数形结合的思想
数形结合思想
6.学生解答：90×6＝540. 7.师：你是怎么想的？ 8.生：用每份数乘以份数，可以求出总数.
在直观图示的导引下，巩固学生根据总数和份数求每份数，以 及根据每份数和份数求总数的基本技能.在两个不同的直观图 示中，孕伏了解决归一问题的分解步骤，为学习归一做必要的 知识储备.
六上，数轴表示整数（正整数、零、负整数）
六下，正比例关系函数图像
六下，反比例关系函数图像
所用正方形的个数
长方形的长和宽
2
1×2
3
1×3
4
1×4 2×2
5
1×5
6
1×6 2×3
7
1×7
8
1×8 2×4
9
1×9 3×3Biblioteka 101×10 2×5
11
1×11
12 ……
1×12 2×6 3×4 ……
24 ……
■小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数 学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百 计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助 数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法 和解决方案.如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常 要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不 开形.另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出 什么规律和特点，这时就需要用数来表示.如一个角是不是直角、 两条边是否相等、周长和面积是多少等.换句话说，就是形也 离不开数.因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大.
积极性，借助归一的实际应用，内化归一思想，提高学生 的综合素养.
借助直观图形，初步感知每份数、份数与总数之间的关系
数形结合的思想
变式训练 3 已知点 P 在抛物线 y2＝4x 上， 那么点 P 到点 Q(2， －1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时， 点 P 的坐标为 1 A．( ，－1) 4 C．(1,2)
解析
( A ) 1 B．( ，1) 4 D．(1，－2)
定点 Q(2，－1)在抛物线内部，由抛
物线的定义知，动点 P 到抛物线焦点的距 离等于它到准线的距离，问题转化为当点 P 到点 Q 和到抛物线的准线距离之和最小时， 求点 P 的坐标，显然点 P 是直线 y＝－1 和抛 1 2 物线 y ＝4x 的交点，解得这个点的坐标是(4，－1)．
又∵α、β∈(0,2π)，且 α≠β. ∴直线 l 不过点(1,0)，即 3＋a≠0. ∴a≠－ 3，即 a∈(－2，－ 3)∪(－ 3，2)．
(2)如图，不妨设∠xOA＝α，∠xOB＝－β， α－β 作 OH⊥AB，垂足为 H，则∠BOH＝ . 2 ∵OH⊥AB，∴kAB· kOH＝－1. α＋β 3 ∴tan 2 ＝ 3 . α＋β 又∵ ∈(0,2π)， 2 π 7π ∴α＋β＝3或 α＋β＝ 3 . π a 方法二(1)原方程可化为 sin (θ＋ )＝－ ，作出函数 3 2 π y＝sin (x＋3)(x∈(0,2π))的图象．
Hale Waihona Puke 3．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则， 要注意由于图象不能精确刻画数量关系所 带来的负面效应． (2)双方性原则， 既要进行几何直观分析， 又要进行相应的 代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． (3)简单性原则， 不要为了“数形结合”而数形结合， 具体 运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破 口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三是要挖掘 隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数 图象时应设法选择动直线与定二次曲线．
数形结合的思想
数形结合的思想著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，指明研究数学问题要注意数形结合。
数形结合就是把抽象的數学语言和直观的图形结合起来，以便化抽象为直观，化繁为简，化难为易，启迪思维探求解题思路。
如何使学生建立起数形结合的思想是初中数学的重要任务，通过多年的教学实践发现要建立数形结合的思想应该从初一开始训练。
重点做好数与线段，减法与线段，代数与几何的理解和过渡。
一：数与线段的理解与转化。
初一开始引进负数与数轴，负数引进后，数有两部分构成，即符号和绝对值。
在数轴上，符号决定位置，绝对值是数对应的点到原点的线段的长度。
学习平面直角坐标系后，坐标也一样，符号决定点的位置，即所在的象限。
绝对值是到纵轴和横轴的距离。
例如：直线y=x就是点的符号一样，到纵轴与横轴的距离一样，联系角平分线的判定，就能迅速解释直线y=x是一三象限的角平分线。
练习题：1：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B，直线AZSujZ539WZXgQbvMTD4UANISjB2FCRW+jJRkKoMZ34=经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分.（1）求△ABO的面积;（2）若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式.二：减法与线段长度的理解与转化。
在学习有理数的减法时，借助数轴理解减法与线段长度的关系。
例如：8-（-3）=？，可以通过加减法之间的关系得出结论。
也可以借助数轴得出结论。
在借助数轴得结论时，建立起到A点的距离，就是数与A点表示数的差。
当大数减去小数时，差即为线段的长度，小数减去大数时，差的相反数即为线段的长度。
例如：1.已知数轴上点A表示的数是gRvkvoG4+NwNgzSlcX2PR5XGzP3D7ZOVWVVtn6ZRZ28=，到A点距离为5的点表示的数。
2.数轴上点A表示的数是5，点B表示的数是-7，那么AB的中点C表示的数是可用几何的方法解决，也可用计算的方法解决，即相加除以2即可。
数形结合思想
汽车提前10分钟到达工厂，其少走的路程为；两倍的车站 到A的距离。即从车站到A汽车用时5分钟。张工程师用时 50分钟。 汽车速度是步行速度的10倍。
二、关系图 关系的图示法很多，研究对象可以用点（或方 框或圆圈）表示，对象间的关系户则用连接两者 的线段表示，线段可以添加箭头或标注。 例3 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象 棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经 赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘， 问小强已经赛了多少盘？ 乙 甲 分析： 丙 将五个人看成五个 “点”，两人比赛过， 丁 小强 就用线条连接相应的两 点。
三、树形图 例5 已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K 代表十个互不相同的大于0的数，要使下列等 式都成产，A最小是什么数？
B+C=A ； G+H=D ；
D+E=B ； E+F=C ； H+I=E ； I+K=F 。
分析：将这十个数字的 关系用树形图表示。
四、矩形图
如果一道题涉及的是两种数量以及它们的乘 积（速度、时间和路程），则可用矩形的长和 宽表示这两种量，而用矩形的面积表示它们的 积。 因此，能借助几个矩形的长、宽和面积之间 的关系进行推理或计算。
第十四章 数形结合思想
数形结合思想 就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分 析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间 形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决 数学问题的思想。 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来， 关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问 题几何化，几何问题代数化。数形结合的思想，包含“以 形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为 两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的 联系, 在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转 化为适当的几何图形，从图开的直观特征发现数量之间存 在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的， 使问题简捷地得以解决。通常是将数量关系转化为线段图， 这是基本的、自然的手段。如一年级认数时数轴与对应点 之间的关系.
数形结合的思想
｛
６
４
气
２ １
０ｙ ； ０ｙ０四种情况讨论． ，≥０ ＜ ， ＜
解： 由绝 对值 的 定 义 ， 方程 可 原
１ｘ 当 ≥０ｙ －， ，≥０时 ，
一
致有以下三种 ：１ （）利用数学式或数 学概念的几何意义．（） ２ 函数 图象 的
应 用 ． ３ 高 中 阶段 将 要 学 习 的 解 析 （）
（） 当 ３ ≥５时 ，＝ ５ ＋ ２ ： ， （一 ） （＋ ） ，
一
解 ： 函数 Ｊ 考虑 ＝
＋ 与 ３Ｊ ＝
易， 化繁为简． 化生为熟 ， 从而解决问
题 的 目的．
３ 此 时 ｙ￣ ２ ５ ３ ７ ． ．＝ ｘ — ＝ ．
ｋ 分 别 作 此 两函数 的 图象如 图 ３由 ． 。
学 素养 和数 学思 维能 力． 运 用 数形 结 合 思 想 解 题 包 括 三 个方面 ， 以形助 数 ， 以数 助形 ， 形 互 数 助． 涉及 数形 结 合思 想 的常见 题 型大
｛， ２ｘ５时， ７ 当一＜＜
１
＼ ／
Ｖ
、
ｌ一， ５ ． ２３Ｉ 时 ｘ ＞
ｙ ｌ
数形结合是数学解 题中常用的 思想方法 ， 利用数形结合思想 ， 有助
于把握 数 学 问题 的本质 ． 如华 罗庚 诚 先 生所 说 ：数 缺形 时 少直 观 ， 少 数 “ 形
ｘ３ ｌ ２ ， ≤一 ３ — ＂ － ２时 ，
时难人微． 数形结合百般好 ，隔裂分 家万事休． ”因此 ， 我们在解题中要充 分地利用数形结合思想 ， 这样做既能 使许多数学问题迎刃而解 ， 又能使我 们加深对数学 的理解 ， 培养我们的数
数形结合思想
数形结合思想
“数形结合”是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质:另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
我国著名数学家华罗庚学说过:“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
利用数形结合，可把复杂的问题变得简明、形象、有助于探索解决问题的思路，预测结果:可以帮助学生直观理解数学，在整个学习过程中都发挥着重要的作用.
我们在数学中渗透数形结合的思想，这有助于培养学生的发散思维和创新思维，也为数学学习打好基础，例如:在学习平面坐标系中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。
此外，正反比例学习中，让学生通过描点连线来表示正比例函数的图象，发现成只要是正比例关系的式子，画在坐标图中是就一条直线，从而体会到图形与函数之间密不可分的关系。
当然，数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。
学生只要掌握了这一方法，就可通过同一个题目或同一个问题，借助图解，寻求“题多解”或“一题多变”，通过独立思考，提出新的解题思想。
于的方法、新的问题、达到融会贯通、举一反三的目的，从而提高解决问题的灵活性和应变能力。
总之，在数学教学中，渗透数形结合思想和方法。
可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化。
不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生徐门兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使学习收到事半功倍的效果。
(完整版)数形结合思想
数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合. 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线.以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏. 如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.分类讨论思想方法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.函数与方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多. 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：（1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系. 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.转化与化归思想化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中. 转化有等价转化与不等价转化. 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的. 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.。
数形结合的思想
坐 标 ， 此 ， 根 据 两 函 数 图 象 的 交 因 可 点 情 况 来 确 定 原 方 程 解 的 情 况．
常用 的思 想 方法 ，利 用 数形
结合 思 想 ， 有助 于把 握 数学
问题 的 本 质 ． 如华 罗 庚 先 诚
解：考虑函数 ， ｌ－ ｘ３Ｉ Ｆ ＝ ｘ ４＋ 与 ２
方ｊ一， ５ｉ ｌ ２『 去 一 与 ｘ 的零点分 ＋
别 为 ｘ ５与 ＝ ２ 故 对 一 切 实 数 可 分 ＝ ～ ． 三 部 分 讨 沧．
（ ） ≤一 １当 ２时 ．＝（ － 一（ ＋ ＝ ｙ ５ ｘ） ｘ ２）
ｌＺ ｘ ３ ｌ．的 解的情 况． ｘ－ ＋ ＝． ４ Ｉ
在联 系 ，使 几何 问题 借 助于 数 的推 演 提 示 其 形 的 特 征 ， 使代 数 问题借 助于 几何 直观
最 小ｆ．
例１ 求 数 ， Ｉ ５｝ Ｉ ２Ｉ － ＋ｘ 的 ＿ 一 ＋
分 析 ： 题 可 用“ 点 分段 法” 本 零 分
则函数 ＝ ５ｌ １ ２ｌ ｌ ＋． 的最小值 就 一 ｒ ＋
ｊ
作 此 兮 段 函 故 的 图 象如 图 ｌ所
示 ， 闷 象 知 此 函 数 的 最 小 值 为 １， 由 Ｆ ．
ｌ 一
、 ， 、一 ，
图３
例３ 求 …方程 １ ＋ ｆ１ ｌ ＝ 所确
ｊ ０Ｉ ｎ ｆ线 Ｉ 的 彤 而 积 ． Ｉ Ｉ 成
分析 ：首先 应 去掉 绝 对值 符 号 ．
无解 ．
） Ｌ
方 法 二 ． 零 点 分 段 知 ． 函 数 由 原
可 化为兮段 函数 ： ３ ２ 当 、 ２时 ． — ． ≤一
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数形结合的思想
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意
义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。