第13章 电磁场与麦克斯韦方程组
电磁场麦克斯韦方程组
电磁场麦克斯韦方程组电磁场麦克斯韦方程组是描写电磁场现象的基本方程组，由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
这个方程组被认为是自然界中最基本的方程组之一，对于我们理解电磁现象和开发电磁技术具有重要意义。
首先，我们来看看电磁场的概念。
电磁场包括两种场：电场和磁场。
电场是由电荷引起的力场，它描述了电荷间的相互作用；磁场是由电流引起的力场，它描述了电流的环绕场。
电场和磁场可以相互转化，形成电磁波，并以光速传播。
接下来，我们看看麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组包括四个方程式，分别是高斯定理、法拉第电磁感应定律、安培环路定理和法拉第电磁感应反定律。
这四个方程式分别表示了电场和磁场的本质、运动规律和相互作用。
高斯定理是描述电场的方程式，它表明电场由电荷分布产生，电荷分布越密集，电场越强。
高斯定理用微积分表示为ΦE=∮EdS=Q/ε0，其中ΦE代表电通量，EdS代表电场元素面积，Q代表电荷量，ε0代表真空介电常数。
这个方程式表明电通量与电荷量成正比，与介电常数反比。
法拉第电磁感应定律是描述电磁感应现象的方程式，它表明磁场变化产生电场，电场与磁场相互作用。
法拉第电磁感应定律用微积分表示为∫E·dr=−dΦB/dt，其中E代表电场，B代表磁场，r代表路径，t代表时间。
这个方程式表明，当磁场发生变化时，会在电路中产生电动势。
安培环路定理是描述磁场的方程式，它表明磁场由电流产生，磁场越强，电流越大。
安培环路定理用微积分表示为∮B·dl=μ0I，其中B代表磁场，l代表路径，μ0代表真空磁导率，I代表电流强度。
这个方程式表明，当电流通过导线时，会形成一个磁场，并在导线附近形成一个磁场环。
法拉第电磁感应反定律是描述自感现象的方程式，它表明自感产生的电动势与电流瞬时变化率成正比。
法拉第电磁感应反定律用微积分表示为ε=−dΦ/dt，其中ε代表电动势，Φ代表磁通量，t代表时间。
麦克斯韦方程组与电磁场的描述
麦克斯韦方程组与电磁场的描述电磁场是自然界中最基本的物理现象之一，它是由电荷和电流所产生的，对物质和能量都有重要的影响。
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由四个方程组成，分别是麦克斯韦方程的积分形式和微分形式。
麦克斯韦方程组的第一个方程是高斯定律，它描述了电场的产生和分布。
根据高斯定律，电场线从正电荷发出，指向负电荷。
电场的强度与电荷的数量和位置有关，当电荷越多或者越靠近时，电场的强度就越大。
高斯定律还告诉我们，电场线必须是闭合的，没有电荷的区域中电场线是连续的。
第二个方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场对电场的影响。
根据法拉第电磁感应定律，当磁场变化时，会在空间中产生感应电场。
这个感应电场的方向和大小与磁场的变化率有关。
如果磁场的变化率越大，感应电场的强度就越大。
这个定律也说明了电磁感应现象的本质，即磁场的变化可以产生电场。
第三个方程是安培环路定律，它描述了电流对磁场的影响。
根据安培环路定律，电流会产生磁场，磁场的强度与电流的大小和方向有关。
当电流通过导线时，磁场线会围绕导线形成环路。
安培环路定律还告诉我们，磁场的强度与环路上的电流有关，电流越大，磁场的强度就越大。
最后一个方程是麦克斯韦-安培定律，它描述了电场和磁场的相互作用。
根据麦克斯韦-安培定律，电场的变化也会产生磁场，磁场的变化也会产生电场。
这个定律揭示了电磁场的传播特性，即电场和磁场可以相互转化，并以电磁波的形式传播。
通过这四个方程，我们可以完整地描述电磁场的产生和传播过程。
电磁场的强度和分布可以通过解麦克斯韦方程组来确定。
这些方程不仅揭示了电磁场的基本规律，还为电磁学的应用提供了理论基础。
例如，根据麦克斯韦方程组，我们可以解释光的传播和干涉现象，也可以研究电磁波在导体和介质中的传播特性。
总之，麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和麦克斯韦-安培定律组成。
这些方程揭示了电磁场的产生、分布和传播规律，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
电磁场理论中的麦克斯韦方程组
电磁场理论中的麦克斯韦方程组电磁场理论是物理学中的重要分支之一，它描述了电磁场的性质和行为。
而麦克斯韦方程组则是电磁场理论的核心，它由四个方程组成，分别是麦克斯韦方程的积分形式和微分形式。
首先，我们来看麦克斯韦方程组的积分形式。
这四个方程分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和电荷守恒定律。
这些方程描述了电磁场的产生、传播和相互作用的规律。
高斯定律是麦克斯韦方程组的第一个方程，它表明电场通量与电场源的关系。
这个方程告诉我们，电场线从正电荷出发，经过空间中的介质，最终到达负电荷。
这种电场线的分布方式决定了电场的性质和行为。
法拉第电磁感应定律是麦克斯韦方程组的第二个方程，它描述了磁场的变化引起的感应电场。
根据这个定律，当磁场的磁通量发生变化时，周围的电场会产生感应，从而产生感应电流。
这个定律是电磁感应现象的基础，也是电磁感应器件的工作原理。
安培环路定律是麦克斯韦方程组的第三个方程，它描述了电流和磁场的相互作用。
根据这个定律，电流所形成的磁场会围绕着电流线圈产生，磁场的强度与电流的大小成正比。
这个定律是电磁铁、电磁感应器等电磁器件的基础。
电荷守恒定律是麦克斯韦方程组的第四个方程，它表明电荷的总量在封闭系统中是守恒的。
这个定律告诉我们，电荷的增加或减少必然伴随着电流的流入或流出。
这个定律是电磁场中电荷运动的基础。
除了积分形式的麦克斯韦方程组，还有微分形式的麦克斯韦方程组。
微分形式的方程更加精确和详细，可以描述电磁场的变化和演化。
微分形式的麦克斯韦方程组包括了麦克斯韦方程组的四个基本方程，即高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和电荷守恒定律。
麦克斯韦方程组的提出和发展，为电磁场理论的研究和应用提供了重要的工具和方法。
它不仅解释了电磁场的基本性质，还揭示了电磁波的存在和传播。
麦克斯韦方程组的研究和应用，推动了电磁场理论的发展，并在电磁学、电子学、通信学等领域产生了广泛的应用。
总之，麦克斯韦方程组是电磁场理论的核心，它描述了电磁场的产生、传播和相互作用的规律。
麦克斯韦方程组与电磁场的对称性
麦克斯韦方程组与电磁场的对称性
麦克斯韦方程组与电磁场的对称性：
1. 麦克斯韦方程组的定义
麦克斯韦方程组（Maxwell Equations）是1860年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）提出的4个方程列，用以描述电磁场束中电荷和电磁场之间相互作用的物理过程。
麦克斯韦方程组明确指出，电磁场具有对称性，它既受到电荷的影响，也受到电流的影响。
2. 麦克斯韦方程组的4个方程
(1) 雷诺方程：∇×E=-∂B/∂t
(2) 磁动势方程：∇×B=µ_0J+µ_0ε_0∂E/∂t
(3) 电位方程：∇·E=ρ/ε_0
(4) 磁位方程：∇·B=0
3. 电磁场的对称性
电磁场的对称性指的是由麦克斯韦方程组所描述的电磁场行为的对称性，即电磁场的特性可以同时被旋转180度，而不改变它的性质。
这种对称性有助于诠释场的本质和改善使用电磁场的诊断能力。
4. 应用
麦克斯韦方程的对称性，也就是电磁场的对称性，被广泛应用在各种原理机构和实验室中。
比如，它可以帮助科学家研究和解决电学和电磁学方面的问题，可以在电磁交互及其他电子电气设备中运用，也可以用来进行电磁设计与分析。
此外，用电磁场的对称性也可以用于分析和求解复杂场的特性，从而更好地利用它们。
麦克斯韦方程组和电磁场
s 安培环路定理: H dl
L
3 总结
洛伦兹力：
F
qE
qv
B
Ii
介质 特性：
涡旋场
D E
H B/
静电场有源无旋 电力线：正电荷 —> 负电荷 稳恒磁场无源有旋 磁感应线： 环套通电导线
2020/2/19
一、 法拉第电磁感应定律
1 法拉第实验 (1821-1831)
s
s
其中B、、s 有一个量发生变化，回路中就有的i 存在。
* 的大小: d /dt (SI)
的变化率
* 的方向：“–”表示感应电动势的方向。“愣次定律
”
感应电流的出现总是阻碍引起感应电流的变化。
* 的计算
* 磁通计原理
2020/2/19
法拉第电磁感应定律
6
3 楞次定律
判断感应电流方向的定律。
b0
v
vt
a0
v
vt
2 a0 vt
v >0, >0 顺时针方向
4）回路的磁通： 0kl t ln b vt . 2 a vt
2020/2/19
例2. 弯成角的金属架COD，导体棒MN垂直OD以恒定速度在 13
金属架上滑动，设v向右，且t=0， x=0，已知磁场的方向垂直纸
例1.长直导线通有电流I，在它附近放有一 矩形导体回路求： (1) 12
穿过回路中的；(2)若I=kt,回路中 =？(3)若I=常数，回路以v向 右运动， =？(4)若I=kt，且回路又以v向右运动时，求 =？
解： 设回路绕行方向为顺时针
I dr
第13章例题_电磁场与麦克斯韦方程组
电磁场与麦克斯韦方程组
例13-4一根长度为L的铜棒,在磁感应强度为B的匀强磁场中, 以角速度ω在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端 O 做匀 速运动. 试求在铜棒两端的动生电动势. 解法1 :OP方向的为导线正方向,线元dl 速度大小 v l ，方向如图所示， 动生电动势为
di (v B) dl vBdl Bldl
2
当 30 时
i NBa 2πn sin 30 NBa πn
2 2
max
2
（3）转过180̊ 流经横截面的感应电量为
1 2 0 2 NBa 2 qi dt d R R R R
0 0
i
0 NBa 2 为起始位置时的全磁通.
第4页 共13页
dV 2π rldr
I l r2 r2 dr I I l ln Wm wm dV 2 π lr d r 4π r1 V r1 8π 2 r 2 r 1 4π r 2 2 I r2 0 I l r 1 2 ln (2) Wm WL LI 0 ln 2 , L 2π r1 2 4π r1
例13-6 解(2) 在导体棒AB上取线元dl i E感 dl
L
r dB , E感与 dl 的夹角α 该处E 感 2 dt
AB
r dB E感 dl cos dl AB AB 2 d t
dB d l dl AB d t 2 2
dt dt
(2)取半径 r 的回路如图
(3) f m ev B, f E eE ,
第13页 共13页
D B 0 0 dE 0 0 dE H 2πr dS , H , D E , B r , 0 BR R r S t 0 2 dt 2 dt
电磁场与麦克斯韦方程组手写笔记
电磁场与麦克斯韦方程组手写笔记篇一：电磁场是物理学中的一个重要概念，它包括了电场和磁场两个方面。
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它是电磁学的基石。
手写笔记如下:1. 电磁场的概念电磁场是由电场和磁场共同组成的，它们是一个整体，不能分开。
电场和磁场是相互关联的，它们之间存在着相互作用。
电磁场也可以看作是电荷和电流的运动和变化所产生的。
2. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由四个方程组成，分别是: - 静电场高斯定理:$$ablacdotmathbf{E}=frac{ho}{epsilon_0}$$- 静磁场高斯定理:$$ablacdotmathbf{B}=0$$- 电动力学定律:$$ablatimesmathbf{E}=-frac{partialmathbf{B}}{partial t}$$- 磁动力学定律:$$ablatimesmathbf{B}=mu_0left(mathbf{J}+epsilon_0frac{partialmathbf{E}} {partial t}ight)$$其中，$mathbf{E}$ 表示电场强度，$mathbf{B}$ 表示磁场强度，$ho$ 表示电荷密度，$mathbf{J}$ 表示电流密度，$epsilon_0$ 表示真空介电常数，$mu_0$ 表示真空磁导率。
3. 麦克斯韦方程组的推导麦克斯韦方程组是通过实验和理论推导得出的。
早期，科学家们通过实验发现了电荷和电流之间的相互作用，进而提出了电场和磁场的概念。
后来，麦克斯韦通过对电场和磁场的理论研究，推导出了麦克斯韦方程组。
4. 麦克斯韦方程组的应用麦克斯韦方程组是电磁学的基石，它广泛应用于各个领域，包括电力工程、通信工程、航空航天、生物医学等等。
在电力工程中，麦克斯韦方程组可以用来描述电场和磁场的变化和运动，进而预测电力的变化和传输;在通信工程中，麦克斯韦方程组可以用来描述电磁波的传播和反射;在航空航天中，麦克斯韦方程组可以用来预测火箭的飞行轨迹和空气动力学效应;在生物医学中，麦克斯韦方程组可以用来研究生物电磁学和医学成像等等。
《新编基础物理学》第13章习题解答和分析
第13章 电磁场与麦克斯韦方程组13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为1r ，2r 。
已知两导线中电流都为0sin I I t ω=，其中I 0和ω为常数，t 为时间。
导线框长为a ，宽为b ，求导线框中的感应电动势。
分析：当导线中电流I 随时间变化时，穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化，用法拉第电磁感应定律md d i tΦε=-计算感应电动势，其中磁通量m d sB S Φ=⋅⎰， B 为两导线产生的磁场的叠加。
解：无限长直电流激发的磁感应强度为02IB rμ=π。
取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。
取回路的绕行正方向为顺时针。
由场强的叠加原理可得x 处的磁感应强度大小00122()2()IIB r x r x μμ=+π+π+方向垂直纸面向里。
通过微分面积d d S a x =的磁通量为00m 12d d d d 2()2()I I B S B S a x r x r x μμΦππ⎡⎤=⋅==+⎢⎥++⎣⎦通过矩形线圈的磁通量为00m 012d 2()2()b I I a x r x r x μμΦ⎡⎤=+⎢⎥π+π+⎣⎦⎰012012ln ln sin 2a r b r b I t r r μω⎛⎫++=+ ⎪π⎝⎭ 感生电动势0m 12012d ln ln cos d 2i a r b r b I t t r r μωΦεω⎛⎫++=-=-+ ⎪π⎝⎭ 012012()()ln cos 2ar b r b I t r r μωω⎡⎤++=-⎢⎥π⎣⎦0i ε>时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；0i ε<时，回路中感应电动势的实际方向为逆时针。
题图13-1解图13-1x13-2 如题图13-2所示，有一半径为r =10cm 的多匝圆形线圈，匝数N =100，置于均匀磁场B 中（B =0.5T ）。
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2020/3/26
电磁场与麦克斯韦方程组
13.1.4 全磁通 感应电流 感应电量
若回路由N匝线圈串联而成
εi
d dt
(Φm1 Φm2
ΦmN )
d dt
N
(
i 1
Φmi )
dΨ dt
全磁通(磁通链)：
N
Ψ Φm1 Φm2 Φmi NΦm i1
N 称为磁通链数.
εi
dΨ i dt
感应电流: (设闭合回路中电阻为R) I εi 1 dΨm R R dt
电磁场与麦克斯韦方程组
第13章 电磁场与麦克斯韦方程组
内容提要
13.1 电磁感应定律 13.2 动生电动势 13.3 感生电动势 13.4 自感与互感 13.5 磁场的能量 13.6 位移电流与电磁场 13.7 麦克斯韦方程组与电磁波
2020/3/26
电磁场与麦克斯韦方程组
13.1 电磁感应定律
13.1.1 电磁感应现象 电流的磁效应 电生磁
2
i
dΦ dt
1 BR2 2
d
dt
1 BR2
2
方向由楞次定律确定
2020/3/26
电磁场与麦克斯韦方程组
例：在半径为R 的圆形截面区域内有匀强磁场B，一直导线垂直
于磁场方向以速度 v 扫过磁场区.
求: 当导线距区域中心轴垂直距离为 r 时的动生电动势.
解：方法一 ：动生电动势定义
i
b(v
B)
13.3.1 产生感生电动势的原因——感生电场
实验证明：当磁场变化时，静止导体中也出现感应电动势.
仍是洛伦兹力充当非静电力？ 麦克斯韦 提出：
r1
通过小线圈的磁通量：
Φ
B
S
0I π
2r2
r12cos
0I π
2r2
r12cost
感应电动势：
i
dΦ dt
0 Iπr12
2r2
sin t
2020/3/26
电磁场与麦克斯韦方程组
例: 在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体
线框，导体线框与载流导线共面.
求: 线框中的感应电动势. 解: 通过面积元的磁通量：
一定时间内通过回路截面的感应电量:
q
t2 I dt 1
t1
R
Ψm2 Ψ m1
dΨ
m
1 R
(Ψ m2
Ψ m1)
2020/3/26
电磁场与麦克斯韦方程组
例: 匀强磁场中，导线可在导轨上滑动.
求: 回路中感应电动势. 解: 在 t 时刻 Φ(t) Bls(t)
B
l
a
v
i
dΦ dt
Blds dt
dl
a
b
vBdl
a
vB(ab) 2vB R2 r2
B
O
v
方法二 ：法拉第电磁感应定律 在 dt 时间内导体棒切割磁感线:
dΦ 2 R2 r2drB
R r
b
dl
a
i
dΦ dt
2B
R2 r2 dr 2Bv dt
R2 r2
方向由楞次定律确定
2020/3/26
13.3 感生电动势
电磁场与麦克斯韦方程组
Blv
若 B B(t) B0t
s(t) b
i
dΦ dt
(B0ls
B0tlv )
2020/3/26
电磁场与麦克斯韦方程组
例: 两个同心圆环，已知 r1<<r2,大线圈中通有电流 I ,
当小圆环绕直径以 转动时.
I
求: 小圆环中的感应电动势. 解: 大圆环在圆心处产生的磁场：
r2
B 0I
2r2
2020/3/26
电磁场与麦克斯韦方程组
13.2.2 动生电动势的计算
1. 定义求解：
i
ab(v
B) dl
方向：v
B 在导线上的投影方向.
2. 法拉第电磁感应定律求解：
i
dΨ dt
N
dΦ dt
若回路不闭合, 需增加辅助线使其闭合.
计算时只计大小, 方向由楞次定律决定.
2020/3/26
电磁场与麦克斯韦方程组
2020/3/26
讨论
电磁场与麦克斯韦方程组
dl
v
B
(1) 注意矢量v之 B间 的0关系
i 0
v
B
0
(v
B)
dl
0
v
B
dl
(2) 对于运动导线回路，电动势存在于整个回路
i
(v
B)
dl
B
(v
dl )
B
(vΔ
t
dl )/Δ
t
B dS '/t Φ/ t
——法拉第电磁感应定律
i
EK dl
(v
B)
dl
例如:
i
(v
B)
dl
B
a l dlv
a
b vBdl vBl
b
磁场中的运动导线成为电源，非静电力是洛伦兹力.
说明
(1) 导线切割磁感线时才产生动生电动势.
(2) 动生电动势存在于运动导体上； 不动的导体不产生电动势，是提供电流运行的通路.
(3) 非回路的导体在磁场中运动，有动生电动势但无感应电流.
例: 在匀强磁场 B 中, 长 R 的铜棒绕其一端 O 在垂直
于 B 的平面内转动, 角速度为.
求: 棒上的电动势
B
解: 方法一 (动生电动势定义):
i
A(v
B)
dl
R
vBdl
O
O
O
R
lBdl
BR2
方向：A O
O
2
v
l
dl
A
d R
方法二(法拉第电磁感应定律):
在 dt 时间内导体棒切割磁感线： dΦ 1 R2d B
dΦ BdS 0I bdx
2π x
Φ dΦ la 0I bdx
l 2π x
I
v
a
l
b x
dx
0 Ib
2π
ln
l
l
a
（方向顺时针方向）
i
dΦ dt
0 Ib
2π
dl / l
dt a
dl
/ l
dt
0Iabv
2π l(l a)
2020/3/26
13.2 动生电动势
电磁场与麦克斯韦方程组
磁的电效应
v
法拉第的实验：
N
磁铁与线圈有相对运动, 线圈中产生电流
一线圈电流变化, 在附近其它线圈中产生电流
I'
S
结论
当穿过一个闭合导体回路的磁通量发 I (t) I'
生变化时, 回路中将出现感应电流.
Φ B dS Bcos dS
B、S、θ 变 Φ变 产生电磁感应
213.1.2 法拉第电磁感应定律 当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时，
回路中产生的感应电动势的大小与通过导体回路的 磁通量的变化率成正比.
i
d Φm dt
负号表示感应电流的效果总 是反抗引起感应电流的原因.
13.1.3 楞次定律
感应电流产生的磁场总是反抗回路中原来磁通量的变化.
楞次定律的本质： 系统能量守恒在电磁感应现象中的具体体现
动生电动势：由于导线和磁场作相对运动所产生的电动势.
感生电动势：由于磁场随时间变化所产生的电动势.
13.2.1 产生动生电动势的原因——洛伦兹力
i
dΦ dt
Blv
电子受洛伦兹力:
B
e v
l
f
f
e(v
B)
——非静电力
FK
非静电场场强:
EK
FK e
v
B
2020/3/26
动生电动势:
电磁场与麦克斯韦方程组