乘法公式复习1
初中升高中数学衔接：第1讲 乘法公式(解析版)
【第1讲】 乘法公式【根底知识回忆】知识点1 平方公式〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．〔3〕三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式〔1〕立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；〔4〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：〔1〕)416)(4(2m m m +-+〔2〕)41101251)(2151(22n mn m n m ++-〔3〕)164)(2)(2(24++-+a a a a 〔4〕22222))(2(y xy x y xy x +-++ 〔5〕22)312(+-x x【解析】〔1〕原式=333644m m +=+〔2〕原式=3333811251)21()51(nm n m -=- 〔3〕原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a 〔4〕原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=〔5〕原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：〔1〕3(1)x + 〔2〕3(23)x - 【解析】〔1〕332(1)331x x x x +=+++ 〔2〕332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】13x x +=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x +． 【解析】13x x +=，所以〔1〕222211()2327x x x x +=+-=-=．〔2〕32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：〔1〕此题假设先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，那么计算较烦琐．〔2〕此题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换〞的方法计算，简化了计算．【练习3-1】2310x x +-=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．〔1〕222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 〔 〕A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为〔 〕 A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，那么m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，那么k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．17x y +=，60xy =，那么22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： 〔1〕3(3)()27x x -=- 〔2〕3(23)()827x x +=+ 〔3〕26(2)()8x x +=+ 〔4〕3(32)()278a a -=-〔5〕3(2)()x +=； 〔6〕3(23)()x y -=〔7〕221111()()9432a b a b -=+ 〔8〕2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．假设2210x x +-=，那么221x x +=____________；331x x -=____________．9．2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察以下各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)n n x x x x --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．〔1〕239x x ++ 〔2〕2469x x -+ 〔3〕4224x x -+ 〔4〕2964a a ++ 〔5〕326128x x x +++ 〔6〕32238365427x x y xy y -+- 〔7〕1132a b - 〔8〕424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．〔1〕222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-。
常用乘法公式(一)
常用乘法公式(一)
常用乘法公式
在数学中，乘法是一种基本的运算法则。
乘法公式是指一些常用的、能够简化计算的特定乘法规则。
下面列举了几个常用的乘法公式，并通过具体例子进行解释说明。
1. 乘法交换律
乘法交换律指的是两个数相乘的结果与它们交换位置后的乘积是
相等的。
即：
a⋅b=b⋅a
例如：
2⋅3=3⋅2=6
2. 乘法结合律
乘法结合律指的是多个数按一定的次序相乘时，无论怎样加括号，其乘积都是相等的。
即：
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
例如：
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)=24
3. 乘法分配律
乘法分配律指的是一个数与两个数的和相乘，等于该数分别与这两个数相乘后的和。
即：
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
例如：
2⋅(3+4)=2⋅3+2⋅4=14
4. 乘法幂规则
乘法幂规则是指相同底数的幂相乘时，可以将底数保持不变，指数相加。
即：
a m⋅a n=a m+n
例如：
23⋅24=23+4=27=128
5. 乘法零律
乘法零律指的是任何数与0相乘，结果都为0。
即：
a⋅0=0
例如：
2⋅0=0
6. 乘法倒数规则
乘法倒数规则是指一个数与其倒数相乘等于1。
即：
a⋅1
a
=1
例如：
2⋅1
2
=1
这些乘法公式是数学运算中常用的法则，可以简化计算过程，提高计算的效率。
通过灵活运用这些公式，可以更加高效地解决数学问题。
1、乘法公式(学生版)
乘法公式的用法1、套用 : 这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例 1. 计算:解:原式2、连用 : 连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例 2.计算：解：原式例 3.计算：解：原式3、逆用 : 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4.计算:解：原式5、变用: 题目变形后运用公式解题。
例 5.计算：解：原式6、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例 6. 已知，求的值。
解:例 7. 计算：解：原式例 8. 已知实数 x 、 y 、 z 满足，那么（）解：由两个完全平方公式得：从而学习乘法公式应注意的问题注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1、计算 (-2 x 2 -5)(2 x 2 -5)分析：本题两个因式中“ -5 ”相同，“ 2 x 2 ”符号相反，因而“ -5 ”是公式 ( a + b )( a - b )= a 2 - b 2 中的 a ，而“ 2 x 2 ”则是公式中的 b ．解：原式 =(-5-2 x 2 )(-5+2 x 2 )=(-5) 2 -(2 x 2 ) 2 =25-4 x 4 ．例2、计算 (- a 2 +4 b ) 2分析：运用公式 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 时，“ - a 2 ”就是公式中的 a ，“ 4 b ”就是公式中的 b ；若将题目变形为 (4 b - a 2 ) 2 时，则“ 4 b ”是公式中的 a ，而“ a 2 ”就是公式中的 b ．（解略）注意为使用公式创造条件例 3 计算 (2 x + y - z +5)(2 x - y + z +5) ．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“ 2 x ”、“ 5 ”两项同号，“ y ”、“ z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式 = 〔 (2 x +5)+( y - z ) 〕〔 (2 x +5)-( y - z ) 〕=(2 x +5) 2 -( y - z ) 2=4 x 2 +20 x +25- y +2 yz - z 2 ．例 4 计算 ( a -1) 2 ( a 2 + a +1) 2 ( a 6 + a 3 +1) 2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式 =[( a -1)( a 2 + a +1)( a 6 + a 3 +1)] 2=[( a 3 -1)( a 6 + a 3 +1)] 2=( a 9 -1) 2 = a 18 -2 a 9 +1例 5 计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1) ．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（ 2-1 ），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式 =(2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)=(2 2 -1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)=(2 4 -1)(2 4 +1)(2 8 +1)= （ 2 8 -1 ）（ 2 8 +1 ）=2 16 -1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 ，可推广得到： ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2 ab + 2 ac +2 bc ．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的 2 倍．例 6 计算 (2 x + y -3) 2解：原式 =(2 x ) 2 + y 2 +(-3) 2 +2 · 2 x · y +2 · 2 x (-3)+2 · y (-3)=4 x 2 + y 2 +9+4 xy -12 x -6 y ．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例 7 (1) 已知 x + y =10 ， x 3 + y 3 =100 ，求 x 2 + y 2 的值；(2) 已知： x +2 y =7 ， xy =6 ，求 ( x -2 y ) 2 的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形： x 2 + y 2 =( x + y ) 2 -2 xy ， x 3 + y 3 =( x + y ) 3 -3 xy ( x + y ) ， ( x + y ) 2 -( x - y ) 2 =4 xy ，问题则十分简单．解： (1) ∵ x 3 + y 3 =( x + y ) 3 -3 xy ( x + y ) ，将已知条件代入得 100=10 3 -3 xy · 10 ，∴ xy =30 故 x 2 + y 2 =( x + y ) 2 -2 xy =10 2 -2 × 30=40 ．(2)( x -2 y ) 2 =( x +2 y ) 2 -8 xy =7 2 -8 × 6=1 ．例 8 计算 ( a + b + c ) 2 +( a + b - c ) 2 +( a - b + c )+( b - a + c ) 2 ．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出 ( a + b ) 2 +( a - b ) 2 =2( a 2 + b 2 ) ，因而问题容易解决．解：原式 =[( a + b )+ c ] 2 +[( a + b )- c ] 2 +[ c +( a - b )] 2 +[ c -( a - b )] 2=2[( a + b ) 2 + c 2 ]+2[ c 2 +( a - b ) 2 ]=2[( a + b ) 2 +( a - b ) 2 ]+ 4 c 2= 4 a 2 +4 b 2 + 4 c 2（五）、注意乘法公式的逆运用例 9 计算 ( a -2 b + 3 c ) 2 -( a +2 b -3 c ) 2 ．分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式 =[( a -2 b + 3 c )+( a +2 b -3 c )][( a -2 b + 3 c )-( a +2 b -3 c )]= 2 a (-4 b + 6 c )=-8 ab + 12 ac ．例 10 计算 ( 2 a +3 b ) 2 -2( 2 a +3 b )(5 b -4 a )+( 4 a -5 b ) 2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．解：原式 =( 2 a +3 b ) 2 +2( 2 a +3 b )( 4 a -5 b )+( 4 a -5 b ) 2=[( 2 a +3 b )+( 4 a -5 b )] 2=( 6 a -2 b ) 2 = 36 a 2 -24 ab +4 b 2 ．四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母 a 、 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（ x +2 y － 3 z ） 2 ，若视 x +2 y 为公式中的 a ， 3 z 为 b ，则就可用（ a － b ） 2 = a 2 － 2 ab + b 2 来解了。
乘法公式复习1
(1) （2a 1) 2a 2a 1
2 2
( 2)(4m 3)(4m 3) 4m 3
2
( 3)(a 1) a 1
2 2
(4)( x 4)( x 6) x 2 x 24
2
1公式中的字母代表特殊数或式时要平方应加括号. 2利用完全平方公式展开后有三项，防止漏项.
类型之一
完全平方公式的判断
例1 计算： (1)(－x＋1)2； (2)(－2x－3)2.
一起来做游戏
下面的计算中有些地方用纸牌盖上了，我们 来比一比谁能最快地说出纸牌下盖的是什么 式子。
2 (1)(3x+2y) = 2 2 9x +12xy+4y
(2)(5m-4n)2=25m2-40mn +16n2
变式3：已知13x2－6xy＋y2－4x＋ 1＝0，求(x＋y)13· x10的值． 变式4：已知x2+y2 -4x-6y+13=0, 求x-y的值.
开放问题：多项式4x2+1加上一个单项式 后，使它能成为一个整式的完全平方，则 求可能加上的单项式。
解：（1）将4x2+1看作是平方和， 则可以加上中间项：4x或-4x
2 2
b (a b) 2ab 2 2 2 a b (a b) 2ab
2 2
试一试 (a — b)2 (ab)2 — 4ab
（1）若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝____
（2）已知a2＋b2＝12，ab＝－3，则(a＋b)2＝
（3）已知(x＋y)2＝18，(x－y)2＝6，
求x2＋y2及xy的值．
1 1 2 （4）已知 : x 5, 求x 2 的值. x x
3整式的乘除法、乘法公式复习
多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。
1 1 （ 1）(3x y xy xy ) ( xy ) 2 2
2 2
（1）原式=
1 3x y ( xy) 2
2
1 1 1 xy ( xy ) xy ( xy) 2 2 2
(1) (-a+b)2 = (b-a)2
(2) (-2m-1)2 = -(2m+1)
2
= (2m+1)2
(3) (2x+5)(-2x-5) = -(2x+5)(2x+5) = -(2x+5)2 (4) (x+y-1)2 = (x+y)-1
2
先变形再运用乘法公式计算:
(1)( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
练习
考点训练
2、 9
1. 已知2m=a，32n=b，求：23m+10n． 3 2
n 2
3 ，求n的值
16
ab
4
2
- 2 3、
2009
2
2010
2009 ______
1、单项式的乘法
让我们一起来回顾：
1）、系数相乘 2）、同底数幂相乘 3）、只在一个单项式出现的 字母，连同它的指数作为积得 一个因式
2
a 1 1, 则a的取值范围____ 3)、 a 1
0
2 10 4)、 4 10 2 10 ___
9 3
6
考点训练
平方差公式
(a+b)(a-b) =
八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析,给孩子期末复习!
八年级数学上册《乘法公式》专项训练带解析，给孩子期末复习！专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（D）A．a²+b²=(a+b)²－2abB．(a－b)²=(a+b)²－4abC．(a+b)(－a+b)=－a²+b²D．(a+b)(－a－b)=－a²－b²解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)²－2ab=a+2ab+b²－2ab=a²+b²，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)²=a²－2ab+b²，(a+b)²－4ab=a²+2ab+b²－4ab=a²－2ab+b²，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b²－a²=－a²+b²，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)²=－a²－2ab－b²，故D错误．2．代数式(x+1)(x－1)(x²+1)的计算结果正确的是（A）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4 D．(x+1)4解析：原式=(x²－1)(x²+1)=(x²)²－1=x4－1．3．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)²－2(2x²－xy)（其中x=2，y=3）．解：原式=4x²－y²+x²+2xy+y²－4x+2xy=x²+4xy，当x=2，y=3时，原式=2²+4×2×3=4+24=28．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ B ）A．（a+b）（a－b）=a²－b²B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a－2ab+b²D．（a+b）²=a²+ab+b²解析：这个图形的整体面积为(a+b)²；各部分的面积的和为a²+2ab+b²；所以得到公式（a+b）²=a²+2ab+b²．故选B．5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（C）A．a²－b²=（a+b）（a－b）B．（a+b）²=a²+2ab+b²C．（a－b）²=a²－2ab+b²D．a（a+b）=a²+ab解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）²和b²，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）²，∴（a－b）²=a²－2ab+b²，故选C．6．我们在学习完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）²”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）²吗？解：（a+b+c）²的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）²，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．。
乘法公式复习
3. 比较大小 2000×2004与2001×2003 × 与 × 4. 已知
2+y2-2x+2y+2=0 x
求 x2002 + y2003
例如: 例如 1. (-2x-y)(-2x+y) 2. (-2x-y)(2x-y) 4x2-y2 y2- 4x2
3. (a+3b-2c)(a-3b-2c)
( 2) x-y=8, xy= -15, 则x2 + y2的值为 B ) 的值为( A. 4 B. 34 C. 64 D. 94
(3) 下列各式中能成立的等式有 （
B
）
① (2x-y)2=4x2-2xy+y2 ③(x-y)2= x2-y2 1 x-y )2= 1 x2+xy+y2 ②( 4 2 ④ (-x-y)2= (x+y)2 ⑤ (y-x)2 = (x-y)2 A. 1个 个 B. 2个 个 C. 3个 个 D.4个 个
4. (x-y ) (y-x)
3. (a+3b-2c)(a-3b-2c) = [(a-2c)+3b] [(a-2c)-3b] = (a-2c)2-(3b)2 = a2-4ac+4c2-9b2
例如: 例如 1. (3x+4y)2 = 9x2+24xy+16y2 2. (3x-4y)2 = 9x2-24xy+16y2 3. (-3x+4y)2 = 9x2-24xy+16y2 4. (-3x-4y)2 = 9x2+24xy+16y2
(4) (x-2y) 2=(x+2y) 2+ (-8xy) 式，则 m = ± 2
1 (5) 若4x2+mx+ 4
乘法公式的复习讲义(学生版)
乘法公式的复习讲义平文一、重要的乘法公式：1.平方差公式：(a+b)．(a-b) =a2-b2体会：①公式的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式、多项式；②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：(x+y-z)(x-y-z) =[ (x-z) +y][ (x-z) -y]= (x-z) 2-y2．从图形的角度对它验证 :如图，边长为 a 的正方形。
aba b b在下边切去一个宽为 b,长为(a-b)的长方形 ,再在右边加去一个宽为 b,长为 (a-b ) 的长方形这时，红色和黄色区域的面积和是________.(a+b)(a-b)2.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 、(a-b)2=a2-2ab+b2体会： __________________________________________________ 3.多项式的完全平方：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac、(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac思考： (a+b-c)2=_______________(a-b+c)2=_______________体会： __________________________________________________ ___________________________________________.4.两个一次二项式相乘： (x+a) ． (x+b) =x2+(a+b)x+ab.体会： a、b 可以是正数也可以是负数。
5.补充几个乘法公式：①立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3② 立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3体会规律： _____________________________________6. 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 :(a+b) (a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4；(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5；(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 …………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2 －…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2 －…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：(a－b) (a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n 二、例题分析：题型 1 ：平方差公式的应用：(1) 公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．例 1.计算(3x-1)(3x+1)(9x2+1)例 2.计算(2x-1)2(1+2x)2- (2x+3) 2(2x-3)2例 3.计算(x2-x+2)(x2-x-2)变式 1：计算(x+y+z)(x+y-z)变式 2：已知 z2=x2+y2 ，化简(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．变式 3：计算(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c) 2变式 4： (a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)例4. 计算(1)899×901＋1 (2) 1232-122×118变式 1：计算： 1002-992+982-972+ …+42-32+22-1例 5：计算： (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1)++变式：计算：+例 6.探索题：(x-1)(x+1)=x 2 1(x-1) (x 2+x+1)=x 3-1(x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1(x-1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5-1……试求 26+25+24+23+22+2+1 的值，判断 22005+22004+22003+ …+2+1 的末位数。
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改一改
指出下列各式中的错误，并加以改正： 指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (3) （3a+2）（3b-2）=9ab(2a −2a 3a+2）（ ）（3b =9ab4 (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (4) （0.5+a)(-a+0.5)=a2 (2a 0.5+a)(0.25
想一想
用乘法公式计算： 用乘法公式计算： （1）（a+b)2(a-b)=【（ ）（ ）】 ）（a+b) (a- 2 【（ ）（a-b）】 【（a+b）（ ）】² (2) (a+b+3)(a+b(a+b+3)(a+b-3)
=【（ 【（x+1）（ ）】 ）（x-1）】 【（ ）（ ）】(x²+1)(x +1) =【（）（x²+1）（ 4 ） 】【（a-b） ） =（【（）（ +3】【（ +1） -3】 x²-1）（ ）（x （【（a+b） 】【（ ） 】 ）（ 试一试：4 ） 4 试一试=（a+b）²-3² ： =（（ -1）（ +1） ）（x （x ）（ ） =a²+2ab+b²-9 =x 8 -1 3x+1)2(3x-1)2 (3x① （
主编: 主编:
姚栋祥
回顾 (a+b)(a−b)=a2 − b2; )(a
公式的结构特征: 公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 两个二项式的乘积, 两数和与这两数差的积. 即两数和与这两数差的积. 右边是 这两数的平方差. 这两数的平方差.
回顾
两数和的平方: 两数和的平方: 两数差的平方: 两数差的平方:
解: (1)应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (1)应改为 (2a 应改为: −2• (2)应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (2)应改为 (2a 应改为: (3) 应改为:（3a+2）（3b-2）=9ab-6a+6b-4; 应改为: 3a+2）（ ）（3b =9ab-6a+6b(4) 应改为:（0.5+a)(-a+0.5)=0.25-a² 应改为: 0.5+a)(-a+0.5)=0.25-
2= a2+ (a+b)
2 ab + b2
(a-b)2= a2 - 2 ab + b2
结构特征: 结构特征: 左边是 二项式(即两数和 (差) )的平方; 的平方; 右边是
两倍. 两倍.
两数的平方和加上(减去)这两数乘积的 加上(减去)
练一练
（1）（x＋2）（x－2） x²-4 ）（x ）（x = x² =m² ）（－m ）（－m （2）（－m－n）（－m＋n）=m²-n² ）（x （3）（x＋y）2 =x²+2xy+y² =x²+2xy+y² （4）（－m－n）（m＋n） ）（－m ）（m
58
作业： 作业：
课本第33页 课本第33页 习题13.3 习题13.3 1.计算 1.计算 2.计算 2.计算
试一试
1、已知x+y=3,x2+y2=5,则xy 已知x+y=3,x =5,则 的值等于多少？ 的值等于多少？
2
2、已知x-y=4,xy=21,则x2+y2 已知xห้องสมุดไป่ตู้y=4,xy=21,则 （x+y）²-（x²+y²） ） （ ） 的值等于多少？ 的值等于多少？ =2xy=4
xy=2 x²+y²=（x-y）²+2xy +y² =4²+2×21 =4²+2× =58
想一想
已知x+y=3，xy=-12 ， 已知 的值。 ，求下列各式 的值。 ①x2+y2 ③(x-y)² ④ |x-y|
=（x+y）²-2xy=3²-2×（-12）=33 （ ） × ） =（x+y）²-3xy=3²-3×（-12）=45 （ ） × ）
②x2-xy+y2
=（x+y）²-4xy=3²-4×（-12）=57 （ ） × ） 解:（x-y）²=（x+y）²-4xy=57 （ ） （ ） x-y= ± 57 |x-y|= 57
② 【（(x+1)(x2+1)(x4+1)(x-1) =【（ 【（3x+1）（ ）（3x-1）】+1)(x）】² ）（ ）】
=（9x²-1）² （ ） 4 =81x -18x²-1
想一想
.若x − y = 12，x + y = 6，则x = y= .
2 2
,
解：
∵ x
2
− y
2
= 12
∴ ( x + y )( x − y ) = 1 2 ∵ x + y = 6 ∴ x − y = 2 ∴ x = 4, y = 2