静力弹塑性分析

静力弹塑性分析(Pushover 分析)■ 简介Pushover 分析是考虑构件的材料非线性特点，分析构件进入弹塑性状态直至到达极限状态时结构响应的方法。

Pushover 分析是最近在地震研究及耐震设计中经常采用的基于性能的耐震设计(Performance-Based Seismic Design, PBSD)方法中最具代表性的分析方法。

所谓基于性能的耐震设计就是由用户及设计人员设定结构的目标性能(target performance)，并使结构设计能满足该目标性能的方法。

Pushover 分析前要经过一般设计方法先进行耐震设计使结构满足小震不坏、中震可修的规范要求，然后再通过pushover 分析评价结构在大震作用下是否能满足预先设定的目标性能。

计算等效地震静力荷载一般采用如图2.24所示的方法。

该方法是通过反应修正系数(R)将设计荷载降低并使结构能承受该荷载的方法。

在这里使用反应修正系数的原因是为了考虑结构进入弹塑性阶段时吸收地震能量的能力，即考虑结构具有的延性使结构超过弹性极限后还可以承受较大的塑性变形，所以设计时的地震作用就可以比对应的弹性结构折减很多，设计将会更经济。

目前我国的抗震规范中的反应谱分析方法中的小震影响系数曲线就是反应了这种设计思想。

这样的设计方法可以说是基于荷载的设计(force-based design)方法。

一般来说结构刚度越大采用的修正系数R 越大，一般在1~10之间。

但是这种基于荷载与抗力的比较进行的设计无法预测结构实际的地震响应，也无法从各构件的抗力推测出整体结构的耐震能力，设计人员在设计完成后对结构的耐震性能的把握也是模糊的。

基于性能的耐震设计中可由开发商或设计人员预先设定目标性能，即在预想的地震作用下事先设定结构的破坏程度或者耗能能力，并使结构设计满足该性能目标。

结构的耗能能力与结构的变形能力相关，所以要预测到结构的变形发展情况。

所以基于性能的耐震设计经常通过评价结构的变形来实现，所以也可称为基于位移的设计(displacement-based design)。

Capacity (elastic)DisplacementV B a s e S h e a r图 2.24 基于荷载的设计方法中地震作用的计算Pushover分析是评价结构的变形性能的方法之一，分析后会得到如图2.25所示的荷载－位移能力谱曲线。

另外，根据结构耗能情况会得到弹塑性需求谱曲线。

两个曲线的交点就是针对该地震作用结构所能发挥的最大内力以及最大位移点。

当该交点在目标性能范围内，则表示该结构设计满足了目标性能要求。

图 2.25 使用基于位移的设计方法评价结构的耐震性能■ 分析方法结构设计必须满足规范的一系列规定和要求，在完成满足规范要求的设计之后，结构的目标性能具体控制在哪个水准上，则由建筑物的使用者和设计者决定。

为了评价结构性能需要进行结构分析，基于性能的耐震设计方法一般有下列四种。

线性静力分析方法(Linear Static Procedure, LSP) 线性动力分析方法(Linear Dynamic Procedure, LDP) 非线性静力分析方法(Nonlinear Static Procedure, NSP) 非线性动力分析方法(Nonlinear Dynamic Procedure, NDP)MIDAS/Gen 中提供了上述四种分析方法，其中Pushover 分析属于非线性静力分析方法。

Pushover 分析又称为静力弹塑性分析，是评价结构进入弹塑性状态后的结构极限状态和稳定状态的有效而简捷的方法。

该方法主要适用于低频结构影响较大的结构中。

Pushover 分析中可以考虑材料和几何非线性，材料非线性特性是通过定义构件截面的荷载－位移的非线性特性实现的。

Pushover 分析是通过逐渐加大预先设定的荷载直到最大性能控制点位置，获得荷载－位移能力曲线(capacity curve)。

多自由度的荷载－位移关系转换为使用单自由度体系的加速度－位移方式表现的能力谱(capacity spectrum)，地震作用的响应谱转换为用ADRS(Acceleration-Displacement Response Spectrum)方式表现的需求谱(demand spectrum)。

通过比较两个谱曲线，评价结构在弹塑性状态下的最大需求内力和变形能力，通过与目标性能的比较，决定结构的性能水平(performance level)。

在MIDAS/Gen 中使用ATC-40(1996)和FEMA-273(1997)中提供的能力谱法(Capaci ty Spectrum Method, CSM)评价结构的耐震性能。

能力谱法(CSM)的原理如图2.26所示。

(a) 计算结构物的能力曲线(capacity curve)和能力谱(capacity spectrum)(b) 计算需求谱(demand spectrum) (c) 评价性能点(performance point)图 2.26 能力谱法(Capacity Spectrum Method, CSM)的原理Capacity SpectrumdaS SDOF System∆roofCapacity Curve MDOF SystemtransformbaseVDemand Spectruma ndS Response SpectrumaS dmaxAPushover 分析是为了评价结构所拥有的耐震性能，其前提条件是已经完成了初步的分析和设计，即对于混凝土结构必须已经完成了配筋设计。

Pushover 分析的优点如下：可以评价结构进入弹塑性阶段的响应以及所拥有的抵抗能力 可以掌握结构的耗能能力和位移需求 可以掌握各构件屈服的顺序对确定需要维修和加固的构件提供计算依据■ 分析中适用的单元类型MIDAS/Gen 中Pushover 分析中适用的单元类型有二维梁单元(2-dimensional beam element)、三维梁－柱单元(3-dimensional beam-column element)、三维墙单元(3-dimensional wall element)、桁架单元(truss element)。

各单元的特性如下。

二维梁单元和三维梁－柱单元梁单元和梁－柱单元采用的模型如图2.27所示，其位移和荷载如下，其中适用于梁单元时无轴力项。

111111222222{}{, M , , M , , M , , M , , M , , M }T x x y y z z x x y y z z P F F F F F F = (1.a) 111111222222{}{, , , , , , , , , , , }Tx x y y z z x x y y z z u u v u v θθωθθθωθ= (1.b)图 2.27 二维梁单元和三维梁－柱单元模型三维墙单元模型如图2.28所示墙单元模型由中间的线单元，上下两端的刚性杆构成。

中间的线单元与三维梁－柱单元相同，刚性杆在xz平面内做刚体运动。

图 2.28 墙单元的节点力和节点位移桁架单元模型如图2.29所示，桁架单元采用轴向(x方向)的弹簧模型。

图 2.29 桁架单元的节点力■非线性弹簧的特性在各单元模型中表现的弹簧并非表示弹簧的存在，而是表现分析的方法，即在弹簧位置将发生塑性变形。

弹簧具有的特性如下。

梁单元模型的弹簧特性用荷载－位移、轴力－单向弯矩－位移角、剪力－剪切变形、扭矩－扭转角等关系来表现柱以及墙体单元模型的弹簧特性用荷载－位移축력－双向弯矩－位移角、剪力－剪切变形、扭矩－扭转角等关系来表现桁架单元模型的弹簧特性用荷载－位移关系来表现单元的变形可用下面的各式来表现。

弯曲变形节点上构件的变形角可用下列三项之和来表现。

epsθθθθ=++ (2)在此，e θ、s θ、p θ分别为弹性弯曲变形角、塑性弯曲变形角、因剪切产生的弯曲变形角。

另外，如图2.30所示弯矩引起的塑性变形将假设集中在L α区段内。

图形中阴影部分表示发生塑性变形的区段。

因此包含塑性变形和剪切变形的柔度矩阵(flexibility matrix)如下。

()221112111113333oooLLf EI EI EI EI EI G ALαααα=+-+-+-+⎡⎛⎫⎛⎫⎤⎪ ⎪⎢⎥⎣⎝⎭⎝⎭⎦(3.a)()2122112111113266oooLLf f EI EI EI EI EI G ALαα==----+-+⎡⎛⎫⎛⎫⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎝⎭⎝⎭⎦(3.b)()222212111113333oooLL f EI EI EI EI EI G ALαααα=+-+-+-+⎡⎛⎫⎛⎫⎤ ⎪⎪⎢⎥⎣⎝⎭⎝⎭⎦(3.c)图 2.30 弯曲刚度的分布假定构件的荷载－位移关系可用柔度矩阵表现如下。

[]{}f M θ=(4)在此，[][][][]epsf f f f =++(5)如图2.31所示，式(5)中各项分别表示弹性弯曲变形角、塑性变形角、因剪切引起的弯曲变形角。

图2.31 弯矩－变形角关系轴向变形、扭转变形、剪切变形弹簧在MIDAS/Gen 的Pushover 分析中假定轴力、扭矩、剪力在构件内不变，塑性铰发生在构件中央。

其荷载－位移关系可参照弯曲变形中的各式。

双向弯曲弹簧双向受弯且受轴力作用时，先计算各向的屈服弯矩后使用下面关系式建立双向受弯相关公式。

1.0nynxnoxnoyM M MMαα+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(6)上式适用与钢筋混凝土和钢材等所有构件。

■ 塑性铰(plastic hinge)特性随着荷载的增加，结构构件将产生塑性铰，结构的刚度会发生变化，横向位移也将逐渐加大。

MIDAS/Gen 中采用的塑性铰特性如下。

铰特性 : 多折线类型(Multi-Linear Type) - 采用切向刚度矩阵(tangent stiffness matrix)- 荷载控制(load control)和位移控制(displacement control)均可 - 可考虑P-Delta 效果铰特性 : FEMA 类型(FEMA Type)时- 割线刚度矩阵(secant stiffness matrix)- 采用位移控制(displacement control)- 可考虑P-Delta 效果和大位移(large deformation)效果因为结构承受的荷载大小为已知条件，所以一般采用荷载控制方法。

荷载控制方法就是将荷载从零开始逐渐加载到极限荷载的方法。

位移控制是在基于性能的耐震设计中采用比较多的方法。

虽然不知道加载的荷载大小，但是可以通过预先设定满足目标性能的位移进行分析。

分析过程中可以获得荷载传递能力(load-carrying capacity)和失稳(unstable)状态。