2012高一数学必修2第二章测试题及答案解析
高一数学必修2第二章测试题及答案解析(同名10275)
第二章单元测试题、选择题1．若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是 ( )A .相交B .平行C .异面D .平行或异面2 .平行六面体ABCD -A i B i C i D i 中，既与AB 共面也与CC i 共面的棱 的条数为 ( ) A .3 B .4 C .5 D . 64.长方体ABCD — A i B i C i D i 中，异面直线AB,A i D i 所成的角等于()A. 30° B . 45° C . 60° D . 90° 5.对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面a,使得() A . a? a ， b? a B . a? a, b 〃a C.a 丄 a, b 丄 a D . a? a, b 丄 a6. 下面四个命题：① 若直线 a b 异面 b c 异面 则 a c 异面；② 若直线 a b 相交 b c 相交 则 a c 相交；③ 若a // b ，则a , b 与c 所成的角相等；④ 若a 丄b , b 丄c ,则a / c.其中真命题的个数为()A . 4B . 3C . 2D . i 7. 在正方体 ABCD —A i B i C i D i 中EF 分别是线段 A i B i B i C i 上的 不与端点重合的动点，如果 A i E = B i F ,有下面四个结论：① EF 丄 AA i ;® EF // AC ;③ EF 与 AC 异面；④ EF //平面 ABCD. 其中一定正确的有 ( )A. ①② B .②③ C .②④ D .①④B .8设a , b 为两条不重合的直线，a, B 为两个不重合的平面，下列命 题中为真命题的是( )A .若a , b 与a 所成的角相等，贝S a //bB .若 a / a, b / 伏 a// B,则 a / bB. 若 a? a, b? B a / b ,贝U a// [33. 已知平面a 和直线I ，则 A .平行 B .相交 a 内至少有一条直线与1(C .垂直D .异面D .若a丄a, b丄3 a丄3贝y a丄b9.已知平面a丄平面厲aQ B= l，点A€ a, A?l，直线AB II l，直线AC 丄l，直线m// a n//伏则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A . AB//m B. AC 丄m C. AB// B D. AC 丄B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上)14. 正方体ABCD —A i B i C i D i中，二面角G —AB-C的平面角等于15. ______________________________________________________ 设平面a//平面B, A, C€ a, B , D € B,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面a B之间，AS= 8 , BS= 6 , CS= 12 ,则SD= _______________16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD —C,有如下四个结论：①AC丄BD :②厶ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角;④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是_________ .三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （10分）如下图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，△ ABC与厶A i B i C i 都求证：（1）平面AB i F i //平面C i BF;⑵平面AB i F i丄平面ACC i A i.18. (12分)如图所示，边长为2的等边△ PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC = 2 2 M为BC的中点.(1)证明：AM丄PM;⑵求二面角P-AM —D的大小.详解答案1［答案］D2［答案］C［解析］AB与CC i为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CG相交的有：CD、C1D1与CC i平行且与AB相交的有：BB i、AA1，第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3［答案］C［解析］1°直线I与平面a斜交时，在平面a内不存在与I平行的直线，二A错；2°l? a时，在a内不存在直线与I异面，二D错；3°l // a时，在a内不存在直线与I相交.无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与I垂直.4［答案］D［解析］由于AD // A i D i，则/ BAD是异面直线AB, A i D i所成的角，很明显/ BAD = 90°5［答案］B［解析］对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a, b不相交，则a与b平行或异面，都存在a,使a? a, b // a, B正确；对于选项C, a丄a, b± a, 一定有a/ b, C错误；对于选项D , a? a, b丄a 一定有a丄b , D错误.6［答案］D［解析］异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a / c ,而在空间中，a与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误.7［答案］D［解析］如图所示.由于AA i丄平面A i B i C i D i , EF?平面A i B i C i D i,则EF丄AA i,所以①正确；当E, F分别是线段A1B1, B1C1 的中点时，EF// A i C i, 又AC// A i C i，贝S EF II AC，所以③不正确；当E, F分别不是线段A i B i, B i C i的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A iB iC iD i I平面ABCD, EF?平面A i B i C i D i，所以EF //平面ABCD，所以④正确.8［答案］D［解析］选项A中，a, b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a, b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，a, B还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a丄a a丄则a // B或a? B,贝卩B内存在直线I I a,又b± B,则b±I，所以a丄b.9［答案］Ci3［答案］an片ABi4［答案］45°［解析］如图所示，正方体ABCD — A i B i C i D i 中，由于BC 丄AB , BC i 丄AB ,贝卩/C i BC 是二面角C i — AB — C 的平面角.又△ BCC i 是等 腰直角三角形，则/ C i BC = 45°i5［答案］9T all AC // BD ,则Ah SD ，A 6=SD ，解得 SD = 9i6［答案］①②④［解析］如图所示，①取BD 中点，E 连接AE , CE ,则BD 丄AE , BD 丄CE ,而 AE A CE = E ,「. BD 丄平面 AEC , AC?平面 AEC , 故 AC 丄BD ，故①正确.②设正方形的边长为a,则AE= CE=_2a.由①知/ AEC= 90°是直二面角A-BD —C的平面角，且/ AEC = 90° 二AC= a,•••△ ACD是等边三角形，故②正确.③由题意及①知，AE丄平面BCD，故/ ABE是AB与平面BCD 所成的角，而/ ABE=45°所以③不正确.④分别取BC, AC的中点为M, N,连接ME, NE, MN.1 1贝S MN // AB, 且MN = 2AB= qa,〃厂 1 1ME / CD，且ME = 2CDpa,•••/ EMN是异面直线AB, CD所成的角.在Rt A AEC 中，AE= CE=今a, AC= a,1 1••• NE = 2AC = 2a. MEN 是正三角形，二/ EMN = 60° 故④正确.17［证明］(1)在正三棱柱ABC—A1B1C1中，T F、F1分别是AC、A1C1的中点，•B1F1 // BF, AF1 // GF.又••• B1F1 n AF1 = F1, C1F n BF=F,•平面AB1F1 //平面GBF.(2)在三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA1 丄平面A1B1C1,「. BF 丄AA「又B1F1 丄A1C1, A1C1 n AA1 = A1,•B1F1X平面ACC1A1，而B1F1?平面ABF,「•平面AB i F i 丄平面ACC i A i .18［解析］(1)证明：如图所示，取 CD 的中点E ,连接PE , EM , EA ,•••△ PCD 为正三角形，••• PE 丄CD , PE = PDsin /PDE = 2sin60=^3.•••平面PCD 丄平面ABCD ,• P E 丄平面 ABCD ，而 AM?平面 ABCD ,「. PE 丄AM. T 四边形ABCD 是矩形，• △ ADE , △ECM , △ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM = 3, AM = 6, AE = 3,• EM 2 + AM 2 = AE 2. • AM 丄 EM.又 PEA EM = E ,「. AM 丄平面 PEM ,「. AM 丄PM.(2)解：由(1)可知EM 丄AM , PM 丄AM ,• / PME 是二面角P - AM — D 的平面角.•二面角P — AM — D 的大小为45°• tan/ PME PE = 3= EM = 3=• / PME = 45°。
高一数学必修第二章测试题及答案解析
第二章综合检测题一、选择题1.若直线a与b没有公共点,则a与b得位置关系就是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面得棱得条数为()A.3B.4C.5D.63.已知平面α与直线l,则α内至少有一条直线与l()A.平行B.相交C.垂直D.异面4.长方体ABCD－A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成得角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°5.对两条不相交得空间直线a与b,必存在平面α,使得()A a⊂α,b⊂αB a⊂α,b∥αC a⊥α,b⊥αD a⊂α,b⊥α6.下面四个命题:①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若a∥b,则a,b与c所成得角相等;④若a⊥b,b⊥c,则a∥c、其中真命题得个数为()A.4B.3C.2D.17.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别就是线段A1B1,B1C1上得不与端点重合得动点,如果A1E＝B1F,有下面四个结论:①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD、其中一定正确得有()A.①②B.②③C.②④D.①④8.设a,b为两条不重合得直线,α,β为两个不重合得平面,下列命题中为真命题得就是()A.若a,b与α所成得角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b9.已知平面α⊥平面β,α∩β＝l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,n∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立得就是A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β10已知正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1得中点,那么直线AE与D1F所成角得余弦值为()A .－45B 、 、35C 、34D .－3511.已知三棱锥D －ABC 得三个侧面与底面全等,且AB ＝AC ＝3,BC ＝2,则以BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面得二面角得余弦值为( )A 、33B 、13 C.0 D.－1212.如图所示,点P 在正方形ABCD 所在平面外,P A ⊥平面ABCD ,P A ＝AB ,则PB 与AC 所成得角就是( )A.90°B.60°C.45°D.30°二、填空题13.下列图形可用符号表示为________.14.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,二面角C 1－AB －C 得平面角等于________.15.设平面α∥平面β,A ,C ∈α,B ,D ∈β,直线AB 与CD 交于点S ,且点S 位于平面α,β之间,AS ＝8,BS ＝6,CS ＝12,则SD ＝________、16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 就是等边三角形;③AB 与平面BCD 成60°得角;④AB 与CD 所成得角就是60°、其中正确结论得序号就是________.三、解答题17.如下图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ,F 、F 1分别就是AC ,A 1C 1得中点.求证:(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ;(2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1、18如图所示,在四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,AB ＝4,BC ＝3,AD ＝5,∠DAB ＝∠ABC ＝90°,E 就是CD 得中点.(1)证明:CD ⊥平面P AE ;(2)若直线PB 与平面P AE 所成得角与PB 与平面ABCD 所成得角相等,求四棱锥P －ABCD 得体积.19如图所示,边长为2得等边△PCD 所在得平面垂直于矩形ABCD 所在得平面,BC ＝22,M 为BC 得中点.(1)证明:AM ⊥PM ;(2)求二面角P－AM－D得大小.20如图,棱柱ABC－A1B1C1得侧面BCC1B1就是菱形,B1C⊥A1B、(1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;(2)设D就是A1C1上得点,且A1B∥平面B1CD,求A1D DC1得值.21如图,△ABC中,AC＝BC＝22AB,ABED就是边长为1得正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别就是EC,BD得中点.(1)求证:GF∥底面ABC;(2)求证:AC⊥平面EBC;(3)求几何体ADEBC得体积V、22如下图所示,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,AA1＝4,点D就是AB得中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C所成角得余弦值.详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行得直线,因此只有两类:第一类与AB平行与CC1相交得有:CD、C1D1与CC1平行且与AB相交得有:BB1、AA1,第二类与两者都相交得只有BC,故共有5条.3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行得直线,∴A错;2°l⊂α时,在α内不存在直线与l异面,∴D错;3°l∥α时,在α内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1,则∠BAD就是异面直线AB,A1D1所成得角,很明显∠BAD＝90°、5[答案] B[解析]对于选项A,当a与b就是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确;对于④,在平面内,a∥c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.7[答案] D[解析]如图所示.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF ⊥AA1,所以①正确;当E,F分别就是线段A1B1,B1C1得中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F分别不就是线段A1B1,B1C1得中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.8[答案] D[解析]选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A就是假命题;选项B 中,a,b还可能相交或异面,所以B就是假命题;选项C中,α,β还可能相交,所以C就是假命题;选项D中,由于a⊥α,α⊥β,则a∥β或a⊂β,则β内存在直线l∥a,又b⊥β,则b⊥l,所以a⊥b、9[答案] C[解析]如图所示:AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β、10[答案]35命题意图]本试题考查了正方体中异面直线得所成角得求解得运用.[解析]首先根据已知条件,连接DF,然后则角DFD1即为异面直线所成得角,设边长为2,则可以求解得到5＝DF ＝D 1F ,DD 1＝2,结合余弦定理得到结论.11[答案] C[解析] 取BC 中点E ,连AE 、DE ,可证BC ⊥AE ,BC ⊥DE ,∴∠AED 为二面角A －BC －D 得平面角又AE ＝ED ＝2,AD ＝2,∴∠AED ＝90°,故选C 、12[答案] B[解析] 将其还原成正方体ABCD －PQRS ,显见PB ∥SC ,△ACS 为正三角形,∴∠ACS ＝60°、13[答案] α∩β＝AB14[答案] 45°[解析] 如图所示,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,由于BC ⊥AB ,BC 1⊥AB ,则∠C 1BC 就是二面角C 1－AB －C 得平面角.又△BCC 1就是等腰直角三角形,则∠C 1BC ＝45°、15[答案] 9[解析] 如下图所示,连接AC ,BD ,则直线AB ,CD 确定一个平面ACBD 、∵α∥β,∴AC ∥BD ,则AS SB ＝CS SD ,∴86＝12SD ,解得SD ＝9、16[答案] ①②④[解析] 如图所示,①取BD 中点,E 连接AE ,CE ,则BD ⊥AE ,BD ⊥CE ,而AE ∩CE ＝E ,∴BD ⊥平面AEC ,AC ⊂平面AEC ,故AC ⊥BD ,故①正确.②设正方形得边长为a ,则AE ＝CE ＝22a 、由①知∠AEC ＝90°就是直二面角A －BD －C 得平面角,且∠AEC ＝90°,∴AC ＝a ,∴△ACD 就是等边三角形,故②正确.③由题意及①知,AE ⊥平面BCD ,故∠ABE 就是AB 与平面BCD 所成得角,而∠ABE ＝45°,所以③不正确.④分别取BC ,AC 得中点为M ,N ,连接ME ,NE ,MN 、则MN ∥AB ,且MN ＝12AB ＝12a ,ME ∥CD ,且ME ＝12CD ＝12a ,∴∠EMN 就是异面直线AB ,CD 所成得角.在Rt △AEC 中,AE ＝CE ＝22a ,AC ＝a ,∴NE ＝12AC ＝12a 、∴△MEN 就是正三角形,∴∠EMN ＝60°,故④正确. 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∵F 、F 1分别就是AC 、A 1C 1得中点,∴B 1F 1∥BF ,AF 1∥C 1F 、又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1,C 1F ∩BF ＝F ,∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF 、(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1,∴B 1F 1⊥AA 1、 又B 1F 1⊥A 1C 1,A 1C 1∩AA 1＝A 1,∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1,而B 1F 1⊂平面AB 1F 1,∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1、18[解析](1)如图所示,连接AC ,由AB ＝4,BC ＝3,∠ABC ＝90°,得AC ＝5、 又AD ＝5,E 就是CD 得中点,所以CD ⊥AE 、∵P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以P A ⊥CD 、而P A ,AE 就是平面P AE 内得两条相交直线,所以CD ⊥平面P AE 、(2)过点B 作BG ∥CD ,分别与AE ,AD 相交于F ,G ,连接PF 、由(1)CD ⊥平面P AE 知,BG ⊥平面P AE 、于就是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成得角,且BG ⊥AE 、由P A ⊥平面ABCD 知,∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成得角. AB ＝4,AG ＝2,BG ⊥AF ,由题意,知∠PBA ＝∠BPF ,因为sin ∠PBA ＝P A PB ,sin ∠BPF ＝BF PB ,所以P A ＝BF 、由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知,AD ∥BC ,又BG ∥CD ,所以四边形BCDG 就是平行四边形,故GD ＝BC ＝3、于就是AG ＝2、在Rt △BAG 中,AB ＝4,AG ＝2,BG ⊥AF ,所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25,BF ＝AB 2BG ＝1625＝855、于就是P A ＝BF ＝855、 又梯形ABCD 得面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16,所以四棱锥P －ABCD 得体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515、19[解析] (1)证明:如图所示,取CD 得中点E ,连接PE ,EM ,EA ,∵△PCD 为正三角形,∴PE ⊥CD ,PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝3、∵平面PCD ⊥平面ABCD ,∴PE ⊥平面ABCD ,而AM ⊂平面ABCD ,∴PE ⊥AM 、∵四边形ABCD 就是矩形,∴△ADE ,△ECM ,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得EM ＝3,AM ＝6,AE ＝3,∴EM 2＋AM 2＝AE 2、∴AM ⊥EM 、又PE ∩EM ＝E ,∴AM ⊥平面PEM ,∴AM ⊥PM 、(2)解:由(1)可知EM ⊥AM ,PM ⊥AM ,∴∠PME 就是二面角P －AM －D 得平面角.∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1,∴∠PME ＝45°、 ∴二面角P －AM －D 得大小为45°、20[解析](1)因为侧面BCC 1B 1就是菱形,所以B 1C ⊥BC 1,又已知B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1＝B ,所以B 1C ⊥平面A 1BC 1,又B 1C ⊂平面AB 1C所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 、(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连接DE ,则DE 就是平面A 1BC 1与平面 B 1CD 得交线.因为A 1B ∥平面B 1CD ,A 1B ⊂平面A 1BC 1,平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ,所以A 1B ∥DE 、又E 就是BC 1得中点,所以D 为A 1C 1得中点.即A 1D DC 1＝1、21[解] (1)证明:连接AE ,如下图所示.∵ADEB 为正方形,∴AE ∩BD ＝F ,且F 就是AE 得中点,又G 就是EC 得中点,∴GF ∥AC ,又AC ⊂平面ABC ,GF ⊄平面ABC ,∴GF ∥平面ABC 、(2)证明:∵ADEB 为正方形,∴EB ⊥AB ,又∵平面ABED ⊥平面ABC ,平面ABED ∩平面ABC ＝AB ,EB ⊂平面ABED ,∴BE ⊥平面ABC ,∴BE ⊥AC 、又∵AC ＝BC ＝22AB ,∴CA 2＋CB 2＝AB 2,∴AC ⊥BC 、又∵BC ∩BE ＝B ,∴AC ⊥平面BCE 、(3)取AB 得中点H ,连GH ,∵BC ＝AC ＝22AB ＝22,∴CH ⊥AB ,且CH ＝12,又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ,∴V ＝13×1×12＝16、22[解析] (1)证明:在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,底面三边长AC ＝3,BC ＝4,AB ＝5,∴AC ⊥BC 、又∵C 1C ⊥AC 、∴AC ⊥平面BCC 1B 1、 ∵BC 1⊂平面BCC 1B ,∴AC ⊥BC 1、(2)证明:设CB 1与C 1B 得交点为E ,连接DE ,又四边形BCC 1B 1为正方形.∵D 就是AB 得中点,E 就是BC 1得中点,∴DE ∥AC 1、 ∵DE ⊂平面CDB 1,AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1∥平面CDB 1、(3)解:∵DE ∥AC 1,∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成得角.在△CED 中,ED ＝12AC 1＝52,CD ＝12AB ＝52,CE ＝12CB 1＝22,∴cos ∠CED ＝252＝225、∴异面直线AC 1与B 1C 所成角得余弦值为225、。
人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)
高二周末检测题一、选择题1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A ．三条交线为异面直线B ．三条交线两两平行C ．三条交线交于一点D ．三条交线两两平行或交于一点4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、 能相交于点P ，那么 （ ）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面BCD 内 D 、点P 必在平面ABC 外5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( )A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的直线在α内C ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．69．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC 、MN 均不垂直10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 .14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．Q PC'B'A'C BA使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.高二周末检测题答一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC 二、填空题13、菱形 14、90° 15、(1)BD ⊥CD (2)60° 16、①③④ 三、解答题17、证明：(1)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ， 又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PEEM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． [证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.21[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE . (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。
高一数学必修2测试题及答案全套
（数学2必修）第一章 空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示；这个几何体应是一个( )A .棱台B .棱锥C .棱柱D .都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）AB. C. D. 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5；且它的8个顶点都在 同一球面上；则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）AB2 C．2:D35．在△ABC 中；02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=；若使绕直线BC 旋转一周；则所形成的几何体的体积是（ ）A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面；且侧棱长为5；它的对角线的长 分别是9和15；则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面；面数最少的一个棱锥有 ________个顶点； 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
主视图 左视图 俯视图2．若三个球的表面积之比是1:2:3；则它们的体积之比是_____________。
3．正方体1111ABCD A B C D - 中；O 是上底面ABCD 中心；若正方体的棱长为a ； 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
4．如图；,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心；则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6；这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15；则它的体积为___________.三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用）；已建的仓库的底面直径为12M ；高4M ；养路处拟建一个更大的圆锥形仓库；以存放更多食盐；现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
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高中数学 必修二 第二章 2.1 2.1.1课后练习题
第二章 2.1 2.1.1基础巩固一、选择题1．空间中，可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点[答案] C2.如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α[答案] A[解析]观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是()A．①④B．②③C．④D．③[答案] C[解析]①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．4.如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ等于()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上都不对[答案] C[解析]由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.5．若一直线a在平面α内，则正确的图形是()[答案] A6．下图中正确表示两个相交平面的是()[答案] D[解析]A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．二、填空题7．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系：(1)点C与平面β：________.(2)点A与平面α：________.(3)直线AB与平面α：________.(4)直线CD与平面α：________.(5)平面α与平面β：________.[答案](1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α＝B(4)CD⊂α(5)α∩β＝BD8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．(1)直线AC1在平面CC1B1B内．(2)设正方体ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1.(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1.(4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．[答案](2)(3)(4)[解析](1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B．(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．三、解答题9．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．[分析][解析]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证明：方法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C ∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．方法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α.又A∈α，同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．方法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB⊂α，同理BC⊂α，AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面．规律总结：1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的个数，公理中要求“不共线的三点”，推论1要求“平面外一点”，推论2要求“两条相交直线”，推论3要求“两条平行线”，因此对公理、推论的条件和结论必须理解清楚．2．对于证明几个点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．10.如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．[解析]∵AB∥CD，∴AB，CD共面，设为平面β，∴AC在平面β内，即E在平面β内．而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据公理3可得，B，D，E三点共线．能力提升一、选择题1．(2015·天津武清月考)下列说法正确的是()A．两两相交的三条直线确定一个平面B．四边形确定一个平面C．梯形可以确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面[答案] C[解析]因为梯形的两腰是相交直线，所以根据确定平面的条件，梯形应确定一个平面．2．下列命题正确的是()A．两个平面如果有公共点，那么一定相交B．两个平面的公共点一定共线C．两个平面有3个公共点一定重合D．过空间任意三点，一定有一个平面[答案] D[解析]如果两个平面重合，则排除A、B；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取3个点都是两个平面的公共点，故排除C；而D中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这3个点．3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④[答案] D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．4．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D[答案] D[解析]A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．二、填空题5．过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定的平面的个数是________.[答案] 6[解析]如图．6.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．[答案](1)BD(2)AC[解析](1)若EH∩FG＝P，那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD ＝BD，所以P∈BD．(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．三、解答题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：(1)E 、C 、D 1、F 、四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点． [证明] (1)分别连结EF 、A1B 、D 1C ， ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ， ∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面． (2)∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P ， ∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ，∴P ∈平面AA 1D 1D ． 又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ，∴P ∈平面ABCD ， 即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝直线AD ，∴P ∈直线AD (公理3)，∴直线CE 、D 1F 、DA 三线共点．8．(2015·江苏淮安模拟)如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求线段PB 1的长．[解析] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．(2)∵M 为AA 1的中点，AD ∥ED 1， ∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a . ∵A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝12a ，∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ，于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a .。
高一北师大版数学必修2第二章 解析几何初步练习题含答案解析 双基限时练26
双基限时练(二十六)一、选择题1．已知a 2＋b 2＝12c 2，则直线ax ＋by ＋c ＝0与x 2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离解析 圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝2＜2∴直线与圆相交，又c ≠0(否则a ＝b ＝c ＝0)， ∴圆心不在直线上． 答案 A2．设直线l 过点(－2,0)，且与x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率为( ) A ．±1 B ．±12 C ．±33D ．±3解析 如图可知|OA |＝2，r ＝1，∴∠P AO ＝30°＝∠QAO . ∴切线l 的斜率为±33.答案C3．若圆心在x轴上，半径为5的圆位于y轴左侧，且与直线x ＋2y＝0相切，则圆O的方程为()A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析设圆心(a,0)(a＜0)，由题意，得5＝|a|12＋22，得|a|＝5，即a＝－5.所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.答案D4．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，则a等于()A. 2 B．2－2C.2－1D.2＋1解析由题可得|a－2＋3|12＋(－1)2＝4－(3)2＝1，得a＝2－1或a＝－2－1(舍)．答案C5．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是()A．P在圆外B．P在圆上C．P在圆内D．P与圆的位置关系不确定解析由题意，得4a2＋b2＜2，得a 2＋b 2＞4，即点P (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4外． 答案 A6．设圆x 2＋y 2－8x －9＝0的弦AB 的中点为P (5,2)，则直线AB 的方程为( )A ．2x －5y ＝0B ．2x －y －8＝0C ．x ＋2y －9＝0D ．5x －2y －21＝0解析 ∵x 2＋y 2－8x －9＝0可化为(x －4)2＋y 2＝25 ∴圆心为C (4,0)，故k PC ＝2－05－4＝2.又PC ⊥AB ，∴k AB ＝－12.故AB 所在的直线方程为y －2＝－12(x －5)． 即x ＋2y －9＝0. 答案 C 二、填空题7．圆心为(1,2)且与5x －12y －7＝0相切的圆的方程为________． 解析 由题可知，(1,2)到5x －12y －7＝0的距离d ＝|5－12×2－7|52＋(－12)2＝2613＝2，故所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4. 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝48．直线2x ＋y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 圆心O 到2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝|5|22＋12＝5，即|AB |＝29－5＝4.答案 49．已知⊙C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，过点A (－1,0)的弦中，弦长的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________.解析 弦长的最大值M ＝2r ＝10，当弦与过A 点与圆心的连线垂直时弦取得最小值m ，此时m ＝2·25－[(－1－2)2＋(0＋3)2]＝27， 故M －m ＝10－27. 答案 10－27 三、解答题10．求过(2,3)点，且与(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程． 解 当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2， 此时l 与圆(x －3)2＋y 2＝1相切，当l 的斜率存在时，设l ：y －3＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＋3＝0. 由题意，得|3k －2k ＋3|k 2＋1＝1， 得k ＝－43，故l 的方程为y －3＝－43(x －2)， 综上得所求的切线方程为x ＝2，或4x ＋3y －17＝0.11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，求k 的取值范围．解如图，设题中圆的圆心为C(2,3)，作CD⊥MN于D，则|CD|＝|2k|1＋k2，于是有|MN|＝2|MD|＝2|CM2|－|CD|2＝24－4k21＋k2≥23，即4－4k21＋k2≥3，解得－33≤k≤3 3.12．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为45，求l的方程．解设所求的圆的方程为y－5＝k(x－5)，即：kx－y－5k＋5＝0，∵直线与圆截得的弦长为45，∴圆心到直线的距离为25－20＝ 5.即|5－5k|k2＋1＝ 5.得k＝2或k＝12.∴所求的直线方程为2x－y－5＝0或x－2y＋5＝0.思维探究13．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，l被圆C截得的弦为AB，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．解不妨设直线方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程与圆的方程联立，消去y，可得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b －4＝0，∴x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋4b －42， 故y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝b 2＋2b －42. ∵以AB 为直径的圆过原点，故OA ⊥OB ，即k OA ·k OB ＝－1，整理可知x 1x 2＋y 1y 2＝0，故b 2＋4b －42＋b 2＋2b －42＝0，解之得b ＝－4，或b ＝1，验证知，此时Δ＞0，故存在这样的直线l ，其方程为y ＝x －4，或y ＝x ＋1.。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
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第 1 页 共 11 页 第二章综合检测题 一、选择题 1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( ) A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( ) A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( ) A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α 6．下面四个命题： ①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ③若a∥b，则a，b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论： ①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD. 其中一定正确的有( ) A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( ) A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b 9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β 10．(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为( )
A．－45 B. .35
C.34 D．－35 11．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为( )
A.33 B.13 C．0 D．－12 12．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是( ) 第 2 页 共 11 页
A．90° B．60° C．45° D．30° 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 13．下列图形可用符号表示为________．
14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________． 15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________. 16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论： ①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形； ③AB与平面BCD成60°的角； ④AB与CD所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________． 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF； (2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1. [分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． 第 3 页 共 11 页
18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE； (2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积． 第 4 页 共 11 页
19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM； (2)求二面角P－AM－D的大小．
20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. (1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1； (2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值． 第 5 页 共 11 页
21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥底面ABC； (2)求证：AC⊥平面EBC； (3)求几何体ADEBC的体积V. [分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.
22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1； (2)求证：AC1∥平面CDB1； (3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值． 第 6 页 共 11 页
详解答案 1[答案] D 2[答案] C [解析] AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1 与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1， 第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条． 3[答案] C [解析] 1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错； 2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错； 3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交． 无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直． 4[答案] D [解析] 由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°. 5[答案] B [解析] 对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误． 6[答案] D [解析] 异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误． 7[答案] D [解析] 如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．
8[答案] D [解析] 选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面， 第 7 页 共 11 页
所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b. 9[答案] C [解析] 如图所示：
AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β. 10[答案] 35 命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．
[解析] 首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD1即为 异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到 5＝DF＝D1F，DD1＝2，结合余弦定理得到结论． 11[答案] C [解析] 取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角 又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C. 12[答案] B [解析] 将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.
13[答案] α∩β＝AB 14[答案] 45° [解析] 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°. 第 8 页 共 11 页
15[答案] 9 [解析] 如下图所示，连接AC，BD，
则直线AB，CD确定一个平面ACBD. ∵α∥β，∴AC∥BD，
则ASSB＝CSSD，∴86＝12SD，解得SD＝9. 16[答案] ①②④ [解析] 如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．
②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝22a. 由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a， ∴△ACD是等边三角形，故②正确． ③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确． ④分别取BC，AC的中点为M，N， 连接ME，NE，MN.
则MN∥AB，且MN＝12AB＝12a，