棱 锥

棱锥知识要点1．理解棱锥的有关概念，掌握棱锥的性质，以及棱锥的平行于底面的截面的性质定理。

会画正棱锥的直观图。

能根据棱锥的侧面展开图，推导并掌握正棱锥的侧面积计算公式。

运用前面所学知识，分析、论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算。

2．关于棱锥的截面，主要掌握平行于底的截面．平行于底面的截面与底面相似，面积比等于所截得的棱锥与原棱锥对应高的平方比．面积比还等于所截得的棱锥与原棱锥对应侧棱的平方比。

3．棱锥的侧面积是侧面各三角形的面积和。

棱锥全面积等于侧面积与底面积的和。

计算时应根据侧面展开图的图形求出。

4．棱锥的体积公式为：V棱锥＝·Sh。

(S为底面积，h为棱锥的高)。

典型题目例1．若正四棱锥的底面边长是a，斜高是h，则它的侧棱长为________，高为_____。

分析：由正棱锥的性质可以知道：它的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；它的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形，本题已知斜高、求侧棱长和高，只要找到它们在底面的射影即可。

解：如图所示，正四棱锥P-ABCD中，正方形ABCD的边长AB=a, 斜高PE=h，作PO⊥面ABCD，则PO与面ABCD的交点O是底面正方形的中心，连结OE，∵AB=a, PE=h, ∴OE=a,∴在RtΔPOE中，PO=，∴PO=。

连结OB，在RtΔPOB中，PO=，OB=a,∴PB=。

故棱锥的侧棱长为，高为。

点评：利用正棱锥中的几个直角三角形各边之间的关系，寻找解题途径，往往事半功倍。

例2．如图所示，平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB=BC=CD，将ΔABC沿AC折起，使二面角B-AC-D为直二面角。

（1）求证：AB⊥平面BCD；（2）求二面角B-AD-C的大小。

分析：作出点B在平面ACD上的射影E并且证E是AC中点。

（1）证明：过B作BE⊥AC，垂足是E。

∵二面角B-AC-D是直二面角。

∴BE⊥平面ACD，AC是AB在平面ACD上的射影，又AC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD。

又由已知，AB⊥BC。

∴AB⊥平面BCD。

（2）解：过E作EF⊥AD于F，连结BF，由三垂线定理，BF⊥AD，∴∠BFE就是二面角B-AD-C的平面角。

设AB=BC=CD=a, 则BE=a, AC=a,RtΔACD中，AD=。

∴在RtΔBFE中, tan∠BFE=。

∴∠BFE=60°，即二面角B-AD-C的大小为60°。

点评：对于平面图形翻折问题，要注意有关量在翻折之后的“变”与“不变”的位置和度量。

对空间图形中不易观察的现象可根据翻折前的平面图形帮助观察，如本题中的相似三角形AFE和三角形ACD。

例3．三棱锥A-BCD的底面ΔBCD中，BD=CD=a, ∠CDB=90°，AB⊥底面BCD，且AB=a,那么异面直线AD和BC之间的距离为_______。

分析：线线距离可转化为点线距离、线面距离及面面距离。

解：如图所示，过B作BE CD，过A作AF CD，连结CF、BF、AE、DE，∵ADCF是平行四边形，∴AD//CF，同理BC//DE，∴平面ADE//平面FCB，∴异面直线AD、BC的距离h就是这两个平行平面之间的距离。

又∵ΔADE中，AD=DE=AE=a, ∴SΔADE=。

由S四边形CBED=a2, V FCB-ADE=S CBED·AB=h·SΔADE，得a2·a=h·a2，∴h=a, 即两条异面直线间的距离是a。

点评：运用直线和平面的基本知识和方法，并且适当使用“割补法”，是解决多面体和旋转体问题的重要手段之一。

例4．如图，在三棱锥S-ABC中，SA=2，AB=AC，∠SAB=∠SAC=60°，SA与底面ABC所成的角等于45°，SA、AB、BC顺次成等差数列。

(I)求证：SA⊥BC；(II)求二面角A-BC-S的正切值。

分析：因为∠SAB=∠SAC，且有AB=AC，所以得到SA在底面ΔA BC内的射影是等腰ΔABC底边BC 上的高线，根据三垂线定理，可以判定BC与SA的垂直关系。

为求二面角A-BC-S的正切值，首先要找出这个二面角的平面角的所在位置。

解：过S作SO⊥平面ABC，过O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，分别连结SE和SF，则OE、OF分别是SE 和SF在底面ΔABC内的射影，∵AB⊥OE，∴AB⊥SE，∵AC⊥OF，∴AC⊥SF，在RtΔSAE和RtΔSAF中，∵SA=SA，∠SAE=∠SAF=60°，∠SEA=∠SFA=90°，∴RtΔSAE≌RtΔSAF, ∴AE=AF。

在RtΔOAE和RtΔOAF中，OA=OA，AE=AF，∠OEA=∠OFA=90°，∴RtΔOAE≌RtΔOAF, ∴OA平分∠BAC，延长AO交BC于D，∵AB=AC，∴AD又是ΔABC中BC边上的中线和高线，∵BC⊥AD，且AD是直线SA在底面ABC内的射影，∴BC⊥SA，∵AO是SA在底面ABC内的射影，∴∠SAO是SA和底面ABC所成的角，∴∠SAO=45°，在RtΔSAO中，SA=2，∠SAO=45°，∠SOA=90°，∴SO=AO=×SA=。

在RtΔSAE中，∠SAE=60°，∠SEA=90°，SA=2，∴AE=1，SE=。

在RtΔSOE中，SO=，SE=，∠SOE=90°，∴OE==1。

在RtΔAOE中，sin∠OAE=, ∴∠OAE=45°,∴∠BAC=90°。

在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴BC=×AB，∵SA、AB、BC成等差数列，∴2×AB=SA+BC，∴(2-)×AB=SA,∴AB=, ∴BC=2+2,∵AD=BD=×BC=+1,∵AO=,∴OD=1。

连结SD，则OD是SD在底面ABC内的射影。

∵BC⊥OD，∴BC⊥SD，∴∠SDO是二面角A-BC-S的平面角，在RtΔSOD中，SO=，OD=1，∠SOD=90°，∴tan∠SDO=, ∴二面角A-BC-S的正切值等于。

例5．如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，截面AEKH垂直SC，且与SB、SC、SD交于E、K、H。

①求证：∠AHK=90°；②设AB=a, SA为2a, 求SA与截面AEKH所成角的正切值。

提示：①∵SC⊥截面AEKH，∴AH⊥SC，∵CD⊥AD，且CD⊥SA，SA∩AD=A，∴CD⊥平面SAD，AH平面SAD，∴AH⊥CD，∵CD∩SC=C，∴AH⊥平面SCD，MK平面SCD，∴AH⊥HK，∠AHK=90°。

②连结AK，则AK是SA在截面AEKH内的射影，∴∠SAK是SA和截面AEKH所成的角，在RtΔSAC中，SA=2a, AC=a, ∠SAC=90°, SC=a,∵AK⊥SC, ∴∠SAK=∠SCA，∴tan∠SAK=。

例6．如图，三棱锥P-ABC中，底面ΔABC是正三角形，并且棱锥的高与底面边长均为4，∠PAB=∠PAC，PB与底面ABC成45°角。

①若点P在底面ABC的射影为点D，求证四边形ABDC是菱形；②求PA与底面所成角的大小；③若点E是PA的中点，求证：平面BEC⊥平面ABC；④求二面角A-BE-C的大小的正切值。

提示：①可证ΔPAB≌ΔPAC，∴PC=PB，∴CD=DB，∵RtΔPBD中，PD=4，∠PBD=45°，∠PDB=90°，∴BD=CD=AC=AB=4。

②在RtΔPAD中，∠PDA=90°，PD=4，AD=4，∴tan∠PAD=，∴∠PAD=30°。

③连结AD交BC于O，连结EO，∵EO//PD，∴可证EO⊥平面ABCD，∴平面BEC⊥平面ABCD且交于BC。

④∵AO⊥BC，∴AO⊥平面BEC，过O作OH⊥BE，连结AH，在RtΔEOB中，OB=2，OE=2，∠EOB=90°，∴OH=，AO=2，tan∠AHO=。

在线测试选择题1．底面是直角三角形的棱锥，当三条侧棱相等时，顶点在底面的射影（）.A、在直角三角形内B、在直角三角形外C、是直角三角形的直角顶点D、是直角三角形斜边的中点2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连结AC、BD，在这个立体图形中，互相垂直的平面有（）.A、4组B、6组C、7组D、8组3．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，设x=2PA2+2PC2-AC2，y=2PB2+2PD2-BD2，则x，y的关系为（）.A、x>yB、x=yC、x<yD、不能确定4．若两个平行于底面的截面恰好三等分棱锥的体积，则此棱锥的高被截面分得的三条线段的长的比为（）.A、B、1∶(-1)∶(-1)C、1∶4∶9D、1∶(-1)∶(-)5．如图，正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB、CD的中点，设α为EF与AC所成的角，β为EF与BD所成的角，则α+β等于（）A、B、C、D、答案与解析答案：1、D 2、C 3、B 4、D 5、A解析：1．答案：D。

三条侧棱长相等的三棱锥，顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，直角三角形的外心是斜边中点。

因此选D。

2。

答案：C。

平面PAB⊥面ABCD，面PAC⊥面ABCD，面PAC⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，面PAD⊥面PCD，面PBD⊥面PAC，面PAB⊥面PAD，共有7组互相垂直的平面。

3．答案：B。

用特殊值法。

如ABCD为正方形、菱形。

有x=y。

故本题应选B。

4．答案：D。

由棱锥的性质可知，用平行于底面的平面截棱锥，它们的面积比等于对应高的平方比。

容易推出它们的体积比为对应高的立方比。

设截面为底的棱锥的高与原棱锥的高分别为h1，h2，h3(h1<h2<h3)，则V1∶V2∶V3=。

又V1∶V2∶V3=1∶2∶3，故=1∶2∶3，所以h1∶h2∶h3=1∶∶。

于是h1∶(h2-h1)∶(h3-h2)=1∶(-1)∶(-)。

5．答案：A。

用直接法。

取BC中点Q，连结EQ、FQ，∵ EQ//AC，FQ//BD，∴∠QEF，∠QFE分别是AC、BD与EF所成的角，即：∠QEF=α，∠QFE=β，∠EQF是异面直线AC与BD所成的角，由正三棱锥，可得∠EQF=，∴α+β=。

应选A。

折叠问题求角度问题，求距离问题是立体几何中两大类计算题，它们从数量关系上刻划空间图形位置关系。

立体几何中涉及到距离有：两点间距离，点到直线距离，点到平面距离，两平行线间距离，两条异面直线距离，与平面平行的直线到平面距离，两平行平面间距离，以及求球面上两点间距离。