河北省衡水中学2020届高三卫冕联考理科数学试题 参考答案
河北省衡水中学2020年全国高三统一联合考试理科数学(含解析)
AF∥BE，AF∩AD＝A，BC∩BE＝B，所以平面 ADF∥平面 BCE．
因为 CE 平面 BCE，所以 CE∥平面 ADF．
（方法二）取 AF 的中点 M，连接 DM，EM，如图．
由题意知 AM＝BE 且 AM∥BE，所以四边形 ABEM 为平行四边形，即 ME＝AB
且 ME∥AB．
又因为四边形 ABCD 是菱形，所以四边形 DCEM 为平行四边形，即有 DM∥CE．
2
三、解答题
（一）必考题
17．已知等比数列{an}是递减数列，a1a4＝3，a2＋a3＝4． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn＝2n－2an＋1＋n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
18．如图，在多面体 ABCDFE 中，四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，四边 形 ABEF 是直角＝梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，AF＝AB＝2BE＝2． （1）证明：CE∥平面 ADF． （2）若平面 ABCD⊥平面 ABEF，H 为 DF 的中点， 求平面 ACH 与平面 ABEF 所成锐二面角的余弦值．
以
A
为坐标原点，以
uuur AN
，
uuur AB
，
uuur AF
的方向分别为
x
轴、y
轴、z
轴的正方向，
建立空间直角坐标系 A—xyz 如图所示．
故 A（0，0，0），C（ 3 ，1，0），D（ 3 ，－1，0），F（0，0，2），H ( 3 , − 1 ,1) ，
22
uuur AH = (
3
,
−
1
D． 21
7
11．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，A 为抛物线 C 上异于顶点 O 的一点，
2020届河北省衡水中学高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2020年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ()A.{}1,3- B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5【答案】C 【解析】 ∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =I∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ）A. 1i +B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=， 故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 4.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.82(log 5.1),(2),(3)a g b g c g =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. c b a <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】 根据奇函数()f x 在R 上是增函数可得()g x 为偶函数且在[)0,+∞上为增函数，从而可判断,,a b c 的大小.【详解】()gx 定义域为R .()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==⎡⎤⎣⎦，故()g x 为偶函数.因为()f x 为R 上的奇函数，故()00f =，当0x >时，因为()f x 为R 上的增函数，故()()00f x f >=.设任意的120x x ≤<，则()()120f x f x ≤<，故()()1122x f x x f x <，故()()12g x g x <，故()gx 为[)0,+∞上的增函数，所以()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，而0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，故()()()0.823log 5.12g g g >>，所以c a b >>.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑. 5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）A. {}|10x x -<≤B. {}|11x x -≤≤C.{}|11x x -<≤D.{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．6.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P-2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】A 【解析】 试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A xB x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x Q ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.7.（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径r ==由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π24V r h ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 8.（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C .4D. 8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.9.设,m n u r r 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅<u r r”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过非零向量,m n u r r 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<u r r，而λ=u r r m n 不成立，可判断出结论.【详解】解：,m n u r r 为非零向量，存在负数λ，使得λ=u r r m n ，则向量,m n u r r 共线且方向相反，可得0m n ⋅<u r r.反之不成立，非零向量,m n u r r 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<u r r，而λ=u r r m n 不成立.∴,m n u r r为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=u r r m n ”是0m n ⋅<u r r”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值. 【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值 z min ＝－12－3＝－15. 故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.11.已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y n n-=>的焦点重合，1e 、2e 分别为1C 、2C 的离心率，则（ ） A. m n >且121e e > B. m n >且111e e < C. m n <且121e e > D. m n <且121e e <【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合得出222m n -=，可得出m 、n 的大小，再由离心率公式可得出12e e 与1的大小关系，进而可得出结论.【详解】由于椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合，则2211m n -=+，则2220m n -=>，1m >Q ，0n >，m n ∴>.1e ==Q 2e ==，121e e ∴====>， 故选：A.【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考查了两曲线的离心率之积的问题，考查计算能力，属于中等题.12.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A.1-B.32e --C.35e - D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a e x ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'，因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e -=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7 【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个考点：三角函数图像14.如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．【答案】78【解析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.15.在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3- 【解析】曲线2b y ax x=+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,{2,a b =-=-所以3a b +=-． 【考点】导数与切线斜率．16.如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （在的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）①②③ 【解析】 （Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，， 令直线的方程为，此时，，所以，，，因为，，所以NAMA NBMB=．所以2221(21)22222NB MA NA MB -==-=-+， 222121222222NB MA NAMB+===-+ 正确结论的序号是①②③．考点：圆的标准方程，直线与圆的位置关系．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18. 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.【答案】（1）25；（2）0.016.【解析】试题分析：解题思路：（1）通过茎叶图得出数据即可求解；（2）观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可. 规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出. 试题解析：(1)分数在[50,60)的频率为0.00810＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016. .考点：1.茎叶图；2.频率直方图.19.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是»DF的中点.(1)设P是»CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.【答案】（1）30o；（2）60o【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP 得到BE⊥BP,从而求出∠CBP 的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解. 试题解析： (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB∩AP＝A ，所以BE⊥平面ABP. 又BP ⊂平面ABP ，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一：如图，取EC uuu r的中点H ，连接EH ，GH ，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC 为菱形， 所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝223213+=.取AG 的中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13123-=. 在△BEC 中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，所以△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°. 方法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz. 由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(133)，C(－130)， 故AE u u u r＝(2,0，－3)，AG u u u r ＝(13，0)，CG u u u r＝(2,0,3)．设m u r＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v可得11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m u r＝(3，2)．设n r＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得22220230x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(32)．所以cos 〈,m n u r r 〉＝||||m n m n ⋅u r rur r ＝12. 故所求的角为60°.点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>以抛物线28y x =的焦点为顶点，且离心率为12. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅u u u r u u u r 为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅u u u r u u u r的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，且定点T 的坐标为()1,0-. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得出a 的值，由椭圆E 的离心率可得c 的值，进而可得出b 的值，由此可求得椭圆E 的方程； （2）设点()11,Ax y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出点P 的坐标，由点P 在椭圆E 上得出22443m k =+，并求出点Q 的坐标，设点(),0T t ，计算出OP TQ ⋅u u u r u u u r ，由OP TQ ⋅u u u r u u u r为定值求出t ，由此可求得定点T 的坐标.【详解】（1）抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，由题意可知2a =，且12c e a ==，1c ∴=，则b == 因此，椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）设点()11,Ax y 、()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2224384120k x kmx m +++-=， 由韦达定理得122843kmx x k +=-+，则()121226243m y y k x x m k +=++=+， ()12122286,,4343km m OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u u r Q ，即点2286,4343kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由于点P 在椭圆E 上，则222281611434433km m k k ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22443m k =+， 联立4y kx m x =+⎧⎨=-⎩，得44x y m k=-⎧⎨=-⎩，则点()4,4Q m k --，设在x 轴上是否存在一点(),0T t ，使得OP TQ ⋅u u u r u u u r为定值，()4,4TQ t m k =---u u u r ，()()()22284642188634342km t m m k k t ktm km m OP TQ k m m ++-+++⋅===++u u u r u u u r 为定值， 则10t +=，得1t=-，因此，在x 轴上存在定点()1,0T -，使得OP TQ ⋅u u u r u u u r为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.【答案】（1）a=1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）通过分析可知f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，进而利用h ′（x ）＝a 1x -可得h （x ）min ＝h （1a），从而可得结论；（2）通过（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，记t （x ）＝f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，解不等式可知t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而可知f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，利用f （x ）必存在唯一极大值点x 0及x 012＜可知f （x 0）14＜，另一方面可知f （x 0）＞f （1e ）21e=． 【详解】（1）解：因为f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ＝x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0）， 则f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知h ′（x ）＝a 1x-． 则当a ≤0时h ′（x ）＜0，即y ＝h （x ）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x 0＞1时，h （x 0）＜h （1）＝0，矛盾，故a ＞0．因为当0＜x 1a ＜时h ′（x ）＜0、当x 1a＞时h ′（x ）＞0， 所以h （x ）min ＝h （1a），又因为h （1）＝a ﹣a ﹣ln 1＝0， 所以1a=1，解得a ＝1； 另解：因为f （1）＝0，所以f （x ）≥0等价于f （x ）在x ＞0时的最小值为f （1）， 所以等价于f （x ）在x ＝1处是极小值， 所以解得a ＝1；（2）证明：由（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，令f ′（x ）＝0，可得2x ﹣2﹣lnx ＝0，记t （x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，则t ′（x ）＝21x-， 令t ′（x ）＝0，解得：x 12=， 所以t （x ）在区间（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增， 所以t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而t （x ）＝0有解，即f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2， 且不妨设f ′（x ）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+∞）上为正， 所以f （x ）必存在唯一极大值点x 0，且2x 0﹣2﹣lnx 0＝0， 所以f （x 0）20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 020x -， 由x 012＜可知f （x 0）＜（x 020x -）max 2111224=-+=；由f ′（1e ）＜0可知x 0112e ＜＜， 所以f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1e）上单调递减， 所以f （x 0）＞f （1e ）21e=； 综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解. 试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=. 于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=.12AB ρρ=-==由AB =23cos 8α=，tan α=.所以l .23.已知函数()123f xx x =+--.（I ）在答题卡图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，， 【解析】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解 试题解析：（Ⅰ）如图所示：（Ⅱ）()413{3212342x x f x x x x x -≤-=--<<-≥，，，()1f x >当1x ≤-，41x ->，解得5x >或3x <1x ∴≤-当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x ∴-<<或312x <<当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x ∴≤<或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x ∴>，解集()()11353⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭，，， 考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法。
2020年3月1日衡水中学高三教学质量监测理科数学试题及答案
2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷命题人：李翠 审核人：王战普第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U R =，集合{}22A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为（ ） A ．[]12， B ．()12， C ．(12]， D ．[12)， 2. 复数3a i z a i +=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若2πa -=，a b a =，aa c a =，则,,abc 的大小关系为A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>4．函数()x e x f xcos )112(-+=图象的大致形状是 A ．B ．C ．D ．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．3206．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC u u u r u u u r⋅的值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．给出下列五个命题：△若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题；△命题“∀x ＞0，有e x ≥1”的否定为“∃x 0≤0，有e x 0＜1”； △“平面向量a ⃑ 与b 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“a ⃑ •b <0”； △在锐角三角形ABC 中，必有sinA +sinB >cosA +cosB ；△{a n }为等差数列，若a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N ∗)，则m +n =p +q 其中正确命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x '<<，则(1)(2)f f 的取值范围为（ ） A ．(,2)e eB ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e9．已知点(0,2)A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A ．2:5B ．1:2C ．1:5D ．1:310.定义12nnp p p +++L 为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．1011 B ．112C ．111D ．111211．对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．24251(,]e e e- B ．4253[,)e eC ．425(0,]e D ．24253[,)e e e- 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论： △直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； △直线1A H 与该正方体各面所成角相等；△过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； △垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．△△B ．△△C ．△△△D ．△△△第Ⅱ卷（共90分）二 、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O 1,O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1,O 2的距离都大于1的概率为___．14．在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2xcos 2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n +1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(I)数学全国版Ⅰ理科试题(含答案)(5月16日)
)
）
)
9.B【解析】 由平行四边形法则，OA= 2 OB +OJ=
► ----+ ----+ - ---► __, 2COC+OJ) +OJ= 2 OC+3 OJ，所以m = 2,n=3，所
{xlx>Z}，所以M二N ．故选A. 2.C【解析l之＝ （2+i) 2=3+4i，所以之的虚部为4．故
选C.
出国（境） 699 24.6% 137 5.5% 199 13.7% I 035 15.3%
就业
490 17.3% 2 224 89.2% 943 64.8% 3 657 53.9%
签三方就业154 5.4% 1 656 66.4% 864 59.4% 2 674 39.4%
灵活就业 336 I1.8% 568 22.8% 79 5.4% 983 14.5%
绝密＊启用前
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(I)
理科数学
本试卷 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后， 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 0.5 mm黑色笔 迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
无孤立点（即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连）． 现有 A,B,C,D 四个点．若图
中恰有3条边，则满足上述条件 的图的个数为
A. 4
B. 8
C. 12
2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三下学期全国第三次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A ．M N ⊇B ．M N ⊆C ．()1,M N ⋂=+∞D ．()2,M N ⋃=+∞【答案】A【解析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A. 【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i C ．4D ．4i【答案】C【解析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题.3．以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.本科生硕士生博士生总体毕业去向人数比例人数比例人数比例人数比例深造228280.4％2319.3％48933.6％300244.2％国内158355.8％94 3.8％29019.9％196729.0％出国（境）69924.6％137 5.5％19913.7％103515.3％就业49017.3％222489.2％94364.8％365753.9％签三方就业154 5.4％165666.4％86459.4％267439.4％灵活就业33611.8％56822.8％79 5.4％98314.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836100.0％2494100.0％1455100.0％6785100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A．清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B．清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半【答案】D【解析】选项A 在表中找出本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，则判断选项A 正确；选项B 在表中找出硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，则判断选项B 正确；选项C 在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C 正确；选项D 在表中分析出留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，判断选项D 错误即可. 【详解】选项A ：清华大学2019年毕业生中，本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，故选项A 正确；选项B ：清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，故选项B 正确；选项C ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，故选项C 正确；选项D ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，故选项D 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查统计表与分布图，是基础题.4．若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为（ ）A ．4B ．C ．9D ．【答案】C【解析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号，此时，min219a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5．要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ） A ．4x y +≤ B ．4x y +C ．6x y +D ．6x y +【答案】C【解析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可； 【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题. 6．若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 是递增数列，则10,0a q <<B ．若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><<C ．若0q >，则4652S S S +>D ．若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D【解析】选项A ，B ，C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A ，B ，C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确. 【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误；B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题. 7．为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向右平移56π个单位长度【解析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象， 向右56π个单位长度即可. 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos 5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫=⎪⎝⎭大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B【解析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tantan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案. 【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<，由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9．如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1【答案】B【解析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23得出点,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案. 【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,233OJ =所以())230,23,1，，A J C⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,23OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13,33n OA mOC nOJ mn m m ⎛⎫⎫=+=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以23302nm m ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩ 所以23m n = 故选：B . 【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10．区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（）A．4B．8C．12D．16【答案】D【解析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数. 【详解】如图，A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C-=(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（）A．①B．①②C．②③D．①③【答案】A【解析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论. 【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率222210c a b b e a a a -⎛⎫===-≈ ⎪⎝⎭，命题②错误；根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A. 【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ） A ．13B ．24C ．23D ．1【答案】A【解析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ， 取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△ 【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△， 可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△故选：A 【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题.二、填空题13．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答) 【答案】60【解析】先求出二项式展开式的通项6216(2)rr rr T C x -+=-，再令622r -=即得解.【详解】由题得()6162166(2)(2)rr rr r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r ，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60 【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14．记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【解析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=，所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=的一个焦点的距离为p 的值为_________.【答案】2【解析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值. 【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =，所以其一个焦点化为()1F ，所以12FF p ===2p =.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 16．已知函数()()21xf x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为______. 【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】把()0f x <转化为()12xx k x e ++<，设1()x x g x e +=，()()2h x k x =+，则若()0f x <的解集中恰有三个整数解等价于()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，利用数形结合找到满足题意的不等式，解不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】解：()0f x <等价于()210xkx k e x +--<，即()12xx k x e ++<， 设1()x x g x e+=，()()2h x k x =+，则上面不等式转化为()()h x g x <， 直线()()2h x k x =+横过定点()2,0-，要使()0f x <的解集中恰有三个整数，只需()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解.因为()()2(1)1x xx x e x e g x e e -+⋅-'==,所以(),0x ∈-∞时，0g x ，()g x 单调递增；()0,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减；所以1x =时，()()max 01g x g ==，且()10g -=，x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →， 根据根据上述画出()g x 的图像图下图所示：当0k ≤时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图中可以看出，[)1,x ∈-+∞时，()g x 的图像横在()h x 的图像上方，所以()()h x g x <所以的x 的取值范围中，整数解有无穷多个，不符合题意；当0k >时，画出()(),gx h x 的图像如图所示：从图像可得：要使()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，只需满足：()()()()22{33g h g h >≤，所以233445k e ke ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：324354k e e ≤<. 综上，324354k e e ≤<. 故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，考查数形结合，利用导数求函数单调性和最值，属于难题.三、解答题17．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=. （1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.【答案】（1）12BC =（2）sin ACE ∠=【解析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长 (2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭，求出AC AB ===【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C = 因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质， 可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-=则cos BAD ∠=所以1sin ,tan 52BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =. 由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得5sin 5ACE ∠= 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60︒.【解析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得BC CD ⊥；（2）先由题意，得到45BCE BCA ︒∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥.因为AB BE B=，所以CD⊥平面.ABE因为BC⊂平面ABE，所以BC CD⊥.（2）解：因为BE⊥平面ACD ，BCE∠即为BC与平面ACD所成的角，所以45BCE BCA︒∠=∠=，所以1BC AB==，以C为坐标原点，CD方向为x轴正方向，CB方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz-则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA===-=设平面ACD的一个法向量为()111,,n x y z=，平面ABD的一个法向量为()222,,m x y z=则CD nCA n⎧⋅=⎨⋅=⎩，BD mBA m⎧⋅=⎨⋅=⎩即111xy z=⎧⎨+=⎩，222x yz-=⎧⎨=⎩，令121,1y x==可得(0,1,1),(1,1,0)n m=-=所以1cos,2n mn mn m⋅<>==由图知，二面角B AD C--的平面角为锐角，所以二面角B AD C--的大小为60︒. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19．2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？ 【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞【解析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=， 设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8,0,1,2,3,4kkkP X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元， 则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元， 则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞. 【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】（1）易知c =，设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =，设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程为y kx m =-， 另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--，联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k+=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44== 因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)， 所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10. 【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<.【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析【解析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可. 【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <. 因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < 方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>则1()tH t e t'=-，则()00010t H t e t '=-= 则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220tH t H t t e t t ==-+=--+< 所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < （2）证明：令函数()()()h x f x g x =-， 则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 由题意得()()()ln 2xh x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln lnx x x =-= 所以()2222211,0x x e h x e x x '==-= 因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x '所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 所以原命题得证. 【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t=-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=. （1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=直线MN 被曲线D求直线MN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+【解析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案；（2）由122t t +=MN k =MN的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D. 【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --. 所以直线MN 的方程为21y x =+. 曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ， 所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-= 设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为2221d +=⎝⎭，所以22112m -⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.23．已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-. （1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解. 【详解】解：（1）由题意得35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -； 当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x< 综上，解集为1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣. （2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立. ②当[1,1)x时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x=+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数， 所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-. 因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x a x x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数， 所以min ()(3)2G x G ==， 所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2020年河北省衡水中学高考联考数学试题(附答案解析)
2020年河北省衡水中学高考联考数学试题一、单选题1．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（ ） A ．(1,1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2,2)2．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,m ，若iz 为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-3． 若函数f (x )＝sin(ωx －3π)(ω>0)在(－2π，0)上单调递增，则ω的最大值为( )A ．13B ．12C ．1D ．24．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交C 的渐近线于A ，B 两点.若2ABF ∆为直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A BCD 5．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（ ） A ．②③B ．①③C ．②D ．①②6．等差数列{a n }中，a m =1k ,a k =1m (m ≠k )，则该数列前mk 项之和为（ ）A ．mk 2−1 B ．mk 2C ．mk+12D ．mk 2+17．已知tan （α+β）=35，tanβ=13，则tanα=（ ） A ．29B ．13C ．79D ．768．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x ）＝sinx ②f（x ）＝cosx ③1()f x x= ④f（x ）＝x 2则输出的函数是（ ） A ．f （x ）＝sinxB ．f （x ）＝cosxC ．1()f x x= D ．f （x ）＝x 29．已知,,a b c R ∈，满足，则下列不等式成立的是 A ．B ．C ．D ．10．当x A ∈时，若1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合{}0,1,3M =的孤星集为M '，集合{}0,3,4N =的孤星集为N '，则M N '⋃'=( )A ．{}0134，，，B ．{}14，C ．{}13，D ．{}03，11．ABC 中，ACB 90∠=，AC 3=，BC 4=，CD AB ⊥，垂足为D ，则CD (= )A ．43CA CB 77+ B ．34CA CB 77+ C ．169CA CB 2525+ D ．916CA CB 2525+ 12．若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，()()f x f x '<，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为（ ）A ．()2,+∞B ．(0,)+∞C ．(),0-∞D ．(),2-∞二、填空题13．由球O 的球面上一点P 作球的两两垂直的三条弦PA ，PB ，PC ，且PA =PBPC =则球O 的半径R =________．14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，若6378S S =，则24a a ⋅=______. 15．在区间[]0,π上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为 ． 16．（2018届四川省南充高级中学高三1月检测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()()1122,,,M x y N x y 是抛物线C 上的两个动点，若1222x x MN ++=，则MFN ∠的最大值为__________．三、解答题17．某工厂有两台不同机器A 和B 生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到()90,100的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到()80,90的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到()60,80的产品，质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率.（1）完成下列22⨯列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B 机器生产的产品比A 机器生产的产品好；（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从两台不同机器A 和B 生产的产品中各随机抽取2件，求4件产品中A 机器生产的优等品的数量多于B 机器生产的优等品的数量的概率；（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A 机器每生产10万件的成本为20万元，B 机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？附：1.独立性检验计算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 2.临界值表：18．在极坐标系中，已知两点O (0，0)，B ，4π)．(1)求以OB 为直径的圆C 的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；（2）以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为,{12,x t y t ＝＝＋（t 为参数）．若直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，圆C 的圆心为C ，求三角形MNC 的面积． 19．已知函数f(x)=|2x −1|−|x +2|. （1）求不等式f(x)≥3的解集；（2）若关于x 的不等式f(x)≥t 2−3t 在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围.20．如图，在Rt ABC 中，AB BC ⊥，2AB BC ==，点P 为AB 的中点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA 沿PD 翻折至1PDA ，使得平面1PDA ⊥平面PBCD .（1）若Q 为线段1A B 的中点，求证：PQ ⊥平面1A BC ； （2）若E 是线段1A C 的中点，求四棱锥E PBCD -的体积.21．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10y x M a b a b +=>>的两个焦点，椭圆M ，()00,P x y 是M 上异于上下顶点的任意一点，且12PF F ∆面积的最大值为（1）求椭圆M 的方程；（2）若过点()0,1C 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2AC CB =，求直线l 的方程. 22．已知函数()()ln =-+xf x xe a x x .（1）若0a =，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）讨论()f x 极值点的个数；（3）若0x 是()f x 的一个极小值点，且()00f x >，证明：()()30002f x x x >-.23．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且asinAsin(A +B)+ccos2A=√2b（1）求cb 的值；（2）若ΔABC的面积为b22，求a的值（用b表示）【答案与解析】1．B令真数为1，则可得到定点坐标.真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f （x ）=1，所以函数()f x 的图象过定点()2,1. 本题主要考查了对数函数恒过定点问题，属于基础题. 2．B由题意易得1z mi =+，计算出iz ，结合纯虚数的概念即可得出结果. 因为复数z 在复平面上对应的点为()1,m ，1z mi =+， 因为()1iz i mi m i =+=-+为实数，得0m =. 故选：B.本题主要考查了复数的几何意义，已知复数的类型求参数的值，属于基础题. 3．A,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则,3233x ππππωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭， 因为单调递增，则232πππω--≥-，所以13ω≤，则ω的最大值为13， 故选A 。
2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
.2020 届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分满分150 分.考试时间120 分钟.第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合 S={1，2}，T={x|x 2＜4x ﹣3}，则 S∩T=（）A ．{1}B ．{2}C ．1D ．22．已知复数 z 1，z 2 满足|z 1|=|z 2|=1，|z 1﹣z 2|= ，则|z 1+z 2|等于（ ）A ．2B ．C ．1D ．33．设正数 x ，y 满足 x+y=1，若不等式对任意的 x ，y 成立，则正实数 a 的取值范围是（）A ．a≥4B ．a ＞1C ．a≥1D ．a ＞44．如图，在正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 为 CC 1 的中点，那么异面直线 OE 与 AD 1 所成角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A ．i ＞10B ．i ＜10C ．i ＞20D ．i ＜206．如图，在 R t△ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边 AB 的中点，将△BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 CB⊥AD，则 x 的取值范围是（ ）A ．（0，C ．（] B ．（，2 ] D ．（2，4]，2]7．数列{a n }中，对任意 n∈N *，a 1+a 2+…+a n =2n ﹣1，则 a 12+a 22+…+a n 2 等于（）A ．（2n ﹣1）2B ．C ．4n ﹣1D ．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．C ．D ．9．设函数 f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ 是常数，A ＞0，ω＞0），且函数 f （x ）的部分图象如图所示，则有（）A ．f （﹣C ．f （）＜f （）＜f （ ）＜f （）＜f （﹣ ）） B ．f （﹣D ．f （ ）＜f （）＜f （﹣ ）＜f （）＜f （ ））10．若圆 C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称，则由点（a ，b ）向圆 C 所作切线长的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．611．若函数 f （x ）=x 3﹣3x 在（a ，6﹣a 2）上有最大值，则实数 a 的取值范围是（）A ．（﹣，﹣1） B ．（﹣ ，﹣1] C ．（﹣ ，﹣2）D ．（﹣ ，﹣2]12．已知 f′（x ）为函数 f （x ）的导函数，且 f （x ）=x 2﹣f （0）x+f′（1）e x ﹣1，若g （x ）=f （x ）﹣ x 2+x ，则方程 g （﹣x ）﹣x=0 有且仅有一个根时，a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）∪{1}B ．（﹣∞，1]C ．（0，1]D ．[1，+∞）第Ⅱ卷 非选择题 （共 90 分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{an}的n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an=．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则取值范围是．的Xf（x）﹣21﹣14116.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．，记角A，B，C18. （本小题满分 12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n =n （n+1）（n∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N *），求数列{c n }的前 n 项和 T n ．19. （本小题满分 12 分） 已知圆 C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0．（1）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆 C 外一点 P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为 M ，O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标．20. （本小题满分 12 分）如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD ，AF∥DE，DE=3AF ，BE 与平面 ABCD 所成角为 60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BDE ；（Ⅱ）求二面角 F ﹣BE ﹣D 的余弦值；（Ⅲ）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM∥平面 BEF ，并证明你的结论．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1（1）求直线AB的极坐标方程；：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点（2）若过点C（2，0）的直线C2E，求|CD|：|CE|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5B C C DA6-10A D B D C11-12D A．二．填空题13．﹣814.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：又0＜A+B＜π，∴，∴（2）由三角形是锐角三角形可得，，即，，...............4分即由正弦定理得∴，，，=====∵，∴=，，∴，即..............12分18.．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{cn}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径即，解得：a=﹣1或a=3，，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．---------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．….......................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知则A（3，0，0），，．，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当当故[f（x）]min =时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．=．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．.....................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又 ，当 x∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而 g'（x ）≥0（仅当 x=1 时取等号），所以 g （x ）在[1，e]上为增函数，故 g （x ）的最小值为 g （1）=﹣1，所以 a 的取值范围是[﹣1，+∞）．......12 分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线 C 1：ρ=﹣ sinθ，∴ρ2=﹣4 ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4 y ，∴曲线 C 1：x 2+y 2+ y=0，∴直线 AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0，∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣ ，∴直线 AB 极坐标方程为：θ = - 1( ρ ∈ R ) ．............ 5 分6（2）根据（1）知，直线 AB 的直角坐标方程为 y=﹣x ，根据题意可以令 D （x 1，y 1），则，又点 D 在直线 AB 上，所以 t 1=﹣（2+ t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|= ，同理，令交点 E （x 2，y 2），则有，又点 E 在直线 x=0 上，令 2+t 2=0，∴t 2=﹣ ，∴|CE|=|t 2|= ，∴|CD|：|CE|=1：2．........................... 10 分23.解：（1）∵f（x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式 f （x ）＞2，即 m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式 f （x ）＞2 的解集为（2，4），∴5﹣m=2 且 m+1=4，解得：m=3；....... 5 分（2）关于 x 的不等式|x ﹣a|≥f（x ）恒成立⇔关于 x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3 恒成立⇔|a ﹣3|≥3 恒成立，由 a ﹣3≥3 或 a ﹣3≤﹣3，解得：a≥6 或 a≤0．............. 10 分。