吉林省实验中学2016届高三上学期第四次模拟考试数学(文)试题

吉林省实验中学2015-2016届高三年级第四次模拟考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 )(B A C u ＝ ( ) A.{}134，， B.{}34， C. {}3 D. {}4 2．已知i 是虚数单位，则31ii+-= ( ) A . 12i - B. 2i - C. 2i + D . 12i + 3．若条件:12p x +>，条件:q x a >，且p q ⌝⌝是的充分不必要条件，则a 的取值范 围 ( ) A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤-4.下列关系式中正确的是 （ ）A ．0sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．0sin11sin168cos10<< D ．0sin168cos10sin11<<5．=+==y x yx11,19672则( ) A ．2 B ．21 C ．3 D ．31 6.已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z=-2x+y 的最大值是 ( )A .-1 B.-2 C.-5 D.11xyO ∙7．若02πθ-<<，且sin 3P θ=，()3sin Q θ=，()13sin R θ=，则,,P Q R 大小关系为A. R Q P <<B. Q R P <<C. P Q R <<D. R P Q << 8．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( ) A.245 B.285C ．5D ．69. e 1、e 2是不共线的向量，a ＝e 1＋k e 2，b ＝k e 1＋e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 （ ） A ．0B ．－1C ．－2D ．±110.将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是 ( ) A ．(π2，0) B ．(π4，0) C ．(π9，0) D ．(π16，0)11．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是 ( ) A ．()()sin cos f A f B > B ．()()sin cos f A f B < C. ()()sin sin f A f B > D ．()()cos cos f A f B < 12．已知直线)0)(1(>+=k x k y 与函数x y sin =的图象恰有四个公共点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D ．其中4321x x x x <<<，则有 ( )A.1sin 4=xB.444cos )1(sin x x x +=C.44cos sin x k x =D.444tan )1(sin x x x +=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

第（22）题--第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.))4f (,4(,tan 2)(ππ在x x f +=处的切线方程 14．)23(log 2x y -=的单调递增区间 ．15.边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，则=∙BD AE16．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }；③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点； ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图像；⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c已知b ac B C A -=-2cos cos 2cos ．（Ⅰ）求A C sin sin 的值； （Ⅱ）若cosB=41，b =2，ABC ∆的面积S 。

18．(本题满分12分)已知单调递增的等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a是2a 和4a 的等差中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ） 令n n n a a b 21log =，n n b b b S +++= 21，求使5021>⋅++n n n S 成立的最小的正整数n ．19.(本题满分12分)已知函数)2cos(sin 2)sin (cos )(2x x x x x f --+=π（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期;（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合； （Ⅲ）求函数()f x 单调递增区间。

20(本题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AB ⊥BB 1，AC ＝BC＝BB 1＝2，D 为AB 的中点，且CD ⊥DA 1. （Ⅰ）求证：BB 1⊥平面ABC ； （Ⅱ）求证：BC 1∥平面CA 1D ； （Ⅲ）求三棱锥B 1－A 1DC 的体积．21．（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈． （Ⅰ）当2a =时，求曲线f （x ）在x=1处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数h （x ）的单调区间； （Ⅲ）若1()ag x x+=-，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x 0，使得f （x 0）≤g （x 0）成立，求a 的取值范围．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方 框涂黑。

22（本小题满分10分）.如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦， 且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F . （Ⅰ）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （Ⅱ）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．23（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.（Ⅰ）求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．24．（本小题满分10分）设函数f (x )＝|x －1|＋12|x －3|.（Ⅰ）求不等式f (x )>2的解集；（Ⅱ）若不等式f (x )≤a (x ＋12)的解集非空，求实数a 的取值范围．吉林省实验中学2015-2016届高三年级第四次模拟考试数学试卷（文科）答案DDACB ，AACDA ，AB二、填空题： 13.)4(23π-=-x y 14单调递增区间 )23,1( 15.=∙BD AE 21- 16． ①④ 三、． 17．略18.(1) 设{}n a 的公比为q ，由已知，得⎩⎨⎧+=+=++423432)2(228a a a a a a ⇒⎩⎨⎧=+=208423a a a ⇒⎩⎨⎧=+=20831121q a q a q a ⇒⎩⎨⎧==221q a ， ∴ n n n q a a 211==-；(2) n n n n n b 22log 221⋅-==，设 n n n T 223222132⨯++⨯+⨯+⨯= ……………………… ① 则 13222)1(22212+⨯+⨯-++⨯+⨯=n n n n n T ……… ②①－② 得 22)1(2)222(112-⨯--=⨯-+++=-++n n n n n n T ∴ 22)1(1-⨯--=-=+n n n n T S 故 5021>⋅++n n n S ∴ 50222)1(11>⨯+-⨯--++n n n n ， 即262>n， ∴ 满足不等式的最小的正整数n 为5． 19.略20解析 (1)证明：∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB.又∵CD ⊥DA 1， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1. ∴CD ⊥BB 1.又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ， ∴BB 1⊥平面ABC .(2)证明：连接BC 1，连接AC 1交CA 1于E ，连接DE ，易知E 是AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，则DE ∥BC 1. 又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .(3)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ， 故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高． 在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2， ∴AB ＝22，CD ＝ 2.又BB 1＝2，∴VB 1－A 1DC ＝VC －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CD ＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝43.21. 解：（Ⅰ）当a=2时，f （x ）=x ﹣2lnx ，f （1）=1，切点（1，1）， ∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f （x ）在点（1，1）处的切线方程为：y ﹣1=﹣（x ﹣1），即x+y ﹣2=0． （Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a ＞﹣1时，令h′（x ）＞0，∵x ＞0，∴x ＞1+a 令h′（x ）＜0，∵x ＞0，∴0＜x ＜1+a ． ②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x ）＞0恒成立，综上：当a ＞﹣1时，h （x ）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增． 当a≤﹣1时，h （x ）在（0，+∞）上单调递增． （Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x 0，使得f （x 0）≤g （x 0）成立， 即在[1，e]上存在一点x 0，使得h （x 0）≤0， 即函数在[1，e]上的最小值[h （x ）]min ≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e ，即a≥e ﹣1时，h （x ）在[1，e]上单调递减， ∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h （x ）在[1，e]上单调递增， ∴[h （x ）]min =h （1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e ，即0＜a ＜e ﹣1时，∴[h （x ）]min =h （1+a ）=2+a ﹣aln （1+a ）≤0， ∵0＜ln （1+a ）＜1，∴0＜aln （1+a ）＜a ，∴h （1+a ）＞2 此时不存在x 0使h （x 0）≤0成立． 综上可得所求a 的范围是：或a≤﹣2．22．解析 (1)证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE ＝∠ACB .因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB . 所以∠ABC ＝∠BAE . 所以AE ∥BC .因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形． (2)因为AE 与圆相切于点A ， 所以AE 2＝EB ·(EB ＋BD )． 即62＝EB ·(EB ＋5)，解得BE ＝4. 根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6. 设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CFBF. 即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83. 23．解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ， 标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0.所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π)．24．答案 (1)(－∞，13)∪(3，＋∞)(2)(－∞，－32)∪[47，＋∞)解析 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧32x －52>2，x >3，解得不等式的解集为(－∞，13)∪(3，＋∞)．(2)f (x )＝|x －1|＋12|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋52，x ≤1，12x ＋12，1<x ≤3，32x －52，x>3.f (x )图像如图所示，其中A (1,1)，B (3,2)，直线y ＝a (x ＋12)绕点(－12，0)旋转，由图可得不等式f (x )≤a (x ＋12)的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－32)∪[47，＋∞)．。