n -1)t+2
1a[(n -1)t]2 ……（2） 前（n-2）个t 秒内的位移：S 前n-2=v 0(n -2)t+21a[(n -2)t]2 ……（3） 第n 个t 秒内的位移：S n ＝S 前n -S 前n-1
第（n-1）个t 秒内的位移：S n-1＝S 前n-1-S 前n-2
第n 个t 秒内的位移与第（n-1）个t 秒内的位移之差：
△S=S n -S n-1＝（S 前n -S 前n-1）-（S 前n-1-S 前n-2）
＝S 前n -2S 前n-1+S 前n-2 (4)
把（1）（２）（３）式代入（４）式，得△S ＝at 2
证法二：
设初速度为v 0、第一个t 秒末的速度为v 1、……第n 个t 秒末的速度为v n
第n 个t 秒内的位移：S n =v n-1t+
2
1at 2 (1)
第（n-1）个t 秒内的位移：S n-1=v n-2t+2
1at 2 ……（2） 把v n-1=v n-2+at 代入（1）得：S n =（v n-2+at ）t+21at 2＝v n-2t+at 2+21at 2……（3） （3）式减（2）式得：△S=S n -S n-1＝at 2
证法三：
由v t =v 0+at 得v 0=v t -at 代入S=v 0t+21at 2 得S=（v t -at ）t+21at 2＝v t t -2
1at 2 所以
第（n-1）个t 秒内的位移可以用末速度来表
示：S n-1＝v t t -21at 2＝v n-1t -2
1at 2 ……（1） 第n 个t 秒内的位移：S n =v n-1t+2
1at 2 ……（2） （2）式减（1）式得：△S=S n -S n-1＝at 2 证法四：
如图1所示的速度时间图像，相邻两个t 秒
内的位移可以分别用梯形abgd 和bcig 的面积来
表示。

T 图1 v-t 图象
由于三角形deg 的面积与三角形ghi 的面积相等，所以梯形bcig 的面积与梯形abgd 的面积差等于四边形efhg 的面积。

所求位移差也就是四边形efhg 的面积：
△S ＝ef ×eg ＝t ×Δv(t 秒内的速度变化量)
＝t ×at ＝at 2
由以上四种证法可以看出，解题的灵活性相当重要。

四种方法有繁有简，关键看解题的思路。

第一和第二种方法比较常规，但相对较繁。

而第三第四种方法却比较简单。

第三种证法的思路较灵活，这里的关键就是把常用公式v t =v 0+at 变为v 0=v t -at ，从而使常用公式S=v 0t+21at 2变成了S=v t t -2
1at 2，灵活运用这两个公式，数学运算上就方便太多了，因为把S n-1和S n 都用v n-1来表示出来，两量相减v n-1就没了。

第四种方法也是不易想到，其实速度时间图象的运用在运动学中相当重要，它不仅反应了速度和时间的关系，图象上也反应了位移的关系，这种关系在图象上比数学式子来得直观，第四种证法就是一个很好的例子。

所以要训练解题的灵活性，思想上就要有创新意识，对一个物理问题从多角度去分析理解，只有这样才能开拓解题的思路，才能充分展示解题的灵活性。