数列综合一
数列综合训练题1
数列综合训练题班级 姓名1、已知{}n a ，{}n b 都是等比数列，那么（ ）A ．{}{}n n n n b a b a ∙+,都一定是等比数列。
B ．{}n n b a +一定是等比数列，但{}n n b a ∙不一定是等比数列C ．{}n n b a +不一定是等比数列，但{}n n b a ∙一定是等比数列D ．{}n n b a +，{}n n b a ∙都不一定是等比数列2、数列0，0，0，…，0，…（ ）A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列3、某种细菌在培养过程中，每20min 分裂一次（一个分裂成两个），经过3h ， 1个这种细菌可以繁殖成（ ）A ．511个B ．512个C ．1 023个D ．1 024个 4、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为（ ）A ．130B ．170C ．210D ．2605、在2001年到2004年期间，甲每年5月1日到银行存入a 元的一年定期储蓄，若年利率q 保持不变，且每年到期的本息均自动转为新一年定期，到2005年5月1日，甲将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ）A ．5)1(q a +B ．4)1(q a +C ．[]q q q a )1()1(5+-+D ．[]q q q a )1()1(4+-+ 6、等比数列{}n a 中，48,1253==a a ，那么=7a7、已知数列{}n a 满足条件：*+∈+==N n a a a a n n n (22,111），它的第四项是 。
8、数列{}n a 中，3,511+==+n n a a a ，那么这个数列的通项公式是9、等差数列{}n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 。
10、等差数列{}n a 中，=≠∈==+q p q p a q p N q p p a q a 则且),,,(,,11、已知数列{}n a 的前n 项和为1,(1)()4n n n S S a n N *=-∈ （1）求;,21a a（2）求证数列{}n a 是等比数列12、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S（1）若n S S a 则,,1311131==为何值时，S n 最大（2）若01>a 且0,01312<>S S ，则n 为何值时，n S 最大。
高三 下2020数列综合题选讲1(1)
1.（2020·全国高三专题练习（理））数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()121nn a n =--，则2019=S （ ）A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．40373.（2020·陕西高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则39121239S S SS a a a a +++⋅⋅⋅+= （ ） A ．1013B ．1035C ．2037D ．20594.（2020·福建高三期末（理））执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．1010-B ．1009-C ．1009D ．10105.（2020·广东高三月考（理））数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是 （ ） A ．201920202S a =+ B ．201920212S a =+ C ．201920201S a =- D ．201920211S a =-6.（2020·湖北高三月考（文））已知数列{}n a 中，11a =，23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和为 （ ） 7.（2019·河南高考模拟（文））已知函数()cos lnxf x x xππ=+-，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b +的最小值为 （ ） A ．2B ．4C ．6D ．88. （2019·全国高三专题练习）在数列{}n a 中，已知11a =，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则201911i ia==∑（ ） A ．20192020B ．20182019C ．20191010D ．202110109.（2019·浙江学军中学高三期中）已知数列{}n a 满足112a =-，2131n n n a a a +=++，若12n n b a =+，设数列{}n b 的前项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．310.（2020·安徽高三（文））已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数()32113n n a f x x a x +=-+()n N +∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦ （ ）A ．2019B ．2018C ．1009D ．100812.（2020·吉林高三期末（理））已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，满足112a =-,且1222n n a a n n ++=+，则2n S =__ ，n a =__ ____.13.（2019·湖南衡阳市八中高三（文））已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若n k T >恒成立，则k 的最小值为14.（2019·全国高三专题练习）数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈的都有11n n a a n +=++，则1299111a a a ++⋯⋯+= 16.（2019·全国高三专题练习）已知{}n a 是公比不为1的等比数列，数列{}n b 满足：2a ，n b a ，2n a 成等比数列，2221n n n c b b +=，若数列{}n c 的前n 项和n T λ≥对任意的*n N ∈恒成立，则λ的最大值为17.（2019·全国高三专题练习）数列{}n a 满足13a =，且对于任意的*n N ∈都有111n n a a a n +=++-，则12985111a a a +++=L ______. 18.（2019·全国高三专题练习）已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且0n a >，2*634()n n n S a a n N =+-∈,()()1111n n n b a a +=--，若对任意的n *∈N ,n k T >恒成立，则的最小值为19.（2019·全国高三专题练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =，则516810024246810011111(1)11111a a a a a S S S S S +++++-+-++-=-----L 20.（2010·福建高三月考（文））数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列，又记21231n n n b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和n T =21.（2020·山西高三（文））对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =_______，数列(2)n nn a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S =_______.22.（2019·全国高三专题练习）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+，记22122log log n n n b a a -=+，则数列(){}21nn b -⋅的前10项和为______．23.（2020·重庆西南大学附中高三月考（文））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n n n S a a =+，若数列()2112nn nn b S +=-，数列{}n b 的前2020项和为 24．（2020·重庆高三（理））已知数列{}n a 满足1cos(1)3n n a a n n π+=++，则数列{}n a 的前40项和为________.25.（2019·湖北高考模拟（理））如图所示，点D 为ABC ∆的边BC 上一点，2BD DC =u u u v u u u v ，()n E n N ∈为AC上一列点，且满足：()114145nn n n n E A a E D E B a +=-+-u u u u v u u u u vu u u u v，其中数列{}n a 满足410n a -≠，且12a =，则12311111111n a a a a ++++=----L ______26.（2020·山东高三期末）设*n N ∈，向量(31,3)AB n =+u u u v ，(0,32)BC n =-u u u v ，n a AB AC =⋅u u u v u u u v .（1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 27.（2020·北京清华附中高三月考）已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-. (1)求证{}n b 是单增数列； (2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 28.（2020·四川高三期末（文））已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()241n n S a =+（*N n ∈）. (1)证明：数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式； (2)设2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .29.（2020·湖北高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n S a n n N =-+∈.（Ⅰ）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求数列{}1n a -的前n 项和n T .30.（2020·全国高三专题练习（理））已知数列{}n a 其前n 项和n S 满足：()*112(1),0n n S n a n N a+=-+∈=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1n =时，11c =，当2n ≥且*n N ∈时，设12n n nc na +=，求{}n c 的前n 项和n T .。
高中数学《导数和数列综合证明 (1)》导学案
高中数学《导数和数列综合证明（一）》导学案例2：已知：x x <+)1ln(2，（1）求证：）*2222()21...(81)41)(21(N n e n ∈<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（2）求证：*2()311)...(8111)(911(N n e n ∈<+++）（3）求证：（1+421）（1+431）…（1+41n）＜e )211ln(......)411ln()211ln()]211)...(411)(211ln[()1ln(12222222n n x x ++++++=+++∴<+ ）（e n n n n <+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<)211)...(411)(211(12112112112121 (814121222),)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[(2212222e e n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴）（ （3）ln[（1+421）（1+431）……(1+41n )]=ln[（1+421）（1+431）+…ln （1+41n ）＜221+231+…+21n＜)1(1321211-+⨯+⨯n n =1-21+21-31+…+n n 111--=1-n 1＜1∴（1+421）（1+431）……(1+41n )＜e 例3：设曲线y = f (x ) =cx bx x a ++23213在点x 处的切线斜率为k (x )，且k (-1) = 0.对一切实数x ，不等式).0()1(21)(2≠+≤≤a x x k x 恒成立（1）求f (1)的值；（2）求函数k (x )的表达式；（3）设数列)(1n k 的前n 项和为S n ，求证22+>n nS n解：（1）04)1(,0,00)(222≤--≤∆>∴≥-++++=ac b a x c bx ax c bx ax x k ①0)21)(21(4,0,021,02121222≤---≤∆<-∴≤--++c a b a x c bx ax ②又,4)1(1)1(),11(21)1(12a cb a k k k =++==∴+≤≤ 又1270)1(41=∴=∴f a（2）)0()(2≠++='=a c bx ax y x k ，由0)1(,1)1(=-=k k 得⎩⎨⎧=+-=++01c b a c b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==+2121b c a 又)1(21)(2+≤≤x x k x 恒成立，则由)0(0212≠≥+-a c x ax 恒成立得410402141==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+≤-=∆>c a c a ac a 同理由02121)21(2≥-++-c x x a 恒成立得41==c a 综上，21,41===b c a 412141)(2++=∴x x k（3）∑=+++⨯+⨯>+++=ni n n n i k 122])2)(1(1431321[41])1(121[41)(1 22]2121[41+=+-=n n n 法二：和式代换，要证22+>n n S n ，即也证()1121+->-n n S n ，只需证：()()()21411222++=+--+>n n n n n n a n ，只需()()()21414)(12++>+=n n n n k ，且()322121114211=+>=+==S a ，故22+>n n S n。
数列的综合应用(一)
1 2
是以
3 2
为首项,
3 为公比的等比数列
故
an
1 2
3n 2
即
an
3n 1 2
8.(2014年新课标Ⅱ)已知数列{an}满足 a1 1
an1 3an 1
（Ⅰ）
an
3n 1 2
（Ⅱ）证明：
1 a1
1 a2
…+ 1 an
3 2
（
Ⅱ
）由(Ⅰ)知
an
3n 1 2
即
1 an
2 3n 1
因当n≥2时， 1 an
2 3n 1
1 3n1
所以
1 a1
1 a2
…+ 1 an
132
1 3
1 32
1 3n1
1
1 3n
1 1
3
3 2
1
1 3n
3 2
9.(2010年安徽)设 C1,C2,L ,Cn,L 是坐标平面上的一列圆 它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线 y 3 x 相切
3
对每一个正整数n圆 Cn 都与圆 Cn1 相互外切，以 rn 表示
面积均相等， 故
相互
…… 不妨将所有的△看成是等腰△，由边夹角式面积公式可得
经检验
5.(2011年全国)已知等差数列{an} 的前n项和为 Sn
若 OB a1OA a2011OC,且A,B,C三点共线(该直线不过点O) 则S2011=________
析：因A,B,C三点共线，故 a1 a2011 1
从而 OCn1 OCn CnCn1 3rn rn1 ……②
由①②式可得 rn1 3rn
…………
Tn+1 Tn
数列综合测试题(经典)含答案
数列综合测试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B ．1C ．2D ．32．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n3.(理)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.154．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为正偶数时，n 的值可以是( )A ．1B ．2C ．5D ．3或115．已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－127．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －49，当该数列的前n 项和S n 达到最小时，n 等于( ) A ．24 B ．25 C ．26D ．278．数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2046＋a 1978－a 22012＝0，{b n }是等比数列，且b 2012＝a 2012，则b 2010·b 2014＝( )A ．0B ．1C ．4D ．89．已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝3，前三项的和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．18910．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( ) A ．1004 B ．1005 C ．1006D ．100711．设{a n }是由正数组成的等差数列，{b n }是由正数组成的等比数列，且a 1＝b 1，a 2003＝b 2003，则( )A ．a 1002>b 1002B ．a 1002＝b 1002C ．a 1002≥b 1002D ．a 1002≤b 100212．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前100项中与数列{b n }中相同的项有( )A ．50项B ．34项C ．6项D ．5项第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1a n，a 1＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________.14．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．15．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 3＋a 10a 1＋a 8＝________.16．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a ＋b ＋c 的值为________．三、解答题()17．设数列{a n }的前n 项和为n S =2n 2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1，b 2(a 2 －a 1) =b 1。
数列综合练习题1
数列综合练习题一、选择题1．在等差数列{n a }中，已知42=a ，83=a ，则5a 的值为 （ ）A ．20B ．16C ．12D ．102．已知 ,2,2,1为等比数列，当28=n a 时，则n 等于 （ ）A ． 6B ． 7C ．8D ．93．已知等差数列{}n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列， 则3a = （ ）A ．–4B ．–6C ． –8D ． –104．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若36642=++a a a ，则S 7等于 （ ）A ．108B ．96C ．84D ．485．数列1，211+，3211++， ，n++++ 3211的前n 项和为 （ ） A ．122+n n B ．12+n n C ．12++n n D ．12+n n 6．已知数列{}n a 中，1211,2a a ==，*11112(1)n n nn n a a a -++=>∈N 且，则数列{}n a 的第n 项等于（ ） A ．32n - B ．23n - C ．121-n D ． 1n 7．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +是等差数列，则n S 等于 （ ） A ．2n B ．3n －1 C ．122n +- D ．31n -8、已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ ） Ａ．23- Ｂ．13- Ｃ．13 Ｄ．239．已知数列}{n a满足110,n a a +==n ∈N*），则30a =（ ） A ．3- B ．0 C ．23 D ．310、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于（ ）A ．7B ．8C ．15D ．16二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．在等差数列{}n a 中，S n 为其前n 项和，若0,019181=+>a a a ，则当S n 取得最大值时，n = ．12．已知数列{}n a 的前n 项和为kn n S n +=25，且182=a ，则k = ．13．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_______． 14．在数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +1 (n≥1)，则该数列的通项a n =__________．15．设{a n }是公差为1的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 30=600，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 30= ．16、在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________.三、解答题 17．设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且a 1=b 1=1，a 3+a 5=b 4，b 2b 3=a 8．分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10．18．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .19．已知S n 是等比数列 {a n } 的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列．20．数列}{n a 的前n 项为n S ，∈-=n n a S n n (32N )*．（1）证明：数列{}3+n a 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；21．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)求a n 及S n ；(Ⅱ)令b n ＝1a 2n－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .22．已知数列2{log (1)}n a -（n ∈N*）为等差数列，且13a =，39a =．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明213211111n n a a a a a a ++++<---．。
【数列】数列综合练习题(1)--测试用
数列综合练习题一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分1、数列 的一个通项公式是 （ ）A. B ． C ． D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x3、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（ ）A.8 B.-8 C.±8 D.4、已知数列{}n a 是等比数列，若,a a a a 41813229=+则数列{}n a 的前30项的积=30T （ ） A 、154， B 、152， C 、1521⎪⎭⎫ ⎝⎛， D 、153，5、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( ) A ．15. B ．17. C ．19. D ．216、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ）（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）727、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( ) A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－20 9、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )A ．210.B ．215.C ．220.D ．216.10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a 元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r 保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为 A 、()51r a + B 、()()[]r r r a++1-15 C 、 ()41r a + D 、()[]115-+r ra 12)1(3++-=n n n a n n 12)3()1(++-=n n n a n n 121)1()1(2--+-=n n a n n 12)2()1(++-=n n n a n n ⋯--,924,715,58,189二、 填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。
考点03 期中训练之数列综合1(解析版)
考点03 期中训练之数列综合11.（2020春•嘉兴期中）等差数列{a n}中，已知a3＝7，a5＝13，则a7＝（）A．16B．17C．18D．19【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5＝13，∴a1+2d＝7，a1+4d＝13，联立解得a1＝1，d＝3，则a7＝1+3×6＝19．故选：D．【知识点】等差数列的性质2.（2020春•慈溪市期中）在正项等比数列{a n}中，a1＝2，且a1•a5＝64，则数列{a n}的前n项和是（）A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n+1﹣2D．2n+1﹣1【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1＝2，且a1•a5＝64，则∴22•q4＝64，解得q＝2，∴数列{a n}的前n项和＝＝2n+1﹣2．故选：C．【知识点】等比数列的前n项和3.（2020春•福州期中）等比数列{a n}满足a1+a4＝，S6＝9S3，b n＝log2a n，则数列{b n}的前10项和是（）A．﹣35B．﹣25C．25D．35【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1+a4＝，S6＝9S3，∴a1（1+q3）＝，＝9•，联立解得a1＝，q＝2．∴a n＝＝2n﹣3．b n＝log2a n＝n﹣3．则数列{b n}的前10项和＝＝25．故选：C．【知识点】等比数列的前n项和4.（2020春•赤峰期中）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a3＝5，a4+a12＝9，则S10＝（）A．34B．35C．68D．70【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a3＝5，a4+a12＝9，∴2（a1+2d）＝5，2a1+14d＝9，联立解得a1＝，d＝．则S10＝10×+＝35．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和5.（2020春•三明期中）已知数列{a n}的前项和为S n，满足2S n＝3a n﹣1，则通项公式a n等于（）A．B．C．D．【解答】解：2S n＝3a n﹣1，可得2a1＝2S1＝3a1﹣1，解得a1＝1；n≥2时，2S n﹣1＝3a n﹣1﹣1，又2S n＝3a n﹣1，两式相减可得2a n＝3a n﹣3a n﹣1，即为a n＝3a n﹣1，则数列{a n}为首项为1，公比为3的等比数列，可得a n＝3n﹣1，故选：C．【知识点】数列的求和6.（2020春•思南县校级期中）已知数列{a n}满足a1＝1，且a n+1＝2a n+3，则a n＝（）A．2n+1+3B．2n+1﹣3C．2n﹣3D．2n+3【解答】解：a1＝1，且a n+1＝2a n+3，可得a n+1+3＝2（a n+3），可得{a n+3}为首项为4，公差为2的等比数列，可得a n+3＝4•2n﹣1＝2n+1，则a n＝2n+1﹣3，故选：B．【知识点】数列递推式7.（2020春•沙坪坝区校级期中）等差数列{a n}中，若a2＝3，a4＝7，则a6＝（）A．11B．7C．3D．2【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝3，a4＝7，∴a1+d＝3，a1+3d＝7，联立解得：a1＝1，d＝2，则a6＝1+5×2＝11．故选：A．【知识点】等差数列的性质8.（2020春•东安区校级期中）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7+a9+a11＝55，S3＝3，则a5等于（）A．9B．7C．6D．5【解答】解：由a3+a5+a7+a9+a11＝55，S3＝3，∴5a7＝55，即a1+6d＝11，3a1+d＝3，联立解得：a1＝﹣1，d＝2．则a5＝﹣1+4×2＝7．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和9.（2020春•宿州期中）已知函数的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x）+f（y）＝f（xy）成立，若数列{a n}满足a1＝f（1），且f（a n+1）＝f（2a n+1），n∈N+，则1+a2019的值是（）A．22016B．22017C．22018D．22019【解答】解：当x＞1时f（x）＞0．在（0，+∞）上任意取两个数x1，x2，且x1＜x2，令，则f（k）＞0．∴f（x2）＝f（kx1）＝f（k）+f（x1）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．令x＝y＝1，则f（1）+f（1）＝f（1），解得f（1）＝0．∵数列{a n}满足a1＝f（1）＝0，且f（a n+1）＝f（2a n+1），n∈N+，∴a n+1＝2a n+1，∴a n+1+1＝2（a n+1）∴数列{a n+1}是等比数列，公比为2，首项为1．∴．故选：C．【知识点】数列与函数的综合10.（2020春•福州期中）在等差数列{a n}中，a3＝4，a2+a5＝9，设b，数列{b n}的前n项和S n，则S2019为（）A．1﹣B．1+C．D．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，a3＝4，a2+a5＝9，a1+2d＝4，2a1+5d＝9，解得a1＝2，d＝1，可得a n＝2+n﹣1＝n+1，b n＝＝＝（﹣），S2019＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣），故选：D．【知识点】数列的求和11.（2020秋•河南期中）设n为正整数，在n与n+1之间插入n个x，构成数列1，x，2，x，x，3，x，x，x，4，…，若该数列的前2018项的和为7881，则x＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：在n与n+1之间插入n个x，可得n＝62，最后一个数为63，共有63+×62×63＝2016个数，则数列的前2018个数的和为×63×64+×62×63x+2x＝7881，解得x＝3，故选：A．【知识点】数列的求和12.（2020秋•河南期中）已知数列{a n}的通项公式为a n＝5﹣kn（k≠0），a1，a3，a4依次为等比数列{b n}，的前3项，则的最大值为（）A．4B．2C．1D．0【解答】解：由数列{a n}的通项公式为a n＝5﹣kn（k≠0），可得a1＝5﹣k，a3＝5﹣3k，a4＝5﹣4k，由a1，a3，a4依次为等比数列{b n}的前3项，可得，即（5﹣3k）2＝（5﹣k）（5﹣4k），解得k＝1．∴a n＝5﹣n，b1＝a1＝4，q＝，则．∴＝．当n＝1时，，当n＝2时，，当n＝3时，，当n＝4时，，当n≥5时，．∴的最大值为2．故选：B．【知识点】等差数列与等比数列的综合13.（2020秋•新乡期中）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（）A．B．C．D．【解答】解：此数列为等差数列{a n}，设公差为d．与题意可得：a1＝5，a n＝1，S n＝90．∴＝90，解得n＝30．∴5+29d＝1，解得d＝﹣．∴每天比前一天少织布的尺数为．故选：C．【知识点】等差数列的前n项和14.（2020秋•岳塘区校级期中）已知△ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列，则的取值范围是（）A．（2，]B．（0，]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：△ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列，可得sin2B＝sin A sin C，由正弦定理可得b2＝ac，又cos B＝＝≥＝，可得0＜B≤，设t＝sin B+cos B＝sin（B+），t2＝1+2sin B cos B＝1+2sin2B，即sin2B＝t2﹣1，B+∈（，]，可得sin（B+）∈（，1]，即有t∈（1，]，由＝＝t+∈（2，]，故选：A．【知识点】数列与三角函数的综合15.（2020秋•香坊区校级期中）已知数列{a n}为等差数列，a3＝3，S6＝21，数列{}的前n项和为S n，若对一切n∈N*，恒有S2n﹣S n，则m能取到的最大整数是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：数列{a n}为等差数列，a3＝3，S6＝21，设首项为a1，公差为d，故：，解得：d＝1，所以：a n＝a3+（n﹣3）＝n．则：，所以：，+…+，，设，则：，所以：T n+1﹣T n＝＝，所以：当n＝1时，函数取得最小值为．故：，所以：m＜8．故取得的最大整数为7．故选：B．【知识点】数列的求和16.（2020秋•丰台区期中）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是数列{a n}的前n项和．（1）如果a1＝＝﹣4，那么q＝﹣；（2）如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，在下列关于{a n}的三组量中，一定能成为数列{a n}的“基本量”的是．（写出所有符合要求的组号）①S1与a3；②S2与S3；③q与S3；【解答】解：（1）数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝＝a1q3＝﹣4，所以q3＝﹣8，q＝﹣2．故答案为﹣2（2）①S1＝a1，因为a3＝a1q2，可以确定q2，q有两个值，不唯一；②若q＝1，则可唯一确定，若q不为1，S2＝a1+a2＝，S3＝a1+a2+a3＝，由，得到关于q的一元二次方程，无法具体确定q；③已知q，带入S3＝可求出a1，所以唯一确定了数列．故答案为：③【知识点】数列的应用17.（2020秋•上城区校级期中）函数f（x）＝cosωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…在点列{A n}中存在三个不同的点A k，A t，A p，使得△A k A t A p是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2019＝．【解答】解：设过A t的对称轴与线段A k A p交于点O，则OA t＝2，依题意，△A k A t A p是等腰直角三角形，所以A k A p＝4，结合f（x）＝cosωx（ω＞0）的周期性以及对称性可知，A k A p为整数个周期，所以A k A p＝4＝kT＝k，（k∈N*），所以ω＝（k∈N*），所以ωn＝（n∈N*），所以ω2019＝，故答案为：．【知识点】数列的应用18.（2020秋•闵行区校级期中）已知数列{a n}的通项公式和为，n∈N*，现从前m项：a1，a2，…，a m中抽出一项（不是a1也不是a m），余下各项的算术平均数为40，则抽出的是第项．【解答】解：设抽出的一项是第x项，由题得，，且S m＝40（m﹣1）+a x，∴，∴m2﹣11m+12﹣2x＝0，∴x＝6时，m＝11，m＝0（舍去），∴抽出的是第6项．故答案为：6．【知识点】数列的概念及简单表示法19.（2020秋•闵行区期中）已知，数列{a n}满足，对于任意n∈N*都满足a n+2＝f（a n），且a n＞0，若a20＝a18，则a2018+a2020＝．【解答】解：∵，∴，同理得：∴，又：a n+2＝f（a n），∴a n+4＝f（a n+2），∴，从而该数列周期为4，又令a20＝a18＝t＞0，则，t＝，解得t2+2t﹣1＝0，t＝，且，∴，∴．故答案为：．【知识点】数列与函数的综合、数列递推式20.（2020秋•高邮市期中）设数列{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n，a1＝2，4S n＝（n+3）a n，n∈N*且a n b n＝n．若对于任意的n∈N*，T n＜λ恒成立，则λ的最小值为．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，4S n＝（n+3）a n，①当n≥2时，4S n﹣1＝（n+2）a n﹣1②所以①﹣②得（n+2）a n﹣1＝（n﹣1）a n，整理得，则，，…，所有的式子相乘得，解得，由于且a n b n＝n．所以＝，则＝，对于任意的n∈N*，T n＜λ恒成立，所以λ＞（T n）max，即λ的最小值为．故答案为：【知识点】数列递推式21.（2020秋•汉中期中）记数列{a n}的前n项和为S n，已知点（n，S n）在函数f（x）＝x2+2x的图象上．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）由题意点（n，S n）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，知．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1；当n＝1时，a1＝S1＝3，适合上式．所以：a n＝2n+1．（Ⅱ）∵，则＝＝．【知识点】数列与函数的综合、数列的求和22.（2020秋•抚州期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为，所以当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，又a1＝2也满足上式，所以；又，所以，两式作差得，，所以，当n＝1时，又b1＝6满足上式，所以；（2）因为＝﹣n＝n•2n，所以，，两式相减，得，即，所以．【知识点】数列的求和、数列递推式23.（2020秋•泰安期中）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且2a2+a3＝a4，S4+2＝a5；数列{b n}满足b1＝1，．（1）求a n和b n；（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由，解得q＝2或q＝﹣1（舍），又S4+2＝a5，∴，解得a1＝2，∴；∴，∴当n≥2时，，相减可得＝﹣，整理得，又b1＝1，则数列是首项为1的常数列，∴，∴；（2）设，∴T n＝c1+c2+…+c n＝＝＝．【知识点】数列的求和24.（2020秋•西城区校级期中）数列{a n}中，a1＝1，对任意n≥2且n∈N*有（n﹣1）a n＝2na n﹣1．（1）设b n＝，证明：数列{b n}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵对任意n≥2且n∈N*有（n﹣1）a n＝2na n﹣1．∴，即b n＝2b n﹣1（n≥2），又：当n＝1时，a2＝2×1×a1＝2，∴，满足b2＝2b1，从而数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴．∴．（2）解：S n＝a1+a2+a3+……+a n＝1×20+2×21+3×22+……+n•2n﹣1，……①∴2S n＝1×21+2×22+3×23+……+n×2n……②∴①﹣②得：﹣S n＝1×20+1×21+1×22+……+1×2n＝．从而S n＝1﹣2n+1．【知识点】数列递推式25.（2020秋•海林市校级期中）已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2﹣5n+4（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．【解答】解：（1）由n2﹣5n+4＜0，得1＜n＜4，故数列中有两项为负数；（2）a n＝n2﹣5n+4＝﹣，因此当n＝2或3时，a n有最小值，最小值为﹣2．【知识点】数列的函数特性26.（2020秋•溧阳市期中）已知等比数列{a n}的首项为，前n项和为，且S2，S4，S3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正整数A，使得恒成立？如果存在，写出最小的A，如果不存在请说明理由．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由S2，S4，S3成等差数列得S4﹣S2＝S3﹣S4，所以a3+a4＝﹣a4，即，所以，所以．（2）由（1）得，法1：，当n为奇数时，随n的增大而减小，所以，当n为偶数时，随n的增大而减小，所以，综上，对任意n∈N*，总有所以存在正整数A，使得恒成立，且最小的A为3法2：当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以，当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以，令t＝S n，则，，，可得时，f'（t）＜0；时，f'（t）＞0，又，所以，即的最大值为，所以存在正整数A，使得恒成立，且最小的A为3．【知识点】数列与函数的综合、等差数列与等比数列的综合27.（2020秋•海淀区校级期中）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n，该数列前n 项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2，…的最小值记为B n，记d n＝A n﹣B n．（1）若数列{a n}的通项公式为a n＝，求数列{d n}的通项公式；（2）证明：“数列{a n}单调递增”是“∀n∈N*，d n＜0”的充要条件；（3）若d n＝a n对任意n∈N*恒成立，证明：数列{a n}的通项公式为a n＝0．【解答】解：（1）当1≤n≤4，数列{a n}是递减数列，最大为a1＝4，又a4＝a5＝…＝a n＝…＝1，所以A n＝4，B n＝1，n＝1，2，3，…，所以d n＝A n﹣B n＝4﹣1＝3，（2）充分性：数列{a n}单调递增，则a1＜a2＜…＜a n＜…，则A n＝a1，B n＝a n+1，所以d n＝A n﹣B n＝a1﹣a n+1＜0；必要性：数列{a n}，∀n∈N*，d n＜0，d n＝A n﹣B n＜0，d1＝A1﹣B1＜0，a1＜B1＝min{a2，…，a n+1，…}，所以a1＜a2，d2＝A2﹣B2＜0，A n＝max{a1，a2}＝a2，B2＝min{a3，…，a n+1，…}，所以a2＜a3，同理a3＜a4＜…＜a n…即数列{a n}单调递增，故“数列{a n}单调递增”是“∀n∈N*，d n＜0”的充要条件．（3）反证法：若d n＝a n对任意n∈N*恒成立，数列{a n}的通项a n≠0．当n＝1时，d1＝a1＝A1﹣B1，A n＝a1，所以B1＝0，这说明从第二项起，至少有一个项为0，这与假设矛盾，故原命题成立．【知识点】数列的应用28.（2020秋•闵行区校级期中）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n 项和为T n，S4＝2S2+4，，．（1）求公差d的值；（2）若对任意的n∈N*，都有S n≥S7成立，求a1的取值范围；（3）若a1＝1，判别是否有解，并说明理由．【解答】解：（1）∵S4＝2S2+4，∴4a1+，解得：d＝1．（2）由于等差数列{a n}的公差d＝1＞0，S n要最小值S7必须有，即，解得﹣7≤a1≤﹣6，故a1的取值范围为：[﹣7，﹣6]；（3）因为a1＝1，d＝1，所以S n＝（n2+n），因为等比数列{b n}满足，．所以，解得，故T n＝，设，则f（n）＝2×3n﹣，f（n+1）＝2×3n+1﹣[（n+1）2+（n+1）]所以f（n+1）﹣f（n）＝4×3n﹣（n+1）＞0，故f（n+1）＞f（n），由此可得f（n）单调递增，又因为f（6）＝1434，f（7）＝4346，所以f（6）＜2020＜f（7），故不存在正整数n，使其有解．【知识点】等差数列与等比数列的综合。
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数列综合习题（一）
1、数列
的一个通项公式是 （ ） A. B ．
C ．
D ．
2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ）
A 、010062=+-x x
B 、0100122=++x x
C 、0100122=--x x
D 、0100122=+-x x
3、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（ ）
A.8
B.-8
C.±8
D. 4、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( )
A ．15.
B ．17.
C ．19.
D ．21
5、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ）
（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）72
6、方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为
41的等差数列，则|m －n|= A ．1 B ．43 C ．21 D ．8
3 7、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( )
A ．－1221
B ．－21．5
C ．－20．5
D ．－20
8、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )
A ．210.
B ．215.
C ．220.
D ．216.
9、已知数列的通项公式74+=n a n ，则其中三位数的个数有_______个
10、已知数列{}n a 的前n 项和公式为,n s n 12
+-=那么此数列的通项公式为 。
11、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若5051a a ⋅=9，则当n=100时，31323log log log n a a a ++⋅⋅⋅+=
12)1(3++-=n n n a n n 12)3()1(++-=n n n a n n 121)1()1(2--+-=n n a n n 12)2()1(++-=n n n a n n 89⋯--,924,715,58,1
12、 )2
1(813412211n n n S +++++= =________________ ． 13、已知等差数列{}n a 中，公差为,1=d 且9999=s ，求+++852a a a 9895a a ++
14、⑴在等比数列{}n a 中，若,a a ,a a 6243224=+=-求首项1a 和公比q 。
⑵设等比数列{}n a ，n s 是它的前n 项和，若,s s s 9632=+求公比q 。
15、三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列，求这三个数.
16、已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）令).(3R x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.
17、设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+ .221+=+n n b b （1）求证数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比), (2)求数列}{n a 的通项公式.
1.D
2.D
3.C
4.B
5.D
6.C
7.C
8.C
9.25 10.⎩⎨⎧≥+-==2
,120,0n n n a n 11.100 12、()n n n 21121-++ 13.33 14、⑴ 511=a ，5=q ⑵32
1-=q 15、,4,816或,168,.4 16、(1).2n a n =(2).32)31(31+⋅+-=n n n
n S 17.(1)首项为4,公比为2 (2)2^（n+1)-2n。