浙江省浙江大学附属中学高三数学全真模拟试题文

浙大附中2016年高考全真模拟试卷数学（文科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟.参考公式：柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式121()3V h S S = 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径，h 表示台体的高球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上） 1．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=Z x x x A ,521|,{}a x x B >=|，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 （A ） 1<a （B ）1≤a （C ）21<a （D ） 21≤a 2. 已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（A ） 1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b > （D ）22ab>3. 已知sin cos (0,)3αααπ+=∈，则sin()12πα+的值为（A ）（B （C （D 4．已知数列}{n a 中满足151=a ，21=-+n a a nn ，则na n 的最小值为 （A ） 10 （B ）1152- （C ）9 （D ）4275．若实数a ，b ，c 满足log 2log 2log 2a b c <<，则下列关系中不可能成立．．．．．的是 （A ） a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）a c b <<6．若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则 （A ）过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 （B ）过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 （C ）过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 （D ）过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面7．如图，21,F F 分别是双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，经过右焦点2F 的直线与双曲线C 的右支交于Q P ,两点，且Q F PF 222=，Q F PQ 1⊥，则双曲线C 的离心率是（A ） 2 （B ）3 （C ）210 （D ）3178．已知从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60︒角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点．若球O 的体积为36π，则O ，P 两点间的距离为（A）（B）（C ）3 （D ）6非选择题部分（共110分）二、填空题（本题共7道小题， 共36分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）9. 已知首项为1，公差不为0的等差数列{}n a 的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比=q ▲ ；等差数列{}n a 的通项公式n a = ▲ ；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = ▲ ．10.若实数,x y 满足：2202403110x y x y x y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则x ,y 所表示的区域的面积为▲ ，若x ,y 同时满足(1)(2)0t xt y t ++++=，则实数t 的取值范围为 ▲ ．11.已知某几何体的三视图如右图所示（长度单位为：cm ），则该几何体的体积为 ▲ 3cm ，表面积为 ▲ 2cm .12. 已知直线l 的方程是60x y +-=，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形（O 为坐标原点），则△OAB 外接圆的方程是 ▲ ． 13. 在ABC ∆中，1cos 3A =,2AB =，则CA CB 的最小值是 ▲ ． 14. 若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ▲ ．15.设函数2()f x x =(01)x ≤≤，记(,)H a b 为函数()f x 图象上点到直线y ax b =+距离的最大值，则第7题（第7题图）(第11题图)(,)H a b 的最小值是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （本题15分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos cos CA =. （Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若角π6B =，BC边上的中线AM =ABC ∆的面积.17. （本题15分）已知数列{}n a 首项为2，且对任意*n N ∈，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=,数列{}n a 的前10项和为110． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列；（Ⅱ）若存在*n N ∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值．18. （本题15分）如图所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，PD =． （Ⅰ）证明：BC PB ⊥（Ⅱ）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．19.（本题15分）已知O 为坐标原点，F 是抛物线2:4E y x =的焦点. （Ⅰ）过F 作直线l 交抛物线E 于,P Q 两点，求 OP OQ ⋅的值；（Ⅱ）过点(,0)T t 作两条互相垂直的直线分别交抛物线E 于,,,A B C D 四点，且,M N 分别为线段,AB CD 的中点，求TMN ∆的面积最小值．20.（本题14分）已知函数()b kx x x f +++=21，其中b k ,为实数且0≠k （第18题图）PAD（Ⅰ）当0>k 时，根据定义证明()x f 在()2,-∞-单调递增； （Ⅱ）求集合=k M {b | 函数)(x f 由三个不同的零点}.数学（文科）答案一、AAAD,ABDB二、9、52，3n-2，(31)2n n -； 10、52，42,3-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 11、16，12、2(2)x -+2(2)y -=8； 13、19-； 14、5； 15。

16.解析：（1）因为(2)cos cos b A C =，由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C =， ……………2分即2sin cos cos cos B A A C C A()A C =+ ． ……………4分 因为B A C π＝－－，所以()sinB sin A C =+，所以2sin cos B A B =．因为0()B π∈，，所以0sinB ≠，所以cos A =，因为0A π<<，所以6A π=． ……………7分（2）由（1）知π6A B ==，所以AC BC =，23C π=． …………….8分设AC x =，则12MC x =，又AM =在AMC 中，由余弦定理得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=即222()2cos120,22x x x x +-⋅⋅=o 解得 2.?x ＝ 2故212sin 23ABC S x π∆==17．解：（Ⅰ）当2n ≥时，1223111111n nn n a a a a a a a a --+++=111111n n n nn n a a a a a a ++-∴=-即111122n n n nn n a a a a ++-=-12(1)n n na n a +∴=--122(1)n n n a na ++=+- ，122n n n na na na ++∴=+即*122(2,)n n n a a a n n N ++=+≥∈且 ，当1n =代入已知条件得122313112a a a a a a +=即2132a a a =+ *122()n n n a a a n N ++∴=+∈∴数列{}n a 为等差数列．（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，则2d ∴=1(1)2n a a n d n ∴=+-⋅=21nn λ∴≥+ ， 令21n n C n =+则21222(1)2112112221n n n C n n n n C n n n n n +++++===+>+++，min ()11n C λ∴=∴≥．18．证明：（Ⅰ）因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面 ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC，所以BE ===连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===在△BCD 中，因为3CD =，BC=，BD ，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以BC PD ⊥． 因为BDPD D =，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．（Ⅱ）过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角． 由（Ⅰ）知，△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=． 因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯133=⨯=． 由（Ⅰ）知PBC ∆为直角三角形，BC ，PB =所以△PBC 的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==． 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=， 即133AH ⨯⨯=AH =． 在Rt △PAD 中，因为PD =，1AD =， 所以2AP ===．因为3sin 2AH APH AP ∠=== BPACDE所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为319.解：（Ⅰ）设直线l 的方程为:1l x ty =+， 1122(,),(,)P x y Q x y ，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩2440y ty ⇒--= ∴124y y =-，121x x =∴12123OP OQ x x y y ⋅=+=-12123x x y y =+=-． （Ⅱ）根据题意，直线,AB CD 斜率存在， 故设1:,:AB x my t CD x y t m=+=-+，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ， 由24x my ty x=+⎧⎨=⎩2440y my t ⇒--=，∴212122222y y x xm m t ++=⇒=+，得2(2,2)M m t m +， 同理可得222(,)N t m m+-∴2TM ==TN == ∴112()42TMN S TM TN m m∆==+≥ 当且仅当1m =时，面积取最小值4．20. 解：（1）证明：当(,2)x ∈-∞-时，b kx x x f ++-=＋21)(．……1分 任取12,(,2)x x ∈-∞-，设21x x >．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-b kx x b kx x x f x f 2211212121)()( 12121()(2)(2)x x k x x ⎡⎤=-+⎢⎥++⎣⎦．由所设得021<-x x ，0)2)(2(121>++x x ，又0>k ， ∴0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <． ∴()f x 在)2,(--∞单调递增．（2）解法一：函数)(x f 有三个不同零点，即方程021=+b kx x ＋＋有三个不同的实根． 方程化为：⎩⎨⎧=++++->0)12()2(22b x k b kx x 与⎩⎨⎧=-+++-<0)12()2( 22b x k b kx x ． 记2()(2)(21)u x kx b k x b =++++，2()(2)(21)v x kx b k x b =+++-． ⑴当0>k 时，)(),(x v x u 开口均向上．由01)2(<-=-v 知)(x v 在)2,(--∞有唯一零点． 为满足)(x f 有三个零点，)(x u 在),2(+∞-应有两个不同零点．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+->+-+>- 2220)12(4)2(0)2(2k k b b k k b u k k b 22-<⇔． ⑵当0<k 时，)(),(x v x u 开口均向下．由01)2(>=-u 知)(x u 在),2(+∞-有唯一零点．为满足)(x f 有三个零点， )(x v 在)2,(--∞应有两个不同零点．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+->--+<- 2220)12(4)2(0)2(2k k b b k k b v k k b --<⇔22．综合⑴⑵可得{|2k M b b k =<-．。