江苏省南通市海门中学2017届高三第二次教学质量调研数学试题Word版含答案
高三第二次调研考试数学试卷
ICME －7 图甲 O A 1A 2 A 3A 4A 5A 6A 7A 8图乙江苏省南通市届高三第二次调研考试 数学试卷·答案·评分标准·讲评建议A ．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 设集合102M x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}210N x x =+>，则MN = ▲ ．2． 已知复数z 满足z 2＋1＝0，则（z 6＋i ）（z 6－i ）＝ ▲ ．3． 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为 ▲ ．说明：本题关注一下：222,().i i i i x ax b x ax b S a S '''=+⇒=+=4． 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 ▲ ．5． 下列四个命题：①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，；③2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，；④n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，． 其中真命题的序号是 ▲ ．说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R 改成Z ，真命题的序号是①④，如果R 改成复数集C 呢？6． 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝ ▲ ．说明：本题是课本中的习题改编，重在建立观察、归纳意识． 7． 以下伪代码：Read xIf x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else()f x ←2x End IfPrint ()f x根据以上算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ▲ ．说明：算法在复习中不应搞得太难，建议阅读《数学通报》2008．1中的一篇关于“四省”07年的高考中的算法的文章．8． 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ▲ ．说明：此学生容易把两向量的夹角弄错．如改成12个点，边长1||i i A A +的求法就不一样了，难度会加大．9． 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有()()ππ33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = ▲ ．说明：注意对称性．10．已知函数f （x ）＝log a | x |在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2） ▲ f （a ＋1）．（填写“<”，“＝”，“>”之一）说明：注意函数y ＝f （| x |）是偶函数．比较f （－2）与f （a ＋1）的大小只要比较－2、 a ＋1与y 轴的距离的大小． 11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =，则直线AB 的斜率为 ▲ ．说明：涉及抛物线的焦点弦的时候，常用应用抛物线的定义．注意本题有两解．12．有一根长为6cm ，底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 ▲ cm ． 说明：本题是由课本例题改编的．关键是要把空间问题转化为平面问题． 13．若不等式组0,22,0,x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是▲ ．说明：线性规划要注意数形结合，要综合运用多方面的知识．特别要注意区域的边界． 14．已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b ＝m （m ∈N*），则这样的三角形共有 ▲ 个（用m 表示）．说明：本题是推理和证明这一章的习题，考查合情推理能力．讲评时可改为c ＝m 再探究．本题也可以用线性规划知识求解．填空题答案：1．{}1122x x -<< 2．2 3．0.03 4．13 5．④ 6 7．－8 8．3 9．－110．< 11． 12 13．4(0,1][,)3+∞ 14．(1)2m m +二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．解：（Ⅰ）tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，……………………………………………3分 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=， ∴sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=，∴1cos 2A =． ………………………………………………5分 ∵0πA <<，∴π3A =．………………………………………………………………7分 （Ⅱ）m +n 2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2CB BC =-=， ∴|m+n |222222π1πcos cos cos cos ()1sin(2)326B C B B B =+=+-=--．…………10分 ∵π3A =，∴2π3B C +=，∴2π(0,)3B ∈． 从而ππ7π2666B -<-<．……………………………………………………………12分 ∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12．……………………13分 所以，|m +n |A B CD DC 1 B 1A 1 min2=．………………………………………………………………14分 评讲建议：本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值．16．（本小题满分14分） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形， ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===． （Ⅰ）求证：AC ∠平面BB 1C 1C ；（Ⅱ）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与 平面ACB 1都平行？证明你的结论．证明：（Ⅰ） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1∠平面ABCD ，∴BB 1∠AC ． (2)分又∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===，∴2AC ∠CAB ＝45°，∴2BC =∴ BC ∠AC ． (5)分又1BB BC B =，1,BB BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴ AC ∠平面BB 1C 1C ． ………………7分（Ⅱ）存在点P ，P 为A 1B 1的中点． ……………………………………………………………8分证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝12AB ．……………………………………9分又∵DC‖AB ，DC ＝12AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC PB 1为平行四边形，从而CB 1∥DP ．……………………………………………11分又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴DP‖面ACB 1． (13)分同理，DP‖面BCB 1． (14)分评讲建议：本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD 中BC ∠AC ，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．变题：求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由．17．（本小题满分15分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．解：（I）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个． (2)分又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，……………………4分所以51()255P A==．………………………………………………………………………6分答：编号的和为6的概率为15．…………………………………………………………………7分（Ⅱ）这种游戏规则不公平．……………………………………………………………………9分设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， (10)分则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）．所以甲胜的概率P（B）＝1325，从而乙胜的概率P（C）＝1－1325＝1225． (14)分由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． (15)分评讲建议：本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲至少赢一次的事件，E表示乙至少赢两次的事件，试问D与E是否为互斥事件?为什么?（D与E不是互斥事件．因为事件D与E可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P（D）、P（E），由P（D）＋P（E）>1可得两者一互斥．）18．（本小题满分15分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过F 、B 、C 作∠P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． （Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围；（Ⅱ）直线AB 与∠P 能否相切？证明你的结论． 解：（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC 的中垂线分别为12c x -=，11()22b y x b -=-．………………………………………………………………2分 联立方程组，解出21,2.2cx b c y b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩……………………………………………………………4分 21022c b cm n b--+=+>，即20b bc b c -+->，即（1＋b ）（b －c ）>0， ∴b >c ． ……………………………………………………………………………………6分从而22b c >即有222a c >，∴212e <．……………………………………………………7分 又0e >，∴0e <<． …………………………………………………………………8分 （Ⅱ）直线AB 与∠P 不能相切．…………………………………………………………………9分由AB k b=，22102PBb c b b k c --=--＝2(1)b cb c +-． ………………………………………………10分如果直线AB 与∠P 相切，则b ·2(1)b c b c +-＝－1． ………………………………………12分解出c ＝0或2，与0＜c ＜1矛盾，………………………………………………………14分所以直线AB 与∠P 不能相切． …………………………………………………………15分评讲建议：此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a ，b ，c 的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB 与∠P 相切，则有AB 2＝AF ×AC ，易由椭圆中a ，b ，c 的关系推出矛盾． 19．（本小题满分16分）已知函数21()2,()log 2a f x x x g x x ==－（a ＞0，且a ≠1），其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1<x 2）是函数y ＝g （x ）的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<． 解：（Ⅰ）因为21()2log 2a h x x x x =-+(0)x >， 所以21ln 2ln 1()2ln ln x a x a h x x x a x a-+'=-+=． …………………………………………3分因为h （x ）在区间(0,)+∞上是增函数，所以2ln 2ln 10ln x a x a x a-+≥在区间(0,)+∞上恒成立．若0<a <1，则ln a <0，于是2ln 2ln 10x a x a -+≤恒成立．又()h x '存在正零点，故△＝（－2ln a ）2－4ln a ＝0，ln a ＝0，或ln a ＝1与ln a <0矛盾．所以a >1．由2ln 2ln 10x a x a -+≥恒成立，又()h x '存在正零点，故△＝（－2ln a ）2－4ln a＝0，所以ln a ＝1，即a ＝e ． ……………………………………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ），001()g x x '=，于是210211y y x x x -=-，21021ln ln x x x x x -=-．…………………………9分以下证明21121ln ln x x x x x -<-． （※）（※）等价于121121ln ln 0x x x x x x --+<． ……………………………………………11分令r （x ）＝x ln x 2－x ln x －x 2＋x ，…………………………………………………………13分r ′（x ）＝ln x 2－ln x ，在（0，x 2］上，r ′（x ）>0，所以r （x ）在（0，x 2］上为增函数．当x 1<x 2时，r （x 1）< r （x 2）＝0，即121121ln ln 0x x x x x x --+<， 从而01x x >得到证明．……………………………………………………………………15分对于21221ln ln x x x x x ->-同理可证……………………………………………………………16分所以102x x x <<．评讲建议：此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：要证明21121ln ln x x x x x -<-，只要证明21211ln x x x x ->1，令21x t x =，作函数h （x ）＝t －1－ln t ，下略．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时，有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．（Ⅰ）设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯=，求数列{}n na 的前n 项和S n ．（Ⅰ） 证明：由条件，得112234[(1)]4[(2)]n n n n n n a na a n a a n a ------=-----，则1112(1)4[]4[(1)]n n n n n n a n a a na a n a +----+=----．……………………………………2分即111244.1,0n n n b b b b b +-=-==又，所以1122(2)n n n n b b b b +--=-，21220b b -=-≠． 所以1{2}n n b b +-是首项为-2，公比为2的等比数列． …………………………………4分2122b b -=-，所以112122(2)2n n n n b b b b -+-=-=-．两边同除以12n +，可得111222n n n n b b ++-=-．…………………………………………………6分 于是2n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以12首项，－12为公差的等差数列． 所以11(1),2(1)2222n n n nb b n n b =--=-得．………………………………………………8分 （Ⅱ）111122(2)n n n n n n a na n n a -----=-=-，令2n n nc a =-，则1n n c nc -=．而111 (1)21(1)21n c c n n c n n =∴=-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅，．∴(1)212n n a n n =-⋅⋅⋅+． ……………………………………………………………12分(1)212(1)!!2n n n na n n n n n n n =⋅⋅-⋅⋅⋅+=+-+⋅，∴2(2!1!)(3!2!)(1)!!(12222)n n S n n n =-+-+++-+⨯+⨯++⨯．………………14分 令T n ＝212222n n ⨯+⨯++⨯，① 则2T n ＝2311222(1)22n n n n +⨯+⨯++-⨯+⨯．②①－②，得-T n ＝212222n n n ++++-⨯，T n ＝1(1)22n n +-+．∴1(1)!(1)21n n S n n +=++-+．……………………………………………………………16分评讲建议：此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前n 项和的求法，作新数列法，错项相消法，裂项法等知识与方法，同时考查学生A EBCD O·A EBCDO·yA B的分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力及运算能力．讲评时着重在正确审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题，本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题．事实上本题包含了好几个常见的数列题．本题还有一些另外的解法，如第一问的证明还可以直接代．B．附加题部分一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．选修4－1：几何证明选讲如图，四边形ABCD内接于O，AB AD=，过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：2AB BE CD=⋅．证明：连结AC．…………………………………………………1分因为EA切O于A，所以∠EAB＝∠ACB．…………3分因为AB AD=，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．于是∠EAB＝∠ACD．…………………………………5分又四边形ABCD内接于O，所以∠ABE＝∠D．所以ABE∆∠CDA∆．于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD⋅=⋅．………………9分所以2AB BE CD=⋅．…………………………………10分2．选修4－2：矩阵与变换如图所示，四边形ABCD和四边形AB C D''分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A （－1，2），B （3，2），C （3，－2）， D （－1，－2），B '（3，7），C '（3，3）．求将四边形ABCD 变成 四边形AB C D ''的变换矩阵M ．解：该变换为切变变换，设矩阵M 为1 0 1k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………3分 则1 033 123k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦．………………………………………………6分 ∴323k -=，解得53k =．…………………………………………………………………9分所以，M为1 05 13⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．………………………………………………………………………10分 说明：掌握几种常见的平面变换．3． 选修4－4：坐标系与参数方程过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．解：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，………………………………………………3分 曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．……………………………………………5分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．…………………………8分AB12s s =-=＝．…………………………………………………10分说明：掌握直线，圆，圆锥曲线的参数方程及简单的应用．4． 选修4－5：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111.x y z yz zx xy x y z ++++≥证明：因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥，………………………………4分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥，………………………………………………………7分 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥．…………10分二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．已知(nx 的展开式中前三项的系数成等差数列．（∠）求n 的值；（∠）求展开式中系数最大的项．解：（Ⅰ）由题设，得 02111C C 2C 42n n n+⨯=⨯⨯， ………………………………………………3分即2980n n -+=，解得n ＝8，n ＝1（舍去）．……………………………………………4分（Ⅱ）设第r ＋1的系数最大，则1881188111C C 2211C C .22r r r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥……………………………………………6分 即1182(1)11.291r r r ⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥，≥ 解得r ＝2或r ＝3． ………………………………………………8分所以系数最大的项为537T x =，9247T x =．………………………………………………10分说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用．6． 动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P 到点F （0，1）和直线l 的距离之和为4．（∠）求点P 的轨迹C 的方程； （∠）过点Q （0，－1）作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成的区域的面积．解：（Ⅰ）设P （x ，y ），根据题意，34y -=．……………………………3分化简，得21(3)4y x y =≤．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）设过Q 的直线方程为1y kx =-，代入抛物线方程，整理，得2440x kx -+=． ∴△＝216160k -=．解得1k =±．………………………………………………………6分所求切线方程为1y x =±-（也可以用导数求得切线方程）， 此时切点的坐标为（2，1），（－2，1），且切点在曲线C 上． (8)分由对称性知所求的区域的面积为2223021142(1)()041223x S x x dx x x =-+=-+=⎰．…………………………………………10分说明：抛物线在附加题中的要求提高了，定积分要求不高．附加题部分说明：本次附加题考查内容尽量回避一模所考内容，没有考查概率分布和空间向量解立体几何问题．这两部分内容很重要，希望在后期的复习中不可忽视．。
高三第二次调研测试数学Word版含答案
i < 4i ←i + 1结 束N Y（第4题）S ←S ×5输出S 开始 S ←1i ←1南通市届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1． 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则UA = ▲ ．2． 已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．4． 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ ．注 意事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
/分0.0050.010 0.0150.0250.030 （第3题）5． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ．6． 在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点(12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为 ▲ ．9． 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为 ▲ ． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅的值为 ▲ ． 14．已知a为常数，函数()f x 的最小值为23-，则a 的所有值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()3122=-，c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为42． （1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线AA 1B 1C 1B C FE（第16题）（第17题）B 1B 2PQOxyl 1l 2 AB C（第18题）l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域；（3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．① 若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市2018届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）注 意事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)
高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.已知集合{-2-1012}{|22}A B x x A B ==-<≤= ，，，，，，则A ．{-1012}，，，B ．{-101}，， C ．{-2-101}，，， D ．{-2-1012}，，，，2.复数ii+1-2对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(2,1),(3,)a b x =-=，若3a b ⋅= ，则x =A ．3B ．4C ．5D ．64.已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 43=，则此双曲线的离心率为A ．43B ．54 C ．53 D5.已知条件p ：46x -≤；条件q ：1x m ≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是A ． (]1,-∞-B ．(]9,∞-C ． []9,1D ．[)∞+，9 6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S =A ．14B ．30C ．62D ．1267.1()nx x-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．56B ．35C ．－56D ．－358.已知,αβ是两个不同的平面，,,l m n 是不同的直线，下列命题不正确．．．的是A ．若,,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂则l α⊥B ．若//,,,l m l m αα⊂⊂/则//l αC ．若,,,,l m m l αβαβα⊥=⊂⊥ 则m β⊥D ．若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥9.已知)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=，函数)(ϕ+=x f y 的图象关于直线0=x 对称，则ϕ的 值可以是A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π10.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A ．2人B ．3人C ．2人或3人D ．4人11.已知抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B (点A 在x 轴下方)，点1A 与 点A 关于x 轴对称，若直线AB 斜率为1，则直线1A B 的斜率为A ．3 B C ．2D 12.下列结论中，正确的有①不存在实数k ,使得方程21ln 02x x x k -+=有两个不等实根； ②已知△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2222a b c +=， 则角C 的最大值为6π； ③函数y=ln与ln tan2xy =是同一函数； ④在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，左右顶点分别为A ，B ，若P 为椭圆上任意一点（不同于,A B ），则直线PA 与直线PB 斜率之积为定值．A ．①④B ．①③C ．①②D ．②④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,24a a a a +=+=，则6S = __________． 14.已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为______ ．15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________ ．16.下列命题正确是 ． (写出所有正确命题的序号) ①若奇函数()f x 的周期为4，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称； ②若(0,1)a ∈，则111aaa a++<；③函数1()ln1xf x x+=-是奇函数； ④存在唯一的实数a 使()()12lg 2++=x ax x f 为奇函数．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，4b =，2B A π=+．（1）求cos B 的值； （2）求sin 2sin A C +的值． 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90=∠BAC ，且AB AA =1，F E ,分别是BC CC ,1的中点．（1）求证：平面1AB F ⊥平面AEF ； （2）求二面角F AE B --1的余弦值．19.（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]1000，，样本数据分组为第一组[)200，，第二组[)4020，，第 三组[)6040，，第四组[)8060，，第五组[]10080，． （1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200家，试估计 有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选4家，这4家企业年上缴税收少于20万元的家数记为X ，求X 的 分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 经过点P ，离心率2e = ，直线l 的方程为4=x ．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆右焦点F 的任一直线（不经过点P ）与椭圆交于两点A ，B ，设直线AB 与 l 相交于点M ，记PM PB PA ,,的斜率分别为321,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得 321k k k λ=+？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln )(+=，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． （1）当1a =-时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值；（3）设),()(x xf x g =若0,a >对于任意的两个正实数1212,()x x x x ≠， 证明：12122()()()2x x g g x g x +<+． 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253 (t 为参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin a =． （1）若2=a ，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值． 23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数5212)(++-=x x x f ，且m x f ≥)(恒成立． （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：8223-≤--m x x ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15．61 16．①③ 17．解： （1）∵2B A π=+， ∴2π-=B A ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分又3,4a b ==，所以由正弦定理得34sin sin A B=， 所以34cos sin B B=-，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分所以3sin 4cos B B -=，两边平方得229sin 16cos B B =，又22sin cos 1B B +=，所以3cos 5B =±，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分而2B π>，所以3cos 5B =-．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（2）∵3cos 5B =-，∴4sin 5B =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分∵2B A π=+，∴22A B π=-， ∴sin 2sin(2)sin 2A B B π=-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分432sin cos 2()55B B =-=-⨯⨯-=分又A B C π++=，∴322C B π=-， ∴27sin cos 21cos 25C B B =-=-=．∴24731sin 2sin 252525A C +=+=． (12)分18．解答： （1）证明：∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点， ∴AF BC ⊥．又∵侧棱ABC AA 平面⊥1，∴面ABC ⊥面11BB C C ...........2分 ∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥．…3分 设11AB AA ==，则，EF=，．∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥．...........4分 又AF EF F ⋂=，∴1B F ⊥平面AEF ．…而1B F ⊂面1AB F ，故：平面1AB F ⊥平面AEF ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分（2）解：以F 为坐标原点，FA ，FB 分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系如图， 设11AB AA ==，则(0,0,0)F ，(2A ，1(0,2B -，1(0,)22E -，1()2AE = ,1(AB = ．…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分由（1）知，1B F ⊥平面AEF ，取平面AEF 的法向量：1(0,,1)2m FB == ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由,取3x =，得(3,1,n =- (10)分设二面角1B AE F --的大小为θ，则cos θ=|cos ＜＞|=||=．由图可知θ为锐角，∴所求二面角1B AE F --的余弦值为．…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19．解答： 解：（I ）由直方图可得：20(x 0.0250.00650.0032)1⨯+++⨯=解得0.0125x =． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 （II ）企业缴税收不少于60万元的频率0.0032200.12=⨯⨯=， ∴12000.12144⨯=．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （III ）X 的可能取值为0,1,2,3,4．由（I ）可得：某个企业缴税少于20万元的概率10.0125200.254=⨯== .............5分25681)43()41()0(4004===C X P 6427)43()41()1(3114===C X P6427)43()41()2(2224===C X P 643)43()41()3(1334===C X P2561)43()41()4(0444===C X P .......................................10分..............11分∴12561464336427264271256810)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． ....12分 20．解：（1）由点P 在椭圆上得，22421a b +=①22c e a ==又所以② 由 ①②得2224,8,4c a b ===，故椭圆C 的方程为22184x y +=……………………..4分 （2）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=.由题意可设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(2)y k x =-③代入椭圆方程22184x y +=并整理得2222(12)8880k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22121222888,1212k k x x x x k k -+==++④ ……………6分在方程③中，令4x =得，(4,2)M k，从而2121k k ==32422k k k ==--.又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有121222y yk x x ==--……………8分 所以=+21kk 121222y y x x +=--121212112()2222y y x x x x ++----=2k 12121242()4x x x x x x +--++⑤ ……………10分将④代入⑤得=+21kk 2k22222284122888241212k k k k k k k -+=--+++32k k =-， 所以=+21k k 32k . 故存在常数2=λ符合题意…………12分 21.【解答】解：（1）易知()f x 定义域为(0,)+∞，当1a =-时，()ln f x x x =-+，'11()1x f x x x-=-+=， 令'()0f x =，得1x =．当01x <<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x <． ................2分∴()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．max ()(1)1f x f ==-．∴函数()f x 在(0,)+∞上的最大值为1-．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （2）∵'111(),(0,],[,)f x a x e x x e=+∈∈+∞． ①若1a e≥-，则'()0f x ≥，从而()f x 在(0,]e 上是增函数， ∴max ()()10f x f e ae ==+≥，不合题意．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分②若1a e <-，则由'1()00f x a x>⇒+>，即10x a <<-由'1()00f x a x <⇒+<，即1x e a-<≤．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分从而()f x 在1(0,)a -上增函数，在1(,)e a-为减函数 ∴max 11()()1ln()f x f a a=-=-+- 令11ln()3a -+-=-，则1ln()2a -=- ∴21e a --=，即2a e =-．∵21e e -<-，∴2a e =-为所求⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 （3）法一：即证221212*********()2()ln()ln ln 222x x x x x x a ax ax x x x x ++++≤+++ 22222212121212()2()[]22x x x x a ax ax a x x ++--=⋅-- 212()02x x a -=-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分 另一方面，不妨设12x x <，构造函数11111()()ln()ln ln ()2x x k x x x x x x x x x +=+--> 则1()0k x =，而'1()ln ln 2x x k x x +=-=分 由10x x <<易知1012x x x+<< , 即'()0k x <，()k x 在1(,)x +∞上为单调递减且连续， 故()0k x <，即1111()ln()ln ln 2x x x x x x x x ++<+ 相加即得证 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分法二：'''1()21ln ,()20g x ax x g x a x =++=+> ..........9分 故'()g x 为增函数，不妨令21x x >令111()()()2()()2x x h x g x g x g x x +=+-> ''1()'()()2x x h x g x g +=-..........10分 易知12x x x +>，故''1()'()()02x x h x g x g +=-> .........11分而1()0h x =，知1x x >时，()0h x >故2()0h x >，即12122()()()2x x g g x g x +<+ .........12分22.解 (1)2a =时，圆C 的直角坐标方程为22(y 1)1x +-=；直线l 的普通方程为4380x y +-=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(2)圆C ：42222a a y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，直线:4380l x y +-=，∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 ∴圆心C 到直线的距离3812522aad -==⨯，得32a =或3211a =.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 23.解 (1)544,251(x)6,22144,2x x f x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 当5122x -≤≤时，函数有最小值6，所以6m ≤.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 另解：∵2125(2x 1)(2x 5)66x x -++≥--+=-=.∴6m ≤.(2)当m 取最大值6时，原不等式等价于324x x --≤， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 等价于3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 可得3x ≥或133x -≤<. 所以，原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分。
南通市2017届高三第二次调研考试数学试题(Ⅰ卷)
i ←1While i < 6 i ←i +2 S ←2i +3 End While Print S（第3题）南通市2017届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．棱锥的体积公式：13V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{} 03 4 A =，，，{} 102 3 B =-，，，，则A B = ▲ ． 2． 已知复数3i1iz -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ． 3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是 ▲ ．4． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm ）的数据分组及各组的频数见右上表，据此 mm 的根数是 ▲ ．5． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横 坐标是 ▲ ．7． 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个 实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm ． 8． 函数()f x =的定义域是 ▲ ．9． 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是 ▲ ．（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是 ▲ ．11．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7， 则BC →·DC →的值是 ▲ ．12．在△ABC 中，已知2AB =，226AC BC -=，则tan C 的最大值是 ▲ ．13．已知函数20()1 0x m x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，，，其中0m >．若函数()()1y f f x =-有3个不同的零点，则m 的取值范围是 ▲ ．14．已知对任意的x ∈R ，()()3sin cos 2sin 2 3 a x x b x a b ++∈R ≤，恒成立，则当a b +取得最 小值时，a 的值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）已知()πsin 4α+，()ππ2α∈，． 求：（1）cos α的值；（2）()πsin 24α-的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ． 求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面1A BC ⊥平面11A ACC ．(第11题)C 1ACA 1B 1 DE17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222 1 (0)y x a b a b+=>>的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为()523，，求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →=12OC →，求直线AB 的斜率．18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边界线lA 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．(第17题)北19．（本小题满分16分）已知函数1()ex f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠． （1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列．。
(江苏)高三数学-江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年江苏省南通市如东高中高三（上）第二次调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=．2．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是．3．函数的单调增区间为．4．函数的定义域为．5．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为．6．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=．8．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．9．若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m=．10．已知椭圆C：=1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为．11．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．12．已知函数f（x）=，当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是．13．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=，则AB的长为．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，．（1）求sin∠BAD；（2）求AD及DC的长．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求△ABC的面积；（2）设向量，，且，求角B的值．17．如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B 在圆的直径上，C，D，E在圆周上．（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）当θ为何值时，征地面积最大？18．如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y ﹣1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l 与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）（+）•是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f （x ）的图象在点（x 0，f （x 0））和点处的切线互相垂直，求a 的取值范围；（3）若函数f （x ）在区间（1，+∞）上有两个极值点，则是否存在实数m ，使f （x ）＜m 对任意的x ∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知点P 是直线2x ﹣y +3=0上的一个动点，定点M （﹣1，2），Q ，是线段PM 延长线上的一点，且PM=MQ ，求点Q 的轨迹方程．22．设圆x 2+y 2+2x ﹣15=0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．23．已知函数f （x ）=ln （1+x ），x ∈[0，+∞），f'（x ）是f （x ）的导函数．设g （x ）=f （x ）﹣axf'（x ）（a 为常数），求函数g （x ）在[0，+∞）上的最小值． 24．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （﹣1，1），P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA （1）求点P 的轨迹C 的方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且=λ，直线OP 与QA 交于点M ．问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省南通市如东高中高三（上）第二次调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B={1} ．【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，由交集的意义可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，故A∩B={1}．2．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是[﹣1，3] ．【考点】特称命题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0是假命题，∴x2+（1﹣a）x+1=0没有实数根或有重根，∴△=（1﹣a）2﹣4≤0∴﹣1≤a≤3故答案为：[﹣1，3]．3．函数的单调增区间为．【考点】复合函数的单调性．【分析】根据正切函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：由kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为；故答案为：．4．函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＜3且x≠2，故函数的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3），故答案为：（﹣∞，2）∪（2，3）．5．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为x ﹣4y+4=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=4处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα∴图象经过点（4，2），∴2=4α∴α=∴f（x）=f'（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f'（4）=，又过点A（4，2）所以在A点处的切线方程为x﹣4y+4=0故答案为：x﹣4y+4=06．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=9．【考点】函数的值．【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得f（﹣2）+f（log212）的值．【解答】解：由函数f（x）=，可得f（﹣2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：9．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=sin（2x﹣）．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象求出函数f（x）的解析式即可得到结论．【解答】解：由图象知A=1，，即函数的周期T=π，∵T=，∴ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），∵f（）=sin（2×+φ）=1，∴+φ=+2kπ，即φ=+2kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，即f（x）=sin（2x+），将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故答案为：sin（2x﹣）8．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：因为函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，所以2﹣a+3=0，所以a=5．所以f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2），所以偶函数f（x）在[﹣3，0]上单调递增，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m ﹣1）2﹣1＜0，所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得，解得．故答案为．9．若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m=8．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于双曲线的离心率为3，得到双曲线的渐近线y=2x，渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，可得圆心到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的离心率为3，∴c=3a，∴b=2a，取双曲线的渐近线y=2x．∵双曲线的渐近线与x2+y2﹣6y+m=0相切，∴圆心（0，3）到渐近线的距离d=r，∴，∴m=8，故答案为：8．10．已知椭圆C：=1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由已知求得M到右焦点的距离，然后结合三种圆锥曲线统一的定义得答案．【解答】解：如图，由椭圆C：=1，知a2=25，b2=9，∴c2=a2﹣b2=16，∴c=4．则e=，∵点N是MF的中点，O是椭圆的中心，ON=4，∴|MF′|=8，则|MF|=2a﹣|MF′|=10﹣8=2，设点M到椭圆C的左准线的距离为d，则，得d=．故答案为：．11．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用整体构造思想，将cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解．【解答】解：∵0，∴，．sin（α+）=∵sin（α+）=故，∴．∴cos（α+）=；又∵，sin（α+）=cos[﹣（α+）]=cos（α）=，∴sin（α）=﹣．cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]=cos（α+）cos（α）﹣sin（α+）sin（α）=×+=．故答案为：0．12．已知函数f（x）=，当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是[﹣2，8] ．【考点】分段函数的应用．【分析】x＜﹣2时，函数单调递减，﹣2＜x≤0时，函数单调递增，可得当x=﹣2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值﹣16，又当x=8时，y=﹣2x=﹣16，结合条件，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：x≤0时，f（x=12x﹣x3，∴f′（x）=﹣3（x+2）（x﹣2），∴x＜﹣2时，函数单调递减，﹣2＜x≤0时，函数单调递增，∴当x=﹣2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值﹣16，∵当x=8时，y=﹣2x=﹣16，∴当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是[﹣2，8]．故答案为：[﹣2，8]．13．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=，则AB的长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件并结合图形可得到，，这样代入进行数量积的运算即可得出，解该方程即可求出AB的长．【解答】解：根据条件：====；∴；解得．故答案为：．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是[1，e] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a，x∈[0，1]．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的范围．【解答】解：由题意可得y0=sinx0∈[﹣1，1]，f（y0）=，∵曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，∴存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a 在[0，1]上有解．令g（x）=e x+x﹣x2，则a为g（x）在[0，1]上的值域．∵当x∈[0，1]时，g′（x）=e x+1﹣2x＞0，故函数g（x）在[0，1]上是增函数，故g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤a≤e，故答案为：[1，e]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，．（1）求sin∠BAD；（2）求AD及DC的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由∠BAD=∠B+∠ADB，利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可求AD，得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理即可解得DC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABD中，因为，所以，即sinB=，…3分所以sin∠BAD=sin（∠B+∠ADB），因为：∠ADB=，所以：sin∠BAD=×=…7分（2）由正弦定理，得…依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD•CDcos ∠ADC，即，所以DC2﹣2DC﹣5=0，解得：（负值舍去）．…16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求△ABC的面积；（2）设向量，，且，求角B的值．【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）根据题意，由平面向量的数量积的计算公式，变形化简可得ab=15，借助三角函数基本关系计算可得sinC的值，由三角形面积公式计算可得答案；（2）由向量平行的坐标计算公式可得2sinB（1﹣2sin2）﹣（﹣）cos2B=0，化简可得，进而可得，即可得B的值，分析B、C 的大小关系，可得答案．【解答】解：（1）根据题意，∵，∴，∴ab=15，又∵，C∈（0，π），．所以．（2）根据题意，∵，∴2sinB（1﹣2sin2）﹣（﹣）cos2B=0，即，，即，显然cos2B≠0，所以，所以或，即或，因为，所以，所以（舍去），即．17．如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B 在圆的直径上，C，D，E在圆周上．（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）当θ为何值时，征地面积最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．，可求f（θ）的表达式；【分析】（1）利用f（θ）=2S梯形OBCE（2）求导数，确定函数的单调性，即可求得最值．【解答】解：（1）连接OE，OC，可得OE=R，OB=Rcosθ，BC=Rsinθ，θ∈（0，）=R2（sinθcosθ+cosθ）；∴f（θ）=2S梯形OBCE（2）求导数可得f′（θ）=﹣R2（2sinθ﹣1）（sinθ+1）令f′（θ）=0，则sinθ=∵θ∈（0，）∴θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，θ∈（，）时，f′（θ）＜0，∴θ=时，f（θ）取得最大，即θ=时，征地面积最大．18．如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y ﹣1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l 与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）（+）•是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．【考点】向量在几何中的应用．（1）设出圆A的半径，根据以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0【分析】相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（﹣2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；（3）由直线l过点B（﹣2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论（+）•是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．【解答】解：（1）由圆存在两点关于直线x+y﹣1=0对称知圆心A在直线x+y﹣1=0上，由得A（﹣1，2），设圆A的半径为R，因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，∴，∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20，（2）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣2符合题意，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0连接AQ，则AQ⊥MN，∵，∴，由，得，∴直线l的方程为3x﹣4y+6=0，∴所求直线l的方程为x=﹣2或3x﹣4y+6=0，（3）∵AQ⊥BP，∴•=0，∴（+）•=2•=2（）•=2（+•）=2•，当直线l与x轴垂直时，得，则=（0，），又=（1，2），∴（+）•=2•=2•=0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），由，解得，∴=（，），∴（+）•=2•=2•=2（+）=﹣10综上所述，（ +）•是定值，且为﹣1019．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即k OT=k ON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））和点处的切线互相垂直，求a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，则是否存在实数m，使f（x）＜m对任意的x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）若，代入计算，建立方程，即可求a的值；（2）利用切线互相垂直，整理得，设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，即可解得a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，求出a的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由得，，解得…（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，，由题意得，即，…整理得，设，由，得t∈（2，3），则有8t2﹣6at+a2+5=0，…设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，解得或8≤a＜11，所以a的取值范围是…（3），令g（x）=﹣2x2+ax﹣4，由题意，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，则有，解得…设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，则x1和x2是g（x）在区间（1，+∞）上的两个不同零点，不妨设x1＜x2，则①，得且关于a在上递增，因此…又由①可得②，当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减，结合②可得=…设，则，所以h（x）在上递增，所以，从而，所以，又f（1）=0，所以存在m≥3﹣4ln2，使f（x）＜m，综上，存在满足条件的m，m的取值范围为[3﹣4ln2，+∞）…数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知点P是直线2x﹣y+3=0上的一个动点，定点M（﹣1，2），Q，是线段PM延长线上的一点，且PM=MQ，求点Q的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【分析】利用代入法，即可求点Q的轨迹方程．【解答】解：由题意知，M为PQ中点，…设Q（x，y），则P为（﹣2﹣x，4﹣y），代入2x﹣y+3=0，得2x﹣y+5=0…22．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程．【解答】解：因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4…由题设得A（﹣1，0），B（1，0），|AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：…23．已知函数f（x）=ln（1+x），x∈[0，+∞），f'（x）是f（x）的导函数．设g （x）=f（x）﹣axf'（x）（a为常数），求函数g（x）在[0，+∞）上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值．【解答】解：由题意，…令g'（x）＞0，即x+1﹣a＞0，得x＞a﹣1，当a﹣1≤0，即a≤1时，g（x）在[0，+∞）上单调递增，g min（x）=g（0）=ln（1+0）﹣0=0…当a﹣1＞0即a＞1时，g（x）在[a﹣1，+∞）上单调递增，在[0，a﹣1]上单调递减，所以g（x）min=h（a﹣1）=lna﹣a+1…综上：…24．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA（1）求点P的轨迹C的方程（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且=λ，直线OP与QA交于点M．问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；平行向量与共线向量．【分析】（1）设点P （x ，y ）．由于k OP +k OA =k PA ，利用斜率计算公式可得，化简即为点P 的轨迹方程．（2）假设存在点P ，Q ．使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ，分两种情况讨论：一种是点M 为线段AQ 的中点，另一种是点A 是QM 的一个三等分点．利用=λ，可得PQ ∥OA ，得k PQ =k AO =﹣1．再利用分点坐标公式，解出即可判断是否符合条件的点P 存在．【解答】解：（1）设点P （x ，y ）．∵k OP +k OA =k PA ，∴，化为y=x 2（x ≠0，﹣1）．即为点P 的轨迹方程．（2）假设存在点P，Q ．使得△PQA 和△PAM 的面积满足 S △PQA =2S △PAM ，①如图所示，点M 为线段AQ 的中点．∵=λ，∴PQ ∥OA ，得k PQ =k AO =﹣1． ∴，解得．此时P （﹣1，1），Q （0，0）分别与A ，O 重合，因此不符合题意．故假设不成立，此时不存在满足条件的点P ．②如图所示，当点M 在QA 的延长线时，由S △PQA =2S △PAM ，可得，∵=λ，∴，PQ∥OA．由PQ∥OA，可得k PQ=k AO=﹣1．设M（m，n）．由，，可得：﹣1﹣x2=2（m+1），﹣x1=2m，化为x1﹣x2=3．联立，解得，此时，P（1，1）满足条件．综上可知：P（1，1）满足条件．。
2020届江苏省南通中学2017级高三上学期二调考试数学试卷及解析
2020届江苏省南通中学2017级高三上学期二调考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题：本大题共14小题．1.已知集合{21}A ＝-,-,{1,2,3}B ＝－,则A B =__________． 【答案】{2-,1-,2,3}【解析】根据并集计算即可.【详解】{}2,1A --＝,{1,2,3}B ＝－, {}2,1,2,3A B ∴⋃=--,故答案为：{2-,1-,2,3}2.若复数z 满足(1)2i z i ＋＝,则复数z 的共轭复数为__________．【答案】1i －【解析】根据复数的除法运算求z ,再求共轭复数即可.【详解】(1)2i z i +＝,22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -∴===+++-, 1z i ∴=-,故答案为：1i -3.如果数据1x ,2x ,3x ,,n x 的方差是a ,若数据132x －,232x －,332x －,,32n x －的方差为36,则实数a 的值为__________．【答案】4【解析】根据公式2()()D aX b a D X +=计算即可.【详解】数据1x ,2x ,3x ,,n x 的方差是a ,∴数据132x －,232x －,332x －,,32n x －的方差为9a ,即936a =,所以4a =,故答案为：44.在1,2,3,4这四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是_______.【答案】12【解析】任取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 6种取法,其中和大于积的有(1,2),(1,3),(1,4),三种,所以概率是3162= 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5.如图所示的算法中,输出的结果是__________．【答案】3【解析】 由程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值,模拟程序的运行过程,。
【数学】江苏地区南师附中,天一,淮中,海门中学四校联考2017年度高三(下)试卷(理)(解析版)
,.江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考2017届高三（下）数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3，6}，则（∁I A）∩B= ．2．（5分）复数1+的实部为．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．4．（5分）某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为．5．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为．6．（5分）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的概率为．7．（5分）已知点P（x，y）满足，则z=的最大值为．8．（5分）设正项等比数列{a n}满足2a5=a3﹣a4．若存在两项a n、a m，使得a1=4，则m+n的值为．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣2x+1，不等式f（x2﹣3）＞f（2x）的解集用区间表示为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣y+m=0（m＞0）与圆x2+y2=8交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为．12．（5分）已知P是曲线y=x2﹣ln x上的动点，Q是直线y=x ﹣1上的动点，则PQ的最小值为．13．（5分）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA=3，PC=4．矩形对角线AC=6，则= ．14．（5分）在△ABC中，若+=3，则sin A的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）=2sin x cos x+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且a=1，b=，f（A）=2，求角C．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每条棱长均相等，D为棱AB的中点，E为侧棱CC1的中点．（1）求证：OD∥平面A1BE；（2）求证：AB1⊥平面A1BE．,.17．（14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2=b2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB的面积为时，求直线l的方程．18．（16分）如图，在某商业区周边有两条公路l1和l2，在点O处交汇；该商业区为圆心角、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1，l2分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1，l2上．（1）设OA=a km，OB=b km试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；（2）设∠AOT=α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B 的位置，使得新建公路AB的长度最短．19．（16分）设a＞0且a≠1函数f（x）=a x+x2﹣x ln a﹣a（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）（2）求函数f（x）的最小值；（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．,.20．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”．（1）已知数列{a n}满足a1=4，a2=8，a n+a n﹣1=8n﹣4（n≥2，n∈N*），求证：数列{a n}是“S型数列”；（2）已知等比数列{a n}的首项与公比q均为正整数，且{a n}为“S型数列”，记b n=a n，当数列{b n}不是“S型数列”时，求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在一个正项数列{c n}是“S型数列”，当c2=9，且对任意大于等于2的自然数n都满足（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）？如果存在，给出数列{c n}的一个通项公式（不必证明）；如果不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO的延长线于P和Q，求证：∠OBP=∠CQP．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知a，b∈R，矩阵A=，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在极坐标系下，圆C：p=2cos（）与直线l：ρsin（）=，点M为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x，y，z均为正数．求证：．三、解答题（共2小题，满分10分）25．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD 与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．,.26．（10分）设集合S={1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A={a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤2，A⊆S（1）若n=6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．,.【参考答案】一、填空题1．{2，6}【解析】因为全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，所以∁I A={2，4，6}，又B={2，3，6}，则（∁I A）∩B={2，6}，故答案是：{2，6}．2．【解析】1+=，则复数1+的实部为：．故答案为：．3．6【解析】模拟程序的运行，可得n=1，执行循环体，n=2不满足条件42＞2017，执行循环体，n=3不满足条件43＞2017，执行循环体，n=4不满足条件44＞2017，执行循环体，n=5不满足条件45＞2017，执行循环体，n=6满足条件46＞2017，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．4．660【解析】由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的频率为：（0.02+0.026+0.02）×10=0.66，∴估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为：1000×0.66=660．故答案为：660．5．【解析】双曲线=1的一条渐近线过点（2，1），可得a=2b，即：a2=4b2=4c2﹣4a2，e＞1，解得e=．故答案为：；6．【解析】从这5张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成的两位数为：12；13；14；15；21；23；24；25；31；32；34；35；41；42；43；45；51；52；53；54，共20个，偶数为：12，14，24，32，34，42，52，54，共8个，故两位数是偶数的概率是．故答案为7．3【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：由z=表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由，得A（1，3），显然直线过A（1，3）时，z取得最大值，z==3，故答案为：3．8．6【解析】正项等比数列{a n}满足2a5=a3﹣a4．则2a3q2=a3（1﹣q），可得2q2+q﹣1=0，q＞1，解得q=．若存在两项a n、a m，使得a1=4，∴a1=4，∴n+m=6．故答案为：6．9．【解析】如图，连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，,.可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG=G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP=，PG=，可得BG=，同理可得DG=，则△BDG边BD上的高为，∴，则．故答案为：．10．（﹣1，3）【解析】根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）=0，当x＜0时，f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，为减函数，则当x＞0时，f（x）也为减函数，综合可得f（x）在R上为减函数，若f（x2﹣3）＞f（2x），则有x2﹣3＜2x，解可得﹣1＜x＜3，即不等式f（x2﹣3）＞f（2x）的解集为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．11．2【解析】根据题意画出图形，连接OA，OB，作OD垂直于AB于D 点，因为△ABC为等边三角形，所以∠AOB=120°，由余弦定理知：AB=2，故BD=，所以OD=，所以O（0，0）到直线AB的距离=，解得m=±2，∵m是正数，∴m的值为2故答案为2．12．【解析】函数的定义域为（0，+∞），由y=x2﹣ln x的导数为y′=x﹣，令x﹣=，可得x=2，所以切点为（2，1﹣ln2），它到直线y=x﹣1即3x﹣4y﹣4=0的距离d==．即点P到直线y=x﹣1的距离的最小值为．故答案为：．13．﹣【解析】由题意可得=（+）•（+）=+•+ +=9+•（+）+0=9+=9+3•6•cos（π﹣∠PAC）=9﹣18•=9﹣18•=﹣，故答案为：．14．【解析】在△ABC中，+=3，∴．∴，即，∴．根据正弦定理得：．∴a2=3bc cos A．又根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣2bc cos A=3bc cos A．∴．当且仅当b=c时等号成立，∴．∴，即，∴．故答案为：二、解答题,. 15．解：（1）f（x）=2sin x cos x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2≤2．当=1，即2x+=+2kπ，解得x=kπ+，k∈Z时取等号．∴f（x）的最大值为2，该函数取最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．（2）f（A）=2，∴2sin=2，解得A=kπ+，k∈Z．∵a＜b，∴A为锐角，∴A=．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc cos A，∴12=+c2﹣2c，化为：c+1=0，解得c=．由正弦定理可得：，可得sin C==×=．∴C=15°，75°，或105°．16．解：（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1，且又E 是CC1中点，则EC∥BB1且，所以EC∥OD且EC=OD．所以四边形ECDO为平行四边形，所以EO∥CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE（2）因为正三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．所以CD⊥平面A1ABB1由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1所以EO⊥AB1．因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．又EO∩A1B=O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB．所以AB1⊥平面A1BE．17．解：（1），椭圆方程为：（2）因为切点在第一象限，可设直线l为y=kx+m（k＜0，m＞0），联立方程，得（x1，x2分别为A、B横坐标）AB长：=∴∴∴m==，直线l为18．解：（1）在△AOB中，OA=a km，OB=b km，；由余弦定理得：=a2+b2﹣ab；所以；如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，,.则，所以直线AB的方程为，即；因为AB与扇形弧相切，所以，即；a，b∈（3，6）（2）因为OT是圆O的切线，所以OT⊥AB．在Rt△OTA中，AT=3tanα；在Rt△OTB中，；所以，AB=AT+TB=3tanα+3tan（﹣α）（0＜α＜）；所以，AB=3（tanα+）=；设，u∈（1，4），则，当且仅当u=2，即时取等号；此时km．所以，当km时，新建公路AB的长度最短．19．解：（1）当a=e时，f（x）=e x+x2﹣x﹣e，f'（x）=e x+2x﹣1．设g（x）=e x+2x﹣1，则g（0）=0，且g'（x）=e x+2＞0．所以，g（x）在（﹣∞，+∞）上单增，当x＞0时，g（x）＞g（0）=0；当x＜0时，g（x）＜g（0）=0．即当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．综上，函数f（x）的单增区间是（0，+∞），单减区间是（﹣∞，0）．（2）f'（x）=a x ln a+2x﹣ln a=（a x﹣1）ln a+2x①当a＞1，若x＞0，则a x＞1，ln a＞0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＜1，ln a＞0，所以f'（x）＜0②当0＜a＜1，若x＞0，则a x＜1，ln a＜0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＞1，ln a＜0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上减，（0，+∞）上增．所以f（x）min=f（0）=1﹣a，（3）由（2）得：a＞0，a≠1，f（x）min=1﹣a．（ⅰ）若1﹣a＞0即0＜a＜1时，f（x）min=1﹣a＞0，函数f（x）不存在零点．（ⅱ）若1﹣a＜0即a＞1时，f（x）min=1﹣a＜0．f（x）的图象在定义域是不间断的曲线，f（x）在（﹣∞，0）上单减，在（0，+∞）上单增．f（a）=a a+a2﹣a ln a﹣a＞a2﹣a ln a﹣a=a（a﹣ln a﹣1）．令t（a）=a﹣ln a﹣1，（a＞1），，所以t（a）在（1，+∞）递增；所以t（a）＞t（1）=0．所以f（a）＞0．故f（x）在（0，a）有一个零点．又f（﹣a）＞a2﹣a＞0，故f（x）在（﹣a，0）有一个零点．所以f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有2个零点．综上：①0＜a＜1时，函数f（x）不存在零点；②a＞1时，函数f（x）有2个零点．20．（1）证明：由题意，a n+1+a n=8n+4 ①，a n+a n﹣1=8n﹣4 ②，②﹣①得a n+1﹣a n﹣1=8所以a2n=8n，a2n﹣1=8n﹣4，因此a n=4n，从而a n﹣a n﹣1=4＞3 所以，数列{a n}是“S型数列”（2）由题意可知a1≥1，且a n﹣a n﹣1=4＞3，因此{a n}单调递增且q≥2而（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）=a n﹣1（q﹣1）﹣a n﹣2（q﹣1）=（q﹣1）（a n﹣1﹣a n﹣2）＞0所以{a n﹣a n﹣1}单调递增，又b n=a n，因此{b n﹣b n﹣1}单调递增又{b n}不是“S型数列”所以，存在n0，使得﹣≤3，所以b2﹣b1≤﹣≤3，即a1（q﹣1）≤4又因为a2﹣a1＞3，即a1（q﹣1）＞3且a1，q∈N+，,.所以a1（q﹣1）=4从而a1=4，q=2或a1=2，q=3或a1=1，q=5∴a n=2n+1或或（3）可取a n=（n+1）2，验证符合（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）条件，而且a n﹣a n﹣1=2n+1＞321．证明：连接OA，因为OD⊥AB，OA=OB，所以，又，所以∠ACB=∠DOB，又因为∠BOP=180°﹣∠DOP，∠QCP=180°﹣∠ACB，所以∠BOP=∠QCP，所以B，O，C，Q四点共圆，所以∠OBP=∠CQP．22．解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，得：=，∴3a﹣b=3，由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2=，得：，∴a+b=5，解得，即A=．∵→→→→．∴A的逆矩阵A﹣1=．23．解：圆C：p=2cos（）即x2+y2+2y=0，x2+（y+1）2=1，表示圆心为（0，﹣1），半径等于1的圆．直线l：ρsin（）=，即ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即x+y﹣2=0，圆心到直线的距离等于=，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+1．24．证明：因为x，y，z都是为正数，所以①同理可得②③当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：三、解答题25．解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）．又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA=30°．又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD=，由已知得得E（，，0），D（0，，0）=（﹣1，0，1），，∴，即异面直线AE、BF所成的角的余弦值为．（2）平面AA1B的一个法向量为=（0，1，0）．设=（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，．由，取．∴所以cos=．平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值为．26．解：（1）n=6时，S={1，2，3，4，5，6}；∵a3﹣a2≤2；,.∴a3﹣a2=2，或a3﹣a2=1；当a3﹣a2=2时，a2和a3可分别为2和4，3和5，4和6；此时对应的a1分别有1个，2个和3个；当a3﹣a2=1时，a2和a3可分别取2和3，3和4，4和5，5和6；对应的a1分别有1个，2个，3个和4个；∴集合A的个数=1+2+3+1+2+3+4=16个；（2）当n≥5时，若a3﹣a2=2，则a2和a3可分别为2和4，3和5，…，n﹣2和n；此时，对应的a1可分别为1个，2个，…，n﹣3个，共有个；同理，a3﹣a2=1时，a1共有个；∴集合A的个数为：==（n﹣2）2，n≥5，n∈N*．。
【江苏省南通市】2017届高三年级第二次模拟考试理科数学试卷(附答案与解析)
江苏省南通市2017届高三第一次调研测试理科数学试卷参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．棱锥的体积公式：1V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．{3}AB =，则A B =________为虚数单位，则z 的实部为________．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．6．若实数x ，y 满足24,37,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =＋的最大值为________．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：8．如图，在正四棱柱1111–ABCD A B C D 中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥11D A BD -的体积为 ______3cm ．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0,)2x ∈相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．13．已知函数()|||4|f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且A B A C ⊥，则线段BC 的长的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，5AB =． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E PC 为的中点，OP OC =，PA PD ⊥．求证：（1）直线PA BDE ∥平面； （2）平面BDE PCD ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O OP 作的垂线交直线y 于点Q ，求2211OP OQ +的值． 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F AD 为的中点，点E BC 在边上，裁剪时先将四边形CDFE EF MNFE 沿直线翻折到处（点C ，D BC M 分别落在直线下方点，N 处，FN BC P 交边于点），再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP ∠=π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ． （1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积．B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在棱长为11112ABCD A B C D -的正方体中，11P C D 为棱的中点，1Q BB 为棱上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（1）若12λ=，求AP AQ 与所成角的余弦值； （2）若直线1AA APQ 与平面所成的角为45︒，求实数λ的值． 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点2F 的距离为． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E x P 处的切线与轴相交于点，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB △面积的最小值．江苏省南通市2017届高三第一次调研测试数学试卷∞2)(2,+)+2,62]二、解答题：本大题共∠OA OB AOBcos2-ABOA OB3，PC PD P=，PCD．PN MN=2m ）解法一：=0 EFDθ(<19．【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)()144x x f x x x x+-'=--=，（0x >）．2分令()0f x '=，得2x =，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． 所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()21,0ax x f x ax x x x--'=--=>．所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=，函数()f x 在(0,+)∞上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 6分因为当10a -≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e e af -+=，所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,+)∞上有零点．综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点．8分（3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln f x ax x x =--，得221(),(0)ax x f x x x--'=>，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<；当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '>>． 所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增．要使得函数()f x 在(0,+)∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数h()=2ln 1x x x +-在(0,+)∞上是增函数，且h(1)=0， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<．13分以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点． 当01a <<时，21211()10a a g a a a a-=--=>， 所以011x a <<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01(,)ex 上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=----=>≥（因为ln 1x x ≤-），且0()0f x <．所以函数()f x 在02(,)x a上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(0,1)．16分下面证明：ln 1x x ≤-．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（0x >）． 令()0t x '=，得1x =．当(0,1)x ∈时，()0t x '<；当(1,)x ∈+∞时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x ≤-成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x xa x +=，（0x >）有两个不等的实数解． 又因为ln 1x x ≤-，所以222ln 211(1)1x x x a x x x+-=≤=--+，（0x >）． 因为0x >时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当1a =时，1x =，即关于x 的方程2ln x xa x +=有且只有一个实数解．所以<<1a 0．13分（以下解法同解法1）20．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， 2分 整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．4分（2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =． 又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=． 6分当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列． 8分（3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=． 因为对于任意n ∈*N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立．10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2x x x ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取20]1n =+，则当10n n >时，原式得证．所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2,)+∞．16分21．A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE =， 所以21322x x x ⨯==，所以2x =． 2分取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．6分又因为2CE x ==，所以OCE △的面积1122S OH CE ==⨯ 10分B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．【解】设ab Acd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵–1A 的属于特征值的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，．4分因为点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，．8分解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 10分C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线.π()4θρ=∈R .被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB =． 10分解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， 3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②．6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，8分所以(0,0),(2,2)A B ，所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =． 10分D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，8分所以max 5y =，此时3sinx =． 22．【解】以{}1,,AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为=(1,2,2)AP ，=(2,0,1)AQ ，所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ <>==，．所以AP 与AQ ． 4分（2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为(,,)x n y z =，则0,0,AP AQ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即220,220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以(2,2,2)n λλ=--．6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒，所以111||=||||||2,AA AA AA cos n <>==n n ， 23．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．3分（2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2(,),04t E t t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，(0,1)F ，所以直线PF的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2(,)4t E t 到直线PF 的距离为3|2|t t t d +-= 5分联立方程2,420,x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =所以221212222164(4)1122tt AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 7分所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22||t t S t t ++=⨯=⨯．不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x 在)+∞上单调递增．所以当x 32min 4)()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分。
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海门中学2017届高三第二次教学质量调研数学试卷
一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合}3,2,0,1{,02|
-=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
>-=B x x x A ，则=B A ▲ ． 2.已知复数z 满足i z i =+)43(（i 为虚数单位），则=||z ▲ ． 3.函数x x x x f ln )23()(2
++=的零点的集合为 ▲ ．
4.若31tan ),2
,0(,=
∈απ
βα，21
)tan(=+βα，则=+βα2 ▲ ． 5.将函数)32sin(π+=x y 图像上的点),12
(t P π-，
向右平移)0(>k k 个单位长度得到点'
P ，若'
P 在函数x y 2sin =的图像上，则k 的最小值为 ▲ ．
6.已知函数⎩⎨⎧<++-≥+=0
),cos(0
,sin )(2
2x x x x x x x f α是奇函数，则=αcos ▲ ． 7.若双曲线),(1322
2
2R n m n
m y n m x ∈=--+的焦距为4，则实数n 的取值范围为 _____▲ ．
8.若实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-+≤+-4030
1y y x y x ，则y x -2)21(的最大值为 ▲ ． 9.设n S 是公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，若2
5242322a a a a +=+，且279=S ，则数列}{n a 的通项公式=n a ▲ ．
10.已知圆:C 042
2
=-+x y x 及点)2,1(),0,1(B A -，直线l 平行于AB ，与圆C 相交于
N M ,两点，AB MN =若直线l 与直线AB 在圆心C 的同侧，则直线l 的方程为
____▲ ．
11.若0,0>>b a ，且直线06=-+by ax 与直线052)3(=+--y x b 垂直，则b a 2
131
+的最小值为 ▲ ．
12.设R m ∈，若过点),2(m 存在三条直线与曲线x x y 33
-=相切，则实数m 的取值范围是 ▲ ．
13.在ABC ∆中，2=AB ，0
60=∠A ，点D 满足DB CD 2=，且3
37
=
AD ，则=∙ ▲ ．
14.在ABC ∆中，2
tan 2tan 2tan
222
C
B A ++的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）
在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若b
c A 23)3sin(=+π （1）求角B 的大小；
（2）若2,32==c b ，求ABC ∆的面积。
16. （本题满分14分） 已知函数x
x
x f -+=22)(
（1）求不等式4
17
)(>
x f 的解集； （2）若函数)()
()2()(R m x mf x f x g ∈-=的最小值为11-，求实数m 的值。
17. （本题满分14分）
如图，有一块矩形空地ABCD ，km AB 2=，km BC 4=，现规划在该空地四边形
AEFG 建一个商业区，其中顶点G F E A ,,,为商业区四个入口，且入口F 在边BC 上（不
包含顶点），入口G E ,分别在边AD AB ,上，EF AE =，GF AG =，矩形内其余区域均为绿化区。
（1）设tkm BF =，以点A 为坐标原点，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，如图所示。
①求直线GE 的方程 ②求t 的取值范围。
（2）设商业区域的面积为1S ，绿化区域的面积为2S ，问入口F 如何选址，即t 为何值时，可使得该商业区域的环境舒适度指数
1
2
S S 最大？
18. （本题满分16分）
在平面直角坐标系xoy 中，设),(00y x D 为椭圆:C 122
22=+b
y a x )0(>>b a 上的点，
直线x k y l x k y l 2211:,:==与圆D ：)0()()(2
2020>=-+-r r y y x x 均相切.
（1）若椭圆C 的两条准线间的距离为8，焦距为2 . ①求椭圆C 的方程； ②若2
6
=
r ，且21l l ⊥，求圆D 的方程. （2）若椭圆C 的离心率为
23，b r 5
5
2=
，求||21k k -的最小值.
19. （本题满分16分）已知数列{}n a 中，λλλ,),12(3,1*
11N n n a a a n n ∈-+=-=+为
常数。
（1） 设,n a b n n λ+=求证：数列{}n b 为等比数列；
（2） 求数列{}n a 的前n 项的和n S ；
（3） 若3S 为数列{}n S 的最小项，求实数λ的取值范围。
20. （本题满分16分）设R a ∈，函数e e x e
ex
x f (],,0(,)(2
∈=
为自然对数的底数），a x ax x g --=ln 2)(，
（1） 求实数)(x f 的值域；
（2） 若的最小值；
成立，求实数使a x g x 0)(],2
1,0(≤∈∃ （3） 若对于]00)()(],,0(00e x f x g x e x ，在（的方程关于=-∈∀总有两个不等实根，
求实数a 的取值范围。