用拉氏变换法解线性电路的过渡过程
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电路的拉普拉斯变换分析法
E s2 2
E s2 2
- sT
e2
E s2 2
- sT
1 e 2
半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为
- sT
L
f t
E s2 2
1e 2 1- e-sT
E s2 2
1
- sT
1-e 2
7.2.4 频率平移特性
若 f (t) L
F (s)
则 L{ f (t)e-s0t } F (s - s0 )
( a)
=0
lim e-(s-a)t 0
t
( a)
a 称为收敛域
拉氏反变换 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j - j
F(s) L[ f (t)] 拉氏正变换 f (t) L-1[F(s)] 拉氏反变换
tf
tdt
f
0
可得
LAd
t
0
Ad
t e-st
dt
Ae0
A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
Ld t 1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数 方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。
dt
0- dt
L[ f '(t)] L[ df (t)] df (t) e-st dt
dt
0- dt
由上式应用分部积分法，有
L[df (t)] dt
用拉氏变换法分析电路的步骤微分方程的拉氏变换利用元件的s域模型
2 2
逆变换
E p1t p2 t i t e e L p1 p2
设 则
R ＝ ,ω0 2L
2 2
1 LC
2 2
无损耗的LC回路 第一种情况： α 0， ω0 第二种情况： α ω0 即R较小，高Q的LC回路，Q 2α 第三种情况 α ω0
0
d
所以
p1 α jωd
p2 α jωd
E α t E 1 α jωd t α jωd t e sinωd t i t e e Lωd L 2 jωd R 衰减振荡，α , R越小，α 就越小，衰减越慢 2L
α ω0 第三种情况：
E s
IC ( s)
R
1 sC
VC ( s ) E s
所以
1 s R sC E 2E 1 E VC ( s ) VC ( s ) I C ( s ) 1 s sC s s RC v t
C
IC ( s)
2E
t RC vC ( t ) E 1 e
2E 所以 VR ( s ) 1 s t RC 所以 v R ( t ) 2 E e RC t 0
v R 0 0
2E
O
t
采用0+系统
（ 3 ）此时et 按0 处理
1 dv R ( t ) de( t ) v R (t ) RC dt dt
v R 0 2 E
我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型。
逆变换
E p1t p2 t i t e e L p1 p2
设 则
R ＝ ,ω0 2L
2 2
1 LC
2 2
无损耗的LC回路 第一种情况： α 0， ω0 第二种情况： α ω0 即R较小，高Q的LC回路，Q 2α 第三种情况 α ω0
0
d
所以
p1 α jωd
p2 α jωd
E α t E 1 α jωd t α jωd t e sinωd t i t e e Lωd L 2 jωd R 衰减振荡，α , R越小，α 就越小，衰减越慢 2L
α ω0 第三种情况：
E s
IC ( s)
R
1 sC
VC ( s ) E s
所以
1 s R sC E 2E 1 E VC ( s ) VC ( s ) I C ( s ) 1 s sC s s RC v t
C
IC ( s)
2E
t RC vC ( t ) E 1 e
2E 所以 VR ( s ) 1 s t RC 所以 v R ( t ) 2 E e RC t 0
v R 0 0
2E
O
t
采用0+系统
（ 3 ）此时et 按0 处理
1 dv R ( t ) de( t ) v R (t ) RC dt dt
v R 0 2 E
我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知 道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态， 求出元件的s域模型。
一般线性电路的动态分析-拉氏变换法
适用范围讨论
线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变系统的 分析，如RC、RL和RLC电路等。
稳定性分析
通过拉氏变换可以方便地分析系统的 稳定性，判断系统是否稳定以及稳定
的程度。
初始值问题和边值问题
拉氏变换适用于求解具有初始值或边 值条件的微分方程，如电路中的初始 条件和边界条件等。
频率响应分析
06 拉氏变换法优缺点及适用 范围讨论
优点总结
简化计算
拉氏变换能将时域微分方程转换 为复频域的代数方程，从而大大 简化了计算过程。
方便系统分析
通过拉氏变换，可以方便地分析 系统的频率响应、稳定性以及暂 态和稳态性能。
适用于线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变 系统的分析，这类系统在工程实 际中非常常见。
拉氏变换可以用于分析系统的频率响 应特性，如幅频特性和相频特性等。
07 结论与展望
研究成果总结
提出了基于拉氏变换法的一般线性电路动态分析方法，该方法能够有效地解决线性电路在时域分析中 的困难，通过变换将时域问题转化为频域问题进行处理。
通过对实际电路进行建模和仿真，验证了所提方法的有效性和准确性，结果表明该方法具有较高的计算 精度和效率。
缺点分析
收敛性限制
拉氏变换要求函数在实数轴上绝对可积，这限制了其应用范围。对于某些不满足绝对可积条件的 函数，可能需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理非线性问题
拉氏变换是一种线性变换方法，对于非线性问题无法直接处理，需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理时变系统
对于时变系统，拉氏变换无法直接应用，需要采用其他方法进行分析。
一般线性电路的动态分析-拉氏变 换法
目录
02第二章拉氏变换的数学方法
02第二章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析、通信工程等领域。
本文将介绍拉氏变换的数学方法，包括拉氏变换的定义、性质和常见的拉氏变换对列表。
一、拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时间域函数转换为频率域函数的数学工具。
对于一个连续时间函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中s是复变量，通常为一个复平面上的点。
拉氏变换可以将一个函数从时间域表示转换为频率域表示，提供了一种更便于分析和处理的数学工具。
二、拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，如线性性质、平移性质、尺度性质等。
下面简要介绍几个常用的性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意常数a和b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。
2. 平移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这些性质使得我们能够利用拉氏变换进行函数的变换和计算，简化了分析过程。
三、常见的拉氏变换对列表拉氏变换对列表是一些常见的函数及其在拉氏变换下的变换对。
常见的拉氏变换对列表如下：1.常数函数：L{1}=1/s2.单位阶跃函数：L{u(t)}=1/s3.单位冲激函数：L{δ(t)}=14. 指数函数：L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为实数5. 正弦函数：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)6. 余弦函数：L{cos(ωt)} = s/(s^2 + ω^2)7. 方波函数：L{rect(t/T)} = (T/s) * sin(Ts/2)8. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)，其中a为正数这些变换对可以通过拉氏变换的定义进行推导得到，可以用于解决各种信号与系统的分析和计算问题。
拉普拉斯变换基础知识讲解
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1
4-3拉氏变换法分析电路,系统函数
R1 1 2 R2
解：
E2
i L (t )
E − 1 sR1
I L 0 ( s)
sL
I L ( s)
R0
R2
E2 sR2
＋ ＋
＋ E1 －
L
R0
E1 E2 + sR1 sR2 1 I L0 ( s ) = ⋅ 1 1 1 sL + + sL R0 R2 1 E1 E2 ( + ) s R1 R2 = R0 + R2 sL +1 R0 R2
VL ( s) iL (0− ) + 并联 I L ( s) = sL s
SL
I L (S ) SL
LiL (0 − ) ＋ －
I L (S )串 ＋V NhomakorabeaL (S )
并 － ＋
iL (0 − ) S
V L (S )
－
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
1 2 s vC ( s ) = = E( − ) 1 + RCs s s + 1/ RC
− RCE
⇒ vc (t ) = E − 2 Ee
−
t RC
, (t ≥ 0)
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
②
dvR (t ) de(t ) 1 1 ∫ vR (t )dt + vR (t ) = e(t ) ⇒ RC vR (t ) + dt = dt RC
Li ′(0+ ) = vL (0+ ) = E ⇒ i ′(0+ ) = 2
解：
E2
i L (t )
E − 1 sR1
I L 0 ( s)
sL
I L ( s)
R0
R2
E2 sR2
＋ ＋
＋ E1 －
L
R0
E1 E2 + sR1 sR2 1 I L0 ( s ) = ⋅ 1 1 1 sL + + sL R0 R2 1 E1 E2 ( + ) s R1 R2 = R0 + R2 sL +1 R0 R2
VL ( s) iL (0− ) + 并联 I L ( s) = sL s
SL
I L (S ) SL
LiL (0 − ) ＋ －
I L (S )串 ＋V NhomakorabeaL (S )
并 － ＋
iL (0 − ) S
V L (S )
－
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
1 2 s vC ( s ) = = E( − ) 1 + RCs s s + 1/ RC
− RCE
⇒ vc (t ) = E − 2 Ee
−
t RC
, (t ≥ 0)
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
②
dvR (t ) de(t ) 1 1 ∫ vR (t )dt + vR (t ) = e(t ) ⇒ RC vR (t ) + dt = dt RC
Li ′(0+ ) = vL (0+ ) = E ⇒ i ′(0+ ) = 2
第十三章 拉氏变换分析线性电路
K1 K2 N1 ( s) s α jω s α jω D1 ( s )
2 若D( s) 0有共轭复根
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e
jθ
K2 K e
( α jω ) t
-jθ
f (t ) ( K1e( α jω) t K 2e( α jω) t ) f1 (t )
F (s)
sin(t )
1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 S j S j 2 2j S 2
2. 微分性质
若： f (t ) F ( S )
则
例 解
df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
求 : f (t ) t ( t )的象函数
[tε( t )]
[ 0 ε( t )dt ]
ห้องสมุดไป่ตู้
11 ss
4.延迟性质
设：
注
例
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e
st0
F ( s)
f ( t t0 ) 0 当 t t0
求矩形脉冲的象函数
方法2
求极限的方法
i
i 1、 、 、n 23
N ( s )( s pi ) ki lim s p D( s ) ' N ( s )( s pi ) N ( s ) N ( pi ) lim ' ' s p D ( pi ) D ( s)
i
i
4s 5 求F ( s ) 2 的原函数 例 s 5s 6 4s 5 K1 K2 解法1 F ( s) 2 s 5s 6 s2 s3 4s 5 4s 5 K2 7 K1 3 s 3 S 2 s2 s3 N ( p1 ) 4 s 5 解法2 K1 ' 3 s 2 D ( p1 ) 2 s 5
2 若D( s) 0有共轭复根
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e
jθ
K2 K e
( α jω ) t
-jθ
f (t ) ( K1e( α jω) t K 2e( α jω) t ) f1 (t )
F (s)
sin(t )
1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 S j S j 2 2j S 2
2. 微分性质
若： f (t ) F ( S )
则
例 解
df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
求 : f (t ) t ( t )的象函数
[tε( t )]
[ 0 ε( t )dt ]
ห้องสมุดไป่ตู้
11 ss
4.延迟性质
设：
注
例
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e
st0
F ( s)
f ( t t0 ) 0 当 t t0
求矩形脉冲的象函数
方法2
求极限的方法
i
i 1、 、 、n 23
N ( s )( s pi ) ki lim s p D( s ) ' N ( s )( s pi ) N ( s ) N ( pi ) lim ' ' s p D ( pi ) D ( s)
i
i
4s 5 求F ( s ) 2 的原函数 例 s 5s 6 4s 5 K1 K2 解法1 F ( s) 2 s 5s 6 s2 s3 4s 5 4s 5 K2 7 K1 3 s 3 S 2 s2 s3 N ( p1 ) 4 s 5 解法2 K1 ' 3 s 2 D ( p1 ) 2 s 5
《电路分析》拉普拉斯变换
《电路分析》拉普拉斯变换电路分析是电路理论的一部分，其主要目的是通过建立数学模型，研究电路中电压、电流等参数的变化规律及相互之间的关系。
拉普拉斯变换是电路分析中常用的数学工具之一，可以将时域中的电路方程转化为复频域中的代数方程，方便求解和分析。
拉普拉斯变换的基本概念是将一个函数f(t)变换为变量s的函数F(s)。
数学上，拉普拉斯变换定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，s为复数变量，F(s)为拉普拉斯变换后的函数，f(t)为原函数。
拉普拉斯变换具有线性性质、平移性质、微分性质等，这些性质使得电路中的微分方程和积分方程可以很方便地通过拉普拉斯变换转化为代数方程。
在电路分析中，拉普拉斯变换可以应用于求解电路中的电压和电流。
通过变换，可以将电路中的微分方程转化为代数方程，然后对代数方程进行求解。
例如，对于一个由电阻、电感和电容组成的电路，可以利用拉普拉斯变换将电路方程转化为复频域中的代数方程，然后通过求解代数方程得到电路中的电压和电流的复频域表达式，最后再进行逆变换得到时域中的电压和电流的解析表达式。
拉普拉斯变换的另一个重要应用是可以用于描述电路中的单位阶跃响应和冲击响应。
单位阶跃响应是指在电路中加入一个单位阶跃信号后电路的响应情况，而冲击响应是指在电路中加入一个冲量信号（冲击函数）后电路的响应情况。
通过拉普拉斯变换，可以将电路中的阶跃响应和冲击响应转化为复频域中的代数方程，从而方便求解和分析。
总之，拉普拉斯变换在电路分析中起着非常重要的作用，它使得电路中的微分方程和积分方程可以通过转化为复频域中的代数方程进行求解和分析。
拉普拉斯变换的应用可以帮助我们更好地理解和掌握电路的特性和行为。
在实际电路设计和故障诊断中，掌握拉普拉斯变换的原理和应用，对于提高电路分析和设计的能力都具有重要意义。
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1 SC3
1 u2 (s)
U2 (s) 0.27s2 +1 解得： H(s) = Z(s) = = I1(s) (s +1)(s2 + s +1)
零点：
极点： P = 1, P = 0.5 ± j 3 1 23 2
Z12 = ± j1.925
零点分布图：
H( jω) ~ ω曲 为 线 ：
+ jω
Z1 j1.925
用拉氏变换法解线性电路的过渡过程
本章介绍线性电路过渡过程的第二种方法--变换法。所谓变换法法，早 在初等数学中就已经知道，比如要计算的值,一种简单的方法是应用对数进行 计算, 其基本思想是不直接对“数”本身进行计算,而是对"对应的数"进行简单 的计算。这就是最简单的变换法。取对数的运算就是作变换,对数的值就是原 来数的变换象,取反对数的运算就是反变换。在第九、第十章中计算正弦交流 电路的相量法实质上也是一种变换法，其中的相量就是正弦量的“变换”象， 应用相量法就可使原来正弦量的计算变为相量（复数）的计算。在数学中， 为了求解微分方程，可用适当的“算子”（Operater)或积分变换将原微分方 程变形，通过简单的代数运算进行求解，然后进行反变换，这种方法成为算 子法或运算法，现在常用的有傅立叶变换、拉普拉斯（Laplace)变换和Z变换。 本章采用拉普拉斯（Laplace)变换法。 计算步骤为： (1)首先画出换路后的运算电路图，注意初始条件引出的附加电源。 (2)在运算电路图中求出待求量的象函数，即运算形式的解。 (3)进行反变换，求得时域形式的解答，即满足初始条件的原微分方程的解。
2
2F
uC1
2H
iL1
1
uC2
6V
1 V
10 5 1 = 3A 解： iL1(0 ) = 2 1+1 6 uC1(0 ) = *2 = 4V 2 +1
s
5
iL2 (0 ) =
10 = 5A 2
uC2 (0 ) = 5 4 = 2V
5 s
1 1 2
1 2s
2 s
运算电路为：
10 s
2s
2
1 s
6
1 s
3、计算题（二） 、计算题（
已知：电路中电阻的单位为欧姆，电源电压表达式如下：
30V (∞ < t ≤ 0) u5 (t) = 0V (0 ≤ t < ∞)
用拉氏变换法求t≥ 0时电容电压uC(t)。 解： 运算电路为： 30 uC (0 ) = ×10 =10V 20 +10
30 iL (0 ) = =1A 20 +10
4 s
6 s
2、计算题（一） 、计算题（
已知：电路中电阻的单位为欧姆，用运算法计算电感中的电流 iL(t) 分析：根据运算电路法求解过渡过程的步骤： 首先要在求出uC(0-)、iL(0-)的基础上作出运 算电路图，再解出IL(s) ，经过反变换求出iL(t) 6 =1.2A, uC (0 ) =1.2×1 =1.2V 解： iL (0 ) = 4 +1 6 +1.2 1.2 ×0.5S + S 2 S S + 4 = 1.2S + 7.2S +12 Un (S) = 1 1 S(S2 + 5S + 6) + 0.5S + 2 4+ S
p2
j 3 2
1
H ( jw)
-1 p1 -0.5
p3
+δ
0 1.925
0
j 3 2
Z 2 j1.925
ω
拉氏变换测试
测试1： 图中电阻单位为欧姆， 应用Laplace变换法求S闭合后uc(t)。
R1
10
L
5H
16V
R 4
S(t = 0)
R2
2
C
0.1F
uC (t)
测试2： (1)用运算法求S打开后iL(t）、uL2(t) (2)画出IL(s)的零极点分布图，并说明iL(t)响应的性质。
6 +1.2 Un (S) 1.2S 2 + 6S + 6 IL (S) = S = 4+ S S(S + 2)(S + 3)
iL 4
1H
1
S(t = 0)
6V
0.5F
uC
1
运算电路为：
4
IL (s)
6 s
1.2V
s
1
1.2 s
1 0.5s
1
F (0) F (2) 2t F (3) 3t iL (t) = 1 + 1 e + 1 e =1+ 0.6e2t 0.4e2t F2′(0) F2′(2) F2′(3)
2
δ (t)
测试5：
2
L uL (t)
2mH
电路中电阻的单位为欧姆，开关在a时电路已达稳态， t=0时将S闭向b。用Laplace变换法求uC(t)。 a S(t = 0)
1
b
2
1
12a
4F
0.5H
0.5
uC (t)
1、运算电路 、
已知:所示电路原已达稳态,t=0时把开关S合上, 画出运算电路（电阻的单位为欧姆）。 分析：换路前，电路为稳态，因此两个 电感电流易求出，即iL1(0-)、iL2(0-)， 而对于两个电容对6V电压源反比分压， 则UC1(0)、UC2(0-)亦可求出。
1H iL2
10V
2
5V
1
S(t = 0)
iL (t)
2H
100
测试3： 已知图示电路中,L1=1H,L2=4H,M=2H, R1=R2=1 ,Us=1V,电感中原无磁场能量。 t=0时合上开关S,用Laplace变换法求i1,i2。 S(t = 0)
US
100V
S(t = 0)
3H uL2 (t)
R1 L1
M
L2
i2
i1
R2
测试4： 图中电阻单位为欧姆，冲激电流源的单位为安培。 用Laplace变换法求图中uL(t)。
1 es 1 es I (s) = H(s) * Is (s) = 2 = 2 2 s + 2s + 2 s + 2s + 2 s + 2s + 2
1 1 s +1 1 s +1 1 I (s) = 0.5 s (s +1)2 +1 (s +1)2 +1 2 2 s (s +1) +1 (s +1) +1
SL
1H C2
C1
1.73F
0.27F
C3 1 u 2 0.27F
I1(s)
1#43; sC1 + sC2 )U1(s) ( + sC2 )U2 (s) = I1(s) sL sL 1 1 1 ( + sC2 )U1(s) ( + sC2 + sC3 + )U2 (s) = 0 sL sL R
20
10 s
20
10 iL (t)
uS (t)
10
uC
C
0.05F
1H
1
s
uC (s)
1 0.05s
10 1 1 × SC 0.5 10(S +8) 10 + SL = 10 + S UC (S) = S = 1 1 1 1 (S + 5)(S + 6) + SC + 0.05S 20 10 + SL 20 10 + S F (5) 5t F (6) 6t uC (t) = 1 e + 1 e = 30e5t 20e6t F2′(5) F2′(6)
4、网络函数 、
求：(1)网络函数:H(s)=I(s)/Is(s). (2)单位冲激响应 (3)电路在is作用下零状态响应i(t) (其中电阻的单位为欧姆)。
iS (t)
L
1H
i(t)
R1
1
C
1F
R2 1
iS (t) / A 分析：根据网络函数的定义H(s)=R(s)/E(s),因此首 先要画出电路在零状态下的运算电路图;再根据网 1 络函数与单位冲激响应的关系,求出电路的单位冲 激响应;再利用网络函数的定义式在E(s),H(s)已知 t s 的条件下,求出R(s),即I(s),反变换即为i(t). 1 0 解：运算电路为： 1 s 其中电源： is (t) = s(t) s(t 1) I (s) = (1 e ) S I (s) S IS (s) 根据分流公式： 1 1 1 1 (1+ ) s 1 1 s s I (s) = Is (s) = Is (s) 2 1 1 s + 2s + 2 (1+ s) + (1+ ) s s 1 1 网络函数： H(s) = 2 = 单位冲激响应： h(t) = et Sint 2 s + 2s + 2 (s +1) +1
i(t) = 0.5(1 etCost et Sint)s(t) 0.51 e(t 1)Cos(t 1) e(t 1) Sin(t 1) s(t 1)
[
]
5、零极点分布 、
U2 (s) 求：(1)H(s) = ；(2)零极点分布图；(3)绘制H( jω) ~ ω曲线。 I1(S) L
分析：为求网络函数，首先要将电路变为运算电路 图，然后用任意方法列方程或用电路定理化简电路 i2 求出网络函数：H(s)=U2(s)/I1(s)。本题采用结点电压 法。根据网络函数表达式，计算零、极点，在复平 面上做出零、极点分布图即可。 解：运算电路为：
1 u2 (s)
U2 (s) 0.27s2 +1 解得： H(s) = Z(s) = = I1(s) (s +1)(s2 + s +1)
零点：
极点： P = 1, P = 0.5 ± j 3 1 23 2
Z12 = ± j1.925
零点分布图：
H( jω) ~ ω曲 为 线 ：
+ jω
Z1 j1.925
用拉氏变换法解线性电路的过渡过程
本章介绍线性电路过渡过程的第二种方法--变换法。所谓变换法法，早 在初等数学中就已经知道，比如要计算的值,一种简单的方法是应用对数进行 计算, 其基本思想是不直接对“数”本身进行计算,而是对"对应的数"进行简单 的计算。这就是最简单的变换法。取对数的运算就是作变换,对数的值就是原 来数的变换象,取反对数的运算就是反变换。在第九、第十章中计算正弦交流 电路的相量法实质上也是一种变换法，其中的相量就是正弦量的“变换”象， 应用相量法就可使原来正弦量的计算变为相量（复数）的计算。在数学中， 为了求解微分方程，可用适当的“算子”（Operater)或积分变换将原微分方 程变形，通过简单的代数运算进行求解，然后进行反变换，这种方法成为算 子法或运算法，现在常用的有傅立叶变换、拉普拉斯（Laplace)变换和Z变换。 本章采用拉普拉斯（Laplace)变换法。 计算步骤为： (1)首先画出换路后的运算电路图，注意初始条件引出的附加电源。 (2)在运算电路图中求出待求量的象函数，即运算形式的解。 (3)进行反变换，求得时域形式的解答，即满足初始条件的原微分方程的解。
2
2F
uC1
2H
iL1
1
uC2
6V
1 V
10 5 1 = 3A 解： iL1(0 ) = 2 1+1 6 uC1(0 ) = *2 = 4V 2 +1
s
5
iL2 (0 ) =
10 = 5A 2
uC2 (0 ) = 5 4 = 2V
5 s
1 1 2
1 2s
2 s
运算电路为：
10 s
2s
2
1 s
6
1 s
3、计算题（二） 、计算题（
已知：电路中电阻的单位为欧姆，电源电压表达式如下：
30V (∞ < t ≤ 0) u5 (t) = 0V (0 ≤ t < ∞)
用拉氏变换法求t≥ 0时电容电压uC(t)。 解： 运算电路为： 30 uC (0 ) = ×10 =10V 20 +10
30 iL (0 ) = =1A 20 +10
4 s
6 s
2、计算题（一） 、计算题（
已知：电路中电阻的单位为欧姆，用运算法计算电感中的电流 iL(t) 分析：根据运算电路法求解过渡过程的步骤： 首先要在求出uC(0-)、iL(0-)的基础上作出运 算电路图，再解出IL(s) ，经过反变换求出iL(t) 6 =1.2A, uC (0 ) =1.2×1 =1.2V 解： iL (0 ) = 4 +1 6 +1.2 1.2 ×0.5S + S 2 S S + 4 = 1.2S + 7.2S +12 Un (S) = 1 1 S(S2 + 5S + 6) + 0.5S + 2 4+ S
p2
j 3 2
1
H ( jw)
-1 p1 -0.5
p3
+δ
0 1.925
0
j 3 2
Z 2 j1.925
ω
拉氏变换测试
测试1： 图中电阻单位为欧姆， 应用Laplace变换法求S闭合后uc(t)。
R1
10
L
5H
16V
R 4
S(t = 0)
R2
2
C
0.1F
uC (t)
测试2： (1)用运算法求S打开后iL(t）、uL2(t) (2)画出IL(s)的零极点分布图，并说明iL(t)响应的性质。
6 +1.2 Un (S) 1.2S 2 + 6S + 6 IL (S) = S = 4+ S S(S + 2)(S + 3)
iL 4
1H
1
S(t = 0)
6V
0.5F
uC
1
运算电路为：
4
IL (s)
6 s
1.2V
s
1
1.2 s
1 0.5s
1
F (0) F (2) 2t F (3) 3t iL (t) = 1 + 1 e + 1 e =1+ 0.6e2t 0.4e2t F2′(0) F2′(2) F2′(3)
2
δ (t)
测试5：
2
L uL (t)
2mH
电路中电阻的单位为欧姆，开关在a时电路已达稳态， t=0时将S闭向b。用Laplace变换法求uC(t)。 a S(t = 0)
1
b
2
1
12a
4F
0.5H
0.5
uC (t)
1、运算电路 、
已知:所示电路原已达稳态,t=0时把开关S合上, 画出运算电路（电阻的单位为欧姆）。 分析：换路前，电路为稳态，因此两个 电感电流易求出，即iL1(0-)、iL2(0-)， 而对于两个电容对6V电压源反比分压， 则UC1(0)、UC2(0-)亦可求出。
1H iL2
10V
2
5V
1
S(t = 0)
iL (t)
2H
100
测试3： 已知图示电路中,L1=1H,L2=4H,M=2H, R1=R2=1 ,Us=1V,电感中原无磁场能量。 t=0时合上开关S,用Laplace变换法求i1,i2。 S(t = 0)
US
100V
S(t = 0)
3H uL2 (t)
R1 L1
M
L2
i2
i1
R2
测试4： 图中电阻单位为欧姆，冲激电流源的单位为安培。 用Laplace变换法求图中uL(t)。
1 es 1 es I (s) = H(s) * Is (s) = 2 = 2 2 s + 2s + 2 s + 2s + 2 s + 2s + 2
1 1 s +1 1 s +1 1 I (s) = 0.5 s (s +1)2 +1 (s +1)2 +1 2 2 s (s +1) +1 (s +1) +1
SL
1H C2
C1
1.73F
0.27F
C3 1 u 2 0.27F
I1(s)
1#43; sC1 + sC2 )U1(s) ( + sC2 )U2 (s) = I1(s) sL sL 1 1 1 ( + sC2 )U1(s) ( + sC2 + sC3 + )U2 (s) = 0 sL sL R
20
10 s
20
10 iL (t)
uS (t)
10
uC
C
0.05F
1H
1
s
uC (s)
1 0.05s
10 1 1 × SC 0.5 10(S +8) 10 + SL = 10 + S UC (S) = S = 1 1 1 1 (S + 5)(S + 6) + SC + 0.05S 20 10 + SL 20 10 + S F (5) 5t F (6) 6t uC (t) = 1 e + 1 e = 30e5t 20e6t F2′(5) F2′(6)
4、网络函数 、
求：(1)网络函数:H(s)=I(s)/Is(s). (2)单位冲激响应 (3)电路在is作用下零状态响应i(t) (其中电阻的单位为欧姆)。
iS (t)
L
1H
i(t)
R1
1
C
1F
R2 1
iS (t) / A 分析：根据网络函数的定义H(s)=R(s)/E(s),因此首 先要画出电路在零状态下的运算电路图;再根据网 1 络函数与单位冲激响应的关系,求出电路的单位冲 激响应;再利用网络函数的定义式在E(s),H(s)已知 t s 的条件下,求出R(s),即I(s),反变换即为i(t). 1 0 解：运算电路为： 1 s 其中电源： is (t) = s(t) s(t 1) I (s) = (1 e ) S I (s) S IS (s) 根据分流公式： 1 1 1 1 (1+ ) s 1 1 s s I (s) = Is (s) = Is (s) 2 1 1 s + 2s + 2 (1+ s) + (1+ ) s s 1 1 网络函数： H(s) = 2 = 单位冲激响应： h(t) = et Sint 2 s + 2s + 2 (s +1) +1
i(t) = 0.5(1 etCost et Sint)s(t) 0.51 e(t 1)Cos(t 1) e(t 1) Sin(t 1) s(t 1)
[
]
5、零极点分布 、
U2 (s) 求：(1)H(s) = ；(2)零极点分布图；(3)绘制H( jω) ~ ω曲线。 I1(S) L
分析：为求网络函数，首先要将电路变为运算电路 图，然后用任意方法列方程或用电路定理化简电路 i2 求出网络函数：H(s)=U2(s)/I1(s)。本题采用结点电压 法。根据网络函数表达式，计算零、极点，在复平 面上做出零、极点分布图即可。 解：运算电路为：