惯性矩、抵抗矩、面积矩
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
注意平方问题
第十六次课结束处
§A-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式
O
z
Iz=∫ A y2dA =∫ A(a+yC)2dA =∫ Aa2dA + 2a∫ A yCdA +∫ A yC2dA
y
C
dA
a zc
yc
∫ A yCdA 对形心轴的面积矩=0
b zc z
∫ A yC2dA 对形心轴的惯性矩
y yc
故 Iz=∫ A a2dA + IzC
同理
Iy=∫ A b2dA + IyC Iyz=∫ A abdA + IyCzC
二、组合截面惯性矩的计算式
Iy=∫ A z2dA
=∫ A1z2dA +… +∫ Anz2dA
n
= ∑ Iyi
i=1
同理
n
Iz = ∑ Izi
i=1
n
Iyz = ∑ Iyzi
i=1
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余 下图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 12
bh3
5 d 4
32
y
例6 由两个20a号槽钢截面图形组成的组合平面图形，设 a =100mm,设求此组合平面图形对y,z两根对称轴的惯性矩。
a
z0
z
zC
y
yC
A=28.83×102mm2, Iyc=128×104mm4 Izc=1780.4×104mm4 ,z0=20.1mm
附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy=∫ zdA A
惯性矩抵抗矩面积矩
A
A
二、形心：（等厚均质板的质心与形心重
合。 ）
¯x
x dm m
m
质心 :
y dm
¯y m
m
等厚 均质
等厚 均质
x trd AtrA
A
xd A A
A
Sy A
y trd AtrA
A
yd A
A
A
Sx A
等于形心坐标
累加式:x y
xi Ai
A (正负面积法公 ) yi Ai
A
¯x y¯
Sy Ax Ai xi Sx Ay Ai yi
例 I-1-1 是确定下图的形心。
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。
C2 C1
y
1、用正面积法求解，图形分割及坐标如
C1（0，0） 图（a）
C2（-35，60）
x
x xiAi x1A1x2A2
、建立坐标系。
Байду номын сангаас
、计算面积和面积矩
、求形心位置。
x
Sy A
y
Sx A
xi Ai A yi Ai A
、建立形心坐标系；求：Iyc ， Ixc ， Ixcyc ，
、求形心主轴方向
——
0 tg20
2Ixcyc Ixc Iyc
、求形心主惯性矩 IIx y0 0ccIxc 2Iyc(Ixc 2Iyc)2Ix 2cy
xy
x
Ix
Iy
IP 2
d4
64
惯性矩、抵抗矩、面积矩共19页
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物法。— —西塞 罗
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
截面惯性矩和截面抵抗矩
截面惯性矩和截面抵抗矩
梁的截面惯性矩和截面抗矩是有力学原理由力学原理计算得出，对于工程计算和设计十分重要。
截面惯性矩是指梁截面在任意方向和平面围绕其中心点，旋转一周所产生的力矩;而抗矩则
来源于求取梁截面在一起受力时所抵抗偏转作用的力矩。
简言之，截面惯性矩和抗矩表示了梁所能承受的偏转能力有多大。
梁的截面惯性矩计算时，需根据所使用的梁截面的几何形状不同，综合考虑其面积、外接图形的面积以及距离质心的距离大小等因素，综合计算所得结果是根据梁的几何形状所得的结果逐步的减小的。
抗矩的计算与计算惯性矩相同，也需要根据梁截面的形状来计算，不过抗矩采用的是恒压梁横向剖面质心与中心线距离来计算，这是因为梁蒙受的外力及其作用的方向改变时，偏转力也会改变，因此梁的抗矩会发生变化。
总的来说，梁的截面惯性矩和抗矩是非常重要的参数，在工程设计和分析中起着举足轻重的作用。
精确计算梁截面惯性矩及抗矩有助于更加准确地分析梁的偏转能力，从而降低设计梁容易出现破坏情况。
材料力学面积矩计算公式
材料力学面积矩计算公式
材料力学中，面积矩是对于一个截面形状的横截面积乘以该截
面形状中各点到某一轴线（通常是截面的重心轴）的距离的乘积之和。
面积矩计算公式取决于截面形状的几何特征。
以下是一些常见
截面形状的面积矩计算公式：
1. 矩形截面：
对于矩形截面，其面积矩的计算公式为，Ix = (bh^3)/12，
Iy = (hb^3)/12，其中Ix和Iy分别代表截面对x和y轴的面积矩，b代表矩形截面的宽度，h代表矩形截面的高度。
2. 圆形截面：
对于圆形截面，其面积矩的计算公式为，Ix = Iy =
πr^4/4，其中r代表圆形截面的半径。
3. T形截面：
对于T形截面，其面积矩的计算公式需要分别计算上、下翼
缘对轴线的面积矩，并且考虑翼缘与腹板之间的距离。
4. 不规则形状：
对于不规则形状的截面，可以利用积分的方法来计算面积矩，将截面分割成小块，然后对每个小块的面积矩进行累加。
在工程实践中，计算截面的面积矩是非常重要的，因为它们在
计算截面的惯性矩、受弯构件的弯曲应力等方面起着关键作用。
因此，了解不同截面形状的面积矩计算公式对于工程设计和分析具有
重要意义。
惯性矩及惯性矩抵抗拒计算
惯性矩及惯性矩抵抗拒计算利用AutoCAD计算截面特性以计算一个50×50×5国标钢方管截面为例：1.在CAD中绘制截面2.将截面生成面域reg→选择截面→创建2个面域3.布尔运算su→选择截面外轮廓→选择截面内轮廓→创建完毕4.将UCS坐标移动至截面型心位置（见图1）massprop→选择创建的面域→记住质心的X和Y坐标→ucs→m→输入质心的X和Y坐标→移动完毕5.查询截面特性（见图2）massprop→选择面域这样就可以得到截面的面积、周长、边界框、质心、惯性矩、惯性积、旋转半径等相关参数6.计算截面的抵抗矩Wx1=惯性矩Ix÷边界框X的一个值Wx2=惯性矩Ix÷边界框X的另一个值Wy1=惯性矩Iy÷边界框Y的一个值Wy2=惯性矩Iy÷边界框Y的另一个值7.计算截面的面积矩（见图3）保留要计算面积矩的部分，按前述方法生成面域，查询面域特性S=该部分的面积×质心坐标Y值圆弧计算1.已知弦长拱高求半径弦长A2 拱高B2(弦长^2+4*拱高^2)/(8*拱高) =(A2*A2+4*B2*B2)/(8*B2)(弦长^2/4+拱高^2)/(2*拱高) =(A2*A2/4+B2*B2)/(2*B2)2.已知拱高半径求角度拱高B2 半径C2DEGREES(ACOS((半径-拱高)/半径))*2 =DEGREES(ACOS((C2-B2)/C2))*2 3.已知弦长半径求角度弦长A2 半径C2ASIN(A2/2/C2)*360/3.1416 =ASIN(A2/2/C2)*360/3.14164.已知半径角度求弧度半径C2 角度D22*3.1415926*半径*角度/360 =2*3.1415926*C2*D2/3605.已知弦长半径求弧度弦长A2 半径C22*3.1415926*半径*ASIN(弦长/2/半径)/3.1416 =2*3.1415926*C2*ASIN(A2/2/C2)/3.1416。
惯性矩及惯性矩抵抗拒计算
利用AutoCAD计算截面特性以计算一个50×50×5国标钢方管截面为例：1.在CAD中绘制截面2.将截面生成面域reg→选择截面→创建2个面域3.布尔运算su→选择截面外轮廓→选择截面内轮廓→创建完毕4.将UCS坐标移动至截面型心位置（见图1）massprop→选择创建的面域→记住质心的X和Y坐标→ucs→m→输入质心的X和Y坐标→移动完毕5.查询截面特性（见图2）massprop→选择面域这样就可以得到截面的面积、周长、边界框、质心、惯性矩、惯性积、旋转半径等相关参数6.计算截面的抵抗矩Wx1=惯性矩Ix÷边界框X的一个值Wx2=惯性矩Ix÷边界框X的另一个值Wy1=惯性矩Iy÷边界框Y的一个值Wy2=惯性矩Iy÷边界框Y的另一个值7.计算截面的面积矩（见图3）保留要计算面积矩的部分，按前述方法生成面域，查询面域特性S=该部分的面积×质心坐标Y值圆弧计算1.已知弦长拱高求半径弦长A2 拱高B2(弦长^2+4*拱高^2)/(8*拱高) =(A2*A2+4*B2*B2)/(8*B2)(弦长^2/4+拱高^2)/(2*拱高) =(A2*A2/4+B2*B2)/(2*B2)2.已知拱高半径求角度拱高B2 半径C2DEGREES(ACOS((半径-拱高)/半径))*2 =DEGREES(ACOS((C2-B2)/C2))*2 3.已知弦长半径求角度弦长A2 半径C2ASIN(A2/2/C2)*360/3.1416 =ASIN(A2/2/C2)*360/3.14164.已知半径角度求弧度半径C2 角度D22*3.1415926*半径*角度/360 =2*3.1415926*C2*D2/3605.已知弦长半径求弧度弦长A2 半径C22*3.1415926*半径*ASIN(弦长/2/半径)/3.1416=2*3.1415926*C2*ASIN(A2/2/C2)/3.1416。
惯性矩和面积
惯性矩和面积
惯性矩是指对于某种物体来说，物体被外力旋转时所需要的转矩大小，或者说力作用点距物体质心的距离越大，物体质心旋转所需要的力也就越大。
用数学的表达可以表示为：惯性矩与物体的质量以及距离成正比，也就是说物体质量越大，惯性矩也就越大。
惯性矩的概念正是对平面物体的惯性的一个体现。
当给物体施加的外力恰好位于物体的质心上时，惯性矩为零，即物体不会沿物体质心的平行轴旋转。
如果外力作用点不在物体质心上，惯性矩就会大于零，物体就会沿物体质心的平行轴旋转。
圆面积是指在一个坐标系中，把圆心点定在坐标轴的原点，从原点出发，沿着圆的周内的某一点A，若点A的距离（称为半径）是r，穿过A点，到达圆的另一点B，那么，在这个坐标系中，这个圆面积就是SA=πr^2.惯性矩与面积之间存在着不可忽视的联系，它们发挥着重要的联系作用。
例如，如果惯性矩大，那么物体运动所需要的转矩就会增加，而如果物体面积大，则惯性矩也会增大，显然，这两者之间完全可以形成一种有效的联系，以实现物体的快速、高效的旋转运动。
因此，惯性矩和面积的关系可以概括为，惯性矩与物体质量和物体面积是正相关的，也就是说，物体质量越大，惯性矩与物体面积就越大，这也是物体快速、高效的旋转运动首先要满足的前提条件之一。
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y trd AtrA
A
yd A
A
A
Sx A
等于形心坐标
累
加 式:
x
y
xi Ai
A ( 正负面积法公式) yi Ai
A
¯x y¯
S y Ax Ai xi Sx Ay Ai yi
例 I-1-1 是确定下图的形心。
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。
y
1、用正面积法求解，图形分割及坐标如
须 为
形
心
y
例6-3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩.
解 ：求解此题有两种方法：一是安
定义直接积分；二是用平行移轴
d
x
定理等知识求。
Hale Waihona Puke O建立形心坐标如图,求图形对形心轴
的惯性矩。
B
I
d
4
I
I
圆 2 I
P 32
xy
x
Ix
Iy
IP 2
d 4
64
I AB
Ix
d2A
d 4
64
d 4
4
5d 4
64
x
xi Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1 A2
5 (70110) 20.3 120 80 70110
图（b）
§6-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
一、惯性矩：（与转动惯量类似）是面积与它到轴的距离的平方 之积。
I x y2dA
A
I y x2dA
A
二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 I P r 2dA I x I y
cos 2
I xy
sin 2)
I x1y1
(Ix
2
Iy
sin 2
I xy
cos 2 )
I x1 I y1 I x I y
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有
I x0 y0
(
Ix
Iy 2
sin 20
I xy
cos 20
)
0
与 0 对应的旋转轴x 0 y 0 称为主惯性轴；平面图形对主轴 之惯性矩主惯性矩。
x a xc
y
b
yc
I x y 2d A A( y c b ) 2d A
A
( yc2 2byc b2)d A
A
Ix
c
2b
Sx
c
b 2A
\ I I b 2A x xc
注
意
I I a 2A
!
y yc
C
I I abA
点
xy xcyc
必
I I (a b)2A P Pc
I xc
I y c±
I y c0
2
I I
( x c y c) 2 I 2
2
xcyc
3、求截面形心主惯性矩的方法
、建立坐标系。
、计算面积和面积矩
、求形心位置。
x
Sy A
y
Sx A
xi Ai A yi Ai A
、建立形心坐标系；求：Iyc ， Ixc ， Ixcyc ，
、求形心主轴方向 —— 0 tg20
O
x1
x
xc
y
d d 2
yi Ai A
24
3d 2 d 2
0.177d
4
、建立形心坐标系；求：Iyc ， Ixc ，Ixcyc
I xc I矩xc I圆xc I矩x A矩 y2 [ I圆x1 A圆( 0.5d y )2 ]
1.5d
( 2d
)3
3d 2 (
0.177d
)2
d 4
;
max
M n max WP
dSx dA y
dSy dA x
Sx dSx ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
二、形心：（等厚均质板的质心与形心重
合。 ）
¯x
x dm m
m
质心 :
y dm
¯y m
m
等厚 均质
等厚 均质
x trd AtrA
A
xd A A
A
Sy A
2I xcyc I xc I yc
、求形心主惯性矩
I xc0
I
yc0
I xc I yc 2
(
I xc
2
I yc
)2
I2 xcyc
例6-4-1 在矩形内挖去一与上边 解 ： 、建立坐标系如图。
内切的圆，求图形的形心主轴。
(b=1.5dy)
yc
x
xi A
、求形心位置。
Ai 0 0 A
[
d 2
( 0.5d
0.177d
)2
]
0.685d 4
12
64 4
I yc
I 矩xc
I圆xc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513d 4
I xcyc 0 \ xc yc轴便是形心主轴I xc、I yc便是形心主惯性矩
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
C2
C1（0，0） 图（a） C2（-35，60）
C1
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
3510110 20.3 10110 8010
图（a）
y 6010110 34.7 10110 8010
y
2、用负面积法求解，图形分割及坐标
如图（b）
负面积
CC11 C2
x
C1（0，0） C2（5，5）
§6-4 惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理y1
x1 y1
x cos y sin x sin y cos
x1
y1
x1
I I
I I
I x y ( x y c o s 2 I sin 2 )
x1
2
2
xy
I y1
Ix
2
Iy
(Ix
Iy 2
tg2 0
2I xcyc I xc I yc
主惯性矩：I x0 I x I y
I y0
2
(
Ix
Iy 2
)2
I
2 xy
2、形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩
2I
tg 2
xcyc
0
I I
xc yc
形心主惯性矩：
I
x
c0
第六章 截面的几何性质
§6–1 面积矩与形心位置 §6–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §6–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §6–4 惯性矩和惯性积的转轴定理*
截面的主惯性轴和主惯性矩
§6-1 面积矩与形心位置
一、面积（对轴）矩：（于力矩类似）是面积与它到轴的距离
之积。
max
N max A
;
Mn GI P
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
A
I xy xydA A
！如果 x 或 y 是对称轴，则，Ix y =0
§6-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
yc
C a
b
\ I I b 2A x xc
以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
xc
Sxc Ayc 0