2019届高三数学上学期第三次月考试题文word版本

云南省玉溪市2018届高三数学上学期第三次月考试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，试卷满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（在给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}
x x x A 42<=，集合{}
2≤=x x B ，则=⋂B A ( )
A.(]20，
B.[]20，
C.[]22-，
D. ()22-， 2.复数1
-=
i i
z ，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 等差数列{}n a 中，43=a ，前11项的和==911,110a S 则（ ） A.10 B.12 C.14 D.16
4.已知向量,均为非零向量，()()
⊥-⊥-2,2，则b a ,的夹角为（ ） A.
6π B. 32π C.3
π D.65π
5.圆0242
2=+-++a y x y x 截直线05=++y x 所得弦的长度为2，则实数=a （ ）
A. B. C.4 D.2
6.已知直线0:,01:2
21=++=++a ay x l y ax l ，则“1-=a ”是“21//l l ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 已知=⎪⎭
⎫
⎝⎛∈-=+=
βπβαβααsin ,2,0,,31)cos(,322sin 则且（ ） A.21-
B.21
C.3
1
- D.924
8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( ) A.192834++ B.194834++
C.194838++
D.192838++
9. 给出下列三个结论： ①函数x x x f ωωcos s in 3)(+=
满足)()2
(x f x f -=+
π
，则函数)(x f
的一个对称中心为
3
2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,6π ②已知平面和两条不同的直线b a ,，满足αα//,//,a b a b 则⊂ ③函数x x x x f ln 3)(2
+-=的单调递增区间为),1()2
1,0(+∞⋃ 其中正确命题的个数为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D.0 10．()2
ln x f x x x
=-
，则函数()y f x =的大致图像为（ ）
11.已知)(x f 是奇函数并且是上的单调函数，若)2()2(2
m x f x f y --++=只有一个零点，则函数)1(1
4
)(>-+
=x x mx x g 的最小值为（ ） A.3 B.-3 C.5 D.-5
12.椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若AF BF ⊥，且
12
ABF π
∠=
，则该椭圆的离心率为（ ）
A.1
B.
36 C.23 D.2
2
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知变量、满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
,则3z x y =+的最大值为
14.)(x f 是定义在上的函数，且满足)
(1
)2(x f x f -
=+，当x x f x =≤≤)(32时，，
则=-
)2
11(f 15.已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为2，则该三棱柱的外接球的表面积为
16.已知数列{}n a 满足),2(12,211+
-∈≥-==N n n a a a n n 且，则=n a
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且
sin A =
，sin B =（1）求A B +的值； （2
）若1a b -=，求,,a b c 的值.
18. （本小题满分12分）假设某种设备使用的年限x （年）与所支出的维修费用y （元）有以下统计资料：
参考数据：
.参考公式:∑∑==---=
n
i i
n
i i i
x x
y y x x
1
2
1
)()
)((
如果由资料知y 对x 呈线性相关关系．试求： （1）
（2）线性回归方程
（3）估计使用10年时，维修费用是多少？
19. （本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．
(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；
(2)设AB=PC=2,BC=1,求三棱锥P-BEF 的体积.
20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线与抛物线y 2
＝4x 相交于不同的A ，B 两点,O 为坐标原点．
(1) 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求AB 的值；
（2）如果4OA OB ⋅=-uu r uu u r
，证明：直线必过一定点，并求出该定点.
21. （本小题满分12分）设函数2
()ln ,02
x f x k x k =-> （1）求()f x 的单调区间和极值；
（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间上有且仅有一个零点.
选考题（本小题满分10分）
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
（为参数），
曲线C 2的参数方程为（，为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴的极坐标系中，射线l ：θ=与C 1，C 2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．
（1）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出与的值； （2）设当=
时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当=
时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，
求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．
23. （本小题满分10分）设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤
；(2)
.
文科数学 参考答案
一、选择题 ADDCA CDBDA CB 二、填空题 13、11 14、2
5 15、 16、121
+-n 三、解答题 17（1）∵
为锐角，
∴
∵∴
（2）由（I ）知，∴由得
，即
又∵∴
∴
∴
18. （1）由表中数据可得
，
（2
）由已知可得：
于是
所求线性回归方程为：
（3）由（2）可得， 当x=10时，
（万元）．
即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．
19.解 (1)直线l ∥平面PAC .证明如下：
连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .
而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC . (2).12
3
12312131=
⨯⨯⨯⨯==--PEF B BEF P V V
20.(1)解,4
,1π
α=
=k ,
8
4
sin
42
==
π
AB
(2)证明 由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，
消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，
∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点．
21.解(1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f(x)＝－k ln x(k>0)得f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝.
(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，
当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．
当k>e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
22.解：（1）C1是圆，C2是椭圆.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所
以b=1.
（2）C1，C2的普通方程分别为
当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为
当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为
23. 证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即≥a＋b＋c.所以≥1.。