2002北京师范大学量子力学真题
北京师范大学959量子力学考研真题及解析
【内部资料】
北京师范大学考研历年真题解析
——959 量子力学
主编：弘毅考研 编者：海阔天空
弘毅教育出品
1 士不可不弘毅，任重而道远！——弘毅考研
历年真题解析 【资料说明】
【内部资料】
《量子力学历年真题解析（专业课）》系北京师范大学优秀考研辅导团队集体编撰的“历年考 研真题解析系列资料”之一。 历年真题是除了参考教材之外的最重要的一份资料，其实，这也是我们聚团队之力，编撰此资 料的原因所在。历年真题除了能直接告诉我们历年考研试题中考了哪些内容、哪一年考试难、哪一 年考试容易之外，还能告诉我们很多东西。 1.命题风格与试题难易 第一眼看到北师大历年试题的同学，都觉得试题“简单”。其实， 这也是很多学生选择北师 大的原因吧。北师大的试题不偏、不怪，80% 的题目可以在课本上找到部分的答案。这不同于一些 学校的试题，比如北京大学，理论性很强，说不会答，一点也答不上来。北师大的试题，不管你复 习的怎么样，一般都能答上一点，至于能答到什么程度， 则因人而异。 现在，我告诉大家一个数字，“6. 55%”，这是学校公布的 2010 年物理学专业的录取率。看 到这个数字，你还会觉得题目“简单”吗？ 其实，“试题很基础”----“试题很简单”----“能得 高分”根本不是一回事。试题很基础，所以每个学生都能答上一二，但是想得高分，就要比其他学 生强，要答出别人答不出来的东西。要答出别人答不出来的东西，这容易吗？大家不要被试题表象 所迷惑。很多学生考完，感觉超好，可成绩出来却不到 100 分，很大程度上就是这个原因：把考的 基础当成考的简单。其实这很像武侠小说中的全真教，招式看似平淡无奇，没有剑走偏锋的现象， 但是如果没有扎实的基础和深厚的内功是不会成为大师的。我们只能说命题的风格是侧重考察基础 的知识， 但是，我们要答出亮点，让老师给你高分，这并不容易。 2.考试题型与分值 大家要了解有哪些题型，每个题型的分值。从最近五年看，北师大的题目基本都是解答题，个 别年份有选择题和填空题。可很多学生平时喜欢做选择题，不想写，到考试的时候就会傻眼。每个 题型的分值是不一样的，一个选择题一般也就是 5 分，可一个计算题就是２５分。这要求我们平时 一定要注意解答能力的练习。 3.各章节的出题比重 北师大的专业课没有考试大纲， 因此没有重、 难点的告知， 但大家可以通过对历年真题的分析， 掌握各个章节在整个考研中的重要地位。例如，薛定谔方程，微扰，自旋等，怎么复习？通过看历 年真题， 我们就发现知识点较平均， 重点是基础理论的把握。 通过这些分析， 就把握了复习的重点。 4.重要的已考知识点
10年北京师范大学量子力学试题
第1页（共2页）三、（20分）设A 是体系的守恒量，证明在任意态下，它的平均值及几率分布 都不随时间变化。
四、（20分）自旋为1/2内禀磁矩为；的带电粒子q 处于磁场B 中运动,当B 空 间分布均匀而随时间变化时，证明粒子的波函数可表示成空间函数与自旋函数的乘 积，并写出它们满足的波动方程。
五、 （20分）一维运动粒子的状态是求：①粒子动量的几率分布函数，② 粒子的平均动量。
六、 （共20分）两个自旋1/2，质量为m 的无相互作用的全同费米子同处于线 性谐振子场中，写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，并指出简并 度。
2010年研究生量子力学试题参考答案及评分标准一、二、略 三、（20分）A =（ （t ）,^' （t ）） 它随时间变化为dA :A [A,H]八 dtct “因I?是守恒量，它不显含 t 、且与哈密顿对易 [?,H]=0，则dA=0。
dt由于A 与R 对易，所以可找到一完全集包括 A 和R ，其共同本征函数组 U ns （ n 代表除A 的其他力学量的量子数）而的特解是定态解ctns=u“（r ）eT E n t/。
通解（即任何一个态）为所以A 不随t 变，而取A s 的几率|c ns f 也不随t 变。
四、（20分）（5分）二 U ns （r ）e（r,t ）八 c ns u ns （r ）e_iEnt/n,s（5分）对A 的平均值n,scns2A s 。
（5分）解：粒子的哈密顿量2d_q A q (一川 B )二H 0一怙」B 其中 是电磁场的矢势和标势，由于 电 与空间坐标无关，所以粒子的波函数可写为空 间波函数与自旋函数的乘积： 代入含时间的 Schr?di nger(10 分) t,szH'-(r,t)五、(20分)解：(1)先求归一化常数，由 • •• A =2 3/2 3 2 、1/2 x2：-. a(t) lb(t) (5 分) (10 分)=L ) ( ik)2=(3 2 2?.''1 /2 1 (5分) 动量几率分布函数为国(P) = c( p)(2) p 二;*(x)? (x)dx 二-iP 、2 (I -)一3I 2'P 2)2(5分)；4W x ”)dx(5分)六、解: E n 20分)单粒子能级及波函数(空间部分)为1 卫“ k x 2=(n 2)h ，段 N n e 2 H n C x),(：=m , n=0,1,2Hl (2 分)二粒子体系总波函数应是反对称的： 或 ①A (1,2)=化(1,2必(1,2) 基态：E 。
【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
2002级物理教育本科班《量子力学》期终考试卷( -
2002级物理教育本科班
《量子力学》期终考试卷（A）
学号 姓名 2005.6.
题 号
一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 阅卷人 一 问答题（每小题5分共20分）
1 试简述微扰论的基本思想。
2 简述费米子的特点。
3 什么叫全同性原理？全同性原理对全同粒子体系的波函数有什么限制？
4 什么是基态？什么是定态？在定态中，几率密度和几率流密度是否与时间有关？
二、 (1)证明 是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在 态中的平均值。（10分）
三、试证明：一维运动的束缚态都是不简并数为
所描写的态中式中， 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的数值；（2）在 态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3） 时系统的波函数 。（15分）
素食则气不浊；独宿则神不浊；默坐则心不浊；读书则口不浊。——曾国藩
八、试在为对角的表象中，（1）求的本征值和所属的本征函数；（2）在的本征值为的本征态中，求的平均值；（3）在的本征值为的本征态中，测的可能值及相应的几率。（20分）
五、证明泡利矩阵满足关系。（5分）
六、、为厄密算符。 且 ① 求算符 的本征值；②设、用矩阵表示时为二行二列，求在A 表象下求算符 、的矩阵表示。（10分）
七、粒子在二维无限深方势阱，（1）请写出能级和能量本征函数；（2）加上微扰，求最低能级的一级微扰修正。（10分）
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素食则气不浊；独宿则神不浊；默坐则心不浊；读书则口不浊。——曾国藩
量子力学测试题6北师大-2002
量子力学测试题（6） （北师大2002）1、t=0时，描述氢原子中电子的波函数为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)(32311011211131Y Y R Y R ψ 其中nl R 为径向波函数，lm Y 为球谐函数。
求（a ）该电子的能量E 、角动量平方2L 、角动量z 分量z L 和自旋z 分量z S 的可能值及相应几率；（b ）上述各量的平均值；（c ）该电子处在dr r r +→的几率； （d ）t 时刻的波函数),,,(t r ϕθψ。
解： 氢原子能级和波函数 222aneE n -= )(),()(),,(z lm nl nlm S Y r R r χϕθϕθψ=（a ）由t=0时，氢原子中电子的波函数βψβψαψψ210211311323231++=知电子能量E 的可能值及相应几率为：aeE 1823-=，91；aeE 822-=，98。
角动量平方2L 的可能值及相应几率为：222 =L ，1。
角动量z 分量z L 的可能值及相应几率为： =z L ，95；0=z L ，94。
自旋z 分量z S 的可能值及相应几率为：2=z S ，91；2-=z S ，98。
（b ） aeE E E 162199891223-=+=222 =L95=z L 187 -=z S（c ）电子处在dr r r +→的几率为dr r R R Y Y R Y R Y Y R Y R d dr r d dr r P r 22212311011211131*10*1121*1131229891)(3231)(3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω=Ω=⎰⎰+ψψ （d ）t 时刻的波函数),,,(t r ϕθψ βψψαψϕθψ)(3231),,,(210211/311/23++=--t iE t iE eet r2、一维情况下，宇称算符P 的定义为)()(x x P -=ψψ。
试证明 （a ）P 是厄密算符；（b ）P 的本征值为+1和-1；（c ）P 的分别属于本征值+1和-1的本征函数+ψ和-ψ正交； （d ）P 是幺正算符。
师范大学物理考研题目及答案
师范大学物理考研题目及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 根据量子力学原理，一个粒子的波函数可以描述其：A. 质量B. 位置C. 动量D. 能量答案：B. 位置2. 在经典物理学中，一个物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比，这是：A. 牛顿第一定律B. 牛顿第二定律C. 牛顿第三定律D. 动量守恒定律答案：B. 牛顿第二定律3. 一个物体的角动量守恒的条件是：A. 物体不受外力B. 物体不受外力矩C. 物体的角速度不变D. 物体的线速度不变答案：B. 物体不受外力矩4. 根据热力学第一定律，能量：A. 可以被创造B. 可以被消灭C. 既不能被创造也不能被消灭D. 可以无限地转化为其他形式答案：C. 既不能被创造也不能被消灭5. 光的双缝干涉实验表明光具有：A. 波动性B. 粒子性C. 同时具有波动性和粒子性D. 仅在特定条件下具有波动性答案：C. 同时具有波动性和粒子性二、简答题（每题10分，共20分）1. 描述麦克斯韦方程组的四个基本方程，并简要说明它们的意义。
答案：麦克斯韦方程组包括四个基本方程：高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
高斯定律描述了电荷产生电场的规律；高斯磁定律表明没有磁单极子，磁场线是闭合的；法拉第电磁感应定律揭示了变化的磁场可以产生电场；安培环路定律则描述了电流和变化的电场产生磁场的规律。
2. 解释什么是光电效应，并简述其原理。
答案：光电效应是指光照射到金属表面时，金属会释放出电子的现象。
其原理基于量子理论，即光可以被看作是一系列粒子（光子）的集合。
当光子的能量大于金属的逸出功时，光子与金属表面的电子相互作用，将能量传递给电子，使电子获得足够的动能逸出金属表面。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 一个质量为2kg的物体以3m/s的速度在水平面上做匀速直线运动，求其动量大小。
答案：动量大小可以通过公式 p = mv 计算，其中 m 是质量，v 是速度。
北京科技大学2002(秋)初等量子力学试题及解答
北京科技大学2002——2003学年度第一学期量子力学与原子物理试题1。
无限高势阱中的粒子[38分]质量为m 的一个粒子在边长为a 立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：()()()0,0,;0,;0,,x a y a z a V others∈∈∈⎧⎪=⎨∞⎪⎩ 1-1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（()()()(),,x y z X x Y y Z z ψ→）求系统能量本征值和归一化波函数；[8分]1-2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。
[8分]1-3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；[12分]1-4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数；[10分] 解：1-1）定态薛定谔方程：()()22,,,,2x y z E x y zψψμ-∇=分离变量：()()()(),,x y z X x Y y Z z ψ=，x y z E E E E =++()()()()()()222222222222x y z d X x E X x dx d Y y E Y y dy d Z z E Z z dz μμμ⎧-=⎪⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩；()()()m x X x a n y Y y a l z Z z a πππ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭⎪⎩；222222222222222x y z E m aE n a E l a πμπμπμ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩()3/22,,sin sin sin m x n x l x x y z a a aa πππψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222m nl E mn laπμ=++ ，,,1,2,3,...m n l =1-2）系统基态能量：220111232E E aπμ==，简并度：1第一激发态能量：22121112111223E E E E aπμ====，简并度：3 1-3）电子是费米子，波函数应是反对称的：()()()11221212,;,,,AS A z z z z r s r s r r s s ψφχ=由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态； 基态：220111232E E aπμ==，基态波函数：()()()()()()()112211111111122231112221212,;,,,,,2sin sin sin sin sin sin AAz z z z z z r s r s x y z x y z x y z x y z a a a a a a a s s s s ψψψχππππππχχχχ↑↓↓↑=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯-⎤⎦1-4）玻色子可占据相同态，基态：220111232E E aπμ== ，基态波函数：()()()121111*********111222,,,,,2sin sin sin sin sin sin Sr r x y z x y z x y z x y z a a a a a aa ψψψππππππ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2。
北师大2012(量子力学)
北京师范大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题部（院、系）：物理学系科目代码：959科目名称：量子力学（所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或草稿纸上的一律无效）参考公式：泡利矩阵0110x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭一.选择题（共25分）。
写清每题的题号及所有正确答案，多选、少选、选错均不得分。
1.一维粒子处于势函数()V x 中，已知()V x 是实值偶函数，且()x ψ是能量本征方程的一个解，则(A )()x ψ必为偶函数(B )()x ψ-一定是能量本征方程的解(C )()x ψ必为实值函数(D )()x ψ的复共轭函数*()x ψ一定是能量本征方程的解2.以下哪个（些）数字可能是氢原子能级的简并度(A )2(B )4(C )7(D )93.若算符ˆA满足2ˆˆA A =，则(A )ˆA 的本征值只可能是0或1(B )ˆA必为厄米算符(C )ˆA在任何态的平均值为非负实数(D )ˆA 必为常数算符4.以下哪个（些）算符一定为厄米算符(A )ψψ(B )ψϕ(C )ψϕϕψ+(D )ψϕϕψ-5.厄米算符ˆA、ˆB 满足ˆˆˆˆ0AB BA +=。
若ψ是ˆA 的本征态，本征值非零，则(A )ψ必为ˆB 的本征态(B )ˆBψ必为ˆA 的本征态(C )ˆAψ必为ˆB 的本征态(D )ˆB 在ψ中的平均值必为零。
（转背面！）第1页共3页第2页共3页二.（25分）已知20()2p H V x m=+的某个能级是E ，若系统变为0H H p α=+（α为常数），求该能级的变化。
（提示：此题需严格求解，可在动量表象下计算）三.（25分）在某自旋态χ中，测2z s = 的概率是12，测2x s = 的概率是34，求χ所有可能的独立解，结果用z s 表象α与β表示。
四.（25分）考虑一个沿x 方向运动的一维电子，其运动存在自旋轨道耦合，哈密顿量可写成微信搜索：34310531欢迎关注：物理轻松学21()2σσ=++Ωz x H p a m 其中,αΩ为常数。