高中数学必修2综合测试题

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侧视图
俯视图
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高中数学必修2综合测试题
文科数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )．
A ．0 B.3
π C ．2π
D ．π
2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1
3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．
A ．π25
B ．π50
C ．π125
D ．π200 4.若方程02
2
=++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( )
A.21>
k B.21≤k C. 2
1
0<<k D ． 21<k 5.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A.若//l α，//l β，则//αβ
B.若l α⊥，l β⊥，则//αβ
C.若βα//,l l ⊥，则βα//
D.若αβα//,l ⊥
，则β⊥l
6.如图6，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1
B ．A
C 1⊥BD
C ．AC 1⊥平面CB 1
D 1
D ．异面直线AD 与CB 1角为60°
7.某三棱锥的三视图如图7所示，则该三棱锥的体积是 ( ) A.
16 B. 13 C.2
3
D.1 8.直线20x y +-=与圆()()2
2
121x y -+-=相交于,A B 两点，则弦长AB =（ ）
A ．
22 B ．3
2
C 3
D ．2 9.点P （4，－2）与圆2
2
4x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是 （ ） A.2
2
(2)(1)1x y -++= B.2
2
(2)(1)4x y -++= C.2
2
(4)(2)4x y ++-= D.2
2
(2)(1)1x y ++-=
(第6题)
(第7题)
10.设实数,x y 满足22
(2)3x y -+=，那么
y
x
的最大值是（ ） A ．
1
2
B ．33
C ．32
D ．3
11.已知直线)(2R a a ay x ∈+=+与圆07222
2
=---+y x y x 交于M ，N 两点，则线段MN 的长的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
12.已知点),(y x P 在直线032=-+y x 上移动，当
y
x 42+取得最小值时，过点),(y x P 引圆
22111
()()242
x y -++=的切线，则此切线长为（ ）
A ．
12 B ．3
2
C 62
D 3
2
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13.直线过点)4,3(-，且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方程： ； 14.圆03422
2
=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有 个；
15.曲线4)2(412+-=-+=x k y x y 与直线有两个交点，则实数k 的取值范围是 ； 16.已知在△ABC 中，顶点)5,4(A ,点B 在直线022:=+-y x l 上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值 .
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3）， （1）求AB 边所在的直线方程； （2）求AB 边的高所在直线方程.
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，
分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；
（2）直线1//A F 平面ADE ．
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PD ＝2，M 为PD 的中点．
(1).证明:AD ⊥平面PAC ；
(2).求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．
20.（本小题满分12分）
如图，直四棱锥1111D C B A ABCD -中，AB ∥CD ,AB AD ⊥,2=AB ，2=AD ，31=AA ,E 为
CD 上一点，3,1==EC DE （1）证明：⊥BE 平面C C BB 11 （2）求点1B 到平面11C EA 的距离
如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . (1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；
(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ­ACD 的体积为6
3
，求该三棱锥的侧面积．
22.（本小题满分12分）
已知过点)1,0(A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()1322
2
=-+-y x 交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.
16.（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111
BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平面11BCC B 。

又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1
111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE 略
17.(1)如图，连结DD 1.
在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，
因为D,D 1分别是BC 与B 1C 1的中点， 所以B 1D 1∥BD ，且B 1D 1=BD, 所以四边形B 1BDD 1为平行四边形， 所以BB 1∥DD 1,且BB 1=DD 1. 又因为AA 1∥BB 1,AA 1=BB 1, 所以AA 1∥DD 1，AA 1=DD 1,
所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形，所以A 1D 1∥AD. 又A 1D 1⊄平面AB 1D,AD ⊂平面AB 1D, 故A 1D 1∥平面AB 1D.
(2)方法一：在△ABC 中，因为AB=AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC. 因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A-B 1BC 的高. 在△ABC 中，由AB=AC=BC=4得AD=23. 在△B 1BC 中，B 1B=BC=4,∠B 1BC=60°, 所以△B 1BC 的面积12
B BC
3S
4434
=
⨯=. 所以三棱锥B 1-ABC 的体积，即三棱锥A-B 1BC 的体积,
1B BC
11
V S
AD 432383
3
=⨯=⨯⨯=.
略
18.(1)连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点， 又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO . 因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以PB ∥平面ACM .
(2)因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD ，而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .
(3)取DO 中点N ，连接MN 、AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝1
2PO ＝1.
由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， 所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝1
2，
所以DO ＝
52，从而AN ＝12DO ＝54
，
在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝
MN AN ＝15
4
＝455， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为45
5。