(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)1.抛物线y=10x的焦点到准线的距离是（）2答案：52.若抛物线y=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。
答案：(7,±14)3.以椭圆x^2/25+y^2/16=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）。
答案：x^2/9 - y^2/16 = 14.F1,F2是椭圆x^2/16+y^2/27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45，则ΔAF1F2的面积（）。
答案：75.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x^2+y^2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）。
答案：y=3x或y=-3x6.若抛物线y=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）。
答案：(±1/4.1/8)7.椭圆x^2/48+y^2/27=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）。
答案：288.若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y=2x的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MF+MA取得最小值的M的坐标为（）。
答案：(2/5.4/5)9.与椭圆4x^2+y^2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）。
答案：x^2/3 - y^2/4 = 110.若椭圆x/√3 + y/√2 = 1的离心率为2/3，则它的长半轴长为_______________。
答案：√611.双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为______________。
答案：x^2/4 - y^2/36 = 112.抛物线y=6x的准线方程为y=3，焦点为(0,3)。
13.椭圆5x^2+k^2y^2=5的一个焦点是(0,2)，那么k=____________。
答案：√314.椭圆kx^2+8y^2=9的离心率为2/3，则k的值为____________。
答案：7/315.根据双曲线的定义，其焦点到准线的距离等于其焦距的一半，因此该双曲线的焦距为3.又根据双曲线的标准方程，8kx-ky=8，将焦点代入方程可得8k(0)-3k=8，解得k=-8/3.16.将直线x-y=2代入抛物线y=4x中，得到交点为(2,8)和(-1,-5)。
(完整word版)圆锥曲线练习题含答案
圆锥曲线专题练习一、选择题1.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ）A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．35．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ）A ．25 B ．5 C ．215 D ．10 6．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ）A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-± 7．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,08．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+10．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．47 C ．27D ．25711．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=12．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定 13．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）A ．1(,44±B ．1(,84±C ．1(,)44D ．1(,8414．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为 A ．20 B ．22 C ．28 D ．2415．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．()0,0 B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2 16．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 17．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--） 18．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．25D ．3 二. 填空题19．若椭圆221x my +=的离心率为2，则它的长半轴长为_______________. 20．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
(完整word版)圆锥曲线压轴解答题22题(含详细答案,可直接打印)
圆锥曲线压轴22题及答案一．解答题（共22小题）1．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)的焦点是椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，且两曲线有公共点（,）．（1）求椭圆M 的方程;（2)O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试探究△ABC 的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．已知直线11：ax ﹣y+1=0，直线12：x+5ay+5a=0．（1）直线11与l 2的交点为M,当a 变化时，求点M 的轨迹C 的方程：（2）已知点D （2，0）,过点E （﹣2，0）的直线1与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值． 3．已知椭圆C:+=1（a ＞b ＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为（点O 为坐标原点）．（1）求C 的方程；(2）直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 关于O 的对称点为P′，求△PP′Q 面积的最大值．4．如图所示，椭圆C 1:+y 2=1，抛物线C 2：y=x 2﹣1，其中C 2与y 轴的交点为M,过坐标原点O的直线l 与C 2相交于点A ，B,直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E ． （Ⅰ）证明：MA ⊥MB;（Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1,S 2．问：是否存在直线l ，使得=．若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．5．已知椭圆C1:的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1）求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点,若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点,则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．6．椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B 两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时,总有∠PQA=∠PQB?若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知椭圆，点在椭圆C上,椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的方程；(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率分别为k1、k2，若k1k2=2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．8．已知椭圆Γ：=1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q(1，0），点P是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值;(3）设不经过点B的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1，证明：直线l过定点．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．(Ⅰ）求椭圆E的标准方程;(Ⅱ）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问｜AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值;若不是,请说明理由．10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ)求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x 轴的交点为H,试问｜BH｜是否为定值?若是,求出定值；若不是，请说明理由．11．设椭圆M：+=1(a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m，使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围． 12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （ I ）求椭圆C 的方程； （ II ）当直线l 的斜率为时，求△POQ 的面积；( III ）在椭圆C 上是否存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形?若存在，求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由． 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：(a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD|=1，O 为坐标原点． (1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点，A 1、A 2为C 的上、下顶点,直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问:|OT|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣,0)，F 2（，0)，点E(，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围． 15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值？若存在，请求出该点的坐标;若不存在，请说明理由． 16．已知椭圆C ：(a ＞b ＞0）的离心率，抛物线E ：的焦点恰好是椭圆C的一个顶点．（1)求椭圆C 的标准方程；（2)过点P （0，1）的动直线与椭圆C 交于A,B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立？请说明理由．17．在平面直角坐标系中,点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点（1,)在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．(1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）,线段MN 的中点为G ，已知点(x 1，x 2)在圆x 2+y 2=2上，求｜OG ｜•|MN ｜的最大值，并判断此时△OMN 的形状． 18．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)，其内接△ABC 中∠A=90°． （I)当点A 与原点重合时，求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II ）当点A 的纵坐标为常数t 0(t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 19．如图，已知F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P （﹣2,3）是椭圆C上一点,且PF 1⊥x 轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆M ：(x ﹣m ）2+y 2=r 2（r ＞0）．①设圆M 与线段PF 2交于两点A,B ，若，且AB=2，求r 的值；②设m=﹣2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r,使得G,H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．20．己知椭圆在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．(1）求椭圆C 的标准方程；．（2）过点A （﹣2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的上方），l 2与椭圆交于M ，N 两点（点M 在点N 的上方），若直线l 1的斜率为，，求直线l 2的斜率．21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0),直线y=x 与C 交于O ，T 两点，｜OT ｜=4．（Ⅰ）求C 的方程; （Ⅱ)斜率为k （0）的直线l 过线段OT 的中点，与C 交于A,B 两点,直线OA,OB 分别交直线y=x ﹣2于M ，N 两点，求|MN|的最大值．22．已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上，焦距为4,离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P(0,﹣1），且与椭圆交于A,B两点，若,求直线l的方程．参考答案与试题解析一．解答题(共22小题）1．已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1(a＞b＞0)的右焦点,且两曲线有公共点（,）．（1)求椭圆M的方程；(2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：(1)抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1（a＞b＞0)的右焦点,∴=c，∵两曲线有公共点（,)，∴=2p•，+=1，解得p=2，∴c=1，∴c2=a2﹣b2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为+=1；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+4y2=12,可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1)，B（x2,y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+)=（，﹣），由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12，化简可得4m2=3+4k2，|AB|=•=•=•==，C到直线AB的距离d═，S△ABC=|AB|•d=••=．当直线AB的斜率不存在时，|AB｜=3，d=3，S△ABC=｜AB｜•d=．综上可得，△ABC的面积为定值．2．已知直线11：ax﹣y+1=0，直线12:x+5ay+5a=0．（1）直线11与l2的交点为M，当a变化时,求点M的轨迹C的方程：（2）已知点D(2，0)，过点E（﹣2,0)的直线1与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解:（1）由题意设M（x，y)，M满足直线11、直线12：可得，消去a，可得x2+5y2=5，即点M的轨迹C的方程为：(2）设直线l的方程x=my﹣2．E（﹣2,0)在M的轨迹C内．ED=4，直线1与C交于A，B两点，A（x1,y1）．B（x2，y2）∴，可得（m2+5）y2﹣4my﹣1=0．∴y1+y2=．y1y2=∴△ABD面积s=×|y1﹣y2｜•|ED=×4×=2×==2×≤2×=2×=,当且仅当m=时，表达式取得最大值．△ABD面积的最大值：．3．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；(2）直线l过F且与椭圆C交于P,Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．【解答】解：(1)∵△MOF的面积为,∴bc=，即bc=．又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4,∴=4，即ab=2．∴==,∴=，∴a=2,b=,∴C的方程为:=1．（2）由题意可知，点O为PP′的中点，则=2S△POQ．设直线l的方程为：x=my﹣1,P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=,∴|y1﹣y2|===，∴S△POQ =|OF|•|y1﹣y2｜=．设=t≥1,=．∵函数g(t)=在［1，+∞）上单调递减，∴当t=1时，△PP′Q面积取得最大值=3．4．如图所示，椭圆C1：+y2=1,抛物线C2：y=x2﹣1，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D,E．（Ⅰ)证明：MA⊥MB;(Ⅱ)记△MAB，△MDE的面积分别是S1,S2．问:是否存在直线l，使得=．若存在,求出直线l的方程，若不存在,请说明理由．【解答】解:(Ⅰ)证明：由题得,直线l 的斜率存在，设为k,则直线l 的方程为:y=kx, 由y=kx 和y=x 2﹣1，得x 2﹣kx ﹣1=0．设A(x 1，y 1），B(x 2,y 2), 于是x 1+x 2=k ，x 1•x 2=﹣1，又点M 的坐标为（0，﹣1）． 所以k MA •k MB =•====﹣1．故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME;(Ⅱ）设直线MA 的斜率为k 1,则直线MA 的方程为y=k 1x ﹣1． 联立y=x 2﹣1可得或则点A 的坐标为（k 1，k 12﹣1）． 又直线MB 的斜率为﹣，同理可得点B 的坐标为（﹣，﹣1）．于是S 1=|MA ｜•｜MB ｜=｜k 1|•••|﹣｜•=．由椭圆方程x 2+4y 2=4和y=k 1x ﹣1， 得（1+4k 12）x 2﹣8k 1x=0,解得,或,则点D的坐标为（,）．又直线ME的斜率为﹣,同理可得点E的坐标为（﹣，)．于是S2=｜MD｜•|ME｜=．故=（4k12++17)=，解得k12=4，或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程为y=±x．5．已知椭圆C1：的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1)求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点,不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标;若不存在这样的定点，请说明理由．【解答】解:（1)由题意可知：a=2……………………………………1分又椭圆的上顶点为(0，b）双曲线的渐近线为：2y±x=0由点到直线的距离公式有：得……………………3分所以椭圆的方程为．……………………4分（2）设直线线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2）联立得（3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0……………………5分则……………………7分由已知直线FA、FB的斜率之和为0，有,2kx1x2+（k+m)（x1+x2)+2m=0…………………9分所以化简得m=4k………………11分此时△=（8km)2﹣4×(3+4k2)(4m2﹣12）=(32k2）2﹣4×（3+4k2)（64k2﹣12)=16×64k4﹣16(4k2+3）（16k2﹣3)=16×9（1﹣4k2）显然△=16×9（1﹣4k2）＞0有机会成立．所以直线l的方程为：y=kx+m=k（x+4）所以存在这样的定点（﹣4，0）符合题意．…………12分6．椭圆的离心率是，过点P(0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点,当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1)求椭圆C的方程;（2）在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q,使得直线l 变化时，总有∠PQA=∠PQB?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵，∴a 2=2c 2=b 2+c 2，b=c,a 2=2b 2,椭圆方程化为:，由题意知，椭圆过点，∴，解得b 2=4，a 2=8，所以椭圆C 的方程为：;（2）当直线l 斜率存在时,设直线l 方程:y=kx+1， 由得(2k 2+1）x 2+4kx ﹣6=0，△=16k 2+24（2k 2+1）＞0,设,假设存在定点Q （0，t)符合题意，∵∠PQA=∠PQB ，∴k QA =﹣k QB , ∴=,∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4﹣t=0，即t=4，∴Q （0,4），当直线l 斜率不存在时,A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点（0，﹣2），（0,2）， 显然此时∠PQA=∠PQB ，综上，存在定点Q （0，4）满足题意． 7．已知椭圆，点在椭圆C 上，椭圆C 的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C 的方程;（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P 、Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP 、AQ 斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=2,请判断直线PQ 是否过定点?若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【解答】解:（1）由点在椭圆C 上可得：，整理为：9a 2+4b 2=4a 2b 2， 由椭圆C 的四个顶点的连接线构成的四边形的面积为可得：，即，可得，由a ＞b ＞0可解得：，故椭圆C 的方程为：．（2）设点P 、Q 的坐标分别为（x 1,y 1)，（x 2，y 2），点A 的坐标为（﹣2，0）， 故，可得y 1y 2=2（x 1+2)（x 2+2），设直线PQ 的方程为y=kx+m （直线PQ 的斜率存在）， 可得（kx 1+m)(kx 2+m ）=2（x 1+2）（x 2+2）， 整理为：，联立，消去y 得:(4k 2+3）x 2+8kmx+(4m 2﹣12）=0，由△=64k 2m 2﹣4(4k 2+3）（4m 2﹣12）=48（4k 2﹣m 2+3)＞0,有4k 2+3＞m 2， 有，，故有:，整理得：44k 2﹣32km+5m 2=0，解得：m=2k 或,当m=2k 时直线PQ 的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2)，过定点（﹣2，0)不合题意， 当时直线PQ 的方程为，即,过定点．8．已知椭圆Γ：=1(0＜b ＜2）的左右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点,且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q （1，0），点P 是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值；(3）设不经过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点，且直线BM 、BN 的斜率之和为1，证明：直线l 过定点． 【解答】解:（1)椭圆Γ:=1（0＜b ＜2）的a=2，向量与的夹角为,可得｜BF 1｜=|BF 2｜=a==2b=2，即b=1,则椭圆方程为+y 2=1；(2）设P （m ，n ），可得+n 2=1，即n 2=1﹣，•=（1﹣m ，﹣n ）•(﹣m ，﹣n ）=m 2﹣m+n 2=m 2﹣m+1=（m ﹣）2+，由﹣2≤m ≤2可得m=时，上式取得最小值;m=﹣2时,取得最大值6， 则•的范围是［，6]；（3）证明:当直线l 的斜率不存在时，设M （x 1，y 1），N(x 2，y 2）， 由k BM +k BN =+==1，x 1=x 2,y 1=﹣y 2，得x 1=﹣2，此时M ，N 重合，不符合题意；设不经过点P 的直线l 方程为：y=kx+m ，M （x 1,y 1)，N （x 2，y 2）， 由得（1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=,k BM +k BN =+==1,⇒（kx1﹣1+t）x2+（kx2﹣1+t）x1=x1x2⇒(2k﹣1）x1x2+（t﹣1）（x1+x2）=0⇒（t﹣1)（2k﹣t﹣1）=0，∵t≠1，∴t=2k﹣1,∴y=k（x+2）﹣1，直线l必过定点（﹣2，﹣1）．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程;（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A,C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问|AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分12分)解:（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分)令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分)所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ)由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C（x2，y2）则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又，∵Q为AC的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分)直线l与x轴的交点为H（﹣2m，0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜AQ｜2+|HQ｜2为定值10．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x 轴的交点为H，试问｜BH|是否为定值？若是，求出定值；若不是,请说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分）令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分)由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C(x2，y2）则有,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分）又，设AC的中点为Q，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）直线l与x轴的交点为H(﹣2m,0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜BH｜为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分）11．设椭圆M：+=1（a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．(1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m,使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设M的焦点F1（﹣c，0），F2(c,0），∵，△PF1F2面积为，∴，∴c=1，由，得∴椭圆M的方程为．(2）设直线l的方程为y=kx+t，由•得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12=0，设A（x1•y2)，B（x2•y2),则．．由k1+k2=mk对任意k成立，得，∴，又（0，t）在椭圆内部，∴0≤t2＜3，∴m≥2，即m∈[2，+∞）．12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（ I）求椭圆C的方程；( II）当直线l的斜率为时，求△POQ的面积；（ III)在椭圆C上是否存在点M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在,求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解:（I) 根据题意,解得，故椭圆C的方程为．…(5分）（ II) 根据题意，直线l的方程为．设P（x1,y1），Q（x2，y2）．由得15x2﹣24x=0．解得．法一：．法二:，原点O到直线l的距离．所以…（10分)（ III）设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．设P(x1，y1）,Q（x2,y2），由得（3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由韦达定理得，．所以PQ 的中点．要使四边形OPMQ 为平行四边形，则N 为OM 的中点，所以．要使点M 在椭圆C 上，则，即12k 2+9=0，此方程无解．所以在椭圆C 上不存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形．…．（14分) 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD ｜=1,O 为坐标原点． （1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点,A 1、A 2为C 的上、下顶点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问：|OT ｜是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图：AF 2⊥x 轴，｜OD|=1， ∴AB ∥OD,∵O 为F 1F 2为的中点, ∴D 为BF 1的中点， ∵AD ⊥F 1B ，∴｜AF 1｜=|AB ｜=2｜AF 2｜=4｜OD ｜=4， ∴2a=|AF 1｜+｜AF 2｜=4+2=6， ∴a=3, ∴｜F 1F 2｜==2，∴c=,a=3，∴b2=a2﹣c2=6，∴+=1，（2）由（1）可知,A1(0，），A2（0，﹣)．设点P（x0，y），直线PA1：y﹣=x，令y=0，得xM=；直线PA2:y+=x，令y=0，得xN=;|OM｜•｜ON|=,∵+=1，∴6﹣y02=x2,∴｜OM｜•|ON｜=．由切割线定理得OT2=OM•ON=．∴OT=，即线段OT的长度为定值．14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣，0)，F 2（，0），点E （，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M,N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围．【解答】解:（Ⅰ）由已知,c=， ∴2a=|EF 1|+|EF 2|=+=4，∴a=2,∴b 2=a 2﹣c 2=8﹣2=6， ∴椭圆方程为+=1，（Ⅱ）设点P 的坐标为（0，t)，当直线MN 的斜率不存在时，可得M,N 分别是椭圆的两端点,可得t=±，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y=kx+t ，M(x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由=2可得x 1=﹣2x 2，①，由，消y 可得（3+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣24=0，由△＞0,可得64k 2t 2﹣4（3+4k 2）(4t 2﹣24）＞0，整理可得t 2＜8k 2+6，由韦达定理可得x 1+x 2=﹣,x 1x 2=，②,由①②,消去x 1，x 2可得k 2=，由，解得＜t 2＜6, 综上得≤t 2＜6，又以F 1P 为直径的圆面积S=π•，∴S 的范围为[，2π）．15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A,B 两点,且．（I)求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值?若存在，请求出该点的坐标；若不存在,请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，∵平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．∴，a=,∴c=2，b 2=a 2=﹣c 2=2． ∴椭圆C 的方程为（Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣2）， 代入椭圆C 的方程,得（3k 2+1）x 2﹣12k 2x+12k 2﹣6=0，设M（x3，y3），N（x4，y4）,则，，x3x4=．根据题意，假设x轴上存在定点E（t，0），使得是为定值,=(x3﹣t,y3）•（x4﹣t,y4）=(x3﹣t）•(x4﹣t)+y3y4，=（x3﹣t)•（x4﹣t)+k2（x3﹣2）•（x4﹣2）,=（k2+1)x3x4﹣（2k2+t)(x3+x4）+4k2+t2,=要使上式为定值,即与k无关，则应3t2﹣12t+10=3（t2﹣6），即t=，故当点E的坐标为（,0）时，使得为定值．16．已知椭圆C：(a＞b＞0）的离心率，抛物线E：的焦点恰好是椭圆C 的一个顶点．（1)求椭圆C的标准方程；（2)过点P（0，1)的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立?请说明理由．【解答】解：（1)由抛物线E：的焦点（0,)，椭圆的C的焦点在x轴，由题意可知：b=,椭圆的离心率e===,则a=2，∴椭圆的标准方程:；（2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1,A，B的坐标分别为（x1,y1），（x2，y2)．联立,整理得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0．其判别式△＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣．∴•+λ•=x 1x 2+y 1y 2+λ［x 1x 2+（y 1﹣1）(y 2﹣1）］，=（1+λ)（1+k 2)x 1x 2+k （x 1+x 2)+1==﹣2λ﹣3，当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，即•+λ•=﹣7为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．17．在平面直角坐标系中，点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点,双曲线C 的离心率为2,点(1，）在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．（1）求动点P 的轨迹方程；（2)在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1,y 1）、N （x 2，y 2），线段MN 的中点为G,已知点(x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2上，求|OG ｜•｜MN|的最大值,并判断此时△OMN 的形状． 【解答】解：（1）设F 1，F 2分别为（﹣c ，0)，（c ，0） 可得，b 2=c 2﹣a 2=3a 2,又点（1,)在双曲线C 上，∴，解得，c=1．连接PQ ，∵OF 1=OF 2,OP=OQ ，∴四边形PF 1QF 2的周长为平行四边形． ∴四边形PF 1+PF 2=2＞2，∴动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点),∴动点P 的轨迹方程（y ≠0）;（2）∵x 12+x 22=2，,∴y 12+y 22=1．∴｜OG ｜•｜MN｜=•=•=．∴当3﹣2x 1x 2﹣2y 1y 2=3+2x 1x 2+2y 1y 2⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值， 此时OM ⊥ON ，△OMN 为直角三角形．18．已知抛物线C:y 2=2px （p ＞0），其内接△ABC 中∠A=90°． （I ）当点A 与原点重合时,求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II)当点A 的纵坐标为常数t 0（t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 【解答】解：（I ）设B （，y 1)，C （，y 2）,∵AB ⊥AC ，∴+y 1y 2=0,∴y 1y 2=﹣4p 2．∴设BC 的中点M （x ，y ），则=x ，y 1+y 2=2y ，∵y 12+y 22=(y 1+y 2）2﹣2y 1y 2, ∴px=4y 2+8p 2，∴M 的轨迹方程为：y 2=（x ﹣8p ）． （II ）A （，t 0)，设直线BC 的方程为y=kx+b,B （，y 1），C （,y 2),∴k AB ==,k AC ==,∵AB⊥AC，∴•=﹣1．即y1y2+t（y1+y2）+t2+4p2=0．联立方程组，消去x可得y2﹣y+=0，∴y1y2=,y1+y2=，∴+t0+t2+4p2=0．解得b=﹣t﹣﹣2pk，∴直线BC的方程为：y=kx﹣t0﹣﹣2pk=k（x﹣2p﹣）﹣t，∴直线BC过定点(2p+，﹣t）．19．如图,已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点,点P（﹣2，3）是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2)设圆M：（x﹣m）2+y2=r2（r＞0）．①设圆M与线段PF2交于两点A，B,若,且AB=2，求r的值；②设m=﹣2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G,H两点（异于点P)．试问:是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在,求出r的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1）因点P（﹣2，3)是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴，所以椭圆的半焦距c=2，由,得，所以,……（2分）化简得a2﹣3a﹣4=0，解得a=4，所以b2=12，所以椭圆C的方程为．……(4分)（2）①因，所以，即，所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q），由（1）知,……（6分）因圆M与线段PF2交于两点A，B，所以，所以,解得，……（8分）所以，故．……(10分）②由G，H两点恰好关于原点对称,设G(x0，y），则H（﹣x，﹣y）,不妨设x＜0，因P（﹣2,3），m=﹣2,所以两条切线的斜率均存在,设过点P与圆M相切的直线斜率为k，则切线方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，由该直线与圆M相切，得，即，……（12分）所以两条切线的斜率互为相反数，即kGP =﹣kHP,所以，化简得x0y=﹣6，即，代入,化简得，解得x=﹣2(舍），，所以，……(14分）所以，,所以，所以．故存在满足条件的,且．……(16分）20．己知椭圆在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．（1)求椭圆C的标准方程;．（2）过点A(﹣2，0）作两条相交直线l1，l2,l1与椭圆交于P，Q两点（点P在点Q的上方），l2与椭圆交于M，N两点（点M在点N的上方），若直线l1的斜率为，，求直线l2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：，…………………………(2分）解得a=6，b=1．故椭圆C的方程为．………………………（4分）(2）由题设可知:l1的直线方程为x=﹣7y﹣2．联立方程组，整理得:85y2+28y﹣32=0.．…………………………（6分）∴．…………………………………………（7分)∵，∴，即．…………………………………………（8分)设l2的直线方程为x=my﹣2（m≠0)．将x=my﹣2代入+y2=1得(m2+36)y2﹣4my﹣32=0．设M（x1，y1），N(x2，y2），则．……………………………………(10分)又∵，∴．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为．………………………（12分）21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py(p＞0），直线y=x与C交于O，T两点，｜OT|=4．（Ⅰ)求C的方程；（Ⅱ）斜率为k（0)的直线l过线段OT的中点，与C交于A,B两点,直线OA,OB分别交直线y=x﹣2于M,N两点，求｜MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由方程组得x2﹣2px=0，解得x1=0,x2=2p，所以O（0，0）,T(2p,2p），则｜OT｜=2p，又｜OT|=2p=4，所以p=2．故C的方程为x2=4y．(Ⅱ)由（Ⅰ）O（0，0),T(4，4）,则线段OT的中点坐标(2，2）．故直线l的方程为y﹣2=k(x﹣2)．由方程组得x2﹣4kx+8k﹣8=0．设A(x1,x12），B（x2，x22）,则x1+x2=4k，x1x2=8k﹣8，直线OA的方程y=x,代入y=x﹣2，解得x=,所以M（，），同理得N(,）,所以|MN|=•|﹣｜=|｜=×|=4•因为0＜k≤，所以8＜|MN｜≤4．当k=时，｜MN|取得最大值4．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为．（1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l经过点P（0,﹣1），且与椭圆交于A，B两点,若，求直线l的方程．【解答】（本小题满分12分）解:(1）依题意可设椭圆方程为(a＞b＞0)，由2c=4，c=2，e==，则a=2,b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程为：．(2）由题意可知直线l的斜率存在,设l的方程为:y=kx﹣1，A（x1，y1）,B（x2,y2），由，整理得（2k2+1）x2﹣4kx﹣6=0,且△＞0，则x1+x2=，x1x2=﹣,由,即（﹣x1，﹣1﹣y1)=2（x2,y2+1），x1=﹣2x2,，消去x2并解关于k的方程得:k=±，∴l的方程为：y=±x﹣1．。
圆锥曲线练习题含答案
圆锥曲线一、选择题（共13小题；共65分）1. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是A. B.C. D.2. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是A. B. C. D.4. 是双曲线上一点，，分别是双曲线左右焦点，若，则A. B.C. 或D. 以上答案均不对5. 已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为，则椭圆的方程为A. B. C. D.6. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，若直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.7. 已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为A. B. C. D.8. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为A. 或B. 或C.D.9. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是A. B.C. D.10. 已知椭圆：的左、右焦点为，，离心率为，过的直线交于，两点，若的周长为，则的方程为A. B. C. D.11. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，满足，则A. B. C. D.12. 已知双曲线右支上一点到左、右焦点的距离之差为，到左准线的距离为，则到右焦点的距离为A. B. C. D.13. 已知椭圆的左右顶点分别为，，上顶点为，若是底角为的等腰三角形，则A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）14. 已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．15. 设，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，设为线段的中点，为坐标原点，若，则，．16. 已知点，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，那么椭圆的方程为．17. 若拋物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则．18. 设是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为．三、解答题（共6小题；共78分）19. 在抛物线上求一点，使到焦点与到点的距离之和最小．20. 已知，是双曲线的两个焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，且，求的周长．21. 已知，为双曲线的焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于点，且．求双曲线的渐近线方程．22. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且两曲线的一个公共点满足：是直角三角形且，求双曲线的标准方程．23. 在中，，如果一个椭圆通过，两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，求这个椭圆的焦距．24. 如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于点，且．求：（1）双曲线的离心率；（2）双曲线的渐近线方程．答案第一部分1. D2. B3. D4. B 【解析】双曲线的，，，由双曲线的定义可得，，可得或，若，则在右支上，应有，不成立；若，则在左支上，应有，成立．5. C【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，因为以这四个交点为顶点的四边形的面积为，所以边长为所以在椭圆上，所以因为椭圆的离心率为，所以，则联立解得：，．所以椭圆方程为：．6. B 【解析】由题意，，所以，所以，所以．7. B 【解析】设点到准线的距离为，点到准线的距离为，则，则线段的中点到轴的距离为．8. B 【解析】因为以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以或，当时，，，，此时，当时，，，，此时．10. A【解析】依题意可得：解出所以椭圆方程为．11. C12. B 【解析】由题意可知：双曲线焦点在轴上，焦点为，，则，即，则，由，双曲线的准线方程为，点到右准线的距离为，由双曲线的第二定义，点到右焦点的距离为，故到右焦点的距离．13. D第二部分14.15. ，或【解析】如图，由题意，为的一条中位线，所以．由双曲线的定义，得，所以，或．16.【解析】由题意知，且，解得，，所以椭圆的方程为．【解析】拋物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，可得，所以．18.【解析】如图，易知抛物线的焦点为，准线是，由抛物线的定义知：点到直线的距离等于点到的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小，显然，连接与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为．第三部分19. 如图所示，设抛物线上的点到准线的距离为．所以．显然当、、三点共线时，最小．因为，可设为，将其代入得，故的坐标为．20. 由题意及双曲线的定义可知，，所以．又因为，所以，所以的周长为．21. 如图，设，，则，解得，所以．在直角三角形中，，所以，由双曲线定义可知，得．因为，所以，即，所以 .故所求双曲线的渐近线方程为．22. 设双曲线的标准方程为．由题意得．由题意不妨设，则．又，所以，，所以，所以，所以双曲线的标准方程为．23. 如图所示，在中，得由得．所以．得．所以焦距．故椭圆的焦距为．24. （1）因为，．在中，，，又，即，，所以．（2）对于双曲线，有，所以，所以．所以双曲线的渐近线方程为．。
(完整word版)圆锥曲线基础知识专项练习
圆锥曲线练习一、选择题（本大题共13小题,共65。
0分)1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）A。
k＞1 B.k＜—1C。
-1＜k＜1 D。
-1＜k＜0或0＜k＜12。
方程表示椭圆的必要不充分条件是（）A.m∈（—1，2）B。
m∈（-4,2)C。
m∈（-4，-1）∪（—1，2） D.m∈（—1，+∞)3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（）A.1或3 B。
1 C.3 D。
64。
已知椭圆的焦点为（-1,0）和（1，0），点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的标准方程为（)A. B.C。
D。
5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆”，那么（)A。
甲是乙成立的充分不必要条件B。
甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件6。
“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A。
充要条件B。
充分非必要条件C.必要非充分条件D。
既不充分也不必要条件7。
方程+=10,化简的结果是（）A。
+=1 B。
+=1 C.+=1 D。
+=18.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为,则|PF｜=（)A.B。
C.D。
9。
若点P到点F(4，0）的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A。
y2=-16x B.y2=—32x C.y2=16x D.y2=32x10。
抛物线y=ax2(a＜0）的准线方程是( ）A.y=—B.y=-C.y=D.y=11.设抛物线y2=4x上一点P到直线x=—3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.3B.4C.6D.812。
已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A(0,2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为( ）A。
2 B。
C.-1 D。
+113.若直线y=kx—2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（) A。
圆锥曲线练习题精题(附答案)
圆锥曲线一、填空题1、对于曲线C ∶1422-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜25 其中所有正确命题的序号为_____________.2、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足021=⋅PF PF ，2tan 21=∠F PF，则该椭圆的离心率为3.若0>m ，点⎪⎭⎫⎝⎛25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 .4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ．6. 在ABC 中,7,cos 18AB BC B ==-．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．7.已知ABC ∆的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率35=e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 . 9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________;10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . 11、抛物线)0(12<=m x my 的焦点坐标是 .12.已知F 1、F 2是椭圆2222)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°，则||OA 为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．二.解答题15、已知动点P 与平面上两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率的积为定值12-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C.（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程.16、已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。
(完整版)高二圆锥曲线经典练习题含答案(可编辑修改word版)
一．求离心率问题1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+13.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ]5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A.B．C．D．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．28.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、圆锥曲线小题综合9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．810.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1111.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．613.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2 分别是两曲线C1，C2 的离心率，则的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．1614.已知点M（1，0），A，B 是椭圆+y2＝1 上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[ ，1] B．[1，9] C．[ ，9] D．[ ，3]15.已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px （p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．917.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．1218.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+120.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．三．求轨迹方程问题21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．四、直线和圆锥的关系问题26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27.已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P 的直线l，使l 与椭圆C 交于A，B 两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．28.已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y﹣2＝0 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E，使得•为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．29.已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，右焦点F 的坐标为，点P 坐标为（﹣2，2），且直线PA1⊥x 轴，过点P 作直线与椭圆E 交于A，B 两点（A，B 在第一象限且点 A 在点B 的上方），直线OP 与AA2交于点Q，连接QA1．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线QA1 的斜率为k1，直线A1B 的斜率为k2，问：k1k2 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由．30.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C上异于O 的两点．（I）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB 的斜率之积为，求证：直线AB 过定点．31.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A 在椭圆C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P，Q 的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．32.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2＝4 x 的焦点恰好使椭圆C 的一个焦点．（1）求椭圆C 的方程（2）过点D（0，3）作直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，点N 满足＝（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．33.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3 ＝0 的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）给出定点Q（，0），对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB，+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．34.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F1，F2 是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．35.如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．36.已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l：y＝kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q 两点，直线OP、OQ 的斜率依次为k1、k2，满足4k＝k1+k2，试问：当k 变化时，m2 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．37.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，直线l：x﹣my﹣1＝0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，且交椭圆C 于A，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点D（，0），连结BD，过点A 作垂直于y 轴的直线l1，设直线l1与直线BD 交于点P，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P 恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．38.已知动点P 到定点F（1，0）和直线l：x＝2 的距离之比为，设动点P 的轨迹为曲线E，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A，B 两点，直线l：y＝mx+n 与曲线E 交于C，D 两点，与线段AB 相交于一点（与A，B 不重合）（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆x2+y2＝1 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．39.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P 在椭圆C 上，且满足△PF1F2 的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．40.已知椭圆C：的离心率为，右焦点F2 到直线l1：3x+4y＝0 的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l 与椭圆C 相交于E、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE，AF 分别交直线x＝3 于点M，N，线段MN 的中点为P，记直线PF2 的斜率为k′，求证：k•k′为定值．一．选择题（共20 小题）1.已知椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】求出椭圆的左焦点与下顶点坐标连线的斜率，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆和直线，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，直线l 的斜率为，所以，又b2+c2＝a2，所以，故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设椭圆E 的两焦点分别为F1，F2，以F1 为圆心，|F1F2|为半径的圆与E 交于P，Q 两点．若△PF1F2 为直角三角形，则E 的离心率为（）A．﹣1 B． C． D．+1【分析】如图所示，△PF1F2 为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．【解答】解：如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴∠PF1F2＝90°，∴|PF1|＝2c，|PF2＝2 c，则2c+2c＝2a，解得e＝＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E，连接AE 交PQ 于点M，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解E 的坐标，推出M 的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b ＝±，由题意可设P（﹣c，），B（a，0），可得BP 的方程为：y＝﹣（x﹣a），x＝0 时，y＝，E（0，），A（﹣a，0），则AE 的方程为：y＝（x+a），则M（﹣c，﹣），M 是线段PF 的中点，可得2•（﹣）＝，即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，可得e＝＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[ ）B．[ ] C．[）D．[ ] 【分析】由题意画出图形，可得四边形AF2BF1 为矩形，则AB＝F1F2＝2c，结合AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，列式可得e 关于∠ABF2 的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围．【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1 为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，得e＝＝．∵∠ABF2∈[ ]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．5.设F 为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2 交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为（）A． B． C．2 D．【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C 的离心率．【解答】解：如图，由题意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知双曲线的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【分析】不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解．【解答】解：如图，不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的方程为y＝﹣（x﹣c），联立，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．∴．由题意，方程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0 的两根异号，则a＞b，此时＜0，＞0．则，即a＝2b．∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．7.若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．2【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0 垂直，得a、b 关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c 的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0 垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，此时，离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．8.已知F1，F2 是双曲线的左、右焦点，若点F1 关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF2＝∠POF2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【分析】连接OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|＝c，O 到PF1的距离为a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值．【解答】解：连接OP，可得|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝|PF2|＝c，F1到渐近线bx+ay＝0 的距离为d＝＝b，在等腰三角形OPF1 中，O 到PF1 的距离为a，即sin∠OPF1＝sin30°＝＝，可得e＝＝2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．9.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1 的一个焦点，则p＝（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．10.已知抛物线x2＝16y 的焦点为F，双曲线＝1 的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由双曲线方程求出a 及c 的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接FF2 交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求．【解答】解：如图由双曲线双曲线＝1，得a2＝3，b2＝5，∴c2＝a2+b2＝9，则c＝3，则F2（3，0），∵|PF1|﹣|PF2|＝4，∴|PF1|＝4+|PF2|，则|PF|+|PF1|＝|PF|+|PF2|+4，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，∵F 的坐标为（0，4），F2（3，0），∴|FF2|＝5，∴|PF|+|PF1|的最小值为5+4＝9．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．11.已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线方程可得，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝2 ，即a2+b2＝8，②，解方程可得a，b 的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，可得，①，椭圆的焦点为（±2 ，0），可得c＝2，即a2+b2＝8，②由①②可得a＝，b＝，则双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查．12.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1 相交于M，N两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p＝（）A．2 B． C．3 D．6【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N．利用三角形是直角三角形，转化求解即可．1 2 1 21 2 1 2 【解答】解：由题设知抛物线 y 2＝2px 的准线为 x ＝﹣ ，代入双曲线方程﹣x 2＝1 解得 y ＝±，由双曲线的对称性知△MNF 为等腰直角三角形，∴∠FMN ＝，∴tan ∠FMN ＝ ＝1，∴p 2＝3+ ，即 p ＝2 ，故选：A ．【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．13. 已 知 椭 圆 与 双 曲 线有相同的焦点 F 1，F 2，点 P 是两曲线的一个公共点，且 PF 1⊥PF 2，e 1，e 2 分别是两曲线 C 1，C 2 的离心率，则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【分析】由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2，令 P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出 a 2+a 2＝2c 2，由此能求出 9e 2+e 2 的最小值．【解答】解：由题意设焦距为 2c ，椭圆长轴长为 2a 1，双曲线实轴为 2a 2， 令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|＝2a 2，① 由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，③①2+②2，得|PF 1|2+|PF 2|2＝2a 2+2a 2，④将④代入③，得 a 2+a 2＝2c 2，∴9e 12+e 22＝+＝5++≥8，即的最小值是 8．1 2 故选：C ．【点评】本题考查 9e 2+e 2的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 14. 已知点 M （1，0），A ，B 是椭圆+y 2＝1 上的动点，且＝0，则 • 的取值是（）A ．[ ，1]B ．[1，9]C ．[ ，9]D ．[，3]【分析】利用＝0，可得 •＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α），可得＝（2cos α﹣1）2+sin 2α，即可求解数量积的取值范围．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设 A （2cos α，sin α）， 则＝（2cos α﹣1）2+sin 2α＝3cos 2α﹣4cos α+2＝3（cos α﹣ ）2+，∴cos α＝ 时， 的最小值为；cos α＝﹣1 时，的最大值为 9，故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题． 15. 已知双曲线的右焦点与抛物线 y 2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得 m +5＝9，求出 m ＝4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线 y 2＝12x 的焦点为（3，0）， ∴双曲线的一个焦点为（3，0），即 c ＝3．双曲线可得∴m +5＝9，∴m ＝4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（）A． B． C．3 D．9【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM 平行能求出实数a．【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．∴抛物线y2＝16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM 的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a＝．故选：A．【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．17.已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y2＝8x 的焦点重合，A，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B 坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x 的焦点（2，0）重合，可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x＝﹣2，由，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|＝6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18.若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2 有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3] D．（1，3）【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0 求得 a 和 b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y 得x2± x+2＝0∵渐近线与抛物线有交点∴△＝﹣8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a∴e＝≥3．则双曲线的离心率 e 的取值范围：e≥3．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．19.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l 与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB 中点M 在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，则l 的斜率为（）A． B．e2﹣1 C． D．e2+1【分析】利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段AB 中点M 的坐标代入，即可求得结论．【解答】解：∵M 在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M 到抛物线焦点的距离为p，∴M 的横坐标为，∴M（，p）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，并将线段AB 中点M 的坐标代入，可得∴∴故选：A．【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是（）A.B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，可得点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即即|1+|＝5，解可得p＝8，可得抛物线的方程，进而可得M 的坐标；根据双曲线的性质，可得A 的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得＝，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即|1+ |＝5，解可得p＝8；即抛物线的方程为y2＝16x，易得m2＝2×8＝16，则m＝4，即M 的坐标为（1，4）双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A 的坐标为（﹣，0），其渐近线方程为y＝±x；而K AM＝，又由若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有＝，解可得a＝；故选：B．【点评】本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等．二．解答题（共20 小题）21.已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l 被C 所截得弦长为8，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得＝5，即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．∴点M 的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5 为半径的圆．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l 被圆所截得的线段的长为：2＝8，∴l：x＝﹣2 符合题意．当直线l 的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l 的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆心到l 的距离d＝，由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．∴直线l 的方程为x﹣y+ ＝0．即5x﹣12y+46＝0．综上，直线l 的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.已知在平面直角坐标系xoy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程．【分析】（1）由左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x 轴上求得方程．（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将P 代入椭圆方程，即可求得线段PA 中点M 的轨迹方程【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设+ ＝1（a＞b＞0），由椭圆的左焦点为F（﹣，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程为：+y2＝1（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，整理得：，由点P 在椭圆上，∴+（2y﹣）2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）∴线段PA 中点M 的轨迹方程是：（x﹣）2+4（y﹣）2＝1．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．23.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．【分析】欲求点M 的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y 之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y 的关系式．【解答】解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⇒，又Q 是OP 的中点∴⇒，∵P 在抛物线y2＝4x 上，∴（4y）2＝4（4x﹣2），所以M 点的轨迹方程为【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA与直线EB 的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M，N．若点P 在y 轴上，且|PM|＝|PN|，求点P 的纵坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E 的轨迹C 的方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由题设条件能推导出直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，由此能求出点P 纵坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E 的轨迹C 的方程为，x ．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，△＝8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2＝，设MN 的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y+＝﹣，令x＝0，得y P＝，当k＞0 时，∵2k+ ，∴0＜；当k＜0 时，因为2k+≤﹣2 ，所以0＞y P≥﹣＝﹣．综上所述，点P 纵坐标的取值范围是[﹣]．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．25.已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP 与直线BP 相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P 的轨迹方程（化为标准方程）．【分析】利用斜率的计算公式即可得出．【解答】解：设点P（x，y），则直线AP 的斜率，直线BP 的斜率．由题意得．化简得：．∴点P 的轨迹方程是椭圆．【点评】熟练掌握斜率的计算公式及椭圆的标准方程是解题的关键．只有去掉长轴的两个端点．26.已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x 轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求解a，b，然后求解椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a＝2，c＝1，∴，则E 的方程为；… ....................... （4 分）（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0…（6 分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，… ...... （7 分），∴。
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一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答
大足二中 欧国绪
直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3
（C
） I （D ） 2.
设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k
y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x
(B )1 3 (C)—
2
(D )2
3•双曲线 2 x C ： T
a 2
y_
1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为
'、3，贝U C
的
焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4
D.
4•已知椭圆 C ：
0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为
丄3，过F 2的直线l
3
交C 与A 、
B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则
C 的方程为（）
2 A. x_
3 B. 2
x 2彳 xr y 1
C.
2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2
线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2
a 1(
a 0,
b 0）的一条渐近线平行于直线 I ：
y 2x 10,双曲 2 B — 20 2
为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也
1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2
1 C.— 25 占 八、、
的焦点， uu uuu
OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则
-
1^/2 8
7.抛物线 =X 2的准线方程是
4
(A) y (B)
2
(C)
) D M 辽
.100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ）
x 1
(D)
8•已知点A( 2,3)在抛物线C:2px的准线上，记C的焦点为F,则直线AF的斜率为
A. 4
B. 1
3
C
.
D.
9.设F为抛物线C A, B两点，贝S AB =
(A)旦
3 2 c
:y =3x
(B)
10.已知抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于
(C) 12 (D)
7、、3
x的焦点为F , A X o, y0是C上一点, AF 5 冲
4X0，则X o ()
A. 1
B. 2
C. 4
x
2 11.已知双曲线—a
拆A. 2 B.- D. 8
2
y
3
、5
C. -
D.1
2
1(a 0)的离心率为2，则a
2
0)与C 交于点P , PF 丄x 轴，所以- 2，所以k=2 ,
1
选D.
3.C
4.A
5.A
••• - 2,0 2c 10, A c 5, a 2 5, b 2 20, a
2 2
A x- y_ 1.
5
20
6. B
试卷答案 1.B
试题分析：如图，在椭圆中， OF c, OB b, OD 2b -b
2
在 Rt OFB 中，| OF | |OB| |BF | |OD |，且 a 2 b 2
2
c ，代入解得
x
2 2 a 4c ，所以椭圆的离心率为： e 1，故选B. k
焦点F(1,0)，又因为曲线y (k x
y2= x ••• F（］,0）,设人（％2,%）弋（『22°2）,%>0, y2<0, B=v OAOB>
4
OAOB= y^y^ + y』2 = 2 • （y』2+ 2）（%丫2-1） = 0,即yy = -2
1 1 1 1 - •
…S从OF = ?- ?y1, S^A OB = ?OA?OB?sin 0= -?OAOB?tan 0= tan 0
cos0=驴！. 4 22 4 2= < 222
|OA||OB| W + y1 肛 + y2 2讥％+1）（y2 +1）
1_______ = 1
/2 2 2 2 - ,i'~2 2 - ■ y1 y2 + y1 + y2 + 1 , y1 + y2 +5
i14 2 i14 2 2
，— ----------- 川+4y1 +4 卩+4y1 +4 % + 2 2
--tan 0= 比+ y2 + 4 = = = 一= y1 +
y1 *y1 y1 + S 从OB =鲁+ %+ —= 98y1+ —
8 y1 8 y1
7. A
8. C
【答SIC
【解析】
试題分析；由已知得，抛物柱於=2四的谁竝方程为兀=一彳，且过点故一彳=一2,则左二4,
2 2-
r 3-0 3
戸（2卫＞则直线AF的斜率肛=-- =—「选U
-2-24
【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率.
9. C
3
设AF = 2m, BF = 2n, F（-,0）.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，
4
3 3 3 3
2m=2?—+ ..3m,2n=2?—- 3n，解得m= —（2+、3）,n 二（2八3）, • m+n =6.
4 4 2 2
AB= AF + BF = 2m+ 2n = 12故选C.
10. A
根据抛物线的定义可知AF
1 5
X0 - - X0，解之得X0 1 .选A
4 4
11.D 注？?：=3.选 B
S AAOF
2 3
由双曲线的离心率可得7a
------- 2，解得a 1，选D.
a。