分数拆分
分数拆项公式
分数拆项公式
摘要：
1.分数拆项公式的概念和背景
2.分数拆项公式的公式表示
3.分数拆项公式的应用实例
4.分数拆项公式的优点和局限性
正文：
1.分数拆项公式的概念和背景
分数拆项公式，是一种数学工具，用于将一个分数拆分成两个或更多的分数之和。
这个公式在代数学、微积分等数学领域有广泛的应用。
2.分数拆项公式的公式表示
分数拆项公式的一般形式为：a/b = (a±b)/2 ± (ab)/2，其中a、b 为实数，±、表示加减号。
通过这个公式，我们可以将一个分数拆分成两个或更多的分数之和。
3.分数拆项公式的应用实例
例如，我们将分数3/2 拆分成两个分数之和，可以得到3/2 = (3+2)/2 + (3-2)/2，也就是3/2 = 5/2 - 1/2。
这样，我们就将一个分数3/2拆分成两个分数1/2和1的和。
4.分数拆项公式的优点和局限性
分数拆项公式的优点在于，它可以将一个复杂的分数拆分成简单的分数之和，使得问题变得更加容易处理。
【小学五年级奥数讲义】分数的拆分
【小学五年级奥数讲义】分数的拆分1.概念单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。
分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆2．解题方法与技巧。
（1）把单位分数拆分成单位分数相加的和方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和再拆分：拆分成约数作分子的分数。
后约分：约分成最简分数方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。
把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。
（3）把假分数分拆成单位分数相加的和方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。
例题一在错误!未找到引用源。
的括号里填入适当的自然数，使等式成立。
分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。
分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。
分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。
解析一：8的约数有1、2、4、8。
①错误!未找到引用源。
②错误!未找到引用源。
③错误!未找到引用源。
④错误!未找到引用源。
⑤错误!未找到引用源。
⑥错误!未找到引用源。
以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。
如果两个约数相同时，可以得到错误!未找到引用源。
，共有四组解。
解法二：错误!未找到引用源。
(像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？)练习一将下列各分数写成两个单位分数：1.错误!未找到引用源。
2. 错误!未找到引用源。
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例题二:将错误!未找到引用源。
【数学知识点】分数拆分的六个公式
【数学知识点】分数拆分的六个公式一般地，有如下方法将一个分数1/a拆成两个分数单位之和：（1）任选a的两个因数x和y；（2）将1/a的分子，分母同乘（x+y），得到x/a*(x+y)和y/a*(x+y)；（3）再将两个分数进行约分，得到两个分数单位之和。
分数原是指整体的一部分，或更一般地，任何数量相等的部分。
表现形式为一个整数a和一个整数b的比（a为b倍数的假分数是否属于分数存在争议）。
分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
分子在上，分母在下。
当分母为100的特殊情况时，可以写成百分数的形式，如1%。
最早的分数是整数倒数：代表二分之一的古代符号，三分之一，四分之一，等等。
埃及人使用埃及分数c。
1000bc。
大约4000年前，埃及人用分数略有不同的方法分开。
他们使用最小公倍数与单位分数。
他们的方法给出了与现代方法相同的答案。
埃及人对于Akhmim木片和二代数学纸莎草的问题也有不同的表示法。
希腊人使用单位分数和（后）持续分数。
希腊哲学家毕达哥拉斯（c。
530bc）的追随者发现，两个平方根不能表示为整数的一部分。
（通常这可能是错误的归因于Metapontum 的Hippasus，据说他已被处决以揭示这一事实）。
在印度的150名印度人中，耆那教数学家写了“Sthananga Sutra”，其中包含数字理论，算术学操作和操作。
现代的称为bhinnarasi的分数似乎起源于印度在Aryabhatta（c。
ad 500），Brahmagupta（c。
628）和Bhaskara（c。
1150）的工作。
他们的作品通过将分子（Sanskrit：amsa）放在分母（cheda）上，但没有它们之间的条纹，形成分数。
在梵文文献中，分数总是表示为一个整数的加和减。
整数被写在一行上，其分数在两行的下一行写成。
如果分数用小圆⟨0was或交叉⟨+was标记，则从整数中减去;如果没有这样的标志出现，就被理解为被添加。
分数的拆分
第十三讲 分数的拆分〈精讲〉一、知识要点：1、把一个分数写成两个或两个以上分数单位的和，通常称之为分数拆分。
2、一般地，设A 为大于1的自然数，在A 1＝）（ 1＋）（ 1的括号里填入不同的自然数，使等式成立的解法是：⑴任选A 的两个不同的约数a 和b ；⑵将A 1的分子、分母同时乘以(a ＋b )，得：A1＝)(b a A b a +⨯+）（； ⑶将上面式子拆成两个分数之和A 1＝)(b a A a +⨯＋)(b a A b +⨯； ⑷再将这两个分数化简，便可以得到结果。
3、形如下面的分数可以直接拆分：)1(1+⨯n n ＝n 1－11+n ；)(d n n d +⨯＝n 1－dn +1。
4、看起来很复杂的分数计算题，如果用一般的常规方法做，就很复杂。
结合题目的特点，掌握一些分数拆分的方法，可以使计算巧妙、简便。
二、典型例题解析：例1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立：151＝）（ 1＋）（ 1例2、已知181＝A 1＋B 1＋C 1，A ，B ，C 是不同的自然数，求A ，B ，C 的值。
例3、计算21＋61＋121＋201＋301＋421＋561。
例4、计算：411⨯＋741⨯＋1071⨯＋13101⨯＋16131⨯。
分数的拆分〈精练〉1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立。
⑴201＝）（ 1＋）（ 1；⑵51＝）（ 1＋）（ 1。
2、在下面的括号里填入三个不同的自然数，使等式成立。
241＝）（ 1＋）（ 1＋）（ 1。
3、计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋50491⨯。
4、计算：61＋121＋201＋…＋721＋901＋1101。
5、计算：13112⨯＋15132⨯＋17152⨯＋19172⨯＋1916、计算：614⨯＋1164⨯＋16114⨯＋…＋76714⨯＋81764⨯姓名 学校 学号________________ 成绩 分数的拆分〈作业〉1、已知71＝A 1＋B1，A ，B 是不同的自然数，求A ，B 的值。
分数拆分的几个基本公式
分数拆分的几个基本公式分数拆分是数学中一个很重要的概念，它指的是将一个分数拆成多个小分数的和的形式。
分数拆分在数学中有很多重要的应用，而分数拆分的公式也是非常重要的。
首先，我们来看一下分数拆分的基础公式：1. 分数拆分为两个基本分式的形式：若分式 f(x) 的分母可以拆分为两个一次式 ax + b 和 cx + d 的乘积，则 f(x) 可以拆分为两个基本分式，即f(x) = A/(ax+b) + B/(cx+d)其中 A 和 B 是待定系数，可通过高斯消元法求出。
2. 分数拆分为多个基本分式的形式：若分式 f(x) 的分母可以拆分为多个一次式的乘积，即f(x) = P(x)/[a1(x-b1)(x-c1)...(x-n1)+a2(x-b2)(x-c2) (x)n2)...+...+ak(x-bk)(x- ck)...(x-nk)]则 f(x) 可以拆分为多个基本分式的和，即f(x) = A1/(x-b1) + A2/(x-c1) + ... + An1/(x-n1) + B1/(x-b2) + B2/(x-c2) + ... + Bn2/(x-n2) + ... + K1/(x-bk) + K2/(x-ck) + ... + Knk/(x-nk)其中 A1、A2、...、An1、B1、B2、...、Bn2、...、K1、K2、...、Knk 是待定系数。
3. 分数拆分为一些特殊的基本分式的形式：一些特殊的基本分式包括线性分式 x/(ax+b)、二次分式x/(ax²+bx+c)、指数分式 x/(a^x-b^x) 等。
我们可以利用各种分式的分子和通分的方法，将一个分式拆分为这些特殊的基本分式的和。
4. 常见公式：分解因式：例如，x^2+2x+1=(x+1)^2，可以利用分解因式的方法将分母进行分解。
配方法：例如，1/(1-x)=1+[x/(1-x)]，可以将原式化为一个基本分式和一个线性分式的和的形式。
分数拆分口诀
分数拆分口诀口诀一：分数拆分基础法同学们呀听我言，分数拆分很简单。
分母相乘作新母，交叉相乘分子添。
比如说呀三分之一，想拆成几分之一加几分之一。
先把分母写成两数积，1×3咱就不变。
分子呢，设为a和b，那就有a×3 + b×1等于1。
可以试出a是1，b是 - 2，就变成了二分之一减去六分之一啦。
就像搭积木，一块大积木（原分数）可以拆成两块小积木（拆分后的分数），按照这个方法来，分数拆分不再难。
口诀二：同母分数拆分诀同母分数要拆分，分子拆分是窍门。
好比一群小娃娃，住在一个大房子（分母相同）里。
要把他们分成小组就从分子来划分。
比如七分之五，就想成五个娃娃。
可以分成二和三，那就是七分之二加七分之三喽。
记住分子之和等于原来的数，分母一直不变化。
就像把一篮苹果分给不同的人，苹果总数不变，只是分配的份数变了而已。
口诀三：异母分数拆分步异母分数要拆分，先通分来后细分。
好像不同班级的小要一起做游戏就得先站到同一个操场上（通分）。
通分之后再看分子，按照前面说的方法进行拆分。
例如二分之一加三分之一，先通分变成六分之三加六分之二等于六分之五。
那要是把六分之五拆回去呢，就看分子5能怎么分成两个数，3和2就正好，再变回原来的分数形式就好了。
这就像把混合在一起的小豆子（通分后的分数），再按种类分开一样。
口诀四：单位分数拆分招单位分数拆分找因数是个妙法。
分母的因数要找全，一对一对来挑选。
比如说分母是12，12的因数有1、12，2、6，3、4。
选一对因数啊，像2和6，然后分子分母这样算。
分子就是2加6等于8，原分数十二分之一就拆成了八乘以十二分之二加上八乘以十二分之六，化简一下就是四十八分之一加上十六分之一啦。
就如同把一颗星星的光芒分散到不同的角落一样。
口诀五：分数拆分约简法分数拆分和约简，两者关系紧相连。
拆分完了要看看，能不能再化简。
就像整理房间，收拾完了还要检查有没有多余的东西。
如果拆出来的分数分子分母还有公因数，那就约掉它。
(完整版)分数的拆分
什么叫分数的拆分？把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分.例如：271541181+=; 301451181+=； 221991181+=; 312161-=； 4131121-=；等等。
下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。
当一个分数为)1(1n ＋n ⨯的形式时，可以拆分为111n ＋－n 的形式(n 为自然数，且n 不为0) 即：111)1(1n ＋－n ＝n ＋n ⨯ 例如:5141541201-=⨯=；7161761421-=⨯=分数拆分的具体应用 例·计算：4213012011216121+++++ 7671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++ 当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差.例如：9171972632-=⨯=；8131835245-=⨯=；7141743283-=⨯=用公式表示就是:当n 、n+d (n 不为0)都是自然数时，dn n d n n d +-=+⨯11)( 具体应用： 计算：20182181621614214122⨯+⨯+⨯+⨯12120120118118116116114114112120182181621614214122=+-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯dn n d n n d +-=+⨯11)( 这个公式同学们已经熟悉了.对这个公式可以进行变形：例如：)8131(5124551241-⨯=⨯= 因为8—3=5 所以提取一个51，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6141(2124221241-⨯=⨯=，这得看计算时的需要了。
练习：计算21171171311391951511⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 215212041)2111(41)211171171131131919151511(41)21174171341394954514(4121171171311391951511=⨯=-⨯=-+-+-+-+-⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1/1＊5+1/5*9+1/9＊13+1/13*17+1/17＊21=1/4*（1-1/5）+1/4＊（1/5—1/9）+1/4*（1/9—1/13）+1/4*（1/13—1/17）+1/4* （1/17-1/21） =1/4＊（1—1/5+1/5—1/9+1/9—1/13+1/13—1/17+1/17—1/21）=1/4*20/21=5/211/18=1/？+1/?先求出分母18的所有约数：1、2、3、6、9、18要使两个分数单位的和等于1/18，我们可以分别取两个18的约数，用1/18的分子、分母乘这两个约数的和，再通过分拆的办法得到满足两个分数单位的和等于1/18这个条件的一组数.取1和21/18=（1+2)/18*（1+2）=1/18＊3+2/18＊3=1/54+1/27取1和31/18=（1+3）/18*（1+3)=1/18＊4+3/18*4=1/72+1/24取1和61/18=（1+6）/18*（1+6)=1/18＊7+6/18＊7=1/126+1/21等等注意:取1和2与取3和6；1和3，2和6,3和9与6和18结果一样,知道为什么吗？1/24=1/(）+1/（）=1/（）+1/（）=1/()+1/()24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24取1和21/24=（1+2)/24*（1+2）=1/24*3+2/24*3=1/72+1/36取1和31/24=（1+3)/24*4=1/96+1/32取1和41/24=（1+4）/24＊5=1/120+1/30分子是1的分数拆成两个分数单位之和的形式已经掌握了，如果分子不是1呢？现在就讨论一下这个问题。
分数的拆分
分数的拆分之阳早格格创做1.观念单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数喊单位分数.分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的战，喊干分数的分拆2．解题要领与本领.（1）把单位分数拆分成单位分数相加的战要领一：先扩分：共剩以分母的约数的战再拆分：拆分成约数做分子的分数.后约分：约分成最简分数要领二：分子、分母共剩以大于分母，小于分母二倍的自然树（2）把实分数分拆成单位分数相加的战.把一个实分数拆成二个单位分数相加的战，先给要分拆的分数分子战分母共剩以分母除以分子的整数商加1的战，再给分子加上分母，要使分数大小没有变，共时应减去那个数，而后再分拆并约分.（3）把假分数分拆成单位分数相加的战要领：先把那个假分数分拆成实分数，再按实分数的分拆要领去分.例题一正在的括号里挖进适合的自然数，使等式创造.领会一：从式子的左边往左边瞅，是分数的分拆；才有便往左边瞅，则是分数的加法，可睹分数的领会与分数的加法历程刚刚佳好异.分数加法主要步调是通分、合并、约分，果此分数的分拆可按先扩分，再拆分，末尾约分的步调去干.领会二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的战的要领二：分子、分母共剩以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别供解.剖析一：8的约数有1、2、4、8.①②③④⑤⑥以上六种领会要领，其中①、④、⑥相共，②战⑤相共.如果二个约数相共时，不妨得到，公有四组解.解法二：(像解法二那样的拆分要领没有止一种．共教们，您们承诺钻研吗？)训练一将下列各分数写成二个单位分数：1. 2.3. 4.5. 6.例题二:将分拆成三个单位分数之战(任供一解).思路导航领会一：不妨先把拆成二个单位分数之战，再拆成三个单位分数之战.领会二：任与分母10的三个约数之战举止扩分.解法一：10的约数有1、2、5、10，任与二个约数之战举止扩分，便能得到一种拆分又所以要领二：任与10的三个约数1、2、5.训练二：将下列各分数分拆成三个单位分数之战.1. 2.3. 4.5. 6.例题三正在底下的括号内里挖上适合的数字.思路导航根据题意，已知该题是要把分拆成四个单位分数之战.不妨先把分拆成二个单位分数之战，再把那二个单位分数分拆成四个单位分数之战；大概者不妨与8的四个契约数1、2、4、8之战扩领会问.解:又共时所以训练三正在下列等式中的括号挖上适合的各没有相共的自然数，使等式创造. 1.2.3.4.例题四：若A，B是自然数，供切合条件的A战B的值（供出二组即可）思路导航：分母10的约数1、2、5、10.解：训练四1.将下列各分数写成二个单位分数之好.(1) (2)(3) (4)2. 已知a、b皆是自然数，且，供a战b的战.3．已知A、B、C是三个自然数，且，供A、B、C 三个数的战.例题五估计：思路导航由,知解：本式===训练五1、估计：2、估计：3、估计：。
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六年级奥数解析（六）分数的分拆《奥赛天天练》第6讲《分数的分拆》。
分数的分拆就是把一个分数拆成几个分数的和或差的形式，一般都是分拆成几个分数单位和或差。
把一个单位分数分拆成几个单位分数的和或差，有一定的规律和方法，相关常识请查阅： 【原创】五年级奥数解析（六十四）单位分数最常用的分拆规律有(可以通过计算加以验证)： (1)1n n 1⨯（＋）＝1n －1n 1＋ (2)n n ⨯a （＋a ）＝1n －1n ＋a 通过对算式中的部分分数进行分拆，使分拆后的某些项互相抵消，可以使一些复杂的分数计算变得简便。
《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习1【题目】： 计算：16＋112＋120＋…＋172＋190＋1110。
【解析】：仔细观察算式中分母，可以发现每个分数分母都可以分拆成相邻两个自然数的积。
根据前面的规律（1）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：1 6＋112＋120＋…＋172＋190＋1110＝123⨯＋134⨯＋145⨯＋…＋189⨯＋1910⨯＋11011⨯＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋18－19＋19－110＋110－111＝12－111＝9 22《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习2 【题目】：计算：21113⨯＋21315⨯＋21517⨯＋21719⨯＋119。
【解析】：仔细观察，可以发现算式中前4个分数，分母中两个因数的差正好等于分子2，都可以分拆成两个单位分数之差，根据前面的规律（2）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：2 1113⨯＋21315⨯＋21517⨯＋21719⨯＋119＝111―113＋113―115＋115―117＋117―119＋119＝1 11《奥赛天天练》第6讲，巩固训练，习题1【题目】：计算：（1）112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋156⨯；（2）112＋216＋3112＋…＋201420。
【解析】：第（1）题，与本讲【模仿训练，练习1】同理，先对分数分拆，再计算：（1）112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋156⨯＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－1 6＝5 6第（2）题，先把算式中带分数拆合成整数部分与整数部分、分数部分与分数部分分别相加，再对分数部分通过分拆、抵消进行简算：（2）112＋216＋3112＋…＋201420＝（1＋2＋3＋…＋20）＋（12＋16＋112＋…＋1420）＝（1＋20）×20÷2＋（112⨯＋123⨯＋134⨯＋…＋12021⨯）＝210＋（1－12＋12－13＋13－14＋…＋120－121）＝210＋（1－121）＝21020 21《奥赛天天练》第6讲，巩固训练，习题2【题目】：计算：（1）212⨯＋223⨯＋234⨯＋245⨯＋…＋29899⨯＋299100⨯；（2）1112⨯＋2123⨯＋3134⨯＋4145⨯＋…＋9819899⨯。
【解析】：与本讲【巩固训练，习题1】（上一题）中的两小题相比，这一大题的两小题算式更长，更复杂，且不够直观，难度更大了。
但这一题解题的方法原理与本讲【巩固训练，习题1】完全相同。
（1）212⨯＋223⨯＋234⨯＋245⨯＋…＋29899⨯＋299100⨯＝2×（112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋…＋19899⨯＋199100⨯）＝2×（1－12＋12－13＋13－14＋…＋198－199＋199－1100）＝2×（1－1 100）＝149 50（2）1112⨯＋2123⨯＋3134⨯＋4145⨯＋…＋9819899⨯＝（1＋2＋3＋4＋…＋98）＋（112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋…＋19899⨯）＝（1＋98）×98÷2＋（1－12＋12－13＋13－14＋…＋198－199）＝4851＋（1－199） ＝48519899 《奥赛天天练》第6讲，拓展提高，习题1【题目】：计算：（1）416⨯＋4611⨯＋41116⨯＋…＋47176⨯＋47681⨯； （2）小于8且分母为24的最简分数（分子与分母互质）共有多少个？【解析】：第（1）题，仔细观察可以发现算式中每个分数的分母都是相差为5的两个自然数的乘积，分子都是4。
如果这个算式统乘以5/4，就可以使算式中每个分数都满足：分母中两个因数的差正好等于分子5，即都变成n n ⨯a （＋a ）的形式。
再利用前面的规律（2）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。
为使算式的结果不变，这个算式统乘以5/4变形后，还要再统乘以4/5还原。
（1）416⨯＋4611⨯＋41116⨯＋…＋47176⨯＋47681⨯ ＝45×54×（416⨯＋4611⨯＋41116⨯＋…＋47176⨯＋47681⨯） ＝45×（54×416⨯＋54×4611⨯＋54×41116⨯＋…＋54×47176⨯＋54×47681⨯）＝45×（516⨯＋5611⨯＋51116⨯＋…＋57176⨯＋57681⨯）＝45×（1―16＋16―111＋111―116＋…＋171―176＋176―181）＝45×（1―181）＝64 81第（2）题，小于24且与24互质的数共有8个：1、3、5、7、11、13、17、19、23，先求出分母为24的8个最简真分数：1 24、524、724、1124、1324、1724、1924、2324与24互质的数加上24的倍数仍然与24互质，所以上面的8个最简真分数，每个分数依次加上1、2、3、4、5、6、7之后，所得的假分数（或带分数）仍然是最简分数，且这些分数都小于8。
如：1124、1524……所以小于8且分母为24的最简分数共有：8＋8×7＝64（个）。
《奥赛天天练》第6讲，拓展提高，习题2【题目】：计算：1＋112＋＋1123＋＋＋1123＋＋＋4＋…＋1123100⋯＋＋＋＋。
【解析】：根据求和公式可得：1 12＋＝11222⨯÷（＋）＝223⨯；1 123＋＋＝1132⨯÷（＋3）＝234⨯；1 123＋＋＋4＝1142⨯÷（＋4）＝245⨯；……1 123100⋯＋＋＋＋＝111002⨯÷（＋100）＝2100101⨯。
所以：1＋112＋＋1123＋＋＋1123＋＋＋4＋…＋1123100⋯＋＋＋＋＝1＋223⨯＋234⨯＋245⨯＋…＋2100101⨯＝2×（112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋…＋1100101⨯）＝2×（1－1 101）＝199 101。