初中数学全等三角形精讲
初中数学全等三角形知识点
初中数学全等三角形知识点(一)、基本概念1、“全等”的理解全等的图形需要满意：(1)外形相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的'性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上(二)敏捷运用定理证明两个三角形全等，需要依据已知条件与结论，仔细分析图形，精确无误的确定对应边及对应角;去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。
运用定理证明三角形全等时要留意以下几点。
1、判定两个三角形全等的定理中，需要具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在查找全等的条件时，总是先查找边相等的可能性。
2、要擅长发觉和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要擅长敏捷选择适当的方法判定两个三角形全等。
(1)已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)三、疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时肯定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
切记不要弄错。
2、对全等三角形判定方法理解错误;3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。
《全等三角形》ppt课件人教版初中数学3
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
二.角的平分线：
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, ∴ △EBC≌△EBD (AAS)
（可简写成“ASA”) 如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且
平分DE. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB,
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与
“对角”的不同含义；
如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
D AC=DF
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
第12章全等三角形复习 课
全章知识结构图
三角形全等 （全等的判定）
S.S.S. S.A.S. A.S.A. A.A.S. H.L.（RtΔ）
初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版
初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。
例如，图13-1和图13-2就是全等图形。
2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。
6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。
初中数学知识归纳全等三角形
初中数学知识归纳全等三角形全等三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将对初中数学中与全等三角形相关的知识进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用全等三角形。
一、全等三角形的定义全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
两个三角形全等的条件是：两边对应相等且夹角对应相等，或三边对应相等。
二、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边和对应角都相等。
2. 全等三角形的各边对应的中点连线互相平行，且长度相等。
3. 全等三角形的高、中线、角平分线等都互相平行，且长度相等。
4. 全等三角形的高度、中线、角平分线等的交点都在各个对应边上。
三、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法：如果两个三角形的两边分别相等且夹角相等，则这两个三角形全等。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两角分别相等且夹边相等，则这两个三角形全等。
4. AAS判定法：如果两个三角形的两个角分别相等且夹边的对应边相等，则这两个三角形全等。
5. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形全等。
四、全等三角形的应用1. 利用全等三角形的性质可以求解各种几何问题，如求线段长度、角度大小等。
2. 利用全等三角形的判定法可以帮助我们判断是否存在全等三角形，解决相应的几何问题。
3. 全等三角形在建筑、工程测量等实际问题中具有广泛的应用，如通过测量已知边长的三角形来计算未知边长的三角形。
五、常见的全等三角形1. 等腰三角形：如果一个三角形两边相等，则它是等腰三角形，等腰三角形的底角及顶角相等。
2. 等边三角形：如果一个三角形的三条边相等，则它是等边三角形，等边三角形的三个内角均为60°。
3. 直角三角形：如果一个三角形有一个角为90°，则它是直角三角形，直角三角形是全等三角形中常见的一种形式。
通过对初中数学中与全等三角形相关的知识进行归纳，我们可以更好地理解和应用全等三角形。
初中数学知识点精讲精析 直角三角形全等的判定 (2)
2.8 直角三角形全等的判定学习目标1.探索两个直角三角形全等的条件。
2.掌握两个直角三角形全等的条件（HL ）。
知识详解1.直角三角形全等的判定定理（Ⅰ）文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（角写为“HL ”） （Ⅱ）数学语言：在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'''''AB AC AB C A ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴Rt △ABC ≌Rt △A'B'C'（HL ）说明：证明两个直角三角形全等时，一定要分清用判定定理“HL ”，还是用一般三角形全等的判定定理。
书写证明的格式也要注意区分，不要混淆。
2.定理的运用：“HL ”是直角三角形独有的判定定理，对于一般三角形不成立，“HL ”定理是直角三角形全等判定的补充。
3.角平分线的性质定理（Ⅰ）文字语言：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（Ⅱ）数学语言：∵OP 是∠AOB 的平分线PE ⊥OA 于E ，PD ⊥OB 于D∴PD ＝PE （角平分线性质）（Ⅲ）定理的作用：证明线段相等4.角平分线的判定定理（性质定理的逆命题）（Ⅰ）文字语言：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（Ⅱ）数学语言：∵点P 在∠AOB 的内部PD ⊥OA 于DPE ⊥OB 于E∴点P 在∠AOB 的平分线上（角平分线的判定定理）（Ⅲ）定理的作用：证明角相等【典型例题】例1：1.已知：如图，A 、E 、F 、B 四点在一条直线上，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE ＝BF ，AC ＝BD 求证：CF ＝DE 。
【答案】证明：因为AC ⊥CE ，BD ⊥DF所以∠ACE ＝∠BDF ＝90°在Rt △ACE 和Rt △BDF 中AE ＝BF （已知）AC ＝BD （已知）∴Rt △ACE ≌Rt △BDF （HL ）∴∠A ＝∠B∵AE ＝BF∴AE+EF ＝BF+EF即AF ＝BE在△ACF 和△BDE 中AF BE A B AC BD =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪()()()已证已证已知∴△ACF ≌△BDE （SAS ）∴CF ＝DE【解析】证线段相等，通常利用三角形全等的性质证明，但往往证一次全等不能解决问题，本题利用两次全等实现了最终目的，第一次全等为第二次全等创造条件。
初中数学《全等三角形》课件PPT
知2－练
1 说出图12.1-2 (2)、图12.1-2 (3)中两个全等三角形 的 对应边、对应角.
(2)(3)图 1源自.1-2（来自教材）知2－练
解：在教材图12.12(2)中，AB和DB，BC和BC，AC和 DC是对应边；∠A和∠D，∠ABC和∠DBC， ∠ACB和∠DCB是对应角． 在教材图12.12(3)中，AB和AD，BC和DE，AC和 AE是对应边；∠BAC和∠DAE，∠B和∠D，∠C 和∠E是对应角．
知1－导
知1－讲
一个图形经过平移,翻折，旋转后，位置变化了， 但＿形＿状＿和＿大＿小＿都没有改变，即平移，翻折， 旋转前后的图形___完__全__重__合__ . 定义 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.
能够完全重合 的两个图形叫做全等形.
（来自《教材》）
知1－讲
例1 下列图中是全等形是 ①和⑨、②和③、④和⑧、⑪和⑫ .
例2 如图，已知△ABD≌△CDB，∠ABD＝∠CDB， 写出其对应边和对应角．
知2－讲
导引：在△ABD和△CDB中，∠ABD＝∠CDB，则 ∠ABD，∠CDB所对的边AD与CB是对应边，公共 边BD与DB是对应边，余下的一对边AB与CD是对 应边．由对应边所对的角是对应角可确定其他两组 对应角．
（来自《典中点》）
知1－练
3 下列说法：①两个图形全等，它们的形状相同；
②两个图形全等，它们的大小相同；③面积相
等的两个图形全等；④周长相等的两个图形全
等．其中正确的个数为( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（来自《典中点》）
知识点 2 全等三角形及对应元素
知2－导
能够完全重合的两个三角形,叫做_全__等__三__角__形___.
三角形全等模型详细专题 初中数学
全等三角形中辅助线的添加主要内容：复习三角形全等的判定定理，通过三角形全等证明图形中线段和角度的关系。
（位置关系和数量关系）学习目标：通过学习三角形全等的判定，探索三角形全等的条件，能够培养比较完整、清晰的思维逻辑能力并进行基础的推理论证能力。
学习重点：灵活应用三角形中线段的性质与三角形的判定定理证明综合性的题目。
学习难点：能够从结论出发，联系已知，找出解决问题的关键点，同时能够挖掘出图中的隐含条件而且能够将未知转化为已知来解决问题（基本的全等模型与常见辅助线）。
一、知识精讲1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或者“SSS”。
（三角形具有稳定性）2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。
4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
5.在直角三角形中，一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“HL”。
6.易错点：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等这个结论是不正确的。
EDFCBADCB A二、典型例题： 考点一倍长中线法：当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等条件：△ABC 中AD 是BC 边中线方法一： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式 方法二：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE方法三： 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN【例题1】 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.【例题2】如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.【变式训练】1、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.【练习题】1、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．2、如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AE=AF。
初中数学知识归纳三角形的全等性质与计算
初中数学知识归纳三角形的全等性质与计算三角形是初中数学中重要的概念之一，对于理解三角形的性质以及进行计算至关重要。
本文将对三角形的全等性质进行归纳，并介绍一些相关的计算方法。
一、全等性质的概念与判定全等是指两个事物在形状、大小、性质等方面完全相同。
在三角形中，当两个三角形的对应边和对应角完全相等时，我们可以判断这两个三角形是全等的。
1. 全等三角形的判定条件全等三角形的判定条件有五种，分别是：（1）SSS判定法：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形是全等的。
（2）SAS判定法：如果两个三角形的一条边和该边上的两个夹角分别与另外一个三角形的一条边和该边上的两个夹角相等，则这两个三角形是全等的。
（3）ASA判定法：如果两个三角形的两个角和这两个角所夹的边分别与另外一个三角形的两个角和这两个角所夹的边相等，则这两个三角形是全等的。
（4）AAS判定法：如果两个三角形的两个角和一个非夹角的对应边分别与另外一个三角形的两个角和一个非夹角的对应边相等，则这两个三角形是全等的。
（5）HL判定法：如果两个三角形的一条直角边和斜边分别与另外一个三角形的一条直角边和斜边相等，则这两个三角形是全等的。
通过以上的判定法则，我们可以准确地判断两个三角形是否全等，这对于后续计算和推理非常重要。
二、全等性质的应用1. 三角形全等导致的性质（1）对应顶点性质：两个全等三角形的对应顶点是相等的。
即，如果三角形ABC与三角形DEF全等，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
（2）对应边性质：两个全等三角形的对应边是相等的。
即，如果三角形ABC与三角形DEF全等，则AB=DE，BC=EF，AC=DF。
（3）对应角性质：两个全等三角形的对应角是相等的。
即，如果三角形ABC与三角形DEF全等，则∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，∠CAB=∠FDE。
2. 利用全等性质进行计算根据全等性质，我们可以利用已知的边长或角度来计算其他未知的边长或角度。
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七年级数学三角形精讲［知识点归纳总结］1. 三角形的三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。
2. 三角形的内角和三角形三个内角的和等于180°。
3. 三角形全等的条件（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。
4. 全等三角形的性质全等三角形的对应角相等，对应边相等。
5. 三角形的外角性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
专题总复习（一）全等三角形、轴对称一、复习目标：1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念.2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题.3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力.二、重难点分析：1、全等三角形的性质与判定；2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题.三、知识点梳理：知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.知识点二：全等三角形的性质.（1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.知识点三：判定两个三角形全等的方法.（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.③有公共边的，公共边一定是对应边.④有公共角的，公共角一定是对应角.⑤有对顶角的，对顶角是对应角.⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.知识点五：找全等三角形的方法.（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.知识点六：角平分线的性质及判定.（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.知识点七：证明线段相等的方法.（重点）（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（2）证明两个三角形全等，则对应边相等（3）借助中间线段相等.知识点八：证明角相等的方法.（重点）（1）对顶角相等；（2）同角或等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；（5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等；（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.知识点九：全等三角形中几个重要的结论.（1）全等三角形对应角的平分线相等；（2）全等三角形对应边上的中线相等；（3）全等三角形对应边上的高相等.知识点十：三角形中常见辅助线的作法.（重难点）（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；（2）引平行线构造全等三角形；（3）作垂直线段（或高）；（4）取长补短法（截取法）.【典型例题】例1. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别在AB、BC、CA上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，图中是否存在和△BDE全等的三角形？说明理由。
ADFB E C解：△CEF≌△BDE理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C又∵∠DEC＝∠B＋∠BDE∴∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE∵∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE∴===⎧⎨⎪⎩⎪∠∠（已证）（已知）∠∠（已证）BDE CEFBD CEB C∴△CEF≌△BDE（ASA）例2. 已知：AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，BF＝DE，则AB∥CD，为什么？D CA BE F解：理由：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠DEC ＝∠BFA ＝90° 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中C D A B B F D E ==⎧⎨⎩（已知）（已知）∴Rt △DEC ≌Rt △BFA （HL ） ∴∠DCE ＝∠BAF ∴CD ∥AB例3. 用两个全等的等边△ABC 和△ACD 拼成一个四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转，问：当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于E 、F 时，通过观察或测量BE 、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。
A DB CFE 1 2解：结论：BE ＝CF理由：∵△ABC 、△ACD 为等边三角形∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ＝60°，∠BAC ＝60° 又∵∠1＋∠EAC ＝60°，∠2＋∠EAC ＝60° ∴∠1＝∠2∴∠∠（已证）（已证）∠∠（已证）12===⎧⎨⎪⎩⎪AB AC B A C F ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）∴BE ＝CF例4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，AE 是BC 边上的高，∠B ＝20°，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数。
A解：∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180° 又∵∠B ＝20°，∠C ＝40°∴∠BAC ＝180°－20°－40°＝120° ∵AD 平分∠BAC∴∠∠×D A C B A C o o===121212060∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90° 又∵∠C ＝40°∴∠EAC ＝90°－40°＝50°∴∠DAE ＝∠DAC －∠EAC ＝60°－50°＝10°例5. 如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，且AC ＝3cm ，BD ＝5cm ，你能利用全等三角形有关知识测出AB 的长吗？DCA BE解：如图所示，在AB 上截取AF ＝AC ，连结EFD∵AE 是∠CAB 平分线 ∴∠CAE ＝∠BAE ∵AC ＝AF ，AE ＝AE ∴△ACE ≌△AFE ∴∠C ＝∠EFA∵AC ∥BD ，∴∠C ＋∠D ＝180° ∵∠AFE ＋∠EFB ＝180° ∴∠D ＝∠EFB∵BE 平分∠DBA ，∴∠DBE ＝∠FBE ∵BE ＝BE ，∴△DBE ≌△FBE ∴BF ＝BD∴AB ＝AC ＋BD∵AC ＝3cm ，BD ＝5cm∴AB ＝8cm全等三角形的有关证明（提高篇）关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。
要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等直角三角形的全等问题：直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL 定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。
例一：图1，已知D O ⊥BC ，O C =O A ，O B =O D ，问CD =AB 吗？[分析]：此图形可看作绕O 点旋转得到，由垂直得到一组直角，把结合其他两组边，很容易找到他们所在的三角形。
[变形1]：请说明△BCE 是直角三角形。
（利用全等三角形的对应角相等，以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换）解：易得△AOB ≌△COD （此过程较简单，略过不描述）∴ ∠B=∠D （全等三角形的对应角相等） 又 ∠OAB=∠DAE （对顶角相等）而在Rt △AOB 中，∠OAB+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余） ∴ ∠DAE+∠D=90°（等量代换）∴ 在△ADE 中，∠DEA=180° （∠DAE+∠D ）=90∴ ∠BEC=90°（补角性质） 故△BCE 是直角三角形[变形2]：把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上， 连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求证：AF ⊥BE ．[分析]：此图中要说明AF ⊥BE ，与上题中△BCE 是直角三角形是一样的意思，C图1只需要说明∠BFD=90°即可[变形3]：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结CD ． （彩图为提示）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：CD ⊥BE[变形4]、如图2，在△ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD=BD ，问△BHD ≌△ACD ，为什么？[分析]：此题实际上就是[变形1]的反问，已经存在一组直角（由垂直得到），一组相等的边（已知），再利用“同（等）角的余角相等”来得到第二组角相等！[变形5]：如图3， 已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，问BM =ME 吗？说明理由。
[变形6]：如图4，AD 是一段斜坡，AB 是水平线，现为了测斜坡上一点D 的竖直高度DB 的长度，欢欢在D 处立上一竹竿CD ，并保证CD ⊥AD ，然后在竿顶C 处垂下一根绳CE ，与斜坡的交点为点E ，他调整好绳子CE 的长度，使得CE=AD ，此时他测得DE=2米，于是他认定DB 的高度也为2米，你觉得对吗?请说明理由。
图2ABCE H D图3AC M EFBD图4EBAD C图2A C BED 图1AB例二：如图1，已知，AC ⊥CE ，AC=CE ， ∠ABC=∠CDE=90°，问BD=AB+ED 吗?[分析] ：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系； （3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD 。