新人教版八年级上册全等三角形补课讲义
第十二章 全等三角形 讲义 2021--2022学年人教版八年级数学上册
第十二章全等三角形讲义题型一、全等三角形的概念和性质例1、下列说法一定正确的是( )A．所有的等边三角形都是全等三角形B．全等三角形是指形状相同的两个三角形C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．全等三角形的周长和面积分别相等变式1、下列各组图形中，全等的一组是（）A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）变式2、下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等题型二、全等三角形的判定（SSS）例1、如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE.求证：∠DAB＝∠EAC．变式1、如图，AB DE =，AC DF =，BE CF =，求证：ABC DEF △≌△．变式2、如图，已知AB．ED．BC=DF．AF=EC．求证：（1．△ABC ≌△EDF．．2．BC ∥DF.例1、已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB ∥CD （ ），∴ ∠______＝∠______ （ ），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （ ）．∴ ∠______＝∠______ （ ）．∴ ______∥______（ ）．变式1、如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．（1）求证：△ABE ≌△CBD ；（2）证明：∠1=∠3．变式2、 如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD ＝AE ，AB ＝AC ，若∠B ＝20°，则∠C ＝_______．例1、如图，点B，C，E，F在同一直线上，BE=CF，AB∥DE，AC∥DF，求证：AC=DF .变式1、如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数．变式2、如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．题型五、全等三角形的判定（AAS）例1、如图，AF=CE,AD∥CB，∠B=∠D，求证：△ADF≌△CBE.若∠D=20°，∠C=25°，求∠AEB的度数.变式1、如图，AB CB ⊥，DC CB ⊥，E 、F 在BC 上，A D ∠=∠，BE CF =，求证：AF DE =.变式2、如图，已知∠1=∠2．∠3=∠4，求证：BC=BD．题型六、全等三角形的判定（HL ）例1、如图，∠A=∠D=90°．AC=DB．AC．DB 相交于点O ．求证：OB=OC．变式1、已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF =．求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥．变式2、已知：如图，AC与BD相交于点O，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为点C、D，且AC＝BD．求证：OA ＝OB．题型七、角平分线的性质与判定例1、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．变式1、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF，(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=20， BE=4，求AB的长.变式2、如图，在⊥ABC中，⊥C=90°，AD平分⊥CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E （1）求证：⊥ACD⊥⊥AED；（2）若⊥B=30°，CD=1，求BD的长．题型八、角平分线的性质的应用例1、 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和38，则△EDF 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．4D ．6变式1、到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三角形三条高线的交点B.三角形三条中线的交点C ．三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点变式2、已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，若AB=6，AC=8，ABC 28S ∆=，则DE=_______________题型九、全等三角形性质的应用例1、如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的一点，AB ＝DB ，BE 平分∠ABC ，交AC 边于点E ，连接DE ．（1）求证：∠AEB ＝∠DEB ；（2）若∠A ＝100°，∠C ＝50°，求∠AEB 的度数．变式1、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．变式2、王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．题型十、全等三角形综合问题=，例1、如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC CD 再作出BF的垂线DE，使点A，C，E在同一条直线上（如图所示），可以说明ABC≌EDC，得=，因此测得DE的长就是AB的长，判定ABC≌EDC，最恰当的理由是（）AB DEA．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角例2、如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．（1）求证：AF＝DE；（2）若OM平分∠EOF，求证：OM⊥EF．变式1、在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD＝AB+CD；变式2、如图,某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,最省事的方法是( )A．带①和②去 B．只带②去 C．只带③去 D．都带去题型十一、多次证明全等例1、如图，AC OB ⊥于点C ，BD OA ⊥于点D ，AC 与BD 交于点E ，OA OB =，求证：AE BE =．变式1、如图，已知B 、E 是线段AC 、AD 上的点，且AB AE =，AC AD =，BD与CE 相交于点F ．求证：AF 是CAD ∠的角平分线．题型十二、全等三角形提升题（选讲）例1、如图，点C 是AB 的中点，点E 是CD 上一点，AEC D ∠=∠，求证：AE BD =．变式1、如图，90ACB ︒∠=，AC BC =，过点C 作CF AE ⊥于F ，过点B 作BD BC ⊥交CF 延长线于点D ．求证：AE CD =．变式2、如图，2B C ∠=∠，AD 是BAC ∠的角平分线．求证：AC AB BD =+．变式3、如图，ABC △中，点D 是BC 的中点，延长BA 至E ，连接ED 交AC 于F ，若BE FC =．求证：AE AF =．。
人教版八年级上册第3讲 全等三角形讲义
第3讲全等形和全等三角形全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个图形经过平移、翻折、旋转后位置变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转后的图形全等。
重合的顶点叫做对应点：A→D，B→E，C→F；重合的边叫做对应边:AB→DE，AC→DF，BC→EF；重合的角叫做对应角：∠A→∠D，∠B→∠E，∠C→∠F ；记作△ABC≌DEF全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等。
即AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F【例1--1】:△ABC△△DEF，△A的对应角是△D，△B的对应角△E，则△C与______ 是对应角；AB与____ 是对应边，BC与_______ 是对应边，AC与_______ 是对应边.【例1--2】如图的两个三角形全等.∠B和∠D，∠BAC与∠DCA是对应角。
（1）若按对应顶点写在对应位置上，则应写为△ABC△__________.（2）找出对应边和对应角.【例1--3】如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F,若DE=7,BC=4,∠D=35°,∠C=60°(1)求线段AE的长。
(2)求∠DFA的度数。
【例1--4】如图,A、D.E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE，试说明：(1)BD=DE+CE；(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE?A B C A’ B’ C’全等三角形的判定Ⅰ。
边边边（SSS ）三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。
书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧===''''''C B BC C A AC B A AB∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（SSS ）【例2--1】：如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F 是AC 上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中全等三角形有( )A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对练习：如图,在△ABC 和△BDE 中,点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点 F. 若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB 等于( )A. ∠EDBC. 21∠AFB ABF【例2--2】如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=DF ，AC=DE ，BE=FC.（1）证明：△ABC△△DEF.（2）若△A=65°，求△D 的度数.【例2--3】如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接A 与BC 中点D 的支架。
人教版八年级上册数学第12章全等三角形讲义知识点+典型例题
BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。
八年级上讲义全等三角形
E C D
例 2、已知 AB∥DE，BC∥EF，D，C 在 AF 上，且 AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
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专题 2、找角相等的方法
利用平行直线性质 两直线平行的性质定理：1. 两直线平行，同位角相等 2. 两直线平行，内错角相等
例：已知：如图所示，A、B、C、D 在同一直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，试说明： （1）DF∥CE； （2）DE＝ CF．
求证：AD=BC
例 2、已知：如图，在 AB、AC 上各取一点，E、D，使 AE=AD，连结 BD，CE，BD 与 CE 交于 O，连结 AO，∠1=∠2， 求证：∠B=∠C
7
五、利用等量代换关系找出角相等
（1） A 公共角=B 公共角，则可以得出 A=B 已知：如图 13－4，AE=AC， AD=AB，∠EAC=∠DAB， 求证：△EAD≌△CAB．
3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA ) 如图：AD=AE，∠DAB=∠EAC，AM=AN。求证：AB=AC。
D M
A
E N
B
C
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4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 ( AAS ) 如图， 在 ABC 中， ∠B=∠C， D、 E 分别在 BC、 AC 边上。 且 ADE B ,AD=DE 求证：ADB ≌ DEC .
4
A
D B C
F
例2
如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AC 上的一点，∠1=∠2，∠3B 3 4 C
3、利用等量代换 （即 AB+公共边=DE+公共边，那么 AB=DE)
例 1 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
人教版八年级数学上册 12.1 全等三角形 讲义(word版,无答案)
人教版八年级数学上册 12.1 全等三角形讲义（word版，无答案）八年级上册12.1 全等三角形题型一确定全等三角形的对应边和对应角 1.根据对应角找其他对应元素---------------------------------------------------------------------------------------如图，△AFB 全等于△AEC，∠A=60°，∠B=26°，求∠BOC 的度数？题型二利用全等三角形的性质求线段的长---------------------------------------------------------------------------------------如图，△ACF≌△DBE，若AD＝11，BC＝7，求线段AB 的长．题型三利用全等三角形的性质证明线段或角相等---------------------------------------------------------------------------------------如图，AB＝AC，AD＝AE，B，D，E，C 在同一条直线上.(1)BD 与CE 相等吗？请说明理由. 小华的思考过程如下：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C 在△ABD 与△ACE 中，因为AB＝AC，∠B＝∠C，AD＝AE 所以△ABD≌△ACE，所以BD＝CE.请判断小华的思考过程是否正确，若正确，请说明每一步的理由；若不正确，请指出错在哪里？你的思考过程如何？请写出来，并说明每一步的理由；题型五利用全等三角形的性质判断线段的位置关系1.判定平行关系---------------------------------------------------------------------------------------如图，已知△ABC≌△DEF，小明观察图形后得出AB∥DE，EF∥CB 的结论，你能说明其中的道理吗？2.判定垂直关系---------------------------------------------------------------------------------------如图，Rt△ABC≌Rt△DEB，点A，B，D 在同一直线上，AC=1，DE=3，则△BCE 的面积为．题型六利用全等三角形的性质解决图形变换问题1.利用全等三角形的性质解决平移问题---------------------------------------------------------------------------------------如图，将直角△ABC 沿BC 方向平移得直角△DEF，其中AB=8，BE=10，DM=4，求阴影部分的面积．2.利用全等三角形的性质解决旋转问题---------------------------------------------------------------------------------------如图所示，将△ABC 绕点A 旋转之后得△ADE，则下列结论不正确的是（）A.BC=DEB.∠E=∠CC.∠EAC=∠BADD.∠B=∠E3.利用全等三角形的性质解决翻折问题---------------------------------------------------------------------------------------如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处.若∠BAF＝60°，则∠DAE 等于( ).A.15°B.30°C.45°D.60°题型七利用全等三角形的性质求图形的面积---------------------------------------------------------------------------------------如图，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC，若DE 交BC 的延长线于点E，且△ADC≌△ECD,试问：梯形ABCD 的面积和△BDE 的面积相等吗？说明理由.题型8 利用全等三角形的性质探究动点问题---------------------------------------------------------------------------------------如图所示，已知△ABC 中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 以a cm/s 的速度运动，设运动的时间为ts.（1）求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（2）若以C，P，Q 为顶点的三角形和以B，D，P 为顶点的三角形全等，且∠B 和∠C 是对应角，求a 的值.。
第十二章全等三角形常见全等三角形模型复习讲义人教版数学八年级上册
常见全等三角形模型（压轴）三角形全等的判定方法：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．证明三角形全等的基本思路：全等三角形中常见的基本模型：1手拉手模型①△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠BOE =60°；（3）OA平分∠EOF ．拓展图形：结论：（1）AD=BE ；（2）∠ACB=∠AOB ；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE ；（5）AP=BQ ；（6）CO平分∠AOE ；（7）OA=OB+OC；（8）OE=OC+OD．②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD ．③ABEF和ACHD均为正方形结论：（1）BD⊥CF；（2）BD=CF．2三垂直模型由△AEB≌△BDC导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△ECD导出AE=CD+DE AB=EC+CD BC=AB+CD3等腰直角三角形型定点是斜边中点，BF=AE（AF=CE），动点在两直角边上滚动的旋转全等：结论：（1）△BDF≌△ADE，△ADF≌△CDE；（2）DE⊥DF；（3）S四边形AFDE=1/2S△ABC．例1．在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）BH平分∠AHC；（5）△ABG≌△DBF；（6）等边△GBF；（7）GF∥AC.1．以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）说明BD=CE；（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；（3）若如图2放置，上面（1），（2）中的结论还成立吗？请简单说明理由．2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（a，0）（a＞0），点C是y轴上的一个动点，点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边△AOB（此时点P与点B重合）．（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；（2）若点P在第三象限，BP交x轴于点E，且∠ACO＝20°，求∠P AE的度数和E 点的坐标；（3）点C 在y 轴移动的过程中，若∠APB ＝30°，则点P 的横坐标为 ． 例2．如图1，OA ＝1，OB ＝3，以A 为直角顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ． （1）求点C 的坐标； （2）如图2，P 为y 轴负半轴上的一个动点，当点P 向下运动时，以P 点为直角顶点，P A 为腰作等腰Rt △APQ ，过Q 作QE ⊥x 轴于E 点，求PO ﹣QE 的值．1．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（ ）．A ．50B ．62C ．65D ．682．直线CD 经过的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且．（1）若直线CD 经过的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 （填“”，“”或“”号）；②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD 经过的外部，，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．3．（1）如图1，OA ＝3，OB ＝6，以点A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰直角△ABC ，则C 点的坐标为 ；（2）如图2，OA ＝3，P 为y 轴负半轴上的一个动点，若以P 为直角顶点，P A 为腰作等腰直角△APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP ﹣DE 的值；（3）如图3，点F 坐标为（﹣3，﹣3），点G （0，m ）在y 轴负半轴上，点H （n ，0）在x 轴的正半轴上，且FH ⊥FG ，求m +n 的值．4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在y 轴上，顶点C 在x 轴上，∠BAC=90°，AB=AC ，点E 为边AC 上一点，连接BE 交y 轴于点F ，交x 轴于点G ，作CD ⊥BE 交BCA ∠BEC CFA α∠=∠=∠BCA ∠EF BE AF -><=0180BCA <∠<α∠BCA ∠BCA ∠BCA α∠=∠A B CEF D D A BC E F AD F CE B 图1 图2 图3BE延长线于点D，且CD=BF，连接AD，CF.（1）求证：△ABF≌△ACD；（2）若∠ACF=2∠CBF，求证：∠ACO=∠FCO；（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为（0，2），求OC的长.5．已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC中点，AF⊥BD 于E，交BC于F，连接DF．求证：∠ADB=∠CDF．例3．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC∆边AB、BC上的动点，点P从顶点A向点B运动，点Q从顶点B同时出发向点C运动，且它们的速度都为1/cm s，∠变化吗？若变化，则（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ说明理由，若不变，则求出它的度数；∆是直角三角形？（2）何时PBQ（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP ∠变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．交点为M，则CMQ1．如图，点G、H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点，且BG＝CH，AG 交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．例4．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，如果点M、N 分别在线段AB、AC上移动，并在移动过程中始终保持AN=BM．（1）求证：△ANO≌△BMO；（2）求证：OM⊥ON．（3）当M、N分别在线段AB、AC上移动时，四边形AMON的面积如何变化？1．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB．AC于M．N，求证：DM=DN；（2）若DM⊥DN分别和BA．AC延长线交于M．N，问DM和DN有何数量关系，并证明．2．将一副三角板按如图所示的方式摆放，AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高，另一块三角板DMN的直角顶点与点D重合，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．（1）请判别△DEF的形状．并证明你的结论；（2）若BC＝4，求四边形AEDF的面积．。
八年级数学辅导讲义——全等三角形
八年级数学辅导讲义教学内容： 【基础知识回顾】知识点一：全等三角形的概念： .知识点二： 全等三角形的性质：（1） . （2） . 知识点三：判定两个三角形全等的方法.（1） （2） （3）（4） （5） （只对 来说） 知识点四：角平分线的性质及判定.（1）角平分线的性质： . （2）角平分线的判定： .（3）三角形三个内角平分线的性质： .ODCBAEDCBA【考点例析】考点一：考查全等三角形的性质定理及判定定理.例1 如图，AC 和BD 相交于点O ，BO =DO ，AO =CO ， 则图中全等三角形共有多少对（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对考点二：考查全等三角形与垂直平分线的应用.例2 如图所示，在ABC ∆中，AC AB =，BD 平分ABC ∠， AD BC BD ==，DE AB ⊥.（1）求A ∠的度数；（2）求证：AE BE =.考点三：全等三角形与等边三角形的综合运用.例3 已知ABC ∆和DEB ∆为等边三角形，点B D A 、、在同一直线上，如图1所示. （1）求证：AE DC =；（2）若AE BN CD BM ⊥⊥，，垂足分别为N M 、，如图2，求证：BMN ∆是等边三角形.例4 如图所示，ABC ∆为等边三角形，D 为BC 边上的一点，且AC DF AB DE ⊥⊥，，若AB C ∆的高为32，求DF DE +的值. 考点四：角平分线与全等三角形的综合运用.例5 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，B C ∠=∠2，求证：CD AC AB +=. 考点五：等腰三角形与全等三角形的综合运用.例 6 如图所示，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，点,D E 分别在AB 和AC 的延长线上，且BD CE =，DE 交BC 于点G ，求证：DG GE =.考点六：考查中线与全等三角形的综合运用.例7 如图所示，AD 是ABC ∆的中线，求证：AC AB AD +<2。
2024年度全新八年级上册数学人教版完整课程全等三角形
03
题目3解析：根据全等三角形的性质 ，当两个三角形全等时，它们的对应 边相等。由已知条件△ABC≌△DEF， 且△ABC的周长为12，我们可以得到 △DEF的周长也为12。又因为AB=3， EF=4，所以我们可以列出方程： AC+BC+3=12和DF+EF+4=12。由 于△ABC≌△DEF，所以AC=DF。将 AC=DF代入方程中解得AC=5。
AAS全等
两角和其中一个角的对边对应 相等的两个三角形全等。
SSS全等
三边对应相等的两个三角形全 等。
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ASA全等
两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等。
HL全等
在直角三角形中，斜边和一条 直角边对应相等的两个三角形 全等。
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03 全等三角形证明方法及 应用举例
2024/3/23
2024/3/23
条件
两个等腰三角形，如果它们的腰和底 边分别对应相等，那么这两个等腰三 角形全等。
证明
可以通过等腰三角形的性质（两腰相 等、两底角相等）以及三角形的全等 判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS） 来证明两个三角形全等。
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其他特殊类型全等三角形探讨
2024/3/23
等边三角形
三个边都相等的三角形叫做等边三角形。两个等边三角形，如果它们的三边分别对应相等 ，那么这两个等边三角形全等。
全新八年级上册数学 人教版完整课程全等 三角形
2024/3/23
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目录
CONTENTS
• 课程介绍与目标 • 全等三角形基本概念与性质 • 全等三角形证明方法及应用举例 • 特殊类型全等三角形研究 • 复杂图形中全等三角形的应用与解题技
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第九讲全等三角形复习【知识梳理】 一、全等三角形② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 一般情况下，证明一个几何中的命题有以下步骤：（1）读题：明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（4）、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角 （5）、先证明缺少的条件 （6）、证明两个三角形全等（要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论）【题型一】公共边类型的全等三角形A D CB A BCAD注意隐含条件AD=AD 隐含条件AB=BA 隐含条件AC=CA【题型二】边加减类型的全等三角形【题型三】公共角类型的全等三角形【题型四】对顶角类型的全等三角形图形1 图形2题型五】旋转类型的全等三角形【题型六】大山型的全等三角形A DB E FC (1)AB F EC D(4)A B F E D C(2) A B E F D C (3) ∵ BE=CF ∴ BE-EF=CF-EF ∴ BF=CE ∵ BE=CF ∴ BE+EF=CF+EF∴ BF=CE∵ BE=CF∴ BE+EF=CF+EF ∴ BF=CE ∵ BE=CF∴ BE-EF=CF-EF ∴ BF=CE A B过关题1、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )例1. 如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：∠B=∠C 。
例2. 如图，在ABC ∆中, 90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。
2、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）例1．例4. 如图，在ABC ∆中,M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 。
求证：MB=MC例2.如图,AD 与BC 相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：（1）DBC CAD ∠=∠ （2）∠CAB ＝∠DBC例3.已知：如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两条边上的高，在BE 上截取BD=AC,在CF 的延长线上截取CG=AB ，连接AD 、AG 。
求证：AG=AD.F（图22）E D CB A例4.如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB=CD ，延长CB 至E ，使EB=AD ，连接AE 。
求证：AE=AC 。
中线倍长法例5.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，且CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线。
求证：AC=2AE 。
例6、AD 是△ABC 的中线，AB=8，AC=6，求AD 的取值范围。
练习：1.如图，AB=AC,BE 和CD 相交于P ，PB=PC,求证：（1）∠B=∠C （2）PD=PE.2.已知：如图点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD=BE.求证：∠D=∠E.3.已知：E 、F 是AB 上的两点，AE=BF ，又AC ∥DB ，且AC=DB.求证：CF=DE 。
4.如图：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，过AD 的中点E 作EF ⊥AD 交BC 的延长线于F ，连结AF 。
求证：∠B=∠CAFA CB E D A BC DE F A BEDCE A3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA )例1、如图：AD=AE ，∠DAB=∠EAC ，AM=AN 。
求证：AB=AC 。
例2.如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于F （1） 求证：ABE ∆≌FCE ∆ （2） 若BC ⊥AB,BC=10,AB=12,求AF.4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 ( AAS ) 例1、如图，在ABC ∆中，∠B=∠C ，D 、E 分别在BC 、AC 边上。
且B ADE ∠=∠,AD=DE 求证：ADB ∆≌DEC ∆.例2、如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AE ⊥GD 于E ，BF ⊥CD 交CD的延长线于F 。
求证：AE=EF+BF 。
例3．如图，AB ∥EF ∥DC ，∠ABC ＝900，AB ＝DC ，那么图中有全等三角形 对．N M E D C B A F （图18）ED C BA5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（H L ）例1、如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF=AC,FD=CD.求证：BE ⊥AC例2、如图：AD=BC ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，DE=BF 。
求证：（1）AF=CE ，（2）AB ∥CD 。
例3、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N 。
（1）求证：MN=AM+BN 。
（2）若过点C 在△ABC 内作直线MN ，AM ⊥MN于M ，BN ⊥MN 于N ，则AM 、BN 与MN 之间有什么关系？请说明理由。
1、 如图11所示，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交 于E ，CE 的连线交AP 于D 。
求证：AD+BC=AB2、小冬不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标 有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去，能配一块 与原来一样大小的三角形？应该带 （ ）A. 第1块B. 第2块C. 第3块D. 第4块角的平分线的性质F （图24）EDC BA NMCBA NMCBAC图11例1、如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。
求证：点O 在∠A 的平分线上。
例2、如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D 。
求证：点D 在∠A 的平分线上。
例3、如图：在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ，DF 分别垂直AB ，AC ，垂足为E ，F 。
求证：EB=FC 。
例4、如图：在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABD=12∠ABC ，BC ⊥DF ，垂足为F ，AF 交BD 于E 。
求证：AE=EF 。
例5、如图， 90=∠=∠C B ，M 是BC 中点，DM 平分ADC ∠。
求证：AM 平分DAB ∠例6、如图，BE=CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ， 且DB=DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线练习：1、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 是∠ABC 的平分线， AF ∥DC ，连接AC 、CF ，求证：CA 是∠DCF 的平分线。
O CB A CB AFE D C B AF EDC B A B DCEFA FDA2、如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠F AC .DF CAE3、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .4、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，求△DEB 的周长。
DC AEB【重难点突破】【例1】、 如图：AC ⊥BC,AD ⊥BD,AD=BC,CE ⊥AB,DF ⊥AB,垂足分别是E,F ，求证：CE=DF.【例2】、如图，AB ∥DE ，AB=DE ，∠1=∠2.求证：BG=DF.【例3】、已知：如图(1)，AB=AD ，BC=DE ，∠1=∠2.求证：(1)AC=AE ； (2) ∠CAE=∠CDE.【例4】、已知，如图7， AD 为△ABC 的高， E 为AC 边上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD. 求证：（1）BE ⊥AC ；（2）若把条件BF=AC 和结论BE ⊥AC 互换，那么这个命题成立吗？目标检测1. 已知B,E,F,D 在同一条直线上，AB=CD, ∠B=∠D,BF=DE. 求证：（1）AE=CF, (2) AE ∥CF ，(3) ∠AFE=∠CEF2、（2011湖南衡阳，21，6分）如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足分别为点E 、F ．求证：BE =CF ．C D AE FB3.如图，已知：E D ∠=∠，AM EM CN DN ===.求证：点B 是线段AC 的中点.4、（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．5.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．6.如图所示：在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC= 90,E 是BC的中点，EF ⊥AB,垂足为F ，且AB=DE.（1）求证：BD=BC; （2）若BD=8cm ，求AC 的长. ABCDEAF D7、已知A 、C 、B 共线，△ACD 和△BCE 为等边三角形，直线BD 、AE 交与F ，AE 、CD 相较于点M ， BD 、AE 相较于点N 。
如图1，① 求证：AE=BD② 求∠AFB 的度数③ 求证：CM=CN④ 求证：MN ∥AB⑤ 求线段BF 、EF 、CF 的关系 添加辅助线构造全等三角形1．通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等1．已知：如图AB=AD ，CB=CD ，(1)求证：∠B=∠D ．(2)若AE=AF试猜想CE 与CF 的大小关系并证明．练习：(1)已知：如图AB=CD ，AD=BC ，求证：∠A=∠C ．(2)己知：如图，∠B=∠C ，求证：AB=AC2．通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。