可控与可观
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可控性与可观性
现
代
控
制 理 论
【例】
2
x
0
1 1
x
1 0
u,
试判别状态可控性
解：
Qc [b
1 Ab] 0
2
0
，
rankQc 1 n
∴系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 5
连续时间系统状态完全可控的条件
现
代 控
定理2：
定理2
制 理
设连续时间系统 x Ax Bu, 系统状态完全可控的充要条件为：
理 论
y 1 0 x
解：上述动态方程可写成：
x1 x 2
x1 2x2
2u
y x1
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x1是不可控的；
从输出方程看，输出y不能反映状态变量 x2 ，所以状态变量 x2 不能观测。
Modern Control Theory
Page: 3
状态完全可控的条件
在S平面上状态完全可控的条件
现
代
完全可观测性条件也可用传递函数或者传递矩阵阐述。完全
x
5 u
0 0 1 7
（3）
（4）
7 0 0 0 1
7 0 0 0 1
x
0
5
0
x
4
0 u
x
0
5
0
x
0
0 u
0 0 1 7 5
0 0 1 7 5
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
C
第三章线性系统的可控性与可观性2
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
若满足下列条件，则称 1 与 2 是互为对偶的。
A2 A1T , B2 C1T , C 2 B1T
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性， 能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能 化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数 为
bn 1 s n 1 bn 2 s n 2 b1 s b0 W ( s) n s a n 1 s n 1 a1 s a 0
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2) 若满足下列关系 A2=A1T B2=C1T C2=B1T 则称S1与S2是对偶系统.
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
如果∑1 和 ∑2 互为对偶系统，那么： 1．如果将∑1模拟结构图中将信号线反向；输入 端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信 号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成 的就是∑2的模拟结构图，如下图所示。
《自动控制原理》线性系统的可控性与可观测性
将状态 x(t0 ) = 0 转移到 x(t f ) =x f 的控制作用，则称状态 x f 是 t0 时刻 可达的。若x f 对所有时刻都是可达的，则称状态x f 为完全可达或 一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 t0 可达的， 则称该系统是 t0 时刻状态完全可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达
可观测性问题: 相应地，如果系统所有状态变量的任意形式 的运动均可由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，简称为系 统可观测。反之，则称系统是不完全可观测的，或简称为系统不可 观测。
可控性与可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出 来的，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。它不仅是研究线性系统控制问题必不可少的重 要概念，而且对于许多最优控制、最优估计和自适应控制问题，也 是常用到的概念之一。
在研究可观测性问题时，输出 y 和输入 u 均假定为已知，只有初始
状态 x0 是未知的。因此，若定义
t
y(t) = y(t) − C(t) (t, )B( )u( )d − D(t)u(t) t0
则式（9-79）可写为
y(t) = C(t)(t,t0 )x0
（9-80）
这表明可观测性即x0 可由 y 完全估计的性能，由于 y 和 x0 可任意取
y = −6x2
这表明状态变量 x1 和 x2 都可通过选择控制量 u 而由始点达到原
点，因而系统完全可控。 如何判别？
但是，输出 y 只能反映状态变量 x2 ，而与状态变量 x1 既无直
接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。如何判别？
变化：（1）b1=0 ? （2）a12≠0 ？ (3) a21≠0 ?
值，所
可控制性和可观性
∴系统不可控。
1 1 0 0 1 0 1 0 x 1 0 u x （ 4） 0 1 1 0 1
解： Qc [ B
0 1 AB] 1 0
解：
Qc [ B AB
rankQc 2 n
∴系统可控。
x(t 0 ) 0
，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu x
如果存在一个分段连续的输入u(t) , ，能在[ t0 , tf ]有限时间 间隔内，将系统由零初始状态 x(t0) 转移到任一指定的非零终 端状态 x(tf ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是 可达的（能达的）。
0 7 0 0 1 0 5 0 x 4 0u （ 3） x 0 1 0 7 5
解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是 可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不 可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。
1 2 AB] , 0 0
1 0 1 x x （ 2） 0 1 1u
解： Qc [ B
解：
rankQ c 1 n
∴系统不可控
0 1 0 x 1u （ 3） x 1 0
1 1 Qc [ B AB] 1 1 rankQ c 1 n
1 x
u
2 x
1 s 1 s
x1
y
x2
2
2009-08 CAUC--空中交通管理学院 4
§4-1 问题的提出
1 0 1 x u （ 3） x 0 1 1
1 1 0 0 1 0 1 0 x 1 0 u x （ 4） 0 1 1 0 1
解： Qc [ B
0 1 AB] 1 0
解：
Qc [ B AB
rankQc 2 n
∴系统可控。
x(t 0 ) 0
，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu x
如果存在一个分段连续的输入u(t) , ，能在[ t0 , tf ]有限时间 间隔内，将系统由零初始状态 x(t0) 转移到任一指定的非零终 端状态 x(tf ) ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是 可达的（能达的）。
0 7 0 0 1 0 5 0 x 4 0u （ 3） x 0 1 0 7 5
解： （1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是 可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不 可控的。 （3）系统可控。 （4）系统不可控。
1 2 AB] , 0 0
1 0 1 x x （ 2） 0 1 1u
解： Qc [ B
解：
rankQ c 1 n
∴系统不可控
0 1 0 x 1u （ 3） x 1 0
1 1 Qc [ B AB] 1 1 rankQ c 1 n
1 x
u
2 x
1 s 1 s
x1
y
x2
2
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§4-1 问题的提出
1 0 1 x u （ 3） x 0 1 1
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
现代控制理论 3-3 线性系统的可观性 3-4 可控可观标准型
返回
说说 明明
⎧x&(t) = Ax(t) ⎩⎨y(t) = Cx(t)
e 当输出个数与状态个数相等，且C 阵可逆时，
状态观测值可以立刻获得：x(t) = Cn×n−1y(t)
a 当输出个数少于状态个数时，状态观测值需要一定
c的时间来确定，即：
y(t0 ) = Cx(t0 )
y y(t1) = Cx(t1) = CeA(t1−t0 )x(t0 )
tc M
x(t ) = eA(t−t0 )x(t0 )
y(t) ⇒ x(t0 ) ⇒ x(t)
——由输出测量值求状 态初值，再由状态初值 求状态任意时刻的值。
定义
3
二、线性定常连续系统的可观测性判据
e 格拉姆矩阵判据
ca 线性定常连续系统完全可观 ⇔ 存在 t1 > 0
tcy ∫ 使格拉姆矩阵
注 意 对角阵含有相同元素时，要求更高！
e ⎡λ1
⎤
⎢
a ⎢
λ1
⎥ ⎥
⎢⎣
λ2 ⎥⎦
A 的两重特征值有两个 独立的特征向量
c¾¾CC矩矩阵阵的的列列线线性性无无关关 tcy or:秩判据
⎡C⎤
⎢ rank ⎢
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣CA
n−1
⎥ ⎦
返回
8
例：判别下列对角规范型线性定常系统的可观性。
CA M
⎥
⎥ ⎥
=
dim
A
=
n
tc ⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
nq×n阶可观测性矩阵
返回
4
例：判别下列系统的可观性。
⎡0 1 0⎤
e x&
现代控制理论课件_可控规范型和可观规范型
0 T l 0 T l A 0 T 2 l A 1 T n 1 l A 1
Ac 2 T21 AT2
18/73
清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
9.1 单输入系统的可控规范型
1
17/73
9.1 单输入系统的可控规范型
0 l A T 2 0 l A 0 T21 A l T A3 0 l T An n Ac 2T21
T
1 0 0 0 n 1
0 1 0 0 n 1 0 2
清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
8/73
9.1 单输入系统的可控规范型
假设第一可控规范型描述的状态为xt ，即 t Ac1 xt Bc1u t x 则系统框图为 x1 u
x2
xn 1
1
xn
n
清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
n 1
2
u t 位于积分器串联链的前方,可控制所有状态。
9/73
9.1 单输入系统的可控规范型
如果选取变换矩阵为 T2 A n 1 B 其中 0 1 1 1 2 1 n 3 n 2 n 1 n 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
21/73
9.1 单输入系统的可控规范型
第一可控规范型： 0 0 32 1 Ac1 1 0 32 , Bc1 0 0 1 10 0 第二可控规范型： 0 Ac 2 0 32 1 0 0 0 1 , Bc 2 0 32 10 1
线性系统的可控性和可观测性
线性系统的可控性和可观测性可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。
在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。
现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。
这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。
相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。
系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。
图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。
图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。
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t0
Modern Control Theory
tf
Page: 8
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论
由凯莱-哈密顿定理得：
(t0 ) e A(t
x (t0 )
t f n 1 t0 m0
0
)
m (t0 )Am
m0
Page: 1
4-1 问题的提出
现 代 经典控制理论以传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量， 控 制 只要系统是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不 理 需要提出可控性和可观性的概念。 论
现代控制理论建立在状态空间表达式描述系统的基础上。状态方程描述
输入 u(t ) 引起状态
该系统的可控性矩阵满秩，即 rankSc 凯莱-哈密顿定理：
n
a1 a0
f ( ) I A n an1 n1
f ( A) An an1 An1
Modern Control Theory
a1 A a0 I 0
Page: 7
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
tf
Modern Control Theory
A
n 1
B n 1 (t0 )u ( )d
t0
tf
Page: 9
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 x (t0 ) ( B 制 理 论 【例】
AB u0 u n 1 A B) 1 u n 1
对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；
Modern Control Theory
Page: 6
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论 一. 可控性判据 定理1： 若定义线性定常系统 A, B的n*(np)可控矩阵
2 n 1 Sc B AB A B A B 则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：
x(t )
的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出
y(t ) 的变化。
“输入能否控制系统状态的变化”——可控性 可控性和可观性回答： “状态的变化能否由输出反映”——可观性
可控性和可观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出, 是经典控 制进入现代控制理论的标志之一。
Modern Control Theory
Page: 2
4-1 问题的提出
现 代 控 制 理 论
【例】RLC网络
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当
x1，x2所有变量，称系统可控。
R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性 输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
n 1
m ( t ) A Bu( )d m 0
x (t0 ) A B m (t0 )u ( )d
m tf[ B 0 (t0 )u ( )d AB 1 (t0 )u ( )d
t0 t0
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x1 是不可控的； 从输出方程看，输出y不能反映状态变量
Modern Control Theory
x2 ，所以状态变量 x 2 不能观测。
Page: 4
4-2 可控与可达的定义
现 代 控 制 理 论
设系统 x Ax Bu ，若在有限时间 t [t0 , t f ] ,存在分段连续 输入u(t) 定义1：使系统从任意初始状态 x (t0 )转移到任意终态则称 控； 如果系统所有状态可控，则称系统完全可控，简称系统可控。
第四章 李雅普诺夫稳定性分析
现 代 控 制 理 论 4-1 问题的提出
4-2 可控与可达的定义
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件 4-4 线性定常离散系统的可控性 4-5 线性定常连续系统的可观测性 4-6 线性定常离散系统的可观测性 4-7 对偶原理
4-8 结构分解
Modern Control Theory
rank( B AB
An1B) n
2 x 0
Qc [b
1 1 x u, 1 0
1 2 Ab] 0 0 ，
试判别状态可控性
解：
rankQc 1 n
∴系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 10
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论 定理2： 设线性定常系统 x Ax Bu , 系统状态完全可控的充要条件为： 当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B无全零行
Modern Control Theory
Page: 3
4-1 问题的提出
现 代 控 制 理 论
【例】
y 1 0 x
1 0 0 x x u 0 2 2
解：上述动态方程可写成：
1 x1 x 2 2 x 2 2u x y x 1
x (t f ) 此状态可
假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态 P 1, P 2,
那么相平面上的P点是可控状态。
P3 0 P 4 Pn x2 P P2 x1 P1
, Pn ，
Modern Control Theory
Page: 5
4-2 可控与可达的定义
现 代 控 制 理 论 定义2：使系统从任一初始状态 x (t0 ) 转移到终态 x(t f ) 0 状态 零点，则称状态完全可控，简称系统可控； 定义3：使系统从零状态 x (t0 ) 0 转移到任意指定终端状 态 x (t f ) ，则称此状态可达，简称系统可达。
现 代 推论: 控 制 理 论
A
k
m 0
n 1
m (t ) A
m
( k n)
e
证明:
At
m (t ) Am
m0
n 1
x Ax Bu
x(t ) (t to ) x(t0 ) (t )Bu( )d
t0 tf
x(t0 ) (t0 )Bu( )d
Modern Control Theory
tf
Page: 8
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论
由凯莱-哈密顿定理得：
(t0 ) e A(t
x (t0 )
t f n 1 t0 m0
0
)
m (t0 )Am
m0
Page: 1
4-1 问题的提出
现 代 经典控制理论以传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量， 控 制 只要系统是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不 理 需要提出可控性和可观性的概念。 论
现代控制理论建立在状态空间表达式描述系统的基础上。状态方程描述
输入 u(t ) 引起状态
该系统的可控性矩阵满秩，即 rankSc 凯莱-哈密顿定理：
n
a1 a0
f ( ) I A n an1 n1
f ( A) An an1 An1
Modern Control Theory
a1 A a0 I 0
Page: 7
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
tf
Modern Control Theory
A
n 1
B n 1 (t0 )u ( )d
t0
tf
Page: 9
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 x (t0 ) ( B 制 理 论 【例】
AB u0 u n 1 A B) 1 u n 1
对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；
Modern Control Theory
Page: 6
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论 一. 可控性判据 定理1： 若定义线性定常系统 A, B的n*(np)可控矩阵
2 n 1 Sc B AB A B A B 则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：
x(t )
的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出
y(t ) 的变化。
“输入能否控制系统状态的变化”——可控性 可控性和可观性回答： “状态的变化能否由输出反映”——可观性
可控性和可观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出, 是经典控 制进入现代控制理论的标志之一。
Modern Control Theory
Page: 2
4-1 问题的提出
现 代 控 制 理 论
【例】RLC网络
取x1 i L , x 2 uc , y uc
当
x1，x2所有变量，称系统可控。
R1R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性 输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
n 1
m ( t ) A Bu( )d m 0
x (t0 ) A B m (t0 )u ( )d
m tf[ B 0 (t0 )u ( )d AB 1 (t0 )u ( )d
t0 t0
输入u不能控制状态变量 x1，所以状态变量 x1 是不可控的； 从输出方程看，输出y不能反映状态变量
Modern Control Theory
x2 ，所以状态变量 x 2 不能观测。
Page: 4
4-2 可控与可达的定义
现 代 控 制 理 论
设系统 x Ax Bu ，若在有限时间 t [t0 , t f ] ,存在分段连续 输入u(t) 定义1：使系统从任意初始状态 x (t0 )转移到任意终态则称 控； 如果系统所有状态可控，则称系统完全可控，简称系统可控。
第四章 李雅普诺夫稳定性分析
现 代 控 制 理 论 4-1 问题的提出
4-2 可控与可达的定义
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件 4-4 线性定常离散系统的可控性 4-5 线性定常连续系统的可观测性 4-6 线性定常离散系统的可观测性 4-7 对偶原理
4-8 结构分解
Modern Control Theory
rank( B AB
An1B) n
2 x 0
Qc [b
1 1 x u, 1 0
1 2 Ab] 0 0 ，
试判别状态可控性
解：
rankQc 1 n
∴系统不可控。
Modern Control Theory
Page: 10
4-3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
现 代 控 制 理 论 定理2： 设线性定常系统 x Ax Bu , 系统状态完全可控的充要条件为： 当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B无全零行
Modern Control Theory
Page: 3
4-1 问题的提出
现 代 控 制 理 论
【例】
y 1 0 x
1 0 0 x x u 0 2 2
解：上述动态方程可写成：
1 x1 x 2 2 x 2 2u x y x 1
x (t f ) 此状态可
假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态 P 1, P 2,
那么相平面上的P点是可控状态。
P3 0 P 4 Pn x2 P P2 x1 P1
, Pn ，
Modern Control Theory
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4-2 可控与可达的定义
现 代 控 制 理 论 定义2：使系统从任一初始状态 x (t0 ) 转移到终态 x(t f ) 0 状态 零点，则称状态完全可控，简称系统可控； 定义3：使系统从零状态 x (t0 ) 0 转移到任意指定终端状 态 x (t f ) ，则称此状态可达，简称系统可达。
现 代 推论: 控 制 理 论
A
k
m 0
n 1
m (t ) A
m
( k n)
e
证明:
At
m (t ) Am
m0
n 1
x Ax Bu
x(t ) (t to ) x(t0 ) (t )Bu( )d
t0 tf
x(t0 ) (t0 )Bu( )d