华大随机试卷答案

华侨大学《随机信号分析》期末试卷（通信10级）
班级______________ 姓名________________ 学号_________________
一．填空（30分，第七题2分，其余每题4分）
1、已知平稳随机过程()X t 的自相关函数为 ，则()X t 的均值为
±4 ，方差为0.5 。

2、下列函数 ① 是合法的功率谱密度。

① ② ③
3、窄带高斯噪声加正弦信号在信噪比远小于1的情况下的包络趋向___瑞利 分
布，而相位则趋向_____均匀______分布。

4、()X t 是零均值高斯随机过程，其自相关函数为sin()
()X R πττπτ=
，10t =，
21
2
t =，31t =时刻的三阶概率密度函数记为13
12
2
1
1
()exp[]2
(2)T X f x π-=
-x C x C ，
对应的协方差矩阵为1
2/02/1
2/0
2/1ππ
ππ
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

5、窄带信号0()()cos[()]x t A t t t ωθ=+的希尔伯特变换是0()sin[()]A t t t ωθ+。

6、对于齐次马尔可夫过程，任意有限维概率密度完全由 初始概率 和 转移概率决定。

7、匹配滤波器是 输出信噪比最大 准则下的最优线性滤波器。

8、某电话交换台在[0,t]时间内转接的电话呼叫次数为()N t ，平均每分钟转接电话3次，则每分钟转接电话多于5次的概率为
5
3
03{()5}10.0839!
k k P N t e k -=>=-=∑。

二、（6分）简述等效噪声带宽的等效原则。

1
()1615
X R ττ=++2
6233ωωω++2cos 31ωω+2||12ωωω++
答：等效噪声带宽的等效原则如下。

一，理想系统和实际系统在同一白噪声激励
下，输出噪声平均功率相等；二，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

三、（8分）已知随机变量X 服从（0，1）均匀分布，随机变量Y 服从（X ，1）的均匀分布。

求：
（1）条件数学期望()E Y X x =；
（2）数学期望()E Y 。

解：（1）1
()()2
Y x E Y X x yf y x dy ∞
-∞
+===
⎰
（2）13()24
X E Y E E Y X E +⎡⎤⎡⎤=⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦
四、（10分）设随机过程()()Z t X t Y =+，其中()X t 是一平稳随机过程，Y 是与
()X t 无关的随机变量。

试讨论()Z t 的平稳性和各态历经性。

证明：[()]x y E Z t m m =+=常数
2(,)()2z X X Y
R t t R E Y m m ττ⎡⎤+=++⎣⎦
22()=(0)2X X Y E Z t R m m E Y ⎡⎤⎡⎤++<∞⎣⎦⎣⎦
故随机过程
()Z t 是广义平稳的。

1[()][()]21()2lim
lim T
T T T
T T A Z t X t Y dt T X t dt Y T
-→∞
-→∞=+=+⎰⎰
由于Y 是随机变量，因此[()]A Z t 也是随机变量。

故随机过程()Z t 不是各态历经的。

五、（12分）设有级联的两个线性网络如下图所示。

已知输入()X t 是高斯白噪
声，功率谱密度为0()2X N S ω=，网络Ⅰ的冲激响应为,0()0,0at ae t h t t -⎧≥⎪
=⎨<⎪⎩。

求级联网络输出随机过程()Z t 的概率密度。

解：高斯信号通过线性系统后的输出仍为高斯信号。

()0Y m t =，()0Y m t T -=()0Z m t ⇒= ()()()Z t Y t Y t T =--
线性网络Ⅰ的传输函数为()X
a
H j a j ωω=+，则
()Y t 的功率谱密度为 ()
2
02
/2()()()1/Y X N G G H j a ωωωω=⋅=
+
协方差函数||
00
1
()()cos 4
a Y Y N a C S d e ττωωτωπ
∞
-==
⎰ ()Z t 的方差
222||0()()2()()2(0)2()(1)2
z a Y Y E Y t Y t T Y t Y t T N a
R R T e τσ-⎡⎤=+---⎣⎦
=-=
-
()Z t
的概率密度222()z
z f z σ-=
六、（12分）对于窄带平稳随机过程00()()cos ()sin X t a t t b t t ωω=-，若其均值为零，功率谱为
0000()cos[],2()()cos[],20
X A S A otherwise πωωωωωωπωωωωωωω-∆⎧
-≤⎪∆⎪
+∆⎪
=+≤
⎨∆⎪
⎪⎪⎩
式中A ,ω∆以及0ωω>>∆都是实常数，试求： （1）()X t 的平均功率； （2）()a t 的功率谱密度；
（3）互相关函数()ab R τ或互功率谱密度()ab S ω； （4）()a t 和()b t 是否正交，是否无关？
解：（1）212()2X A P S d ω
ωωπ
π∞
-∞
∆==
⎰
(2)
[]
00()()()2cos ,20
a X X S LPF S S A otherwise ωωωωωπωωωω=-++∆⎧≤⎪=∆⎨⎪⎩
（3）
[]00()()()0
ab X X S jLPF S S ωωωωω=---+=
（4）()a t 和()b t 正交且无关。

七、（12分）在双边功率谱密度为
2
N 的加性高斯白噪声干扰下，请对如下信号 0()0
t t T s t T
otherwise
⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
设计一个匹配滤波器。

（1）写出匹配滤波器的冲激响应()h t ，并绘出图形；
（2）求出()s t 经过匹配滤波器的输出信号()y t ，并绘出图形； （3）求最大输出信噪比。

解：（1）匹配滤波器的冲激响应0()()h t s t t =-，考虑系统的因果性和最小时延，
取0t T =。

则
1/0()0
t T t T
h t otherwise -≤≤⎧=⎨⎩
（2）
22
22()()()()()()()002(3)06(2)()6T
T
T
y t s t h d s t s T d s x T t s x dx
t or t T t T t t T T t T t T T ττττττ
=-=--=-+⎧
⎪≤>⎪
-⎪=<≤⎨⎪
⎪-+⎪
⎩
⎰⎰⎰
（3）()s t 的能量为20()3T t T E dt T ==⎰，输出最大信噪比max 00223E T
SNR N N ==
八、（10分）设马尔科夫链的一步转移概率矩阵为
0.30.7000.20.80.700.3P ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（1）当初始分布为0{1}1p X ==,00{2}{3}0p X p X ====时，求经两步转移后
处于状态2的概率。

（2）求该马尔科夫链的平稳分布。

解：（1）
2
(2)
0.30.700.090.350.56
00.20.80.560.040.4
0.700.30.420.490.09
P
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
[][]
0.090.350.56
1000.560.040.40.090.350.56
0.420.490.09
⎡⎤
⎢⎥
⋅=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
因此两步转移后处于状态2的概率为0.35。

（2）
1
113
212
2
323
123
3
8
0.30.723
0.70.27
0.80.323
8
1
23
π
πππ
πππ
π
πππ
ππππ
⎧
=
⎪
=+
⎧
⎪
⎪=+
⎪⎪
⇒=
⎨⎨
=+
⎪⎪
⎪⎪
++=
⎩=
⎪
⎩。