第15讲 算法的含义 程序框图

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教B版]高三新数学第一轮复习教案（讲座15）—算法的含义、程序框图一．课标要求：1．通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义；2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

二．命题走向算法是高中数学课程中的新内容，本章的重点是算法的概念和算法的三种逻辑结构。

预测高考对本章的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法的概念。

三．要点精讲1．算法的概念（1）算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等。

在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。

（2）算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”。

“不重”是指不是可有可无的、甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务。

②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣。

分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续。

③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行。

（3）算法的描述：自然语言、程序框图、程序语言。

2．程序框图（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；（2）构成程序框的图形符号及其作用一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字。

3．几种重要的结构 （1）顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。

它是由若干个依次执行的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

见示意图和实例：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。

如在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行B 框所指定的操作。

（2）条件结构如下面图示中虚线框内是一个条件结构，此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定的条件P 是否成立，选择不同的执行框（A 框、B 框）。

无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能既执行A 框又执行B 框，也不可能A 框、B 框都不执行。

A 框或B 框中可以有一个是空的，即不执行任何操作。

见示意图（3）循环结构在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构。

即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过程。

重复执行的处理步骤称为循环体。

循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构。

①当型循环结构，如左下图所示，它的功能是当给定的条件P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，返回来再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A 框，如此反复执行A 框，直到某一次返回来判断条件P 不成立时为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。

继续执行下面的框图。

示意图②直到型循环结构，如右下图所示，它的功能是先执行重复执行的A 框，然后判断给定的条件P 是否成立，如果P 仍然不成立，则返回来继续执行A 框，再判断条件P 是否成立。

以次重复操作，直到某一次给定的判断条件P 时成立为止，此时不再返回来执行A 框，离开循环结构。

继续执行下面的框图。

见示意图四．典例解析题型1：算法概念例1．下列说法正确的是（ ） A ．算法就是某个问题的解题过程； B ．算法执行后可以产生不同的结果；C ．解决某一个具体问题算法不同结果不同；D ．算法执行步骤的次数不可以为很大，否则无法实施。

解析：答案为选项B ；选项B ，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A ，算法不能等同于解法；选项C ，解决某一个具体问题算法不同结果应该相同，否则算法构造的有问题；选项D ，算法可以为很多次，但不可以无限次。

点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算。

只要按部就班去做，总能算出结果。

通常把算法过程称为“数学机械化”。

数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成；实际上处理任何问题都需要算法。

如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……。

例2．下列语句中是算法的个数为（ ）①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎； ②统筹法中“烧水泡茶”的故事；③测量某棵树的高度，判断其是否是大树；④已知三角形的一部分边长和角，借助正余弦定理求得剩余的边角，再利用三角形的面积公式求出该三角形的面积。

A ．1B ．2C ．3D ．4解析：正确选项为C ，③中我们对“树的大小”没有明确的标准，无法完成任务，不是有效的算法构造。

①中，勾画了从济南到巴黎的行程安排，完成了任务；②中，节约时间，烧水泡茶完成了任务；④中，纯数学问题，借助正、余弦定理解三角形，进而求出三角形的面积。

点评：算法过程要做到能一步一步的执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，且在有限步后的必须得到问题的结果。

题型2：经典算法当型循环结构 直到型循环结构例3．一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊。

该人如何将动物转移过河？请设计算法？解析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势，具体算法如下：算法步骤：第一步：人带两只狼过河，并自己返回； 第二步：人带一只狼过河，自己返回；第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回； 第四步：人带一只羊过河，自己返回； 第五步：人带两只狼过河。

点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的。

这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性。

本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的问题经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率。

例4．这是中国古代的一个著名算法案例：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿48，要数脑袋17，多少小兔多少鸡？解析：求解鸡兔的问题简单直观，却包含着深刻的算法思想。

应用解二元一次方程组的方法来求解鸡兔同笼问题。

第一步：设有小鸡x 只，小兔y 只，则有⎩⎨⎧=+=+)2(4842)1(17y x y x第二步：将方程组中的第一个方程两变乘－2加到第二个方程中去，得到⎩⎨⎧⨯-=-=+21748)24(17y y x ，得到y=7；第三步：将y=7代入（1）得x=10。

点评：解决这些问题的基本思想并不复杂，很清晰，但叙述起来很烦琐，有的步骤非常多，有的计算量很大，有时候完全依靠人力完成这些工作很困难。

但是这些恰恰是计算机的长处，它能不厌其烦的枯燥的、重复的、繁琐的工作。

但算法也有优劣，我们要追求高效。

题型3：顺序结构例5．写出通过尺轨作图确定线段AB 一个5等分点的算法。

解析：我们借助于平行线定理，把位置的比例关系变成已知的比例关系，只要按照规则一步一步去做就能完成任务。

算法分析：第一步：从已知线段的左端点A 出发，任意作一条与AB 不平行的射线AP ； 第二步：在射线上任取一个不同于端点A 的点C ，得到线段AC ； 第三步：在射线上延AC 的方向截取线段CE=AC ； 第四步：在射线上延AC 的方向截取线段EF=AC ； 第五步：在射线上延AC 的方向截取线段FG=AC ；第六步：在射线上延AC 的方向截取线段GD=AC ，那么线段AD=5AB ； 第七步：连接DB ；第八步：过C 作BD 的平行线，交线段AB 于M ，这样点M 就是线段AB 的一个5等分点。

程序框图：点评：这个算法步骤具有一般性，对于任意自然数n，都可以按照这个算法的思想，设计出确定线段的n等分点的步骤，解决问题。

例6．有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这将对我国经济的稳定有利无害。

所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%。

在这种情况下，某种品牌的钢琴2004年的价格是10 000元，请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格。

解析：用P表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤：2005年P=10000×（1+3%）=10300；2006年P=10300×（1+3%）=10609；2007年P=10609×（1+3%）=10927.27；2008年P=10927.27×（1+3%）=11255.09；点评：顺序结构只须严格按照传统的解决数学问题的解题思路，将问题解决掉。

最后将解题步骤 “细化”就可以。

“细化”指的是写出算法步骤、画出程序框图。

题型4：条件结构例7．设计算法判断一元二次方程02=++c bx ax 是否有实数根，并画出相应的程序框图。

解析：算法步骤如下：第一步：输入一元二次方程的系数：a ，b ，c ； 第二步：计算△ac b 42-=的值；第三步：判断△≥0是否成立。

若△≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”。

结束算法。

相应的程序框图如下：点评：根据一元二次方程的意义，需要计算判别式△ac b 42-=的值。

再分成两种情况处理：（1）当△≥0时，一元二次方程有实数根；（2）当△＜0时，一元二次方程无实数根。

该问题实际上是一个分类讨论问题，根据一元二次方程系数的不同情况，最后结果就不同。

因而当给出一个一元二次方程时，必须先确定判别式的值，然后再用判别式的值的取值情况确定方程是否有解。

该例仅用顺序结构是办不到的，要对判别式的值进行判断，需要用到条件结构。

例8．（1）设计算法，求0=+b ax 的解，并画出流程图。

解析：对于方程0=+b ax 来讲，应该分情况讨论方程的解。

我们要对一次项系数a 和常数项b 的取值情况进行分类，分类如下： （1）当a ≠0时，方程有唯一的实数解是ab -； （2）当a=0，b=0时，全体实数都是方程的解； （3）当a=0，b ≠0时，方程无解。