八年级初二数学下学期勾股定理单元专题强化试卷学能测试

八年级初二数学下学期勾股定理单元专题强化试卷学能测试
一、选择题
1．在ABC 中，AB 边上的中线3,6,8CD AB BC AC ==+=，则ABC 的面积为
（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）
A ．29cm
B ．5cm
C ．37cm
D ．4.5cm
3．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（ ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．10
4．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )
A ．2
B ．2
C ．3
D ．4 5．如图所示，在中，
，
，
.分别以
，
，
为直径作
半圆（以
为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．6
6．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12
7．一艘渔船从港口A 沿北偏东60°方向航行至C 处时突然发生故障，在C 处等待救援．有一救援艇位于港口A 正东方向20（3﹣1）海里的B 处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C 处救援．则救援艇到达C 处所用的时间为（ ）
A ．
3
3
小时 B ．
2
3
小时 C ．
22
3
小时 D ．
232
3
+小时 8．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2
a b （）
+的值为（ ）
A ．13
B ．19
C ．25
D ．169
9．如图，在△ABC 中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC 边上的高AD 为（ ）
A ．8
B ．9
C ．
24
5
D ．10
10．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）
A ．5
B ．7
C ．5
D ．5或7
二、填空题
11．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．
12．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，
45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．
13．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．
14．在△ABC 中，若2222
25,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____． 15．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________. 16．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.
17．已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=7，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC 上，DE=DF，若BF=4，则EF=_______
18．如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90º，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为________________．
19．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F，交 AC 于 E，交 BA 的延长线于 G，若 EG＝3，则 BF 的长是______．
20．如图所示，圆柱体底面圆的半径是2
，高为1，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的
外侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是______
三、解答题
21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点
．．．．．．．D．，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3D，使四边形ABCD是
邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．
23．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？ （2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，
①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值. ②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.
（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积. 24．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．
(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________； (2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；
(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示) 25．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .
（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知
21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.
①试证明ABD ∆是直角三角形；
②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）
（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.
26．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ． （1）补全图形.
（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).
（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.
27．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .
（1）直接写出BC =__________，AC =__________； （2）求证：ABD ∆是等边三角形；
（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；
（4）P 是直线AC 上的一点，且1
3
CP AC =
，连接PE ，直接写出PE 的长.
28．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，
①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；
②求证：BD2+CD2＝2AD2；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．
29．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；
②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．
30．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知
AB=10,BC=6,AC=8.
(1)求证:△ADG≌△BDF；
(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；
(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(4)求线段EF长度的最小值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC 为直角三角形，再根据勾股定理求得
228AC BC = ，最后根据1
2
ABC AC BC ∆=
⋅求解即可. 【详解】
解：如图，在ABC 中，AB 边上的中线， ∵CD=3，AB= 6， ∴CD=3，AB= 6， ∴CD= AD= DB ，
12∠∠∴=，34∠=∠ ， ∵1234180∠+∠+∠+∠=︒，
∴1390∠+∠=︒， ∴
ABC 是直角三角形，
∴22236AC BC AB +==， 又∵8AC BC +=，
∴22264AC AC BC BC +⋅+=，
∴22264()643628AC BC AC BC ⋅=-+=-=， 又∵
1
2
ABC AC BC ∆=
⋅， ∴128722
ABC S ∆=⨯=， 故选B.
【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.
2．B
解析：B
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA'，A C''，C B''，B B'剪开，得图1:
22222
'=+'=++=；
AB AB BB
(21)425
（2）沿AC，CC'，C B''，B D''，D A''，A A'剪开，得图2:
22222
'=+'=++=+=；
AB AC B C
2(41)42529
DD，B D''，C B''，C A''，AA'剪开，得图3:
（3）沿AD，'
22222
'=+'=++=+=；
1(42)13637
AB AD B D
AB'=．
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以225
AB'=，即5cm
故选：B．
【点睛】
此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．
3．D
解析：D
根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离即AP5为4+23，设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，再用含a的式子表示出P1P3，P3P5，从而可求出a的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．
【详解】
解：如图，∵AP1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P1P2A=15°，
∴∠P2P1P3=30°，∴∠P1P3P2=30°，∴∠P3P2P4=45°，
∴∠P3P4P2=45°，∴∠P4P3P5=60°，∴∠P3P5P4=60°，
∴∠P5P4P6=75°，∴∠P4P6P5=75°，∴∠P6P5B=90°，
此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．
设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，
∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=1
2P1P2，∴P1D＝
3
a，
∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P1D =3a，
∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，
∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，
∴AP5=a+3a+a＝4+23，
解得，a＝2，
∴所有钢条的总长为2×5＝10，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据勾股定理求出BC的长，易得四边形ADFO为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.
【详解】
解：过点O作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，
∵BO,CO分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
所以OD=OE=OF，
∴△BDO≌△BEO,∴BE=BD.
同理可得，CE=CF.
又四边形ADOE为矩形，∴四边形ADOE为正方形.
∴AD=AF.
∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∴BC=10.
∴AD+BD=6①,
AF+FC=8②，
BE+CE=BD+CF=10③，
①+②得，AD+BD+AF+FC=14，即2AD+10=14，
∴AD=2.
故选：B.
【点睛】
此题考查了角平分线的定义与性质，以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．5．D
解析：D
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算BC的长度，然后阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积.
【详解】
解：在中
∵，,
∴,
∴BC=3,
∴阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+-以AC为直径的半圆面积=6.故选D.
【点睛】
本题考查扇形面积的计算和勾股定理.在本题中解题关键是用重叠法去表示阴影部分的面积. 6．C
解析：C
【解析】
【分析】
要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故选：C．
【点睛】
此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
过点C作CD垂直AB延长线于D，根据题意得∠CDB=45°，∠CAD=30°，设BD=x则
CD=BD=x，2x，由∠CAD=30°可知tan∠CAD=
3
CD
AD
=
3
20(31)x
=
-+
，
解方程求出BD的长，从而可知BC的长，进而求出救援艇到达C处所用的时间即可.【详解】
如图：过点C作CD垂直AB延长线于D，则∠CDB=45°，∠CAD=30°，
∵∠CDB=45°，CD⊥BD，
∴BD=CD，
设BD=x，救援艇到达C处所用的时间为t，
∵tan∠CAD=
3
3
CD
AD
=，AD=AB+BD，
∴
3
20(31)x
=
-+
，得x=20（海里），
∴BC=2BD=202（海里），
∴t=202
30
=
22
3
（小时），
故选C.
【点睛】
本题考查特殊角三角函数，正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键. 8．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据题意得：222
c a b
=+=13，4×1
2
ab=13﹣1=12，即2ab=12，则
2
()
a b
+=22
2
a a
b b
++=13+12=25，故选C．
考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．
9．C
解析：C
【分析】
本题根据所给的条件得知，△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求出BC边上的高.
【详解】
∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，
∴62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
则由面积公式可知，S△ABC＝1
2
AB⋅AC＝
1
2
BC⋅AD，
∴AD＝24
5
.故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，需要先证得三角形为直角三角形，再利用三角形的面积公式求得AD的值.
解析：D
【分析】
分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．
【详解】
当4是直角边时，斜边，
当4是斜边时，另一条直角边=，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
二、填空题
11．【分析】
利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =
，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .
【详解】
在Rt △ACD 中，CD=AD=
∴6=，
在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12
BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴222
1
6()2AB AB +=,
解得AB=
故答案为：
【点睛】
此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键.
12．5
【分析】
作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解．
作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAD′中，
{BA CA
BAD CAD AD AD =∠=∠=''
，
∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），
∴BD=CD′，∠DAD′=90°，
由勾股定理得22()4AD AD +='，
∵∠D′DA+∠ADC=90°，
∴由勾股定理得22(')5DC DD +=，
∴BD=CD′=5
故答案为5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．
13．48
【分析】
用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．
【详解】
解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，
则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()2
23S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，
∴()()22
22144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=
2233144a b +=
2248a b +=，
∴248S =．
故答案是：48．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．
14．125 【分析】 解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】
解：∵2222
25,7a b a b +=-=，
将两个方程相加得：2232a =，
∵a ＞0，
∴a=4
代入得：22425b +=，
∵b ＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC 是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
1122
ABC S AC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ， 即：
1134522
CD ⋅⋅=⋅⋅， 解得：CD=125，
故答案为：125. 【点睛】 本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
15．23或2
【分析】
先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.
【详解】
在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，
∴AB=2BC=4，
∴22224223AC AB BC =-=-=,
当AC 为腰时，则该三角形的腰长为23；
当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则AE=3,
设DE=x ，则AD=2x ，
∵222AE DE AD +=,
∴222(3)(2)x x +=
∴x=1（负值舍去），
∴腰长AD=2x=2，
故答案为：32
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.
16．5
【分析】
设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值
【详解】
如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10
设绳索x 尺，则OA=OB=x
∴OC=x+1-5=x-4
在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2
∴222
(4)10x x =-+
得x=14.5（尺）
故填14.5 ,
【点睛】
此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 17．322或11或5或
1095
【分析】
分别就E ，F 在AC,BC 上和延长线上，分别画出图形，过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H ，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.
【详解】
解：①过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H
∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°
又∵D 是AB 的中点，
∴DG=12
BC 同理：DH=
12
AC 又∵BC=AC
∴DG=DH 在Rt△DGE 和Rt△DHF 中
DG=DH,DE=DF
∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）
∴GE=HF
又∵DG=DH,DC=DC
∴△GDC≌△FHC
∴CG=HC
∴CE=GC -GE=CH-HF=CF=AB-BF=3 ∴EF=223332+=
②过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H
∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°
又∵D 是AB 的中点，
∴DG=12
BC 同理：DH=
12
AC 又∵BC=AC
∴DG=DH 在Rt△DGE 和Rt△DHF 中
DG=DH,DE=DF ∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）
∴GE=HF
又∵DG=DH,DC=DC
∴△GDC≌△FHC
∴CG=HC
∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11
221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，
∴∠1+∠2=45° ∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°
∴△EDF 为等腰直角三角形 可证AED CFD △△≌
∴AE=CF=3,CE=BF=4
∴2222435EF CE CF =+=+=
④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，
∴
ED=DF=522
,可证△E CF E DE ''∆∽,
2223y x +=
52
52x =+综上可得：422x =
∴2222E F DE DF DE '''''=+=
1095
E F ''= 【点睛】
本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.
1871
【分析】
分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差
【详解】
如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，
∴AP 的最大值为A P 1=AB=3
如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，
由折叠的性质有PC=BC=4，
在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--，
∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71-- 71
【点睛】
本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.
19．4
【分析】
根据线段垂直平分线得出AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE 和EF ，即可求出FG ，再求出BF=FG 即可
【详解】
∵AC 的垂直平分线FG ，
∴AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，
∵∠BAC=120°，AB=AC ，
∴∠B=∠C=12
（180°-∠BAC ）=30°， ∴∠B=∠G ，
∴BF=FG ，
∵在Rt △AEG 中，∠G=30°，EG=3，
∴AG=2AE ，
即（2AE ）2=AE 2+32，
∴3
即CE=3，
同理在Rt △CEF 中，∠C=30°，CF=2EF ，
（2EF ）2=EF 2+（3）2，
∴EF=1（负值舍去），
∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
20．5
【分析】
先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
【详解】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
∵AB=π•
2 =2，CB=1． ∴22AB ＋BC 222=5＋1
5
【点睛】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）363【分析】
（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．
（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．
（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．
【详解】
（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，
∴∠ACB =∠ABC ，
∴AB =AC ．
∵∠ACD =∠ADC ，
∴AC =AD ，
∴AB =AC =AD ．
∴四边形ABCD 是邻和四边形；
（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；
（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，
∴AC =()22222234AB BC +=+=，
显然AB ，BC ，AC 互不相等．
分两种情况讨论：
①当DA =DC =AC=4时，如图所示：
∴△ADC 为等边三角形，
过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =
160302⨯︒=︒， ∴122
AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-=
∴S △ADC =1423432
⨯⨯=S △ABC =12AB×BC =3， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =3
②当CD =CB =BD =3
∴△BDC为等边三角形，
过D作DE⊥BC于E，则∠BDE=1
6030
2
⨯︒=︒，
∴
1
3
2
BE BD
==
()()
22
222333
DE BD BE
=-=-=，
∴S△BDC=1
23333 2
⨯=
过D作DF⊥AB交AB延长线于F，
∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90︒-60︒=30︒，
∴DF=1
2
3
S△ADB=1
233
2
⨯=，
∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=3；
③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时，邻和四边形ABCD不存在．
∴邻和四边形ABCD的面积是3或3
【点睛】
本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．
22．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt△ABF中，可由勾股定理求出BF的长；
（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt△CEF中，可由勾股定理求出CE的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10，
又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，
故BF 的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，
又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，
∴FE=DE=8-x ，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，
∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，
故CE 的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
23．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92
；②k 的取值范围为
13k ≤<；（3）ABC ∆． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；
（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；
②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；
（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．
【详解】
（1）该命题是真命题，理由如下：
设等边三角形的三边边长为a
则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形
又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1
故该命题是真命题；
（2）①90,6CB b A ∠=︒=
c ∴=
根据优三角形的定义，分以下三种情况：
当2a b c +=时，6a +=，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根
当2a c b +=时，12a =，解得92
a =
当2b c a +=时，62a =，解得86a =>，不符题意，舍去
综上，a 的值为
92
； ②由题意得：,,a b c 均为正数 根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a ≥≥）
当2a b c +=时，则1b k a
=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+ 则2a b b a a b +-<<+，解得3b a <，即3b k a
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2a c b +=时，则1c k a =
≥ 由三角形的三边关系定理得c a b a c -<<+ 则2a c c a a c +-<<+，解得3c a <，即3c k a
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2b c a +=时，则1c k b =
≥ 由三角形的三边关系定理得c b a b c -<<+ 则2b c c b b c +-<<+，解得3c b <，即3c k b
=< 故此时k 的取值范围为13k ≤<
综上，k 的取值范围为13k ≤<；
（3）如图，过点A 作AD BC ⊥，则180********ABC ABD ∠=︒-︒∠-==︒︒ 设BD x =
22,AB BD x AD ∴====
AC ===11
422
ABC S BC AD ∆=⋅=⨯= ABC ∆是优三角形，分以下三种情况：
当2AC BC AB +=时，即44x =，解得103
x =
则10203232333ABC S x ∆==⨯= 当2AC AB BC +=时，即222428x x x +++=，解得65x =
则6123232355
ABC S x ∆==⨯= 当2BC AB AC +=时，即242424x x x +=++，整理得234120x x ++=，此方程没有实数根
综上，ABC ∆的面积为2033或1235
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键．
24．（1）∠CBD=20°；（2）AD=16
4；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】
（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；
（2）根据折叠可得AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，再在Rt △CDB 中利用勾股定理可得x 2+62=（8-x ）2，再解方程可得x 的值，进而得到AD 的长；
（3）根据三角形ACB 的面积可得112
AC CB m =+， 进而得到AC •BC=2m+2，再在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，再把左边配成完全平方可得CA+CB 的长，进而得到△BCD 的周长．
【详解】
（1）
∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，
∴∠1=∠A=35°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，
∴∠2=55°-35°=20°，
即∠CBD=20°；
（2）∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，
∴AD=DB ，
设CD=x ，则AD=BD=8-x ，
在Rt △CDB 中，CD 2+CB 2=BD 2，
x 2+62=（8-x ）2，
解得：x=
74， AD=8-74=164； （3）∵△ABC 的面积为m+1， ∴
12
AC •BC=m+1， ∴AC •BC=2m+2， ∵在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，
∴CA 2+CB 2+2AC •BC=BA 2+2AC •BC ，
∴（CA+BC ）2=m 2+4m+4=（m+2）2，
∴CA+CB=m+2，
∵AD=DB ，
∴CD+DB+BC=m+2．
即△BCD 的周长为m+2．
【点睛】
此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．
25．（1）①详见解析；（2）222
CD n =+-（1n >）；（2）
AD BD -=，理由详见解析.
【分析】
（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；
②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.
（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++
()()22
222211n n n =++=+
又∵()2
221AB n =+
∴222AD BD AB +=
∴△ABD 是直角三角形
②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，
∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90° ∴∠3=∠4
由①知△ABD 是直角三角形
∴1290∠+∠=︒
又∵290E ∠+∠=︒
∴∠1=∠E
在ACD ∆和BCE ∆中，
A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△BCE
∴CD CE =，AD BE =
∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+- 又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD
=+=
∴22CD =2222n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，
理由如下：
如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，
∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5
∴∠ACD=∠BCF
∵BD ⊥AD
∴∠ADB=90°
∴∠6+∠7=90°
∵∠ACB=90°
∴∠9=∠8=90°
又∵∠6=∠8
∴∠7=∠9
ACD ∆和BCF ∆中
97AC BC
ACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACD ≌△BCF
∴CD=CF ，AD=BF
又∵∠DCF=90° ∴由勾股定理得222
DF CD CF CD =+=
又DF=BF-BD=AD-BD
∴2AD BD CD -=
【点睛】
本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.
26．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，
∴∠PAD=α，AB=AD ，
∵90BAC ∠=︒，
∴902DAC α∠=︒-，
又∵AB=AC ，
∴AD=AC ，
∴∠ADC=1[180(902)]2
α⨯︒-︒-=45α︒+； （3）如图，连接BE ，
由（2）知：∠ADC=45α︒+，
∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，
∴∠AED=45°，
∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，
∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，
∴∠BED=90°，
∴△BED 是等腰直角三角形，
∴22222BD BE DE DE =+=， ∴2BD DE =
. 【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.
27．（1）2，232）证明见解析（3221（423221【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；
（3）由（1）（2）可知，=23AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得
BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；
（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =， ∴122BC AB ==，∴22=23AC AB BC =-； （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，
在Rt △BDE 中， ∵122BE AE AB ==
=，23DE =， ∴22=4BD BE DE =+，
∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，
∴ABD ∆为等边三角形；
（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4，
∴22=27CD AC AD =+，
∵BCD ACD ACBD S S
S =+四边形， ∴111()222
BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =
； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，
如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，
∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1，
∵=23AC ，∴=3CQ QA =，
①若点P 在线段AC 上，
则23=333PQ CQ CP =-=，。