江西省南康中学2018_2019学年高二数学上学期第二次月考期中试题理2018111501109

南康中学2018～2019学年度第一学期高二第二次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）EF GH A. 在直线上 CB B. 在直线上 AB C. 在直线上 DB D. 都不对2.圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ） 221A ．扩大到原来的倍B ．缩小到原来的一半C ．缩小到原来的D.不261变3.等比数列，满足，且，，则（ ）{}n a 0,1n a q >>3520a a +=2664a a ⋅=5S =A ．31 B ．36C ．42D ．484．在棱长为1的正方体中，分别是和的1111D C B A ABCD -N ，M 11B A 1BB 中点，则直线与 所成角的余弦值为( ) AM CN θA. B. 5152C.D. 5215625. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第6组抽取的号码为143，则第一组抽取的号码为（ ） A. 16B. 17C. 18D. 196.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．π316B ．π211C ．π317D ．π6357．直线关于直线对称的直线方程是（ ）210x y -+=1x =A ． B ． 210x y +-=210x y +-=C ．D ．230x y +-=230x y +-=8．如图， 到的距离分别是和， 与 l A B A B αβαβαβ⊥⋂=∈∈，，，，，l a b AB αβ，所成的角分别是和， 在内的射影长分别是和，若，则（ ） θϕAB αβ，m n a b >A.B.C.D.n m >>，ϕθn m <>，ϕθn m <<，ϕθn m ><，ϕθ（第8题） （第9题）9. 如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点 1111D C B A ABCD -N ，M 分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，1111C D B A ，111==N D M A N ，M α则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为（ ） αA.B.C.D.71823061633610.在正方体中中，，点在棱上，点在棱上，且平面1111D C B A ABCD -31=AA E AB F 11D C CF B 1∥平面.若，则三棱锥外接球的表面积为( ) DE A 11=AE F CC B 11-A ． B ． C ．D ．π16π19π27π3611. 已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，记四边),(00y x P 1)4(:22=-+y x C P C B ，A 形的面积为，当在圆上运动时，的取值PACB )(p f ),(00y x P 4)1()4(:22=-++y x D )(p f 范围为（ ） A.B.C. D.]33,22[]33,23[]34,22[]34,23[12. 如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线1111D C B A ABCD -F E ，11CC AA ， 的平面分别与棱交于，设给出以下四个命题：EF 11DD BB ，N M ，]1,0[∈=x x BM ，①直线与所成的角为锐角；EF MN ②当且仅当时，四边形的面积最小；21=x MENF ③四边形周长,则是奇函数；MENF ]1,0[)(∈=x x f L ，)21(+=x f y ④不论为何值，四棱锥的体积为定值； x MENF C -1其中正确命题的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知数列满足，则______．{}n a )2(2,1111≥=-=--n a a a n n n =6a 14. 已知圆锥的母线长度为2，圆锥的底面圆半径为,一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，31绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为______． 15. 过点向圆所引的切线方程为______．,4)2(A 422=+y x 16．如图，在正方体中，点为线段的中点，设动点在线段1111ABCD A B C D -O BD P 1CC 上运动，直线与平面所成的角为，则的最小值为______． OP 1A BD αsin α三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余小题各12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17．在中，．ABC ∆ac b c a 2222+=+（I ）求的大小；B ∠（II ）求的最大值．C A cos cos 2+18.已知圆经过两点，，且圆心在直线上，直线的方程为C )3,1(--P )6,2(Q 042=-+y x l ．0352)1(=-++-k y x k （I ）求圆的方程；C （II ）证明：直线与圆恒相交； l CABDCF1C 1D 1A N 1B E M19．如图，在直三棱柱中， ，， 分别为111C B A ABC -BC AC ⊥21===CC BC AC N M 、的中点.111C B B A 、（I ）求异面直； 所成的角与MN A C 1（II ）求点 .11的距离到平面BC A B20. 设数列的前n 项和为，且，，数列满足，点{}n a n S 11=a 121+=+n n S a {}n b 11b a =在直线x ﹣y+2=0上，n ∈N *．),(1+n n b b P （I ）求数列，的通项公式； {}n a {}n b （II ）设，求数列的前项和． nnn a b c ={}n c n n T21. 如图，四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，PAB 是边长为a 的正三角∆形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，已知点M 是PD 的中点． (1)证明：PB ∥平面AMC ；(2)求直线BD 与平面AMC 所成角的正弦值．22. 如图，菱形中，，与相交于点，ABCD ︒=∠60ABC AC BD O EC EB ==A BCM 1B N1C 1A.32∥==CF AB AE CF ，，（I ）求证：平面；⊥EA ABCD （II ）当直线与平面所成角的大小为时FO BED ︒45(i)求三棱锥的体积. DBC E -(ii)求二面角的余弦值.B DE A --南康中学2018～2019学年度第一学期高二第二次大考数学（理科）参考答案一．选择题：1-5：C B A B C; 6-10：A D D B B; 11-12:C B;12.【解析】②因为，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可，此时当为棱的中点时，即时，此时长度最小，对应四边形的面积最小．所以②正确．④连结，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以为底，以分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形的面积是个常数．到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为定值，所以④正确．二、填空题：13.63; 14.2； 15.； 16.；16.解析：连结A1O，OP和PA1，不难知∠POA1就是直线OP与平面A1BD所成的角或其补角设正方体棱长为2，则AO＝，A1O＝，(1)当P点与C点重合时，PO＝，A1P＝2，且cosα＝，此时α＝∠A1OP为钝角，sinα＝(2)当P点与C1点重合时，PO＝A1O＝，A1P＝2，且cosα＝，此时α＝∠A1OP为锐角，sinα＝(3)在从钝角逐渐变化到锐角的过程中，CC1上一定存在一点P，使得α＝∠A1OP＝90°，sinα＝1由于＜，sinα的取值范围是[，1].因此sinα最小值为三、解答题：17.【解析】：（1），又∵，∴......................(4)分（2）由（1）知 ,.........................................(8)分因为，所以当时，取得最大值.................................(10)分18.【解析】（1）设圆C的方程为, 圆心坐标..............(1)分由条件，得,解得........................................(5)分∴圆的方程为即..............................(6)分（2）由，得，令，得，直线l过定点M（3，-1），由，知点M（3，-1）在圆内∴直线l与圆C恒相交．.................................................（12分）111111111111111111111119.(1),,//MN ,.90.....(6AB ABC AB C M A B M AB AC A C D N C B M AB AC A C MN A C AC AC CC ABC AB C ACC A AC A C A C MN -∴=-∴⊥∴︒ 【解析】连接为直三棱柱为的中点，可知也为的中点连接交于点为中点，为的中点，由三角形中位线性质知异面直线与所成的角即为与所成的角，又为直三棱柱四边形为正方形，即异面直线与所成的角为1111111111111111111111111111(2)//,.//..,,.,.,,.1,.2B C BC BC A CB B C A CB B A BC C A BC CC ABC BC ABC CC BC AC BC CC AC C BC ACC A AC ACC A BC AC A C AC BC A C C AC A CB C A BC C D C D AC ⊂∴∴⊥⊂∴⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥⊥⋂=∴⊥=分）平面平面到平面的距离即为到平面的距离平面，平面又平面平面又平面即到平面的距离为111B A BC ==∴点到平面分）111111111(1),. ,.,,(0,0,0)(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2),(1,1,1),(0,1,2)....(ABC AB C C C ABC AC BC ABC C C CA C C CB AC BC C CA CB CC x y z C xyz C A B C A B M N -⊥⊂∴⊥⊥⊥-向量法：为直三棱柱即平面又、平面又以为原点，的方向为、、正方向建立如图所示1112(2,0,2),(1,0,1)2-20.90....(6A C MN A C MN A C MN =--=-∙==∴︒分）即异面直线与所成的角为分）111111*********(2)(2,02),(2,0,2),(0,2,0)0,0,(2,02)(022)...........(8AC CA CB AC CA AC CB CA A CB CB A CB AC A CB AC A CB CB AC B A BC d=-==∙=∙=⊂⊂∴⊥∴=-=∴=，又平面平面平面为平面的一个法向量，，，分）点到平面的距离为111CB CB ∙==分）20 .【解析】：（1）由a n+1=2S n +1可得a n =2S n ﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n =2a n即a n+1=3a n （n≥2）．又a 2=2S 1+1=3，所以a 2=3a 1．故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列． 所以a n =3n ﹣1． .........................................................................（3分）由点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n =2． 则数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． 则b n =1+（n ﹣1）•2=2n-1 ...................................................................（6分）（2）因为，所以．则，两式相减得：．................................................（9分）所以=．...........................................................(12分）21. 解析：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，因为四边形ABCD 为菱形，OB ＝OD ，又M 为PD 的中点，所以OM ∥PB .由PB ⊄平面AMC ，OM ⊂平面AMC ，所以PB ∥平面ACM ..................................(4分）(2)AB ,60. ,,,,,.N PN ND ABCD DAB DN AB PAB AN BNPN AB PAB ABCD PAB ABCD AB PN ABCD DN ABCD BN ABCDPN DN PN BN NP ND NB N NB ND NP x y z ∠=︒∴⊥∆=∴⊥⊥⋂=∴⊥⊂⊂∴⊥⊥取中点连接，，四边形为棱形，为等边三角形，又平面平面平面平面平面又平面平面即、、两两垂直以为原点，、、、方向为、、正方...........(6N xyz -向建立空间角坐标系如图所示分）则，，，，，，则，设平面AMC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则令，则，，即............(8分） 3=y 1-=x 33-=z )333,1(--=n又，设，则，故直线BD 与平面AMC 所成角的正弦值为.......（12分） 1339222............................................................................................（4分）.（II ）(i)以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.则，..........................................（5分） 设，则，，设平面的法向量为，则即，令，得，，与平面所成角的大小为，， 解得或（舍），⊥⊥⊥⊥⊥⊥故平面的一个法向量为，.................................（7分），...................（9分）（II）(ii)又，，所以平面的一个法向量为，则故二面角的余弦值为．..........................（12分）- 11 -。