7.2.1 三角形的内角

7．2 与三角形有关的角7．2．1 三角形的内角基础过关作业1．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定3．△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=______度．4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（）（1）最小内角是20°；（2）最大内角是100°；（3）最大内角是89°；（4）三个内角都是60°；（5）有两个内角都是80°．A．（1）、（2）、（3）、（4） B．（1）、（3）、（4）、（5）C．（2）、（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（4）、（5）5．如图1，∠1+∠2+∠3+∠4=______度．(1) (2) (3)6．三角形中最大的内角不能小于_______度，最小的内角不能大于______度．7．△ABC中，∠A是最小的角，∠B是最大的角，且∠B=4∠A，求∠B的取值范围．8．如图2，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于D，求∠ABD的度数．综合创新作业9．（综合题）如图3，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_________．10．（应用题）如图7-2-1-4是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检验模板是否合格？11．（创新题）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，•∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数．12．（2005年，福建厦门）如图，已知，在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ． （1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；（2）若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．13．（易错题）在△ABC 中，已知∠A=13∠B=15∠C ，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．培优作业14．（探究题）（1）如图，在△ABC 中，∠A=42°，∠ABC 和∠ACB•的平分线相交于点D ，求∠BDC 的度数．（2）在（1）中去掉∠A=42°这个条件，请探究∠BDC 和∠A 之间的数量关系．15．（开放题）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，作BC边上的高AD，•图中出现多少个直角三角形？又作△ABD中AB边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去，作出D1D2，D2D3，…，当作出D n-1D n时，图中共出现多少个直角三角形？数学世界推门与加水爱迪生成名以后，去拜访他的人很多，但客人们都感到爱迪生家的大门很重，推门很吃力．后来，一位朋友对他说：“你有没有办法让你家的大门开关起来省力一些？”爱迪生边笑边回答：“我家的大门做得非常合理，我让那个门与一个打水装置相连接，来访的客人，每次推开门都可以往水槽加20升水．”不仅如此，爱迪生还在想，如果每次推门能向水槽加入25升水的话，那么比原来少推12次门，水槽就可以装满了．你能算出爱迪生家水槽的容积吗？答案:1．70°2．B 点拨：设这个三角形的三个内角分别为x°、2x°、3x°，则x+2x+3x=180，解得x=30．∴3x=90．∴这个三角形是直角三角形，故选B．3．90 点拨：由三角形内角和定理知∠A+∠B+∠C=180°，又∠B+∠C=∠A，•∴∠A+∠A=180°，∴∠A=90°．4．C5．280 点拨：由三角形内角和定理知，∠1+∠2=180°-40°=140°，•∠3+•∠4=180°-40°=140°．∴∠1+∠2+∠3+∠4=140°×2=280°．6．60；607．解：设∠B=x，则∠A=14x．由三角形内角和定理，知∠C=180°-54x．而∠A≤∠C≤∠B．所以14x≤180°-54x≤x．•即80°≤x≤120°．8．解：设∠ABC=∠C=x°，则∠BAC=4x°．由三角形内角和定理得4x+x+x=180．解得x=30．∴∠BAC=4×30°=120°．∠BAD=180°-∠BAC=180°-120°=60°．∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°．点拨：∠ABD是Rt△BDA的一个锐角，若能求出另一个锐角∠DAB．就可运用直角三角形两锐角互余求得．9．132°点拨：因为∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-66°-54°=60°，且AD•是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠DAC=30°．在△ABD中，∠ADB=180°-66°-30°=84°．在△ADC中，∠ADC=180°-54°-30°=96°．又DE平分∠ADC，所以∠ADE=48°．故∠BDE=∠ADB+∠ADE=84°+48°=132°．10．解：设计方案1：测量∠ABC，∠C，∠CDA，若180°-（∠ABC+∠C）=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．设计方案2：测量∠ABC，∠C，∠DAB，若180°-（∠ABC+∠C）=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．设计方案3：测量∠DAB，∠ABC，∠CDA，若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．设计方案4：测量∠DAB，∠C，∠CDA，若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．点拨：这是一道几何应用题，借助于三角形知识分析解决问题，•对形成用数学的意识解决实际问题是大有益处的．11．解法1：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，∴∠BAC=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12×60°=30°．∵AD是BC上的高，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-75°=15°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-15°=15°．•在△AEC中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-45°-30°=105°．解法2：同解法1，得出∠BAC=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC=12×60°=30°．∵AD是BC上的高，∴∠C+∠CAD=90°，∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠DAE=∠CAD-•∠CAE=45°-30°=15°．∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，∴∠AEC+30°+45°=180°，•∴∠AEC=105°．答：∠DAE=15°，∠AEC=105°．点拨：本节知识多与角平分线的定义，余角的性质，平行线的性质，三角形高的定义综合应用，有时也结合方程组、不等式等代数知识综合应用．求角的度数的关键是把已知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，或转化为与已知角有互余关系或互补关系求解，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解．12．（1）证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°．∴∠BAC=∠ABD，∴BD=AD．（2）解法1：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°．∴12（∠BAC+∠ABC）=45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC；即∠BAP+∠ABP=45°，∴∠APB=180°-45°=135°．解法2：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°．∴12（∠BAC+∠ABC）=45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC，∴∠DBC+∠PAD=45°．∴∠APB=∠PDA+∠PAD=∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°．13．解：由∠A=13∠B=15∠C知，∠B=3∠A，∠C=5∠A．设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°．由三角形内角和定理得x+3x+5x=180．解得x=20．∴3x=60，5x=100．∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°．点拨：解此类题，一般设较小的角为未知数．14．解：（1）∵∠A=42°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°．∵BD、CD平分∠ABC、∠ACB的平分线．∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB．∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×138°=69°．∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-69°=111°．（2）∠BDC=90°+12∠A．理由：∵BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB．∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=90°-12∠A．∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（90°-12∠A）=90°+12∠A．点拨：欲求∠BDC，只要求出∠DBC+∠DCB即可．15．解：作出BC边上的高AD时，图中出现3个直角三角形；作出△ABD中AB边上的高DD1时，图中出现5个直角三角形；作出D n-1D n时，图中共出现（2n+3）个直角三角形．数学世界答案:设原来推门x次可把水槽装满水，由题意，得20x=25（x-12）．解得x=60．则水槽容积为20×60=1200（升）．。