帕斯瓦尔定理证明
信号分析与处理——傅里叶变换性质
1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得 的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为： 所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )
“帕普斯—古尔丁”定理的证明及其在中学物理领域的应用
“帕普斯—古尔丁”定理的证明及其在中学物理领域的应用作者：王磊陈建文来源：《物理教学探讨》2019年第11期摘 ; 要：“帕普斯—古尔丁”定理早在古希腊时期就被几何学家发现了，该原理的思辨性容易被中学数学水平的学生理解，其证明方法可以用微积分所得，当把该原理应用于处理求刚体重心有关的物理问题时可以代替微积分方法，有效地简化物理问题的处理，尤其是在高中物理竞赛和大学物理课程中使用更为多见。
关键词：“帕普斯-古尔丁”定理;刚体重心;竞赛中图分类号：G633.7 文献标识码：A ; ;文章编号：1003-6148（2019）11-0058-31 ; ;“帕普斯—古尔丁”定理的介绍古希腊后期的几何学家帕普斯（Pappus，约公元300—350年前后），在其所著的《数学汇编》中记载了关于旋转体体积的一个定理，大意为：“封闭的平面图形围绕同一平面内且不与之相交的轴回转，所产生的体积等于这图形面积乘以图形重心所描画出的圆周的长”。
他还进一步断言：“可以将封闭平面图形改成一段平面曲线，它回转所产生的曲面面积等于曲线的长乘以其重心所画过的圆周的长。
”帕普斯只叙述而没有证明。
文艺复兴后期，瑞士数学家古尔丁（图1）重新独立发现了这一定理，记录在他的著作《关于重心》中。
实际上，他也没有证明，只是作了“形而上学”的推理。
因此，后人常称之为“帕普斯—古尔丁”定理[1]。
意大利数学家卡瓦列里（图2）指出这一缺陷后，用自己创立的微积分奠基理论“不可分量原理”证明了该定理的成立。
2 ; ;“帕普斯—古尔丁”定理的微积分证明[1]任意的平面封闭几何形状（图3），其面积为S，该几何图形的重心为C，在该几何图形平面内任取一与该几何图形无相割的直线x为转轴，重心C与x轴的垂直距离为yC，使该几何图形绕x轴旋转α角（α≤2π）形成一个立体几何体。
根据“帕普斯—古尔丁”定理，该几何体的体积为：以直线x为x轴建立三维直角坐标系。
将该图形置于三维坐标系中的xy平面内研究（图4），把该图形分成上下两部分，上下两边界的曲线分别看成y关于x的函数y1=f1（x），y2=f2（x）。
现代通信原理 第2章 确定信号分析
设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
44
第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
45
第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理 若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立 叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时 域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频 谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函 数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
31
第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。
现代通信原理答案WORD版( 罗新民)指导书 第二章 确定信号分析 习题详解
第二章 确定信号分析2-1图E2.1中给出了三种函数。
图 E2.1①证明这些函数在区间（-4，4）内是相互正交的。
②求相应的标准正交函数集。
③用（2）中的标准正交函数集将下面的波形展开为标准正交级数：⎩⎨⎧≤≤=为其它值t t t s ,040,1)(④利用下式计算（3）中展开的标准正交级数的均方误差： ⎰∑-=-=44231])()([dt t u a t s k k k ε⑤对下面的波形重复（3）和（4）：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=为其它值t t t t s ,044),41cos()(π ⑥图E2.1中所示的三种标准正交函数是否组成了完备正交集？解：①证明：由正交的定义分别计算，得到12()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，23()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，31()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，得证。
②解：424()8,k C u t dt k -== =1,2,3⎰，对应标准正交函数应为()(),1,2,3k k q t t k ==因此标准正交函数集为123123{(),(),()}(),()()}q t q t q t t t t =③解：用标准正交函数集展开的系数为4()(),1,2,3k k a s t q t dt k =⋅ =⎰，由此可以得到4110()()a s t t dt ===⎰4220()()a s t t dt ===⎰4330()()0a s t t dt ==⎰。
所以，121211()()()()()22s t t t u t u t ==-④解：先计算得到312111()()()()()()022k k k t s t a u t s t u t u t ε==-=-+=∑ ⑤解：用标准正交集展开的系数分别为441141()())04a s t t dt t dt π--===⎰⎰，44224011()()cos()cos()044a s t t dt t dt t dt ππ--==-=⎰⎰⎰，433422442()()111cos()))444a s t t dtt dt t dt t dt ππππ----= =-+- =⎰⎰⎰⎰。
帕普斯六边形定理-概述说明以及解释
帕普斯六边形定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:帕普斯六边形定理是几何学中一个重要且经典的定理，它是由法国数学家帕普斯于1809年提出的。
该定理关于一个六边形内部的对角线和相邻边的比例关系，具有独特的几何性质。
帕普斯六边形定理不仅是一个美妙的几何结果，更是对几何学中三角形、比例和对角线等基本概念的深刻理解和运用。
通过研究和理解帕普斯六边形定理，我们可以更深地领悟几何学的奥妙，拓展我们对几何学的认识。
本文将介绍帕普斯六边形定理的基本概念、证明过程以及其在实际问题中的应用与意义。
希望通过本文的详细阐述，读者能够对帕普斯六边形定理有一个全面而深入的理解。
1.2 文章结构文章结构部分主要包括以下内容:1. 引言部分介绍帕普斯六边形定理的概述，说明本文的目的和意义。
2. 正文部分首先介绍帕普斯六边形定理的历史背景和基本概念，然后详细解释帕普斯六边形定理的证明过程，最后探讨该定理在实际中的应用与意义。
3. 结论部分对本文进行总结，展望帕普斯六边形定理在未来可能的研究方向，最后以精辟的结语结束全文。
1.3 目的:帕普斯六边形定理作为几何学中重要的基本定理之一，其提出的主要目的在于揭示了六边形内部三对对角线交点共线的规律，为我们提供了一种新的视角去理解六边形的性质和结构。
通过深入研究和理解帕普斯六边形定理，我们可以更好地掌握几何学的基本概念和证明技巧，提高我们解决几何问题的能力。
此外，帕普斯六边形定理在实际应用中也具有重要意义。
例如，可以通过利用该定理来证明六边形内部对角线交点共线，从而解决一些实际生活中的几何问题，如建筑设计、地图制作等。
因此，深入学习和理解帕普斯六边形定理的目的不仅在于提高我们的数学水平，更在于应用到实际问题中，为我们的生活和工作带来便利和启发。
2.正文2.1 帕普斯六边形定理介绍帕普斯六边形定理是几何学中的一个重要定理，它指出：对于一个任意六边形，如果将其相邻的三个顶点分别连线，形成三个交点，那么这三个交点将会位于一条直线上。
奥本海姆《信号与系统》配套题库【课后习题】(周期信号的傅里叶级数表示)
第3章周期信号的傅里叶级数表示基本题3.1 有一实值连续时间周期信号x（t），其基波周期了T＝8，x（t）的非零傅里叶级数系数为a1＝a－1＝2，a3＝a－3＝4j。
试将x（t）表示成：解：3.2 有一实值离散时间周期信号x[n]，其基波周期N＝5，x[n]的非零傅里叶级数系数为，试将x[n]表示成：解：3.3 对下面连续时间周期信号求基波频率ω0和傅里叶级数系数a k，以表示成解：即非零的傅里叶级数系数为3.4 利用傅里叶级数分析式计算下连续时间周期信号（基波频率ω0＝π）的系数a k：解：因ω0＝π，故3.5 设x1（t）是一连续时间周期信号，其基波频率为叫ω1，傅里叶系数为a k，已知x2（t）＝x1（1－t）十x1（t－1），问x2（t）的基波频率ω2与ω1是什么关系？求x2（t）的傅里叶级数系数b k与系数a k之间的关系。
解：x1（1－t）和x1（t－1）的基波频率都是ω1，则它们的基波周期都是T1＝2π/π。
因为x2（t）是x1（1－t）和x1（t－1）的线性组合，所以x2（t）的基波周期，即ω2＝ω1。
又故即3.6 有三个连续时间周期信号，其傅里叶级数表示如下：利用傅里叶级数性质回答下列问题：（a）三个信号中哪些是实值的？（b）哪些又是偶函数？解：（a）与式对照可知，对于x1（t），有由共轭对称性可知，若x1（t）为实信号，则有显然故x1（t）不是实信号。
同理，对于x2（t），对于x3（t），由于故可知x2（t）和x3（t）都是实信号。
（b）由于偶函数的傅里叶级数是偶函数，由上可知，只有x2（t）的a k是偶函数，故只有x2（t）是偶信号。
3.7 假定周期信号x（t）有基波周期为T，傅里叶系数为，的傅里叶级数系数为b k。
已知，试利用傅里叶级数的性质求a k用b k和T表达的表达式。
解：当k＝0时，故3.8 现对一信号给出如下信息：（1）x（t）是实的且为奇函数；（2）x（t）是周期的，周期T＝2，傅里叶级数为a k；（3）对|k|>1，a k＝0；（4）试确定两个不同的信号都满足这些条件。
梅涅劳斯证明帕普斯定理
梅涅劳斯证明帕普斯定理1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下几个方面：首先，介绍梅涅劳斯（Menas Melatos）和帕普斯（Peter Papus）两位数学家的背景和重要性。
梅涅劳斯是一位著名的数学家，他在广义相对论和引力波等领域有着杰出的贡献。
帕普斯是一位数学物理学家，他在弦论和拓扑量子场论等领域有着卓越的研究成果。
两位数学家的合作和研究旨在证明帕普斯定理，这个定理在数学和物理学领域有着广泛的应用和重要性。
接着，说明梅涅劳斯和帕普斯定理的背景和意义。
帕普斯定理是数学和物理学领域中的重要定理之一，它涉及到拓扑学和流形上的曲率。
该定理在解决某些物理问题时起到了至关重要的作用，例如在引力波和宇宙学研究中有着广泛的应用。
证明该定理对于进一步深入理解和探索我们的宇宙和自然界有着重要的意义。
最后，概述本文的结构和目标。
本文将分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分将对研究背景和问题进行介绍，正文部分将详细阐述梅涅劳斯和帕普斯定理及其证明过程。
结论部分将对整个研究进行总结，并探讨梅涅劳斯和帕普斯定理的研究意义和可能的应用方向。
通过本文的撰写，旨在向读者提供一个清晰和全面的了解梅涅劳斯和帕普斯定理的机会，并对相关领域的研究做出一定的贡献。
1.2 文章结构文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对梅涅劳斯证明帕普斯定理进行概述和背景介绍。
首先，我们会简要介绍梅涅劳斯是谁以及他对数学的重要贡献。
然后，我们会介绍帕普斯定理的定义和意义，以及该定理在数学中的重要性。
最后，我们会明确文章的目的，即通过梅涅劳斯的证明，来证实帕普斯定理的有效性。
正文部分将详细探讨梅涅劳斯的证明过程以及其对帕普斯定理的证明。
我们将会逐步介绍梅涅劳斯的证明思路和方法，并着重说明其证明的关键步骤和重要结论。
我们将展示梅涅劳斯如何从一系列假设和命题出发，通过严谨的逻辑推理和数学推导，最终得出帕普斯定理的正确性。
此部分将会详细解释每一个关键的证明步骤，并对其中的数学概念进行必要的定义和解释。
耐人寻味的帕普斯（Pappus）定理[1]
![耐人寻味的帕普斯（Pappus）定理[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a13c6ccd370cba1aa8114431b90d6c85ec3a8834.png)
耐人寻味的帕普斯（Pappus）定理[1] 几何中有一个著名的帕普斯定理：
X
图1
这一美妙的定理最早由公元四世纪左右的古希腊数学家帕普斯（Pappus）发现，所以被称为帕普斯定理。
表面看上去它平凡无奇，所涉及的是几何中最简单不过的元素——点和直线，但真正要动手证明它却感到出奇地困难，简直是“无从下手”，“无计可施”（倘若你不知道梅涅劳斯定理的话[2]），沮丧之余有一种十分“诡异”和“神秘”的感觉，觉得此定理“莫测高深”，“莫名其妙”。
这种感觉无疑是一种正确和宝贵的直觉，因为从本质上讲，帕普斯定理是一个深刻的射影几何的定理（注意它只涉及点线关系，而不涉及任何度量和角度），对于没有学过射影几何的人，恐怕真的是有点“高不可攀”，“深不可测”，“妙不可解”。
（能够独立地用平面几何方法证明它的人一定具有极高的数学天赋，而能够独立地悟出它背后隐藏的玄机的人就是数学天才了。
[3]）
【注1】请读者思考一下当这些直线中有一对或两对互相平行时会出现什么情况（我们后面将把它作为帕普斯定理的特殊情形单独讨论）。
【注2】即便知道梅涅劳斯定理，具体该怎么用却也是一片茫然，因为三角形和截线实在太多，犹如一堆乱麻，理不出一个头绪来。
【注3】帕普斯虽然发现了这个定理，但遗憾的是，他显然并没有意识到它背后隐藏的普遍原理——即射影几何的原理，否则，射影几何就会提前一千多年被发现。