垂线段的性质
专题5-3 垂线(知识讲解)
专题5.3 垂 线（知识讲解）【学习目标】1. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2. 理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．特别说明：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：；直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB⊥CD 于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD ⊥AB ．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．a b ⊥90AOC ∠=°判定性质3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别说明：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、垂线定义的理解1．【答案】130°或50°【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．解：如图∵β的两边与α的两边分别垂直，∵α+β=180°故β=130°，在上述情况下，若反向延长∵β的一边，那么∵β的补角的两边也与∵α的两边互相垂直，故此时∵β=50；综上可知：∵β=50°或130°，故正确答案为：【点拨】本题考核知识点：四边形内角和. 解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.举一反三：【变式1】如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD=__________°．【答案】150解：试题分析：首先根据直角定义可得∵COE=90°，再根据角的和差关系可得∵AOC=∵COE+∵AOE=90°+60°=150°，根据对顶角相等可得∵BOD=∵AOC=150°．【变式2】如图，直线AB，CD相交于点O，OE∠AB，O为垂足，∠EOD=30°，则∠AOC=_______【答案】60°【分析】首先根据OE∵AB，可得∵EOB＝90°，然后根据∵EOD＝30°，求出∵BOD的度数，再根据对顶角相等，即可判断出∵AOC的度数是多少．解：∵OE∵AB，∵∵EOB＝90°．∵∵EOD＝30°，∵∵BOD＝90°﹣30°＝60°．∵∵AOC＝∵BOD，∵∵AOC＝60°．故答案为60°．【点拨】（1）此题主要考查了垂线的性质和应用，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）此题还考查了对顶角的特征和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：对顶角相等．类型二、画垂线2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线段PE．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”【分析】前两问尺规作图见详解,第（3）问中利用垂线段最短即可解题.解：（1）（2）如图所示．（3）在直角∵FPO中,PO＜FO,在直角∵PEO中,PE＜PO,∵PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”．【点拨】本题考查了尺规作图和垂线段的性质,属于简单题,熟悉尺规作图的方法和步骤,垂线段的性质是解题关键.举一反三：【变式1】如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．（1）过C点画OB的垂线，交OA于点D；（2）过C 点画OA 的垂线，垂足为E ；（3）比较线段CE ，OD ，CD 的大小（请直接写出结论）；（4）请写出第（3）小题图中与∠AOB 互余的角（不增添其它字母）．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）CE ＜CD ＜OD ；（4）与∵AOB 互余的角是∵OCE与∵ODC【分析】(1)作DC∵OB 即可；(2)作CE∵OA 即可；(3)根据垂线段最短及直角三角形的斜边大于任一直角边即可得出结论；(4)根据两角互余的定义即可得出结论．解：解：(1)、(2)如图所示；(3)∵CE∵OA ，∵CE ＜CD.∵∵OCD 中OD 是斜边，CD 是直角边，∵CD ＜OD ，∵CE ＜CD ＜OD ；(4) ∵CE∵OA ，∵∵AOB+∵OCE=90°．∵CD∵OB ，∵∵AOB+∵ODC=90°，∵与∵AOB 互余的角是∵OCE 与∵ODC ．【点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知垂线的作法是解答此题的关键．【变式2】如图，90AOB ∠=︒，在AOB ∠的内部有一条射线OC .（1）画射线.OD OC ⊥（2）写出此时AOD ∠与BOC ∠的数量关系，并说明理由.【答案】（1）作图见解析（2）（1）AOD BOC ∠=∠或180AOD BOC ∠+∠=︒【解析】试题分析：（1）根据基本作图—做已知直线的垂线即可；（2）通过图形判断即可.试题解析：（1）画图，如下图（2）AOD BOC ∠=∠或180AOD BOC ∠+∠=︒类型三、垂线段最短3．如图所示，在∠ABC 中，AC=5，BC=6，BC 边上高AD=4，若点P 在边AC 上（不含端点）移动，求BP 最短时的值．【答案】245【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP 垂直于AC 时，BP 的长最小，利用面积法即可求出此时BP 的长．解：根据垂线段最短可知，当BP ∵AC 时，BP 最短．∵S ∵ABC 12=⨯BC ×AD 12=⨯AC ×BP ，∵6×4=5BP ，∵PB 245=，即BP 最短时的值为：245． 【点拨】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是解答本题的关键．【变式1】如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．【答案】垂线段最短两点之间，线段最短【分析】(1)过A作AC∵MN，AC最短；(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．解：(1)过A作AC∵MN，根据垂线段最短，故答案为垂线段最短；(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，故答案为两点之间线段最短．【点拨】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．【变式2】火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．(1)从火车站到码头怎样走最近？(2)从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】(1)从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离，依据两点之间线段最短解答即可；(2)从码头到铁路的距离是点到直线的距离，依据垂线段最短解答即可．(1)沿AB走，两点之间线段最短；(2)沿BD走，垂线段最短.【点拨】本题考查了线段的性质、垂线段的性质，根据具体的问题正确判断出是点到点的距离还是点到线的距离是解答问题的关键．类型四、点到直线的距离4．如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图和解答：（1）连接PA，PB，用量角器画出∠APB的平分线PC，交AB于点C；（2）过点P作PD∠AB于点D；（3）用刻度尺取AB中点E，连接PE；（4）根据图形回答：点P到直线AB的距离是线段的长度．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）PD．解：试题分析：(1)、用量角器量出∵APB的度数，然后求出一半的度数得出答案；(2)、根据垂线的作法得出答案；(3)、用刻度尺量出AB的长度，然后找出中点，从而得出答案；(4)、点到直线的距离是指点到直线垂线段的长度．解：(1)、如图所示；(2)、如图所示；(3)、如图所示；(4)、PD ．举一反三：【变式1】 如图,AC BC ⊥9,AC =12,BC =15AB =.（1）试说出点A 到直线BC 的距离；点B 到直线AC 的距离；（2）点C 到直线AB 的距离是多少？【答案】（1）点A 到直线BC 的距离、点B 到直线AC 的距离分别是9，12；（2）365【分析】根据点到直线的距离即为垂线段的距离，求解即可.解：（1）∵,AC BC ⊥9,AC =12BC =，∵点A 到直线BC 的距离、点B 到直线AC 的距离分别是9，12.（2）设点C 到直线AB 的距离为h ， ABC 的面积为1122BC AC AB h ⋅=⋅，∵15129h =⨯， ∵365h =.∵点C 到直线AB 的距离为365.【点拨】此题主要考查对垂线段的理解，熟练掌握，即可解题.【变式2】如图，∠ABC 中，∠A+∠B=900.∠根据要求画图：∠过点C 画直线MN∠AB∠过点C画AB的垂线，交AB于点D．∠请在∠的基础上回答下列问题：∠已知∠B+∠DCB=900，则∠A与∠DCB的大小关系为__________，理由是__________.∠图中线段_________的长度表示点A到直线CD的距离.【答案】（1）作图见解析（2）∵ ；∵A=∵DCB；同角的余角相等；∵AD解：试题分析：（1）根据题意画出MN∵AB，CD∵AB于D；（2）∵根据同角的余角相等可判断∵A=∵DCB；∵根据点到直线的距离的定义求解．试题解析：解：（1）∵如图，MN为所求；∵如图，CD为所求；（2）∵∵∵B+∵DCB=90°，∵B+∵A=90°，∵∵A=∵DCB；∵线段AD长度表示点A到直线CD的距离．故答案为∵A=∵DCB，同角的余角相等；AD．。
平面几何中的垂直线和平行线有哪些性质
平面几何中的垂直线和平行线有哪些性质平面几何是研究平面上图形的形状、大小、位置关系以及相关性质的数学分支。
在平面几何中，垂直线和平行线是两个重要的概念，它们各自具有特定的性质和关系。
本文将详细介绍垂直线和平行线的性质和相关定理。
一、垂直线的性质1. 垂直线定义：两条线段在交点处彼此成直角时，称这两条线段互相垂直。
这时，垂直线可以看做是互相垂直的两条直线的延长线。
通过定义，我们可以得出垂直线的两条基本性质：a. 垂直线的两条边相互垂直；b. 两条垂直线之间没有任何夹角。
2. 垂直线和水平线的关系：水平线与垂直线是两种特殊的关系。
水平线与垂直线互相垂直，且垂直线与水平线的夹角为90度。
3. 垂直线的判定定理：a. 直角三角形判定定理：在三角形中，如果两边相互垂直，那么这两边一定构成一条直角边，即这个三角形是直角三角形。
b. 垂直平分线性质：如果一条平分线同时也是一条垂直线，那么它将把线段分成两等分。
二、平行线的性质1. 平行线定义：平面上两条线段的任意一点都不相交，且在平面外不相交的两条线段称为平行线。
根据定义，我们可以得出平行线的两条基本性质：a. 平行线永远不会相交；b. 平行线的夹角为0度。
2. 平行线的判定定理：a. 同位角定理：如果两条直线被一组平行线割断，那么同位角的对应角度相等。
b. 平行线的性质：如果有一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线之间也是平行的。
c. 平行线的传递性：如果第一条直线与第二条直线平行，并且第二条直线与第三条直线平行，那么第一条直线与第三条直线也平行。
3. 平行线与垂线的关系：平行线和垂直线之间是相互排斥的关系。
根据平行线的定义，平行线永远不会相交；而垂直线则是两条直线相互垂直。
总结：在平面几何中，垂直线和平行线都是基本的线性概念，它们分别具有独特的性质和关系。
垂直线可以通过直角三角形判定定理和垂直平分线性质来确定，而平行线则可以通过同位角定理、平行线的性质和平行线的传递性来判定。
三角形垂线定义
三角形垂线定义三角形垂线是指从三角形的顶点到对边上某一点的垂直线段。
它在三角形内部垂直于对边，且与对边有唯一交点。
垂线的性质在几何学中有着重要的应用和意义。
我们来探讨垂线的基本性质。
对于任意一个三角形ABC，如果从顶点A向边BC引一条垂线AD，那么垂线AD与边BC的交点D将成为三角形ABC的高。
垂线AD与边BC垂直相交，所以可以得出角BAD和角CAD都是直角。
这意味着垂线是三角形内部唯一一条与对边垂直的直线。
垂线的另一个重要性质是垂线的长度。
根据勾股定理，我们可以得出垂线的长度与三角形的边长有关。
设三角形ABC的底边为BC，高为AD，则根据勾股定理可以得到：AC^2 = AD^2 + CD^2AB^2 = AD^2 + BD^2BC^2 = CD^2 + BD^2其中，AC、AB、BC分别表示三角形的三条边长，AD表示垂线的长度，CD和BD分别表示三角形BC和AB的两条边长。
通过这些关系式，我们可以计算出垂线的长度。
垂线还有一个重要的性质是垂线的交点与三角形的重心和外心有关。
重心是指三角形三条垂线的交点，而外心是指三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
对于任意一个三角形ABC，垂线的交点D将成为三角形ABC的重心，即AD、BD和CD三条垂线相交于一点。
而外心则是三角形ABC外接圆的圆心，即三角形的三个顶点到外心的距离相等。
这些特点使垂线在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
垂线还有一个重要的应用是求解三角形的面积。
根据垂线的定义，我们可以利用垂线将三角形分为两个直角三角形，然后计算两个直角三角形的面积再相加，即可得到整个三角形的面积。
设垂线的长度为h，底边的长度为b，则三角形的面积S可以表示为：S = (1/2) * b * h这个公式被广泛应用于计算三角形的面积。
除了以上的基本性质和应用，垂线还有许多其他有趣的性质。
例如，三角形ABC的顶点A到垂线的距离等于三角形BC的面积除以底边BC的长度。
这个性质可以用来计算三角形的面积。
垂线段的性质
垂线段的性质
定义：从直线L外一点P向直线L作垂线，垂足记为O，则线段PO叫做点P到直线L的垂线段。
要确定垂线段，只须找到它的两个端点即可。
性质直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称“垂线段最短”。
性质： 1、在同一平面内，过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。
2、从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
垂线是两条直线的两个特殊位置关系。
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
垂线段最短。
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或互补。
垂线的定义和性质
垂线的定义和性质
1、垂线的定义和性质
1垂直的定义
当两条线相交形成的四个角之一为90度时，这两条线就称为相互垂直。
2垂直线的定义
两条线相互垂直，其中一条称为另一条线的垂线，相交处称为垂直脚。
三。
垂线的性质
（1）只有一条直线垂直于通过一个点的已知直线；
（2）在所有连接线外一点和线上各点的线段中，垂直线段最短。
4点到线的距离
从线外一点到线的垂直截面的长度称为点到线的距离。
一个点和一条直线之间的距离是一个正值，一个量，而不是一个数字，所以你不能画距离，你只能测量距离。
2、垂直线示例
在体育课上，教师衡量跳远成绩的依据是什么___
A.垂直的定义
B.两点之间的最短线段
C.最短垂直线段
两点成一条直线
答案：C
分析：老师测量跳远成绩的依据是：最短垂直线。
所以选择C。
【期末专项】苏科版七年级数学上册期末复习专题 两点之间线段最短和垂线段最短综合
两点之间线段最短和垂线段最短综合1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释2．自习课上，老师出示这样一道题目：如图，AB是一条河流．要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过点C、D画AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短C．方案一节省材料，理由是垂线段最短D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线3．下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是_____ （填序号）．4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：画法：如图，（1）连接AB；（2）过点A画线段AC 直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．请回答：工人师傅的画图依据是______．5．在数学课上，王老师提出如下问题：如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小李同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．王老师说：小李同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是．（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是．7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索【回顾】（1）如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄.现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由【探索】（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B 两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．（1）画线段AB；（2）画图并说理：①画出点C到线段AB的最短线路CE，理由是；②画出一点P，使AP DP CP EP+++最短，理由是．10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．【探索】（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．11．如图，A、B、C是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连结线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间+的最小值为_______，依据是_______.的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP PQ12．如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，()1不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．()2另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是.方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是.设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置．（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．答案与解析1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释【答案】C【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．【详解】解：现象1：测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直，可用“垂线段最短”来解释；现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，故选：C．【点睛】此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．2．自习课上，老师出示这样一道题目：如图，AB是一条河流．要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过点C、D画AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短C．方案一节省材料，理由是垂线段最短D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线【答案】C【分析】垂线段的性质：垂线段最短，根据垂线段的性质解答即可．【详解】解：∵CE⊥AB，根据垂线段的性质可知，CE＜CP，同理，DF＜DP，∴方案一更节省材料．故选：C．【点睛】本题考查了垂线段的性质，垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．3．下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是_____ （填序号）．【答案】①【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①，可以“两点之间线段最短” 来解释②，可以用“两点确定一条直线” 来解释③，故答案为：①．【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：画法：如图，（1）连接AB；（2）过点A画线段AC 直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．请回答：工人师傅的画图依据是______．【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短【分析】根据两点之间线段最短以及垂线段最短即可判断．【详解】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是正确两点之间线段最短以及垂线段最短，本题属于基础题型．5．在数学课上，王老师提出如下问题：如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小李同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．王老师说：小李同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．【答案】两点之间线段最短【分析】根据两点之间线段最短即可得到答案．【详解】解：由题意得可知：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和两点之间线段最短，熟知二者的定义是解题的关键．三、解答题6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是．（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是．【答案】（1）连接AB，两点之间，线段最短；（2）过B作BC⊥a，垂线段最短．【分析】（1）连接AB，根据两点之间，线段最短；（2）过B作BC⊥a，根据垂线段最短．【详解】解：如图所示：（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BC走，垂线段最短．【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握线段的性质和垂线段的性质．7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用两点之间距离线段最短，进而得出答案；（2）利用点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．【详解】解答：解：（1）如图所示：由两点之间，线段最短，连接AC、BD交点即为P点，（2）如图所示：由垂线段最短，过P作PQ⊥河道l，垂足即为Q点．【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握点与点以及点到直线的距离定义是解题关键．8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索【回顾】（1）如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄.现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由【探索】（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B 两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）连接AB交直线l于点C，点C即为所求作．（2）根据两点之间线段最短解决问题．（3）作AA′//CD，且AA′＝1，连接BA′得到点C，作线段CD⊥河岸即可．【详解】（1）如图，点C即为所求作．理由：两点之间，线段最短.（2）如图，点C即为所求作．（3）如图，线段CD可即为所求作．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．（1）画线段AB；（2）画图并说理：①画出点C到线段AB的最短线路CE，理由是；②画出一点P，使AP DP CP EP+++最短，理由是．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，点到直线的距离垂线段最短；（3）图见解析，两点之间线段最短．【分析】（1）根据题意画图即可；（2）①借助网格作CE⊥AB，根据点到直线距离垂线段最短可得符合条件的E点；+++=+．②连接AD和CE交于P点，根据两点之间线段最短可得AP DP CP EP AD CE【详解】（1）连接AB如下图所示；（2）①如图所示CE为最短路径，理由是点到直线的距离垂线段最短，故答案为：点到直线的距离垂线段最短；②如图所示P点为AP DP CP EP+++最短，理由是：两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题考查两点之间的距离，垂线段最短和根据要求画线段．理解点到直线的距离垂线段最短和两点之间线段最短是解题关键．10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．【探索】（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接AB，交l于点C即可；（2）根据BO＋CO=BC为定长，故需保证AO最小即可，根据垂线段最短，过点A作AO⊥BC于O 即可；（3）根据两点之间线段最短，故连接AC、BD交于点O即可．【详解】解：（1）连接AB，交l于点C，此时AC＋BC=AB，根据两点之间线段最短，AB即为AC＋BC的最小值，如下图所示：点C即为所求；（2）∵点O在BC上∴BO＋CO=BC∴AO+BO+CO=AO＋BC，而BC为定长，∴当AO+BO+CO最小时，AO也最小过点A作AO⊥BC于O，根据垂线段最短，此时AO最小，AO+BO+CO也最小，如下图所示：点O 即为所求；（3）根据两点之间线段最短，若使AO＋CO最小，连接AC，点O应在线段AC上；若使BO＋DO 最小，连接BD，点O应在线段BD上，∴点O应为AC和BD的交点如下图所示：点O即为所求．【点睛】此题考查的是两点之间线段最短和垂线段最短的应用，掌握根据两点之间线段最短和垂线段最短，找出最值所需点是解决此题的关键．11．如图，A、B、C是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连结线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间+的最小值为_______，依据是_______.的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP PQ【答案】（1）见解析；（2）5；两点之间，线段最短；垂线段最短.【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点按要求作图即可；（2）根据两点之间，线段最短和点到直线的距离垂线段最短回答即可．【详解】（1）如图所示.+的最小值为点A到直线BC的距离，所以是5.（2）AP PQ依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短.【点睛】本题考查直线、射线、线段以及两点之间，线段最短，点到直线的距离，解题关键是掌握直线、射线、线段的特点，牢记两点之间，线段最短，垂线段最短．12．如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，()1不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．()2另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；（2）垂线段最短．【分析】（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置．（2）过点H作直线EF的垂线段即可．【详解】解：()1连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置．()2理由是：垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和垂线段最短在生活中的应用，解题时要注意它们的综合应用．13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．【答案】垂线段最短两点之间，线段最短【分析】(1)过A作AC⊥MN，AC最短；(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．【详解】(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短，故答案为垂线段最短；(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，故答案为两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是.方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是.设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短；＞【分析】根据题目要求直接连接AB，以及分别过A，B向直线l作垂线即可，利用直角三角形中斜边大于直角边进而得出答案即可．【详解】解：方案一、连接AB交直线l于点P，依据是两点之间，线段最短；方案二、分别过A，B向直线l作垂线即可，如图，AM、BN即为所求，依据是垂线段最短；方案一中m=AP+PB，方案二中n=AM+BN，在Rt∆AMP与Rt∆BNP中，AM<AP，BN<BP，∴AM+BN<AP+BP，即m>n，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短；>．【点睛】题目主要考查两点之间线段最短及垂线段最短，直角三角形斜边大于直角边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．【答案】见解析；两点之间线段最短；垂线段最短【分析】由两点之间线段最短；垂线段最短即可作出图形：连接AB；过点B作l的垂线段．【详解】解：如图所示：AB、BC为所求．作图理由：两点之间线段最短；垂线段最短．【点睛】此题考查了作图能力，掌握：两点之间线段最短、垂线段最短是解题的关键．16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置．（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点；（2）连接MN交直线AB于点R，点R就是所求．【详解】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点．如图所示：（2）连接MN交AB于点R，点R就是所求的点．如图所示：．【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短，记住这两个性质是解题的关键．17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．【答案】见解析【分析】根据两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短即可得到答案.【详解】解；如图所示：连接AB，是两点之间线段最短；作BC垂直于河岸，是垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．【答案】（1）沿线段AB走，见解析，两点之间，线段最短；（2）沿垂线段BD走，见解析，垂线段最短【分析】（1）根据两点之间线段最短解决问题即可．（2）根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：（1）如图，沿线段AB走，理由：两点之间，线段最短．（2）如图，沿垂线段BD走，理由：垂线段最短．【点睛】本题考查了“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个知识，熟知两个知识点并正确作图是解题关键．。
三角形的中线与垂线性质总结
三角形的中线与垂线性质总结三角形是初中数学中的基础概念，它的中线与垂线是三角形的重要性质之一。
本文将总结三角形的中线与垂线的性质，并介绍它们在解题中的应用。
一、三角形的中线性质中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，以A为顶点的中线DE与BC的中点F相交于一点G，那么有以下性质：1. 中线的长度：以A为顶点的中线DE的长度等于对边BC的一半，即DE = 0.5BC。
2. 中线的位置关系：以A为顶点的中线DE将BC平分，即DE =DF = FG = GE。
3. 中线的交点：三条中线的交点G称为三角形的重心，重心到各个顶点的距离相等，即GA = GB = GC。
应用：中线是三角形中重要的辅助线，在解决相关问题时具有一定的应用价值。
例如，通过中线的长度关系可以确定三角形的面积；通过重心的性质可以确定三角形的平衡点等。
在正文中，我们将具体介绍这些应用。
二、三角形的垂线性质垂线是从一个点下垂到它所在平面上的一条垂直线。
对于任意三角形ABC，以顶点A向对边BC作垂线AD，那么有以下性质：1. 垂线的位置关系：垂线AD与对边BC相交于一点D，垂足D在BC上。
2. 垂线的长度关系：AD是三角形ABC中最短的一条线段。
3. 垂线的角度关系：由垂线和对边所形成的两个角，其中一个角是直角。
应用：垂线在解决三角形相关问题时也具有重要的应用价值。
例如，通过垂线的长度关系可以确定三角形的高；通过垂线的角度关系可以判断三角形的形状等。
在正文中，我们将具体介绍这些应用。
三、中线与垂线性质的应用1. 三角形面积的计算：通过中线的长度关系，可以计算出三角形的面积。
当三角形所有中线都已知时，可以使用海伦公式计算面积。
2. 三角形的平衡点：通过重心的性质，可以确定三角形的平衡点。
在物体均匀分布的情况下，平衡点即为重心所在位置。
3. 三角形高的计算：通过垂线的长度关系，可以计算出三角形的高。
这在解决与三角形高相关的问题时特别有用。
垂直线与垂直线性质的判定
垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
其中一条直线称为另一条直线的垂线。
2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。
二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。
四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。
五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。
4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。
（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。
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直线 的距离？
ι
成功量学：
B
A 1.如图，点A处是一座小屋，BC 是一条公路，一人在O处。 （1）此人到小屋去，怎样走最近？ 画出图形并说明理由 （2）此人要到公路去，怎样走最近？
画出图形并说明理由
．
O
．
A D
C
2.下列说法正确的是（
）
（A）线段AB叫做点B到直线AC的距离。 （B）线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离 B （C）线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
C
（D）线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
成功展示：
Байду номын сангаас
P
A
B
C
D
m
连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短。 垂线段最短 简单说成：垂线段最短． 垂线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
成功检测：
基础题： 1.如图所示，BC⊥AC,AB=5cm，BC=4cm,AC=3cm，则 点B到AC的距离为____cm，点A到BC的距离是____cm ；AB＞BC的数学依据是_________.
·
B
·
A
l
成功目标：
1、理解并掌握垂线段的性质； 2、理解点到直线的距离的概念； 3、 在探索和运用垂线段性质的过程中感受 学习数学图形的乐趣。
自学方法：认真自学课本第5—6页，完成以下内
容 1.认真学习第5页的思考，并在图5.1-8中画出最短的 渠道.聪明的你动手测量一下，这条渠道的长度是 _________. 2.直线外一点与垂足之间的线段叫做______. 3.仔细观察探究中图5.1-9所有的线段，最短的一条 是线段_______；从而我们可以得出结论： ______________________________.简单说成： ____________. 4.______________________________，叫做点到 直线的距离. 5.在课本第5页探究中哪条线段的长度是点P到
A
C
B
2.如图2-22，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于 E．试比较四条线段AC，CD，DE和AB的大小
综合题： 如图，已知三角形ABC是钝角三角形. （1）过点A画BC的垂线； （2）画出点B到AC的垂线段，量出点B到AC的距 离； C （3）量出点C到AB的距离.
A
B
拓展题
小明参加了运动会跳远比赛，他从地面A点跳起，落到 沙坑点B处，如图所示，应怎样测量他的跳远成绩呢？ 是测量点A到点B的距离呢？还是测量点B到起跳线l的 距离？他的跳远成绩是多少？（比例尺为1：150）