1.4.2正弦函数,余弦函数的性质.doc
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
【正、余弦函数的定义域、值域】 正弦曲线：
余弦曲线：
由正、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R ，值域都 是 ．对于正弦函数 y＝sin x，x∈R 有： 当且仅当 x＝ 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝ 时，取得最小值－1. 对于余弦函数 y＝cos x，x∈R 有： 当且仅当 x＝ 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝ 时，取得最小值－1. 【正、余弦函数的单调性】 正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是 2π，首先研究它们在一个周期区间上函 数值的变化情况，再推广到整个定义域． π 3π 函数 y＝sin x，x∈ －2， 2 的图象如图所示：
2
1．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函 数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 2．求三角函数值域或最值的常用求法 将 y 表示成以 sin x(或 cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函 数的单调性等来确定 y 的范围. 【当堂训练】
例 1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． π 23 π 17 (1)sin 与 cos 156° ；(3)cos －18与 sin－10；(2)sin 196° － 5 π与 cos－ 4 π.
小结 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单 调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
3
鸡西市第十九中学高一数学组
训练 1
比较下列各组数的大小． 37 49 － π与 sin π；(2)cos 870° (1) sin 与 sin 980° . 6 3
例2
1 π 求函数 y＝1＋sin －2x＋4，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三 正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
∴f(x)为奇函数．
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探究三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[例 4] (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π 的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
[答案] D
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝ 23.
∴f53π＝
3 2.
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方法技巧 三角函数的周期性、奇偶性都是函数的整体性，两者结合起来，可使 更全面的研究函数图象特征．
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延伸探究 5.(1)若将例 3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变， 结果如何？
而 z＋2π＝2x＋π3＋2π＝2(x＋π)＋π3，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x＋π，函
数值才能重复取得，所以函数 f(x)＝sin2x＋π3(x∈R)的最小正周期是 π.
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2．将本例(2)改为：求函数 y＝|1＋sin x|的最小正周期． 解析：∵y＝|1＋sin x|＝1＋sin x，∴T＝2π.
f(5)＝cos53π＝12，f(6)＝cos 2π＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理可得，每连续六项的和均为 0，
即周期为 6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝12－12－1＝－1. [答案] －1
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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(三)单调性
观察图象可知： 当 x∈ 时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1 增大到 1； 当 x∈ 时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由 1 减小到－1. 推广到整个定义域可得： 当 x∈ 时，余弦函数 y＝cos x 是增函数，函数值由－1 增大到 1； 当 x∈ 时，余弦函数 y＝cos x 是减函数，函数值由 1 减小到－1. 【正弦函数、余弦函数的性质】 函数 y＝sin x y＝cos x
4
18
) _____ sin(
10
)
（2） cos(
23 17 ) _____ cos( ) 5 4
3. y sin( x ), （0 ）是R上的偶函数，则 的值是 _______ π x＋ 的一个递减区间是 4. 函数 f(x)＝sin 6 5. 求y sin x sin x的值域 是
鸡西014 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
1.4.2 学习 目标 重点 难点
正弦函数、余弦函数的性质(三)单调性
1．掌握 y＝sin x，y＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最 值．2．掌握 y＝sin x，y＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小． 3．会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间． 在研究正弦、余弦函数的性质时，要充分借助正弦、余弦曲线，注意 数形结合 思想方法的运用．
【正、余弦函数的定义域、值域】 在下图中利用平移画出正弦曲线
在下图中利用平移画出余弦曲线
观察图像填下列各空： 由正、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R ，值域都 是 ．对于正弦函数 y＝sin x，x∈R 有： 当且仅当 x＝ 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝ 时，取得最小值－1. 对于余弦函数 y＝cos x，x∈R 有： 当且仅当 x＝ 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝ 时，取得最小值－1. 【正、余弦函数的单调性】 正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是 2π，首先研究它们在一个周期区间上函 数值的变化情况，再推广到整个定义域． π 3π 如图补全函数 y＝sin x，x∈ －2， 2 的图象：
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
12/9/2021
第二十一页，共三十三页。
已知函数 f(x)＝sin2x＋cos x＋43x∈0，23π，则
函数 f(x)的值域为( )
A．[1,2]
B．－14，74
C.－34，1
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第九页，共x＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数(hánshù)求 单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体 “z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝ Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．
D．cos－π6＜cos－π5
【答案】C
12/9/2021
第六页，共三十三页。
3 ． (2018 年 内 蒙 古 呼 伦 贝 尔 二 模 ) 若 函 数 f(x) ＝ 1 ＋ asin ax＋π6 (a ＞ 0) 的 最 大 值 为 3 ， 则 f(x) 的 最 小 正 周 期 为 ________．
求最值．
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第二十七页，共三十三页。
1．函数 y＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.－π4，4π C.0，π2 【答案】C
B．π4，34π D．π2，π
【解析】若函数 y＝cos 2x 递减，应有 2kπ≤2x≤π＋2kπ，k
∈Z，即 kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，令 k＝0 可得 0≤x≤π2.
第2课时(kèshí) 正弦函数、余弦函数的性质(二)
12/9/2021
第一页，共三十三页。
目标定位
重点难点
1.借助图象理解正、余弦函数在
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性： 2x＋5π； (1)f(x)＝ 2sin 2 (2)f(x)＝ 2sin x－1.
解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于 原点对称， 2x＋5π＝ 2cos 2x， 且 f(x)＝ 2sin 2 显然有 f(－x)＝ 2cos(－2x)＝ 2cos 2x＝f(x)， 2x＋5π是偶函数； ∴函数 f(x)＝ 2sin 2
－π＋2kπ，π＋2kπ ，(k∈Z) 增函数 2 2 (k∈Z) 减函数 增函数 减函数
π＋2kπ，3π＋2kπ， 2 2
思考应用 1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦
函数在第一象限是增函数”？
解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函
数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( 0，π π，π A. B. 2 2 π，3π 3π，π C. D. 2 2
)
解析：由y＝sinx，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象知：y
＝sin x和y＝cos x的均为减函数的
三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos 2x；
1－sin x－cos x (2)f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x
分析：本题考查函数的奇偶性问题． 解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关 于原点对称， 且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x ＋cos 2x＝f(x)，
基础梳理 一、正弦函数和余弦函数的单调性
1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)
2π T= = 4π 3) y = 2 sin( x − ), x ∈ R 1 2 6 2 函数y = A sin(ω x + ϕ )及y = A cos(ω x + ϕ ), x ∈ R 2π ( A, ω , ϕ为常数, A ≠ 0, ω > 0)的周期T = ω
π
2π T= =π 2
课堂小结： 课堂小结：
1. 定义法 公式法： 2. 公式法：
周期求法
一般地， 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数， 为常数， 的周期是: 且 A≠0, ω≠0 ）的周期是:
T= 2π
ω
(ω ≠ 0)
1、求下列函数的周期或函数值 、
利用正弦函数和余弦函数的图象， 例2.利用正弦函数和余弦函数的图象， 利用正弦函数和余弦函数的图象 求满足下列条件的x的集合 的集合： 求满足下列条件的 的集合：
2 (2) cos x ≤ 1 ，x ∈ (0, 5π ) (1) sin x ≥ 2 2 2
例3.求下列函数的定义域： 3.求下列函数的定义域： 求下列函数的定义域
π
2
,1 )
最低点： 最低点： ( 3π
2
,−1)
轴的交点： 与x轴的交点： (0, 0) (π , 0) (2π , 0) 轴的交点
y
-
y = cos x
x ∈ [0, 2π ]
1-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
的图象上，关键点： 在函数 y = cos x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上，关键点： 最高点： 最高点： (0,1) (2π ,1) 轴的交点： 与x轴的交点： ( 轴的交点 最低点： 最低点：
正弦函数、余弦函数的性质(一)
(2) 令 z 2x，x R，则 y sin z，z R
Q sin(z 2 ) sin z sin(2x 2 ) sin 2x 即 sin 2( x ) sin 2x，x R
y sin 2x 的周期是 ；
(3) y 2sin( 1 x )，x R .
26
解：令 z 1 x ，x R，则 y 2sin z，z R
有界性的条件．
例4 求函数 y 2sin x 1 的值域.
sin x 3
解：由已知得 (2 y)sin x 3 y 1
y 2， sin x 3 y 1
2 y 1 sin x 1 | 3 y 1 | 1 | 3 y 1 | | 2 y |
2 y
即 (3 y 1)2 (2 y)2 (4 y 1)(2 y 3) 0
y
y sin x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
y
y cos x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
观察正弦曲线与余弦曲线，可以得出以下结论： 1. 正弦函数和余弦函数的定义域、值域
y=sinx和y=cosx的定义域都是 ____R______. y=sinx和y=cosx的值域都是 __[－__1_，__1_]__.
即x∈[2kπ,2(k+1)π)(k∈Z)上的图象是完全相同的. 即自变量每相差2π，图象就“周而复始”重复出现. （这一特性从正弦线、余弦线的变化规律中也可以看出）
y
y sin x , x R
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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质<第一课时>
班级姓名
【教学目标】1、通过创设情境,如单摆运动、四季变化等,让学生感知周期现象;
2、理解周期函数的概念;
3、能熟练地求出简单三角函数的周期。
4、能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.
【教学重点】正弦、余弦函数的主要性质(包括周期性、定义域和值域);
【教学难点】正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.
【教学过程】
一、复习巩固
1、画出正弦函数和余弦函数图象。
2
3、下列各等式是否成立？为什么？
（1）2 cosx=3，（2）sin2x=0.5
4、 求下列函数的定义域:(1)y=x
sin 11
+; (2)y=cosx .
二、预习提案（阅读教材第34—35页内容，完成以下问题：）
1、什么是周期函数？什么是函数周期？
注意：①定义域内的每一个x 都有ƒ（x+T ）= ƒ（x ）。
②定义中的T 为非零常数，即周期不能为0。
<小试身手>等式sin(30º+120º)=sin30º是否成立？如果这个等式成立，能否说120º是正弦函数y=sinx ，x ∈R .的一个周期？为什么？
2、什么是最小正周期？
3
<注>在我们学习的三角函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周期.
三、探究新课
例1 求下列函数的周期:
(1)y=3cosx,x ∈R ;(2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6
π
),x ∈R .
练习：求下列函数的周期:
（1）x y 43
sin =，x ∈R （2）x y 4cos =，x ∈R （3）x y cos 21=，x ∈R （4）)4
31sin(π
+=x y ，x ∈R
四、规律总结
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos (ωx+φ), (其中A 、ω、φ为常数,A ≠0,ω≠0,x ∈R)的周期为T=
ω
π
2.可以按照如下的方法求它的周期:
y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ω(x+ω
π
2)+φ］=Asin(ωx+φ). 于是有f(x+ωπ2)=f(x),所以其周期为ω
π
2.
五、感悟思考
六、作业布置 习题1.4A 组 第3题
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质<第二课时>
班级姓名
【教学目标】1、会利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域。
2、能根据正弦函数和余弦函数图象确定相应的对称轴、对称中心。
3、通过图象直观理解奇偶性、单调性，并能正确确定弦函数的单调区间。
【教学重点】正弦、余弦函数的主要性质(包括单调性、值域、奇偶性、对称性)。
【教学难点】利用正、余弦函数的单调区间求与弦函数有关的单调区间及函数值域。
【教学过程】
一、复习相关知识
1
2
3、什么是中心对称、轴对称图形？什么是对称中心、对称轴?
二、预习提案（阅读教材第37—38页内容，完成以下问题：）
1、观察正余弦曲线：
知：正弦函数是 函数，余弦函数是 函数。
并用奇偶函数的定义加以证明。
2、判断下列函数的奇偶性：①)(x f =x sin , ②)(x f =x cos , ③x x f sin )(=， ④x x f cos )(=。
3、观察函数y=sinx,x ∈［-
2π,2
3π］的图象，填写下表:
小结：正弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是增函数,其值从-1
增大到1;
在每一个闭区间 (k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.
4、观察函数y=cosx,x∈[-π,π]的图象，填写下表:
小结：余弦函数在每一个闭区间(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
5、由上可知：正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.最值情况如下：
Ⅰ、对于正弦函数y=sinx(x∈R),
(1)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最大值1.
(2)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最小值-1.
Ⅱ、对于余弦函数y=cosx(x∈R),
(1)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最大值1.
(2)当且仅当x= ,k∈Z时,取得最小值-1.
6、观察正余弦曲线，解读正、余弦函数的对称性：
正、余弦函数既是轴对称图形又是中心对称图形。
三、探究新课
例1 下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.
(1)y=cosx+1,x∈R; (2)y=-3sin2x,x∈R.
练习1、请写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=2cos
3
x
+1, x ∈R ; (2)y=2sinx, x ∈R .
例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小: (1)sin(-
18π)与sin(-10π); (2)cos(523π-)与cos(4
17π-).
练习2、教材第41页第5题
例3 函数y=sin(
21x+3
π
),x ∈[-2π,2π]的单调递增区间.
练习3、教材第40-41页第4、6题
四、课堂小结
1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法.
2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 五、作业布置 习题1.4 A 组2。
（2） （4）；4。
（2） （4）；5。
（2）。