(完整版)高中数学圆锥曲线试题(含答案)

理数圆锥曲线th i n gs in thei r be i ng ar eg o o d f o r s o 1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A在C 上.若|F 1A|=2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1=( ) A. B. C. D. [答案] 1.A [解析] 1.由题意得解得|F 2A|=2a,|F 1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F 1F 2|=4a,∴cos ∠AF 2F 1===.故选A.2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为,过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为4,则C 的方程为( )A.+=1 B.+y 2=1 C.+=1 D.+=1 [答案] 2.A[解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b 2=2,∴C 的方程为+=1,选A.3. (2014重庆,8,5分)设F 1、F 2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存n dAllthingsintheirbeingaregoodforso 在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF 1|·|PF 2|=ab,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.3 [答案] 3.B[解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,于是∴m·n=··⇒m=3n.∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B.4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等[答案] 4.A[解析] 4.∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0.∴-=1与-=1均表示双曲线,又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,∴它们的焦距相等,故选A.5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的A l l th i n g s inth e i r b e i n g ar e g oo d f o r s o 最大距离是( )A.5B.+ C.7+ D.6 [答案] 5.D[解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|====≤5,故|PQ|max =5+=6.6.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C 1的方程为+=1,双曲线C 2的方程为-=1,C 1与C 2的离心率之积为,则C 2的渐近线方程为( )A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0[答案] 6.Al lthingsintheirbeingaregoodforso [解析] 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] 7.A[解析] 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（）A． B． C． D．[答案] 8. B[解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为，l l th i n gs in th ei r bei ng a r e g o o d f o r s o在抛物线方程中，令可得，即从而可得，，因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，所以直线的方程为，故选B ．9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（ ）A. B. C. D.[答案] 9. D[解析] 9. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________.[答案] 10.[解析] 10.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则+=1①,+=1②.ntheirbeingaregoodforso ①、②两式相减并整理得=-·.把已知条件代入上式得,-=-×,∴=,故椭圆的离心率e==.11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.[答案] 11.1+[解析] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,从而有即∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0,又>1,∴=1+.12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为____________.[答案] 12.x2+y2=1e an d Al l thi n gs i n th ei r be i ng ar e g o o d f o r s o [解析] 12.不妨设点A 在第一象限,∵AF 2⊥x 轴,∴A(c,b 2)(其中c 2=1-b 2,0<b<1,c>0).又∵|AF 1|=3|F 1B|,∴由=3得B ,代入x 2+=1得+=1,又c 2=1-b 2,∴b 2=.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.[答案] 13.[解析] 13.由得A,由得B,则线段AB 的中点为M.由题意得PM ⊥AB,∴k PM =-3,得a 2=4b 2=4c 2-4a 2,故e 2=,∴e=.14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是___________.[答案] 14. y=3[解析] 14. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y 轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.15. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y 轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=|PQ|.i ng a r e go o df o r s o (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点,若AB 的垂直平分线l'与C 相交于M 、N 两点,且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上,求l 的方程.[答案] 15.查看解析[解析] 15.(Ⅰ)设Q(x 0,4),代入y 2=2px 得x 0=.所以|PQ|=,|QF|=+x 0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C 的方程为y 2=4x.(5分)(Ⅱ)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x=my+1(m≠0).代入y 2=4x 得y 2-4my-4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4.故AB 的中点为D(2m 2+1,2m),|AB|=|y 1-y 2|=4(m 2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m 2+3.将上式代入y 2=4x,并整理得y 2+y-4(2m 2+3)=0.设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则y 3+y 4=-,y 3y 4=-4(2m 2+3).故MN 的中点为E,|MN|=|y 3-y 4|=.(10分)由于MN 垂直平分AB,故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,Al l th i n gs in th e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 即4(m 2+1)2++=.化简得m 2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l 的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)设F 为椭圆C 的左焦点,T 为直线x=-3上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P,Q.(i)证明:OT 平分线段PQ(其中O 为坐标原点);(ii)当最小时,求点T 的坐标.[答案] 16.查看解析[解析] 16.(Ⅰ)由已知可得解得a 2=6,b 2=2,所以椭圆C 的标准方程是+=1.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F 的坐标是(-2,0),设T 点的坐标为(-3,m).则直线TF 的斜率k TF ==-m.当m≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =,直线PQ 的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得gs i n t h e i r b e in ga r e g oo d fo r s o消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0,其判别式Δ=16m 2+8(m 2+3)>0.所以y 1+y 2=,y 1y 2=,x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=.所以PQ 的中点M 的坐标为.所以直线OM 的斜率k OM =-,又直线OT 的斜率k OT =-,所以点M 在直线OT 上,因此OT 平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.当且仅当m 2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).17. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点P(x 0,y0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.[答案] 17.查看解析[解析] 17.(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b 2=a 2-c 2=4,故椭圆C 的标准方程为+=1.(2)设两切线为l 1,l 2,①当l 1⊥x轴或l 1∥x 轴时,l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴,可知P(±3,±2).②当l 1与x 轴不垂直且不平行时,x 0≠±3,设l 1的斜率为k,且k≠0,则l 2的斜率为-,l 1的方程为y-y 0=k(x-x 0),与+=1联立,整理得(9k 2+4)x 2+18(y 0-kx 0)kx+9(y 0-kx 0)2-36=0,∵直线l 1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y 0-kx 0)2k 2-(9k 2+4)·[(y 0-kx 0)2-4]=0,∴(-9)k 2-2x 0y 0k+-4=0,∴k 是方程(-9)x 2-2x 0y 0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x 2-2x 0y 0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x 0≠±3,∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.lthingsintheirbeingaregoodforso 综上,点P的轨迹方程为x 2+y2=13.18. (2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.[答案] 18.查看解析[解析] 18.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,k AB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,dAllthingsintheirbeingaregoodforso 则===·.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=·=·=,所求定值为==.19. (2014陕西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.[答案] 19.查看解析[解析] 19.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(x P,y P),ndAl l th i n gs i n thei r be i ng a r e g o o d f o r s o ∵直线l 过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得x P =,从而y P =,∴点P 的坐标为.同理,由得点Q 的坐标为(-k-1,-k 2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP ⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l 的方程为y=-(x-1).解法二:若设直线l 的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.20.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1、F 2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,b),连结BF 2并延长交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F 1C.(1)若点C 的坐标为,且BF 2=,求椭圆的方程;(2)若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值.[答案] 20.查看解析[解析] 20.设椭圆的焦距为2c,则F 1(-c,0),F 2(c,0).e an d A l l th i n gs i n th ei r be i ng ar eg o o d f o r s o (1)因为B(0,b),所以BF 2==a.又BF 2=,故a=.因为点C 在椭圆上,所以+=1,解得b 2=1.故所求椭圆的方程为+y 2=1.(2)因为B(0,b),F 2(c,0)在直线AB 上,所以直线AB 的方程为+=1.解方程组得所以点A 的坐标为.又AC 垂直于x 轴,由椭圆的对称性,可得点C 的坐标为.因为直线F 1C 的斜率为=,直线AB 的斜率为-,且F 1C ⊥AB,所以·=-1.又b 2=a 2-c 2,整理得a 2=5c 2.故e 2=.因此e=.21.(2014辽宁,20,12分)圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C 1:-=1过点P 且离心率为.(Ⅰ)求C 1的方程;(Ⅱ)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点,直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A,B 两点,若以线段AB 为直径的圆过点P,求l 的方程.dAllthingsintheirbeingaregoodforso[答案] 21.查看解析[解析] 21.(Ⅰ)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤e an dAl l t h i n gs in th e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 将①,②,③,④代入⑤式整理得2m 2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直线l 的方程为x-y-=0或x+y-=0.22.(2012太原高三月考，20,12分)已知曲线C:x 2+=1.(Ⅰ)由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线,垂足为F,动点P 满足:=3,求P 点的轨迹方程,并讨论其轨迹的类型;(Ⅱ)如果直线l 的斜率为,且过点M(0,-2),直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,又·=-,求曲线C 的方程.[答案] 22.(Ⅰ)设E(x 0,y 0),P(x,y),则F(x 0,0),∵=3,∴(x-x 0,y)=3(x-x 0,y-y 0),∴代入曲线C 中得x 2+=1为所求的P 点的轨迹方程.(2分)①当λ=时,P 点轨迹表示:以(0,0)为圆心,半径r=1的圆;(3分)②当0<λ<时,P 点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆;(4分)③当λ>时,P 点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在y 轴上的椭圆;(5分)④当λ<0时,P 点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x 轴上的双曲线.(6分)e i ng ar eg o o df o r s o (Ⅱ)由题设知直线l 的方程为y=x-2,代入曲线C 中得(λ+2)x 2-4x+4-λ=0,(7分)令A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∵以上方程有两解,∴Δ=32-4(λ+2)(4-λ)>0,且λ+2≠0,(8分)∴λ>2或λ<0且λ≠-2,x 1+x 2=,x 1·x 2=.又·=x 1·x 2+(y 1+2)(y 2+2)=3x 1·x 2==-.(10分)解得λ=-14,(11分)∴曲线C 的方程是x 2-=1.(12分)22.23.(2012山西大学附中高三十月月考，21，12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离为坐标原点.（I ）求椭圆的方程；（II ）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值.[答案] 23.（I ）由题意得，∴，∴.由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为，e an d l l th i ngs i n th e i rbe i ng a r eg o o d f o r s o ∴，∴∴椭圆C 的方程为（II ）设，直线AB 的方程为则，，直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立得消去得整理得则是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，∴，整理得，∴，dAl l th i n gs in th ei r be i ng a r e g o o d f o r s o∴O 到直线AB 的距离即O 到直线AB 的距离定值. (8)分∴，当且仅当OA=OB 时取“=”号.∴，又，∴,即弦AB 的长度的最小值是23.24.(2012广东省“六校教研协作体”高三11月联考,20，14分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（１）求椭圆的方程；（２）已知动直线与椭圆相交于、两点，①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②已知点，求证：为定值.[答案] 24.（1）由题意得……2分解得，dllthingsintheirbeingaregoodforso 所以椭圆C的方程为.…4分（2）①设，直线方程与椭圆C的方程联立得消去，整理得，……6分则是关于的方程两个不相等的实数根，恒成立，，……7分又中点的横坐标为，所以，解得.…………9分②则，由①知，，所以，…………11分…………12分.…14分24.。