第二章 圆锥曲线[基础训练A组]及答案
高中数学选修2-1圆锥曲线基础训练
[基础训练 A 组]
一、选择题
1． 已知椭圆 x2 + y 2 = 1上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点距离（ ）
25 16
A． 2 B． 3 C． 5 D． 7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18 ，焦距为 6 ，则椭圆的方程为（ ）
A． x 2 + y 2 = 1 B． x2 + y 2 = 1 C． x 2 + y 2 = 1或 x2 + y 2 = 1 D．以上都不对
4．抛物线 y2 = 6x 的准线方程为＿＿＿＿＿.
5．椭圆 5x2 + ky2 = 5 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k =
。
三、解答题
1． k 为何值时，直线 y = kx + 2和曲线 2x2 + 3y2 = 6 有两个公共点？有一个公共点？
没有公共点？
2．在抛物线 y = 4x2 上求一点，使这点到直线 y = 4x − 5 的距离最短。
9 16
25 16
25 16
16 25
3．动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ，则点 P 的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条准线间的距离为 d ，且 c = d ，那么它的离心率 e 等于（ ）
3．双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 (0, −5), F2 (0,5) ，点 P(3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的
一个交点，求渐近线与椭圆的方程。
4．若动点
P( x,
y) 在曲线
x2 4
+
y2 b2
= 1(b >
0)上变化，则
第二章 圆锥曲线(点梳理卷)
第二章圆锥曲线（梳理卷）姓名______班级______考号______考点一、椭圆一、单选题1．已知12,F F 是椭圆22:11612x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，且23PF =，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．4C ．6D ．102．已知,A F 分别为椭圆22221(0)x ya b a b +=>>的左顶点和左焦点，直线y kx =与椭圆交于,B C 两点，若直线CF 交线段AB 于1,3M AM AB =，则椭圆的离心率为（）A B ．12C D 3．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆E 上一点，120PF PF ⋅= 且直线2PF的一个方向向量为3(,，则椭圆E 的离心率为（）A 1B ．2C ．12D ．34．已知椭圆2222:16x y C a a +=-的离心率为2，则椭圆C 的长轴长为（）A ．B ．C ．D ．5．椭圆22195x y +=的左右焦点为1，2F ，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1F 关于P 的对称点为M ，1F 关于2F 的对称点为N ，则1MF N 的周长为（）A ．10B ．14C ．18D ．20二、多选题6．设椭圆22:12516x y C +=的左､右焦点分别为12,,F F P 是C 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．1PF 的最大值为8B ．椭圆C 的离心率45e =C ．12PF F △面积的最大值等于12D ．以线段12F F 为直径的圆与圆22(4)(3)4x y -+-=相切7．椭圆()2222:101x y C m m m+=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C 的短轴长为C ．CD ．2ABF △的周长为88．已知12,F F 分别是椭圆C ：22195x y+=的左､右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A ．12PF F △的周长为10B ．12PF F △面积的最大值为25C ．1PF 的最小值为1D ．椭圆C 的离心率为23三、填空题9．若方程2212516x y m m+=-+表示长轴长为10的椭圆，则实数m 的值为．10．设P 为椭圆22221x y a b+=上任意一点，其中222c a b =-，1F 为它的一个焦点，则1PF 的最大值为，最小值为．考点二、双曲线一、单选题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(),0F c -到其渐近线的距离为12c ，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．C D ．2．过椭圆()22199x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆O ：224x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹方程为（）A ．22145x y -=B ．()221245x y x -=≤-C ．()221245x y x -=≥D ．22145y x -=3．已知动圆P 与圆M ：()2231x y ++=，圆N ：()2239x y -+=均外切，记圆心P 的运动轨迹为曲线C ，则C 的方程为（）A ．2218y x -=B ．()22118y x x -=≤-C ．()22118y x x -=≥D ．2218x y -=4．双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左､右焦点分别为12,F F P 满足12PF PF ⊥，直线l 平分12F PF ∠，过点12,F F 作直线l 的垂线，垂足分别为,A B .设O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A ．B ．C ．10D ．5．设双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的左焦点为F ，O 为坐标原点，P 为双曲线C 右支上的一点，0PF OP PF OF ⋅+⋅= ， FO 在FP，则双曲线C 的离心率为（）AB 1C D二、多选题6．已知点P 在左､右焦点分别为12,F F 的双曲线22:14xC y -=上，1212PF PF +=，则（）A ．渐近线方程为2y x =±BC ．1215cos 16F PF ∠=D ．12PF F S = 7．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，且l 与C 及其渐近线在第二象限的交点分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A ．直线l 的斜率为a b-B ．直线OM 是C 的一条渐近线C ．若13MF QF =，则C D ．若13MF PF =，则C 的渐近线方程为32y x=±三、填空题8．已知双曲线的中心在原点O ，右焦点为(),0F c ，P 是双曲线右支上一点，且OFP △若点P的坐标为(，求此双曲线的渐近线方程.9．已知P 为圆C ：()22536x y -+=上任意一点，()5,0A -．若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则点Q 的轨迹方程为．10．已知(P 在双曲线22214x yb-=上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，三角形12PF F 的内切圆切x 轴于点M ，则2MP MF ⋅的值为．考点三、抛物线一、单选题1．已知点P 在抛物线2:8M y x =上，过点P 作圆()22:41C x y -+=的切线，若切线长为，则点P 到M 的准线的距离为（）A ．5B ．6C ．7D ．2．已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过C 上一点P 作圆()2222x y r -+=的两条切线，切点分别为,F A ，若PF PA ⊥，则p =（）A ．12B ．23C ．1D ．433．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为（）A ．2B ．12C ．132D ．1644．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与该抛物线相交于A B ､两点，O 为坐标原点，则OA OB⋅的值是（）A ．2B ．3C ．-2D ．-35．已知抛物线24x y =的焦点为F ，点()1,3B ，若点A 为抛物线上任意一点，当AB AF +取最小值时，点A 的坐标为（）A ．(1,4)B ．(4,1)C ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题6．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线:1l y x =-与C 相交于A B ，两点，则（）A ．2p =B ．4p =C ．8AB =D ．4FA FB ⋅=-7．抛物线2:2C x py =的焦点为F 、P 为其上一动点，当P 运动到(),1t 时，2PF =，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，点M (2，2)，下列结论正确的是（）A ．抛物线的方程为：28x y =B ．抛物线的准线方程为：y =C ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切D ．以M 为中点的弦的直线方程为：y x =三、填空题8．已知直线y =与抛物线2:2(0)C y px p =>在第一象限交于点P ，若点P 到C 的准线的距离为52，则p =.9．抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()2,1M 射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经过抛物线上的另一点B 反射后，平行于入射光线射出，则AB =．10．抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是准线l 上的动点，若点A 在抛物线C 上，且10AF =，则PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为.考点四、直线与圆锥曲线一、单选题1．已知直线l 交抛物线2:18C x y =-于,M N 两点，且MN 的中点为()3,2-，则直线l 的斜率为（）A ．3-B ．16-C ．19D ．13-2．已知直线20kx y k ++=与椭圆22134x y+=相切，则k 的值为（）A ．2B ．12C ．2±D ．12±3．已知离心率为12的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，线段2MF 的中点为N ，射线1F N 与C 交于点A ，若1AF =2AF =（）A ．63-B ．63-C ．123-D ．1234．设O 为坐标原点，直线1l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且与C 交于A B 、两点（点A 在第一象限），min 4AB =，l 为C 的准线，AM l ⊥，垂足为M ，()0,1Q ，则下列说法正确的是（）A ．4p =B ．AM AQ +的最小值为2C ．若3MFO π∠=，则5AB =D ．x 轴上存在一点N ，使AN BN k k +为定值5．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，其中122F F c =，过右焦点2F 的直线l 与双曲线的右支交与A ，B 两点，则下列说法中正确的是（）A ．弦AB 的最小值为22b aB ．若AB m =，则三角形1F AB 的周长24m a +C ．若AB 的中点为M ，且AB 的斜率为k ，则22OMb k k a⋅=D ．若直线AB[)2,e ∈+∞二、多选题6．已知12,F F 为双曲线22:132x y C -=的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，则下列叙述正确的是（）A ．直线1PF 与直线2PF 的斜率之积为32B ．PQ 的最小值为3C ．若PQ =1PFQ △的周长为D ．点P 到两条渐近线的距离之积657．已知点P 是椭圆(222:18x y C a a +=>上的一点，经过原点O 的直线:l y kx =与椭圆C 交于,A B 两点（不同于左、右顶点），且AP AB ⊥，直线PB 与x 轴交于点,M AM 与x 轴垂直，则下列说法正确的是（）A ．记直线BM 的斜率为1k ，则12kk =B ．4a =C ．ABM 面积的最大值为D ．若F 是椭圆C 的左焦点，则491AF BF+的最小值为8三、填空题8．已知双曲线C ：2222x y -=，过点()1,2P 的直线l 与双曲线C 交于M 、N 两点，若P 为线段MN 的中点，则弦长MN =.9．椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接1PF 、2PF ，设12F PF ∠的平分线PQ 交椭圆C 的长轴于点(),0Q m ，则m 的取值范围为．10．已知直线12:l y x =和2:2=-l y x ，过动点M 作两直线的平行线，分别交12l l ､于,A B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第四象限.若平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的面积为3，记动点M 的轨迹为曲线E ，若曲线E 与直线()2y k x =-有且仅有两个交点，则k 的取值范围为.考点五、综合应用1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点4,03F ⎛⎫- ⎪⎝⎭作斜率为32的直线交椭圆C 于,P Q 两点，求弦PQ 中点坐标.2．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，直线4400x y +-=与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点．(1)求12y y 的值；(2)若C 上存在点M ，使MAB △的重心恰为F ，求p 的值及点M 的坐标．3．已知平面直角坐标系内的动点(,)P x y 恒满足：点P 到定点(2,0)F 的距离与它到定直线20x +=的距离相等．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(8,0)M 的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，证明：OA OB ⊥．4．已知椭圆22:14x C y +=.(1)若椭圆C 的左右焦点分别为12,,F F P 为C 的上顶点，求12PF F △的周长；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B ､，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.5．已知双曲线C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.若虚轴长为，且双曲线上的任意一点P 到左右两个焦点12F F 和距离之差的绝对值为2.(1)求双曲线C 的标准方程;(2)若点Q (0，1)，求PQ 的取值范围;(3)若斜率为k 的直线l 过右焦点2F ，且与C 的右支相交于A 、B 两点，问:在x 轴上是否存在定点M ，使得无论直线l 绕点2F 怎样转动，总有0MA MB ⋅=成立?如果存在，求出定点M 的坐标;如果不存在，请说明理由.。
圆锥曲线基础练习与答案
直线与圆一、考点容1、求直线斜率方法（1）知直线l 倾斜角)1800(00<≤αα，则斜率090(tan ≠=ααk 即倾斜角为090的直线没有斜率（2）知直线l 过两点),(11y x A ，),(22y x B ，则斜率___________=k )(21x x ≠ （3）知直线l 一般式方程0y x =++C B A ，则斜率________=k 知直线l 斜截式方程b kx y +=，可以直接写出斜率 2、求直线方程方法——点斜式知直线l 过点),(b a ，斜率为k ，则直线方程为__________________，化简即可！ 特别在求曲线在点))(,(a f a 处切线方程，往往用点斜式！ 4、平行与垂直问题若21//l l ，则1k ______2k ；若21l l ⊥，则1k =2k _________ 5、距离问题（1）两点间距离公式若点),(21x x A 、),(22y x B ，则=||AB _________________ （2）点到直线距离公式点),(n m 到直线0y x =++C B A 距离=d _________________ 注意：直线必须化为一般式方程！ （3）两平行线间距离公式两平行线0y x 0y x 21=++=++C B A C B A 与的距离=d _________________ 注意：两平行线必须把x 与y 系数化为一样！ 6、圆与方程（1）标准方程222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为__________，半径为______（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x ，条件0422>-+F E D圆心坐标为__________，半径为____________ 7、直线与圆位置关系（1）相离：公共点个数为_____个，此时d ______ r (d 为圆心到直线距离)（2）相切：公共点个数为_____个，此时d ______r (圆心与切点连线垂直于切线) （3）相交：公共点个数为_____个，此时d ______r (弦长=L _________)二、课堂练习1．原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1B ．3C ．2D ．52．经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心G ，且与直线x +y =0垂直的直线方程是（ C ）A .x -y +1=0B .x -y -1=0C .x +y -1=0D .x +y +1=03．经过圆0222=+-y x x的圆心且与直线02=+y x 平行的直线方程是（ A ）A ．012=-+y xB ．220x yC ．210x yD ．022=++y x 4.以) 0 , 1 (为圆心，且与直线03=+-y x 相切的圆的方程是( A ) A ．8)1(22=+-y x B ．8)1(22=++y x C ．16)1(22=+-y x D ．16)1(22=++y x5．已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是（ C ）A ．1710B ．8C ．2D ．1756.直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是（ A ）A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心7.圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ B ）A 、 2B 、21+C 、221+D 、221+ 8.圆心在原点,并与直线3x-4y-l0=0相切的圆的方程为___422=+y x _________.9．直线y x =被圆22(2)(4)10x y -+-=所截得的弦长等于.<十>圆锥曲线[椭圆]一、考点容:1、椭圆的定义: 12||||2MF MF a +=2、椭圆的简单几何性质:离心率(0,1)ce a=∈．,,a b c 间的关系 222a b c =+（0a b >>，0a c >>）二、基础练习:1 ．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ D ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 2.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. 则椭圆C 的离心率为_____22____ 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．求椭圆的方程；（x 24＋y 23＝1.）4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，离心率为63.求椭圆C 的标准方程；（x 26＋y 22＝1.）5．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为22,求椭圆C 的方程.6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，.求椭圆C 的方程;22184x y +=7.椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3(1) 求椭圆C 的方程;2214x C y ∴+=椭圆的方程为：[双曲线] 一、考点容:（1）双曲线定义：a PF PF 2|||-|||21=（2）标准方程： 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上焦点坐标为：_______________________ ____________________________ 顶点坐标为：_______________________ ____________________________渐近线方程：_______________________ ____________________________ （3）性质：离心率_______=e )1(>e(4),,a b c 间的关系: ____________________________ 二、基础练习:1．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( D )A ．2 B.62 C.52D ．1 2.已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>5则C 的渐近线方程为（ C ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±1 ．双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（ B ）A ．21 B ．22 C ．1D ．24．双曲线221y x m-=2的充分必要条件是 （ C ） A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >5.已知双曲线22x a-25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于( C )A14C 32D 436.双曲线 x 24－y 2＝1的离心率等于___52_____．7．双曲线221169x y -=的离心率为___45_____.8.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x ym m -=+m 的值为2．9.设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为___ x 2－y 2＝1_____．[抛物线]（1）定义：抛物线上任意一点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离. （2）标准方程与性质二、基础练习:1． 抛物线y ＝14x 2的准线方程是( A )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( C )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－123 ．抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ D ）A ．B ．2C D ．12．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =_2___;准线方程为_1x =-____.5.抛物线y 2＝4x 的准线方程为_____ x ＝－1___．6．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为___2213y x -=___.7. 已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2,求抛物线C 的方程; 24x y =。
高二文科数学圆锥曲线基础训练(含答案)
高二文科数学圆锥曲线基础训练1．k 为何值时，直线y=kx+2和椭圆632x 22=+y 有两个交点 （ ）A ．—36<k<36B ．k>36或k< —36C ．—36≤k ≤36D ．k ≥36或k ≤ —36 【答案】B【解析】 试题分析：由⎩⎨⎧=++=632222y x kx y 可得 ：（2+3k 2）x 2+12kx+6=0，由△=144k 2-24（2+3k 2）＞0得k>36或k< —36，此时直线和椭圆有两个公共点。
2．抛物线4x y 2=上一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 ( )A. 0B. 1516C. 78D. 1716【答案】A 试题分析：设M ()00,y x ，因为M 到焦点的距离为1,所以110=+x ，所以00=x ，代入抛物线方程4xy 2=得00=y 。
3．过点（0，1）与双曲线221x y -=仅有一个公共点的直线共有 （ ）A.1条B.2条C.3条D.4条 【答案】D4．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为（ ） A.21B.23C.22D.33【答案】C5．若椭圆)0(122>>=+n m ny m x 和双曲线)0(122>>=-b a b y a x 有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅的值是（ ）A ．m-aB ．)(21a m - C ．22a m - D ．a m -【答案】A【解析】设P是第一象限的交点，由定义可知1212PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 12PF PF m a ∴=-6．已知点)0,4(1-F 和)0,4(2F ，曲线上的动点P 到1F 、2F 的距离之差为6，则曲线方程为（）A.17922=-y x B ．)0(17922>=-y x y C ．17922=-y x 或17922=-x y D ．)0(17922>=-x y x 【答案】D7．已知k ＜4,则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有 ( ) A. 相同的准线 B. 相同的焦点C. 相同的离心率D. 相同的长轴【答案】B8．抛物线)0(2<=a ax y 的焦点坐标是( )A .⎪⎭⎫⎝⎛0,21a B.⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0 C.⎪⎭⎫⎝⎛a 41,0 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 41,0 【答案】C9．抛物线212y x =的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）A. B. C.2 【答案】A10．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两焦点分别为21,F F ，点A 在椭圆上，0211=⋅F F ，4521=∠AF F ，则椭圆的离心率e 等于 ( )A.33B.12-C.13-D. 215- 【答案】B 由0211=⋅F F AF 得112AF F F ⊥,又4521=∠AF F ，112AF F F ∴=即22b c a=，整理的2220c ac a +-=2210,1e e e ∴+-==11．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________【答案】1728122=+y x 【解析】试题分析：椭圆长轴的长为18，即2a=18，得a=9，因为两个焦点恰好将长轴三等分，∴2c=31•2a=6，得c=3，因此，b 2=a 2-c 2=81-9=72，再结合椭圆焦点在y 轴上，可得此椭圆方程为1817222=+y x . 12．过椭52x ＋42y ＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求弦AB 的长_______【答案】35513．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .14．过点(1,2)总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是 .【答案】2k <<3k <<-【解析】2222150x y kx y k ++++-=表示圆需要满足22224(15)0k k +-->，解得33k -<<，又因为过圆外一点可以作两条直线与圆相切，所以点(1,2)在圆外，所以2221222150k k +++⨯+->，所以3k <-或2k >，综上所述，实数k 的取值范围是2k <<3k <<-15．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为5，则m ＝ .【答案】4±. 16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22。
圆锥曲线基础题有答案
• 题目：已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > 0,b > 0)$的一条准线恰好为圆$x^{2} + y^{2} + 4x - 4y + 7 = 0$的一条切线， 则该双曲线的离心率为( ) A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$ B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$ C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 答案：C • A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$ B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$ C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ • 答案：C
2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课时跟踪训练含解析新
2.4.2 抛物线的简单几何性质[A 组 学业达标]1．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．18解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2.由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10. 答案：C2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在解析：当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意． 当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)， 可设直线方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233. 因而这样的直线有且仅有两条． 答案：B3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )A ．43B ．8C ．83D ．16解析：由抛物线方程y 2＝8x ，可得准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，设点A (－2，n )， ∴－3＝n －0－2－2，∴n ＝4 3.∴P 点纵坐标为4 3.由(43)2＝8x ，得x ＝6，∴P 点坐标为(6,43)，∴|PF |＝|PA |＝|6－(－2)|＝8，故选B. 答案：B4．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|FA |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7. 答案：D5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( ) A ．(2，±22) B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－y 204，－y 0.由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B. 答案：B6．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，若|AB |＝43，则焦点F 到直线AB 的距离为________．解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴所求距离为3－1＝2. 答案：27．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则|AB |＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，则根据抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝2x M ＋2＝2×2＋2＝6. 答案：68．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB ＝________.解析：由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称． 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a 24，则S △AOB ＝12·2a ·a 24＝16，解得a ＝4，∴△AOB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°. 答案：90°9．直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意，所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2. 又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，所以2k 2＋4k2＝6，解得k ＝±1. 所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.10．已知抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，O 为坐标原点． (1)求证：l 与C 必有两交点．(2)设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值． 解析：(1)证明：联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，可得2x 2－kx －1＝0，所以Δ＝k 2＋8>0，所以l 与C 必有两交点．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1①，因为y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1，代入①，得2k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 1＋1x 2＝1②，由(1)可得x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－12，代入②得k ＝1.[B 组 能力提升]11．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．3 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，因为AB 中点的横坐标为2，则4k ＋2k 2＝4，即k ＝2或k ＝－1，又由Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0，知k ＝2.答案：C12．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( ) A.12B.22 C.2D ．2解析：由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝8x得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，x 1·x 2＝4.y 1＋y 2＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)＝k (x 1＋x 2－4)＝8k ，y 1·y 2＝－8x 1·8x 2＝－16.∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4－16－16k＋4＝0，解得k ＝2，故选D. 答案：D13．动圆经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是________．解析：设动点M (x ，y )，⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等，所以点M 的轨迹是抛物线，且以A (3,0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线，所以p ＝6，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝12x . 答案：y 2＝12x 14．过抛物线y 2＝4x的焦点F 且倾斜角为π4的直线与抛物线交于A ，B 两点，则|FA |·|FB |的值为________． 解析：过抛物线y 2＝4x的焦点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，Δ＝36－4＝32>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1>0，x 2>0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，F (1,0)，|FA|·|FB|＝x1－12＋y21·x2－12＋y22＝x21－2x1＋1＋4x1·x22－2x2＋1＋4x2＝x1＋12·x2＋12＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝1＋6＋1＝8.答案：815.如图，已知直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D(不为原点)．(1)求点D的轨迹方程；(2)若点D的坐标为(2,1)，求p的值．解析：(1)设点A的坐标(x1，y1)，点B的坐标(x2，y2)，点D的坐标(x0，y0)(x0≠0)，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0. 由已知，得直线AB的方程为y0y＝－x0x＋x20＋y20.又y21＝2px1，y22＝2px2，y21y22＝(2px1)·(2px2)，则x1x2＝y21y22 4p2，由x1x2＋y1y2＝0得y1y2＋4p2＝0.把y0y＝－x0x＋x20＋y20代入y2＝2px，并消去x得x0y2＋2py0y－2p(x20＋y20)＝0，则y1y2＝－2p x20＋y20x0，代入y1y2＋4p2＝0，得x20＋y20－2px0＝0(x0≠0)，故所求点D 的轨迹方程为x 2＋y 2－2px ＝0(x ≠0)． (2)将x ＝2，y ＝1代入方程x 2＋y 2－2px ＝0中，得p ＝54.16．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解析：(1)把P (1,1)代入y 2＝2px 得p ＝12，∴抛物线C 的方程为y 2＝x .∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：设l ：y ＝kx ＋12(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线OP 的方程为y ＝x ，直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x .由题意知A (x 1，x 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1，x 1y 2x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得k 2x 2＋(k －1)x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1·x 2＝14k 2.∵y 1＋x 1y 2x 2＝kx 1＋12＋x 1⎝⎛⎭⎪⎪⎫kx 2＋12x 2＝2kx 1＋x 1＋x 22x 2＝2kx 1＋1－kk 22·14k 2x 1＝2kx 1＋(1－k )·2x 1 ＝2x 1，∴y 1＋x 1y 2x 22＝x 1.又M (x 1，y 1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1，x 1y 2x 2， ∴x 1＋x 12＝x 1，∴线段BM 的中点坐标为(x 1，x 1)，与A (x 1，x 1)坐标相同， ∴A 为线段BM 的中点．。
数学课程圆锥曲线基础练习题及答案
数学课程圆锥曲线基础练习题及答案1、请写出圆锥曲线的定义和常见的几种形式，并说明它们的性质。
圆锥曲线是平面解析几何的一个分支，由平面上固定点F称为焦点，和到该点的固定比例e（离心率）的点P构成。
根据e的不同取值，圆锥曲线可以分为以下几种形式：1）当离心率e=0时，圆锥曲线是一个圆。
圆具有以下性质：- 圆上任意两点的距离相等；- 圆的内切线与切点相垂直；- 圆的半径相等。
2）当离心率0 < e < 1时，圆锥曲线是一个椭圆。
椭圆具有以下性质：- 椭圆上任意两点到两个焦点的距离之和等于常数2a；- 椭圆的两个焦点到准线（短轴所在直线）的距离之和等于2a；- 椭圆的准线是对称轴；- 椭圆的离心率e满足0 < e < 1；- 椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，焦距为c，且a^2 = b^2 +c^2。
3）当离心率e=1时，圆锥曲线是一个抛物线。
抛物线具有以下性质：- 抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离；- 抛物线的准线与焦点所连的直线垂直；- 抛物线的准线是对称轴；- 抛物线的离心率e=1；- 抛物线的焦距等于顶点到准线的距离。
4）当离心率e>1时，圆锥曲线是一个双曲线。
双曲线具有以下性质：- 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2a；- 双曲线的两个焦点到准线（短轴所在直线）的距离之差等于2a；- 双曲线的准线是对称轴；- 双曲线的离心率e满足e > 1；- 双曲线的半长轴长为a，半短轴长为b，焦距为c，且a^2 = b^2 +c^2。
2、给定一个椭圆的方程为x^2/25 + y^2/9 = 1，确定椭圆的中心、两个焦点和两个顶点的坐标。
根据椭圆的标准方程x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，我们可以得到以下信息：- 中心的坐标为(0, 0)；- 焦点的坐标为(0, ±√(a^2 - b^2)) = (0, ±√(25 - 9)) = (0, ±√16) = (0, ±4)；- 顶点的坐标为(±a, 0) = (±5, 0)。
第二章 圆锥曲线与方程1
第二章综合能力检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵方程mx 2＋ny 2＝1，即x 21m ＋y 21n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴需有：⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，1m <1n.∴m >n >0，故互为充要条件．2．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2[答案] C[解析] k >0，c ＝9－k 2＝k ＋3，∴k ＝2.3．(2012·东营市期末)已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是()A. 3 B．2 3C．6 2 D．3[答案] C[解析]抛物线y2＝－8x的焦点F(－2,0)，根据抛物线的定义知，d1＋d2＝|PF|＋d2，显然当由点F向直线x＋y－10＝0作垂线与抛物线的交点为P时，d1＋d2取到最小值，即|－2＋0－10|2＝6 2.4．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝16外切，则动圆的圆心P的轨迹是()A．线段B．双曲线C．圆D．椭圆[答案] B[解析]设动圆P和定圆B外切于M，则动圆的圆心P到两点A(－3,0)和B(3,0)的距离之差恰好等于定圆半径，即|PB|－|P A|＝4，∴点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，故选B.5．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是()A．(1,0) B．(116，0)C．(－1,0) D．(0，－116)[答案] C[解析]x2＝4y关于x＋y＝0，对称的曲线为y2＝－4x，其焦点为(－1,0)．6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33 B.22 C.14 D.12[答案] D[解析]由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝m 2＋n 2，c 2＝am ，2n 2＝2m 2＋c 2.解得c 2a 2＝14，∴e ＝c a ＝12.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1[答案] A[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y24＝1.8．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋(y －1)2＝4[答案] A[解析] 椭圆的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，短轴的一个端点为B (1,0)，可知BF 1⊥BF 2，于是△F 1BF 2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋y 2＝1.9．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．8[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22， |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42， |BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82，又∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴|AB|＝8 2.10．设a>1，则双曲线x2a2－y2(a＋1)2＝1的离心率e的取值范围是()A．(2，2) B．(2，5)C．(2,5) D．(2，5)[答案] B[解析]由已知得e＝a2＋(a＋1)2a＝2a2＋2a＋1a2＝1a2＋2a＋2＝(1a＋1)2＋1，∵a>1，∴0<1a<1，∴1<1a＋1<2，∴2<(1a＋1)2＋1<5，∴2<(1a＋1)2＋1<5，故选B.11．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()[答案] D[解析]解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程x2 1a2＋y21b2＝1，y2＝－ab x.因为a>b>0，因此1b>1a>0.所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y 轴，排除A.12．B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地运转货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是()A．(7＋1)a万元B．(27－2)a万元C．27a万元D．(7－1)a万元[答案] B[解析]设总费用为y万元，则y＝a·(MB＋MC)∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，∴曲线PQ是双曲线的一支，B为焦点，且a＝1，c＝2.由双曲线定义，得MA－MB＝2a，即MB＝MA－2，∴y＝a·(MA＋MC－2)≥a·(AC－2)．以直线AB为x轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－2,0)，C(3，3)．∴AC＝(3＋2)2＋(3)2＝27，故y≥(27－2)a(万元)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝____.[答案] 2[解析] 本题考查抛物线的定义． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x ，焦点为(1,0)，准线为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.14．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为22，则mn ＝________.[答案] 22[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴mx 21＋ny 21＝1① mx 22＋ny 22＝1②又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得：m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， ∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝22，∴m ＝22n ，∴m n ＝22. 15．直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围为________．[答案] m ≥1且m ≠5[解析] 将y ＝kx ＋1代入椭圆方程，消去y 并整理，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5－5m ＝0.由m >0,5k 2≥0，知m ＋5k 2>0，故△＝100k 2－4(m ＋5k 2)(5－5m )≥0对k ∈R 恒成立． 即5k 2≥1－m 对k ∈R 恒成立，故 1－m ≤0，∴m ≥1.又∵m ≠5，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.16．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的双曲线的离心率为________．[答案] 2[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2.∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴AC ＝5， ∴2a ＝CA －CB ＝2，∴a ＝1，∴e ＝ca ＝2.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P (32，6)，求抛物线方程和双曲线方程．[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ，(p >0)， ∵点(32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32， ∴p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x . ∵双曲线左焦点在抛物线的准线x ＝－1上，∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1， 由⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1.解得a 2＝14，b 2＝34.∴所求双曲线方程为4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分12分)设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[解析] 解法一：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 根据直角的不同位置，分两种情况： 若∠PF 2F 1为直角，则 |PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即 |PF 1|2＝(6－|PF 1|2)＋20，解得 |PF 1|＝143，|PF 2|＝43，故|PF 1||PF 2|＝72；若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，得 |PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故|PF 1||PF 2|＝2.解法二：由椭圆的对称性不妨设P (x ，y )(x >0，y >0)，则由已知可得F 1(－5，0)，F 2(5，0)．根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则P (5，43)，故|PF 1||PF 2|＝72；若∠F 1PF 2为直角，则⎩⎨⎧x 29＋y 24＝1，yx ＋5·y x －5＝－1.解得x ＝355，y ＝455，即P (355，455)， 于是|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故|PF 1||PF 2|＝2.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x ，椭圆x 29＋y2m ＝1，它们有共同的焦点F 2，并且相交于P 、Q 两点，F 1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m 的值； (2)P 、Q 两点的坐标； (3)△PF 1F 2的面积．[解析] (1)∵抛物线方程为y 2＝4x ，∴2p ＝4， ∴p2＝1，∴抛物线焦点F 2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c ＝1，a 2＝9＝b 2＋c 2，∴9＝m ＋1，∴m ＝8.(2)解方程组⎩⎨⎧ y 2＝4x ，x 29＋y 28＝1.得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝6，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－ 6.∴点P 、Q 的坐标为(32，6)、(32，－6)． (3)点P 的纵坐标6就是△PF 1F 2的边F 1F 2上的高， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y p |＝12×2×6＝ 6.20．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，求双曲线C 的离心率的取值范围．[解析] 由C 与l 相交于两个不同点，故知方程组⎩⎨⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实根，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2，且a ≠1. 双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，因为0<a <2且a ≠1. 所以e >62，且e ≠ 2.即离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．21．(本小题满分12分)如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18m ，拱顶离水面的距离为8m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若矩形的长|CD |＝9m ，那么矩形的高|DE |不能超过多少m 才能使船通过拱桥？[解析] 如图，以O 点为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．则B (9，－8)，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∵点B 在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y ，∴当x ＝92时，y ＝－2，∴|DE |＝6，∴当矩形的高|DE |不超过6m 时，才能使船通过拱桥． 22．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程整理得⎝⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.∵直线l 与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k .又A (2，0)，B (0,1)，∴AB →＝(－2，1)． ∵OP →＋OQ →与AB →共线， ∴x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，∴－42k 1＋2k 2＝－2×221＋2k 2，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（数学选修1-1）第二章 圆锥曲线[基础训练A 组]及答案
一、选择题
1． 已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3， 则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）
A ．
116922=+y x B ．116252
2=+y x C ．
1162522=+y x 或125
162
2=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线
4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，
那么双曲线的离心率e 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3 5．抛物线x y 102
=的焦点到准线的距离是（ ）
A ．
25 B ．5 C ．2
15 D ．10 6．若抛物线2
8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）。
A ．(7,
B ．(14,
C ．(7,±
D ．(7,-±
二、填空题
1．若椭圆2
2
1x my +=的离心率为
2
，则它的长半轴长为_______________. 2．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。
3．若曲线
22
141x y k k
+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。
4．抛物线x y 62
=的准线方程为＿＿＿＿＿.
5．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
三、解答题
1．k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？
没有公共点？
2．在抛物线24y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短。
3．双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，
点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一
个交点，求渐近线与椭圆的方程。
4．若动点(,)P x y 在曲线
22
21(0)4x y b b
+=>上变化，则22x y +的最大值为多少？
（数学选修1-1） 第二章 圆锥曲线 [基础训练A 组]
一、选择题
1．D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-= 2．C 2
2
2
2218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-=
得5,4a b ==，2212516x y ∴
+=或125
162
2=+y x 3．D 2,2PM PN MN -==而，P ∴在线段MN 的延长线上
4．C 22222
22,2,2,a c c c a e e c a
=====5．B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p
6．C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-
的距离，得7,P p x y ==±二、填空题
1．1,2或 当1m >时，
22
1,111
x y a m
+==； 当01m <<时，22222
223111,1,,4,21144y x a b e m m a a a m m
-+===-===== 2．
22
1205
x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，
2
2
1,25,204
4
x y λ
λλλ
λ
-
=+
==；
当0λ<时，
2
21,()25,2044
y x λλλλλ-=-+-==--- 3．(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或
4．32x =-
326,3,22
p p p x ===-=- 5．1 焦点在y 轴上，则2225
1,14,151y x c k k k
+==-== 三、解答题
1．解：由22
2236
y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22
(23)1260k x kx +++= 222
14424(23)7248k k k ∆=-+=-
当2
72480k ∆=->
，即k k >
<或时，直线和曲线有两个公共点； 当2
72480k ∆=-=
，即k k =
=或时，直线和曲线有一个公共点； 当2
72480k ∆=-<
，即k <<
2．解：设点2
(,4)P t t ，距离为d
，2d ==
当1
2
t =时，d 取得最小值，此时1(,1)2P 为所求的点。
3．解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为22
22
125y x a a +=-； 双曲线方程为22
22
125y x b b
+=-，点(3,4)P 在椭圆上，2221691,4025a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P
的渐近线为y x =
，即243,16b =
=
所以椭圆方程为
2214015y x +=；双曲线方程为22
1169
y x += 4．解：设点(2cos ,sin )P b θθ，22224cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++
令22,sin ,(11)T x y t t θ=+=-≤≤，2
424,(0)T t bt b =-++>，对称轴4
b t =
当
1,44b b >>即时，max 1|2t T T b ===；当01,044
b
b <≤<≤即时， 2
max
4|44b t b T T ===+ 2
2m
a x 4,0
4(2)42,4
b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩。