第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
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5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
( a1b1 a2b2 a3b3 )
2
n维形式的柯西不等式）: 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) (b1 b2 ... bn )
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn ) 2
第三讲
柯西不等式与 排序不等式
一 二维形式的 柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
你能证明吗？
推论
a 2 b2 c 2 d 2 ac bd a 2 b2 c 2 d 2 ac | | bd
高中数学第三章柯西不等式与排序不等式本讲整合课件新人教A版选修4_5
本讲整合
答案：①三维形式的柯西不等式 ②一般形式的柯西不等式 ③乱序和 ④顺序和 ⑤向量形式 ⑥三角不等式
专题一
专题二
专题一:柯西不等式的应用 1.柯西不等式的一般形式为(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2���) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).该不等式的形式 简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困 难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题. 2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着 柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧. 3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否 成立.
a3+b3+c3≤������52+������2������5
+
������5+������5 2������2
+
������5+������5 2������2
(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).
专题一
专题二
例4设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,
求
M=a1+���2���22
专题一
专题二
例
1
已知
x,y,z
均为正数,求证
3 3
1+1+1
������ ������ ������
≤
1 ������ 2
+
1 ������ 2
答案：①三维形式的柯西不等式 ②一般形式的柯西不等式 ③乱序和 ④顺序和 ⑤向量形式 ⑥三角不等式
专题一
专题二
专题一:柯西不等式的应用 1.柯西不等式的一般形式为(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2���) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).该不等式的形式 简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困 难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题. 2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着 柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧. 3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否 成立.
a3+b3+c3≤������52+������2������5
+
������5+������5 2������2
+
������5+������5 2������2
(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).
专题一
专题二
例4设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,
求
M=a1+���2���22
专题一
专题二
例
1
已知
x,y,z
均为正数,求证
3 3
1+1+1
������ ������ ������
≤
1 ������ 2
+
1 ������ 2
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,..., n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ..反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
(a b) (c d ) ( ac bd ) 2 (a, b, c, d为非负实数）。
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
1 1 4 ∴ ab bc ac
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
向量形式： m (a, b), n (c, d ) m n | m | | n | cos m n ac bd 2 2 | m | a b 2 2 | n | c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
1 1 4 ∴ ab bc ac
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1, a2 , a3 ,...,an , b1, b2 , b3 ,...,bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
第三讲 柯西不等式与排序不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5).
≥x12·x11＋x22·x12＋…＋xn2·x1n＝x1＋x2＋…＋xn ＝P(定值)，当且仅当 x1＝x2＝…＝xn＝Pn时取等 号． 即 F＝xx122＋xx232＋…＋xnx－n12＋xxn12的最小值为 P.
点击下图进入阶段质量检测
解：(1)因为 f(x＋2)＝m－|x|，所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m，
由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1.
(2)由(1)知1a＋21b＋31c＝1，又 a，b，c∈R＋，由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1a＋21b＋31c)≥(
a·1a＋
2b·
1＋ 2b
3c·13c)2＝9.
柯西不等式的一般形式为(a1 2＋a2 2＋…＋an 2)(b1 2 ＋b2 2＋…＋bn 2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i ＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运 用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题 迎刃而解．
①
又因为 a11≥b11≥c11，1a≤1b≤1c，
再次由排序不等式：反序和≤乱序和得
aa11＋bb11＋cc11≤ab11＋bc11＋ca11.
②
由①②得
ab1c2＋bc1a2＋ca1b2≥a10＋b10＋c10.
有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的 限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处 理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理 往往比较容易．
考情分析
从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查， 可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积 的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两 端是“齐次式”形式的不等式问题．
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
m n || m | | n | |
2 2 2
ac bd a b c d
2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
y
即可
三 排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1 , c2 是b1 , b2 ...bn的任一排列， 那么： a1bn a2bn 1 ... anb1 a1c1 a2 c2 ... an cn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
( a b) (c d ) ( ac bd ) ( a, b, c, d为非负实数）。
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
1 1 4 ∴ a b bc a c
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
3 3 3 2 2 2
练习
3.设a1 , a2 ,..., an为正数，求证 a1a2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 a3 . a3 a1 a2
练习
4.设a1 , a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明 a a a a ... a1 a2 ... an . a2 a3 an a1
( x1 y1 ) 2 ( x2 y2 ) 2 ... ( xn yn ) 2
( xi , yi R, i 1,2,..., n).
例1 已知 a1 , a2 , a3 ,..., an 都是实数，求证：
1 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) a1 a2 ... an . n
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
二 一般形式的 柯西不等式
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课件新人教A版选修4_5
问题：
① 我们S= a1c1+a2c2 + ••• +ancn 叫数组(a1,a2 , ••• , an), (b1,b2 , ••• , bn)的乱序和,
②我们S1= a1b1+a2b2 + ••• +anbn 叫数组(a1,a2 , ••• , an), (b1,b2 , ••• , bn)的顺序和,
将①式中，c1、ck 对换，得： S′=a1ck+•••+akc1 + ••• +ancn ②
②−①得：S′−S=a1ck+akc1 − a1c1−akck=1后和式不减小.
若c1=b1,则转而考察c2，并进行类似讨论.. 类似地，可以证明，将①式中的第一项调换为 a1b1，第二项调换为a2b2后.和式不减小. 如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数 中，最大和数所对应的情况只能是数组{ci}由小 到大排序的情况，即 S≤S2. 同样可以证明，最小和数是反序和，即S1≤S. ∴S1≤S ≤S2. 至此我们证明了前面的猜想是正确的.
定理(排序不等式或称排序原理) 设a1≤a2 ≤ ••• ≤ an , b1≤b2 ≤ ••• ≤ bn为两组实数，c1,c2 ••• ,cn是b1,b2 , ••• , bn任一个排列,则a1bn+a2bn-1 + ••• +anb1≤ a1c1+a2c2 + ••• +ancn ≤a1b1+a2b2 + ••• +anbn ，当且 仅当a1=a2 =••• = an 或 b1=b2 =••• = bn时，反序和=顺序和.
同序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和
发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
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利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是
一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等
式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意
取等号的条件能否满足．
[例 3]
u4 已知正实数 u，v，w 满足 u2＋v2＋w2＝8，求 9
v4 w4 ＋ ＋ 的最小值． 16 25 [解] ∵u2＋v2＋w2＝8.
2 2 2
点击下图片 进入:
答案：2
2 9 1 6．函数 y＝x＋ (x∈(0， ))的最小值为________． 2 1－2x 2 9 22 32 解析：y＝x＋ ＝ ＋ 1－2x 2x 1－2x
22 32 ＝( ＋ )[2x＋(1－2x)] 2x 1－2x 2 3 ≥( × 2x＋ × 1－2x)2＝25. 2x 1－2x
若 n 是不小于 2 的正整数，求证：
4 1 1 1 1 1 2 ＜1－ ＋ － ＋„＋ － ＜ . 7 2 3 4 2n－1 2n 2 1 1 1 1 1 [证明] 1－ ＋ － ＋„＋ － 2 3 4 2n－1 2n
1 1 1 ＝ 1＋2＋3＋„＋2n － 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＝ 2 2 4 2n n＋1 ＋
不妨设 1＞a1≥a2≥„≥an＞0， 则 0＜2－a1≤2－a2≤„≤2－an， 1 1 1 且 ≥ ≥„≥ ＞0， 2－a1 2－a2 2－an
1 1 1 1 ∴S≥n(a1＋a2＋„＋an)2－a ＋2－a ＋„＋2－a 1 2 n
1 1 1 ＝n2－a ＋„＋2－a . 1 n 又由算术平均值不等式，得
二、填空题 a2 b2 4． a， 是给定的正数， 设 b 则 2 ＋ 2 的最小值为________． sin α cos α a2 b2 a2 解析： 2 ＋ 2 ＝(sin2α＋cos2α)( 2 ＋ sin α cos α sin α
b2 a b 2 ＋cosα· ) ＝(a＋b)2. 2 )≥(sinα· cos x sinα cosα
49 7 a 7 a 2 所以 a≥(x＋y＋z) ，即－ ≤x＋y＋z≤ . 36 6 6 7 a 因为 x＋y＋z 的最大值是 7，所以 ＝7，得 a＝36， 6 36 9 4 当 x＝ ，y＝ ，z＝ 时，x＋y＋z 取最大值， 7 7 7 所以 a＝36.
(1)用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件
又由 0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有 0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． aA＋bB＋cC π 得 ＜ .② 2 a＋b＋c 由①、②得原不等式成立．
一、选择题 1．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是 A. 3 C．3 B. 5 D．5 ( )
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x ≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5.Fra bibliotek答案：B
2．n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( A．1
2
)
B．n
1 C．n D.n 解析：设 n 个正数为 x1，x2，„，xn，由柯西不等式，得(x1
＋ x2 ＋ „ ＋ xn)
1 1 1 ＋ ＋„＋ xn x1 x2
≥
1 x1× ＋ x2 x1
1 1 2 × ＋„＋ xn× ＝(1＋1＋„＋1)2＝n2. x2 xn
答案：4
三、解答题
8．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2 ＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范围．
解 ： ∵ 4(a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋d2)＝ (1＋ 1＋ 1＋ 1)(a2 ＋ b2 ＋ c2 ＋ d2)≥(a＋b＋c＋d)2， 即 4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2， 即 5e2－16e≤0， 16 ∴e(5e－16)≤0，故 0≤e≤ . 5
构造两组数 1 1 1 s－d， s－a， s－b， s－c； ， ， ， s－d s－a s－b 1 ，由柯西不等式得 s－c
1 [( s－d ) ＋ ( s－a ) ＋ ( s－b ) ＋ ( s－c ) ]· [ 2＋ s－d 1 1 1 2＋ 2＋ 2] s－a s－b s－c
又由柯西不等式，有 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＜ 2n n＋1 n＋2 1 1 1 1 ＋1 ＋„＋1 n＋12＋n＋22＋„＋2n2 ＜
2 2 2
1 1 nn－2n＝
2 . 2
[例 2]
设 a，b，c，d 为不全相等的正数．
1 1 1 1 求 证 ： ＋ ＋ ＋ a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 16 > . 3a＋b＋c＋d [证明] 记 s＝a＋b＋c＋d，则原不等式等价于 s s s s 16 ＋ ＋ ＋ > . s－d s－a s－b s－c 3
a 2b 3c 当且仅当 ＝ ＝ 时取等号． 1 1 3 3 3 1 又 a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝ ，c＝ . 2 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c有最大值 . 3
10．(创新预测)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋
(2x＋y－6)2达到最小值．
解：由柯西不等式，得 (12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1× (y－1) ＋2× (3－x－y)＋1× (2x＋y－6)]2＝1， 1 即(y－1) ＋(x＋y－3) ＋(2x＋y－6) ≥ ， 6 y－1 3－x－y 2x＋y－6 当且仅当 ＝ ＝ ，即 1 2 1 5 5 x＝ ，y＝ 时，上式取等号． 2 6 5 5 故所求 x＝ ，y＝ . 2 6
和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
π aA＋bB＋cC π [例 6] 在△ABC 中，试证： ≤ ＜ . 3 2 a＋b＋c [证明] 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.
由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a ＋b＋c)． aA＋bB＋cC π 得 ≥ ，① 3 a＋b＋c
2 2 2 2
≥(1＋1＋1＋1)2. 1 1 1 1 即[4s－(a＋b＋c＋d)]· ( ＋ ＋ ＋ )≥16， s－d s－a s－b s－c s s s s 16 于是 ＋ ＋ ＋ ≥ ， s－d s－a s－b s－c 3 等号成立⇔s－d＝s－a＝s－b＝s－c⇔a＝b＝c＝d. 因题设 a，b，c，d 不全相等，故取不到等号， 1 1 1 1 16 即 ＋ ＋ ＋ > . a＋b＋c b＋c＋d c＋d＋a d＋a＋b 3a＋b＋c＋d
答案：25
7．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋
by)· (bx＋ay)的最小值为________．
解 析 ： [( ax )2 ＋ ( by )2]· bx )2 ＋ ( ay )2]≥( ax · bx ＋ [( by· ay)2＝( ab· x＋ ab· 2＝ab(x＋y)2＝ab＝4. y)
答案：(a＋b)2
5．x∈R，则 1＋sinx＋ 1－sinx的最大值为________．
解析：( 1＋sinx＋ 1－sinx)2≤(12 ＋12)(1＋sinx＋1－sinx) ＝4， ∴ 1＋sinx＋ 1－sinx≤2. 当且仅当 1＋sinx＝ 1－sinx，即 sinx＝0 时取等号．
1 1 ＋„＋ ， 2n n＋2 所以求证式等价于 4 1 1 1 2 ＜ ＋ ＋„＋ ＜ . 7 n＋1 n＋2 2n 2
由柯西不等式，有
1 1 1 ＋ ＋„＋ [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]≥n2， n＋1 n＋2 2n
1 1 1 n2 于是 ＋ ＋„＋ ≥ 2n n＋1＋n＋2＋„＋2n n＋1 n＋2 2n 2 2 4 ＝ ＝ ≥ ＝ ， 1 1 7 3n＋1 3＋n 3＋ 2
a1 a2 an (1)柯西不等式取等号的条件实质上是： ＝ ＝„＝b .这里 b1 b2 n 某一个 bi 为零时，规定相应的 ai 为零． (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组． (3)可以利用向量中的|α||β|≥|α· β|的几何意义来帮助理解柯 西不等式的几何意义．
[例 1]
v2 w2 2 u2 ∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝( · 3＋ · 4＋ · 5) 3 4 5
4 4 u4 v w ≤( ＋ ＋ )(9＋16＋25)， 9 16 25 4 4 u4 v w 64 32 ∴ ＋ ＋ ≥ ＝ . 9 16 25 50 25
v2 w2 u 6 8 当且仅当 ÷ 3＝ ÷ 4＝ ÷ 5，即 u＝ ，v＝ ， 3 4 5 5 5
答案：C
3．设 x、y、z，满足 x2＋2y2＋3z2＝3，则 x＋2y＋3z 的最大值 是 A．3 2 3 C. 2 2 B．4 D．6 ( )
解析：构造两组数：x， 2y， 3z 和 1， 2， 3， 由柯西不等式得[x2＋( 2y)2 ＋( 3z)2][12＋( 2)2＋( 3)2]≥(x ＋2y＋3z)2， ∴(x＋2y＋3z)2≤18， ∴－3 2≤S≤3 2. 答案：A
2
w＝2 时取到“＝”号， v4 w4 6 8 u 32 ∴当 u＝ ，v＝ ，w＝2 时 ＋ ＋ 的最小值为 . 5 5 9 16 25 25
4
[例 4]
设 ai∈R＋(i＝1,2，„，n)且 ai＝1，求：
i＝1
n
a1 a2 S ＝ ＋ ＋ „ ＋ 1＋a2＋„＋an 1＋a1＋a3＋„＋an an 的最小值． 1＋a1＋„＋an－1 a1 a2 an [解] S＝ ＋ ＋„＋ 关于 a1，„，an 对称， 2－a1 2－a2 2－an