G0053--04--华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十六章)第四讲：定积分与微积分基本定理

第四讲 定积分与微积分基本定理教学目的：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；了解微积分基本定理的含义，会用牛 顿- 莱布尼兹公式求简单的定积分；掌握定积分在几何及物理中的应用教学重点：理解掌握定积分的几何意义；会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；掌握定积分在几何及物理中的应用教学难点：会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分；掌握定积分在几何及物理中的应用【知识概要】知识点1 定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a x n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n nn i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()b aS f x dx =⎰。

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

指出：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b af x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：① 分割：n 等分区间[],a b ； ② 近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③ 求和：1()ni i b a f nξ=-∑； ④ 取极限：()1()limnbi an i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()b aS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()b aW F r dr =⎰知识点2 定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

指出：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数．知识点3 定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=ba ba dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质31212[()()]()()b b b aa af x f x d xf x d x f x d x ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质） 性质4()()()()bcbaacf x d x f x d x f x d x a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性） 性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则⎰≥badx x f 0)(（以下性质，仅供老师参考）推论1：)()(x g x f ≥，⎰⎰≥bab adx x g dx x f )()( ()b a <推论2：⎰⎰≥babadx x g dx x f )()( ()b a <性质6设m M ,为)(x f 在[]b a ,上的最大值、最小值，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7（中值定理）若[]b a x f ,)(∈，则至少有一[]b a ,∈ξ，使))(()(a b f dx x f b a-=⎰ξ.证：由性质6知，M dx x f ab m ba≤-≤⎰)(1，依介值定理，必有[]b a ,∈ξ，使)()(1ξf d x x f ab ba=-⎰，即))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ。

指出：① 推广：1212[()()()]()()()bb b b m m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰② 推广:121()()()()kbc c b aac c f x dx f x dx f x dx f x dx=+++⎰⎰⎰⎰知识点4 微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）一般地，如果)(x f 是在区间[a , b ]上的连续函数，且)()('x f x F =．则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰证：因为()x Φ=()xaf t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aa f t dt ⎰=0，即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a∴()x Φ=()F x -()F a =()x af t dt ⎰，令x b =，有()()()baf x dx F b F a =-⎰。

指出：为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bba af x dx F x F b F a ==-⎰一个函数的导数是惟一的，而其函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

求定积分的方法：（1）利用定义求定积分（定义法），（可操作性不强）（2）利用微积分基本定理求定积分，步骤如下：① 求被积函数)(x f 的一个原函数)(x F ； ② 计算)()(a F b F -． （3）利用定积分的几何意义求定积分：当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．如：定积分⎰-1021dx x 的几何意义是求单位圆面积的41，所以4112π=-⎰dx x ．【基础题典例解析】例1 （定积分的概念的应用）求20,0,22≤≤=-=x y x x y 围成图形面积解：1. 分割：在区间[]0,2上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,2等分成n 个小区间： 20,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，24,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()21,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 记第i 个区间为()212,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，其长度为 ()2122i i x n nn-∆=-=.分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆, 显然，1nii S S==∆∑.（2）近似代替： ∵22y x x =-，当n 很大，即x ∆很小时，在区间()212,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 上，可以认为函数22y x x =-的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点()21i n-处的函数值()()221212i i n n --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这样，在区间()212,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有()()221212i i i i S S x n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'⎢⎥∆≈∆=-∆ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2212122i i n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦①（3）求和： 由①，上图中阴影部分的面积n S 为()()211212122nnn ii i i i S S n n n ==⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'⎢⎥∆=∆=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑=111241ni i i n n n =--⎛⎫- ⎪⎝⎭∑=()()231811ni n i i n=⎡⎤---⎣⎦∑=()()()22223880121121n n n n++++--+++-⎡⎤⎣⎦ =()()()2311218826n n n n n nn----,从而得到S 的近似值 ()()()2311218826n n n n n n S S nn---≈=-（4）取极限 ()()()2311121884lim lim 263nn n n i n n n n n S S n n →∞→∞=---⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦∑. 例2 （用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分） （1）⎰++212)12(dx x x ；（2）⎰-π)cos (sin dx x x ；（3）⎰+-212)1(dx xx x ；（4）⎰-+0)e (cos πdx x x（5）⎰-12)(dx x x ；（6）⎰-2222sin ππdxx ； （7）⎰-21|23|dx x ．（8）0sin xdx π⎰； （9）2sin xdx ππ⎰； （10）20sin xdx π⎰。

解：（1）419312)12(121221232121212212=++=⋅++=++⎰⎰⎰⎰xxxdx x dx x dx x x ．（2）2sin )cos (cos sin )cos (sin 0=--=-=-⎰⎰⎰πππππxx xdx xdx dx x x ．（3）652ln 2ln 3723ln 321)1(12122122121221212-=+-=+-=+-=+-⎰⎰⎰⎰xxx dx xdx x xdx dx xx x ．（4）ππππππe11esin e cos )e (cos 0-=+=+=+-----⎰⎰⎰x xxxdx xdx dx x ．指出：计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值．计算⎰ba dx x f )(的关键是找到满足)()('x f x F =的函数)(x F ．其中)(x F 可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到．（5）61)2131()(0123102-=-=-⎰x x dx x x ．（6）先对2sin 2x 进行变式；0202222222sin 2122122cos 2122cos 12sinπππππππxxdx x dx dx xdx x ⋅⋅-⋅=-=-=⎰⎰⎰⎰-22)01()02(-=---=ππ．（7）去掉绝对值，分段积分．⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-22323122323121)23()23(|23||23||23|dxx dx x dx x dx x dx x21)3()3(23121232=-+-=x x x x ．（8）因为'(cos )sin x x -=，所以0sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰, （9）22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰， （10）2200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.指出：可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（如图) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（如图) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数； 当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（如图 ）且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．例3 （曲边图形的面积）计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.解：（1）分析两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。