中考数学全程复习方略重点题型训练三二次函数中的存在性问题课件
中考复习：二次函数与几何综合类存在性问题(共29张PPT)
解析
(1)由题意知，点 A 与点 B 关于直线 x＝－1 对
称，A(－3，0)，
∴B(1，0)． (2)①当 a＝1 时，则 b＝2，把 A(－3，0)代入 y＝x2＋2x
＋c 中得 c＝－3， ∴该抛物线的关系式为 y＝x2＋2x－3.
∵S△BOC＝12·OB·OC＝21×1×3＝32，
∴S△POC＝4S△BOC＝4×32＝6.
故经过 A、B、C 三点的抛物线的关系式是 y＝－12x2＋32x＋2.
解析
(2)∵y＝－12x2＋32x＋2＝－12x－232＋285，
∴M 32，285.
设直线 MC 对应的函数关系式是 y＝kx＋b，
把 C(0，2)，M
32，285
代入，得285＝32k＋b， b＝2，
－－322－3×－32＝94.
总结：
解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条件求出二 次函数的关系式，再结合图象，运用几何知识解决问题．
探究二.二次函数与四边形的结合
例2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象 与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)， 点P是直线BC下方抛物线上的动点．
总结：此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次 函数的关系式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直 角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的 对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
探究四.二次函数与圆的结合
例4．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)， 以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴 正半轴交于点C. (1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函 数关系式； (2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对 应的函数关系式； (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明 你的结论．
中考数学-总复习解题突破专题讲座36-二次函数与菱形的存在性问题
中考数学_总复习解题突破专题讲座36_二次函数与菱形的存在性问题今天我们讨论二次函数与特殊四边形形存在性问题之二：与菱形结合的存在性问题。
一.知识简介1.知识层面从几何角度分析，此类题型所涉及到菱形的性质、判定及分类讨论。
就性质而言，最主要围绕四个性质展开运用：①内部四个小直角三角形的关系；②平行与四边相等的关系；③对角线垂直平分的关系；④菱形的两个面积公式。
就分类讨论而言，需掌握两种论证方法：代数论证方法和几何论证方法。
从函数角度分析，除了涉及到以上菱形的几何性质外，主要运用以下两点：①利用“两直线平行K值相等”和“两对角线垂直K值负倒数”解决直线表达式问题；②中点坐标公式解决点的坐标问题及两点间的距离公式解决线段长的问题。
2.思路层现越熟悉以上所涉及的知识基础，更能让我们在解决二次函数与菱形结合的题型中，更快找到解题思路二.范例精讲例1．（不分类讨论）. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x*2 +bx+c的图像与x轴交于A、B、两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C(0,-3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点。
（1）求这个二次函数的解析式；（2）连接PO、PC,并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP`C，那么是否存在点P，使得四边形POP`C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；解析：（1）代入B、C两点坐标，便可得抛物线解析式为：y=x*2-2x-3.（2）由折叠性质可知OP=OP`,CP=CP`，当四边形POP`C为菱形时，只需满足一个条件：PC=PO即可，利用菱形对角线垂直平分这一性质，易得出P点的纵坐标，进而可得出P点的坐标。
存在，连接PP`交OC于点E，当四边形POP`C为菱形时，PC=PO,PE⊥CO,∵OC=3,∴OE=EC=3/2,∴P点的纵坐标为-3/2，当x*2 -2x-3=-3/2时，解得x=(2+√10)/2或/2(舍去)，∴存在点P（2+√10/2，-3/2），使得四边形POP`C为菱形。
2020中考压轴 二次函数 角的存在性问题 课件共18张
）
3、（1）分类讨论，本题已明确动点位置，故不需分类；
（2）画图找点，如图所示
（3）设点求解，设M（m，23 ??2
?
4m?
3
2），过O作
OE ⊥AB交BM延长线于E，交AB于G，作EF⊥y轴于F,分别解
直角三角形AOB,OBG,OEF可求E（
24 13
，-
36 13
），所以直线BE为
y=- 5 x-2 ，与抛物线解析式联立方程组可得M横坐标为11 .
BC下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
(3)如图②，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好
等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
略解：
1、??= 1 ??2 ? 3 ??? 2，2、最大值4
交点法的方法和步骤： 1、分类讨论，一般分两类，一是点在x轴上方；一是点在x轴下方； 2、画图找点，根据题意画草图找点帮助分析； 3、设点求解，构造等腰三角形或直角三角形求过动点的直线解析式，
利用直线和抛物线交点求法即可求解。
以本题为例：
1、??= 2 ??2 ? 4 ??? 2
3
3
2、（4，
10 3
与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），
点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
??=
1 ?2
???
2 2+
8
（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F 的坐标；
等角存在性问题 中考数学二次函数专题核心考点突破 教学PPT课件
即 tan CAB 4 ，根据特殊角的结果，可得tan NAB tan 1 CAB 1 ，
3
2
2
故直线 AN 解析式为： y 1 x 1 ， 2
联立方程： 3 x2 3 x 6 1 x 1 ，
42
2
解得：
x1
2
，
x2
14 3
，
故
N
点坐标为
14 3
, 10 3
．
y C
y C
E AO
yD
C
F
F
AO E
Bx
故 F 点坐标为 2 5, 2 2 5 ．
F
将 EF 作关于 x 轴的对称，如图，交点亦为满足条件的 F 点，
且翻折后的直线解析式为： y 2x 2 ， 联立方程： x2 2x 3 2x 2 ， 解得： x1 5 ， x2 5 （舍）．
故 F 点坐标为 5, 2 5 2 ． 综上，F 点坐标为 2 5, 2 2 5 或 5, 2 5 2 ．
4
33
23
故
M
点坐标为
32 23
,
100 23
．
【2018 娄底中考】
如图，抛物线 y ax2 bx c 与两坐标轴相交于点 A （-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D 是
抛物线的顶点，E 是线段 AB 的中点． （1）求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标； （2）F（x，y）是抛物线上的动点：
否存在点 P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说 y
明理由．
A
C
O
x
P B
D
（1）抛物线： y x2 6x 5 ；
（2）①当点 P 在直线 B C 上方时，如图， 过点 B 作 DC 的平行线，与抛物线交点即为 P 点， 不难求得直线 B P 解析式为： y 2x 5 ，
九级数学第13讲二次函数中的存在问题目讲义3页word文档
第十三讲 二次函数中的存在性问题（讲义）一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：①____________．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．②____________.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．③____________.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．二、精讲精练1. 如图，已知点P 是二次函数y =-x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =-2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点. 若以AB 为直角边的△PAB 与△OAB 相似，请求出所有符合条件的点P 的坐标． 2. 抛物线()21134y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ．点P 在抛物线上，直线PQ //BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求直线BQ 的函数解析式；（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在直线BQ 上（点D 不与点Q 重合），另一个顶点E 在PQ 上，求点P 的坐标．3. 如图，矩形OBCD 的边OD 、OB 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且OD ＝10，OB ＝8．将矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合．（1）若抛物线c bx x y ++-=231经过A 、B 两点，则该抛物线的解析式为______________________；（2）若点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，作MN ⊥x 轴于点N ．是否存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．4. 已知抛物线2=23y x x --经过A 、B 、C 三点，点P （1，k ）在直线BC ：y=x -3上，若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 抛物线2212-+=x x y 与y 轴交于点C ，与直线y =x 交于A (-2，-2)、B (2，2)两点．如图，线段MN 在直线AB 上移动，且2MN =，若点M 的横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q ．以P 、M 、Q 、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．三、回顾与思考__________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________________ ____希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：：1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。
春中考数学《二次函数：全等三角形的存在性问题》课件
理解偏差
对于全等三角形的理解存 在偏差，导致在应用判定 定理时出现错误。
判定方法的实际应用
解题技巧
在解决二次函数问题时，利用全 等三角形的存在性判定可以简化
解题过程。
实际应用
全等三角形的存在性判定在实际生 活中也有广泛的应用，例如在几何 图形的设计和制作中。
拓展应用
通过全等三角形的存在性判定，还 可以进一步探究二次函数图像中的 其他几何性质和规律。
高难度练习题3
题目内容涉及二次函数的最值求解和全等三角形 的证明，以及数学思想的运用。
基础练习题答案
详细解答每个基础练习题的解题思路和步骤，帮助 学习者掌握基础知识。
中等难度练习题答案
详细解答每个中等难度练习题的解题思路和步骤 ，提高学习者的解题能力。
高难度练习题答案
详细解答每个高难度练习题的解题思路和步骤，激发学 习者的创新思维和数学素养。
总结词
基础题目是全等三角形存在性问题的入门级题目，主要考察学生对基础概念和 公式的掌握程度。
详细描述
基础题目通常包括简单的图形变换、基本的全等条件和简单的计算。通过这些 题目，学生可以熟悉全等三角形存在性问题的基本解题思路和方法，为解决更 复杂的问题打下基础。
中等难度题目解析
总结词
中等难度题目是在基础题目上的提升，需要学生具备一定的 推理和问题解决能力。
详细描述
这类题目通常涉及到更复杂的图形变换、多个全等条件的应 用以及一些计算技巧。学生需要通过仔细分析图形和条件， 逐步推导出结论，并能够运用所学知识解决实际问题。
高难度题目解析
总结词
高难度题目是全等三角形存在性问题的最高级别题目，对学生的推理、计算和问题解决能力有很高的要求。
中考数学全程复习方略微专题三二次函数中的存在性问题课件
类型二 二次函数与平行四边形的综合问题 例2(2019·通辽中考)已知,如图,抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点为M(1,9),经过抛物线上的两点A(-3,-7) 和B(3,m)的直线交抛物线的对称轴于点C.
(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式. (2)在抛物线上A,M两点之间的部分(不包含A,M两点), 是否存在点D,使得S△DAC=2S△DCM?若存在,求出点D的坐 标;若不存在,请说明理由.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022
【思路点拨】(1)由二次函数交点式即可求解. (2)分AC=AQ,AC=CQ,CQ=AQ三种情况,分别求解即可. (3)由PN=PQsin∠PQN2 =(1m21m4即m 可4)求解.
23 3
【自主解答】
(1)由二次函数交点式得:y=a(x+3)(x-4)=a(x2-x-12),
即:-12a=4,解得:a=- 1 ,则抛物线的解析式为y=- 1x2
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点A,M,P,Q为顶 点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P 的坐标.
【自主解答】 (1)二次函数解析式为:y=a(x-1)2+9,将点A的坐标代 入上式并解得:a=-1,故抛物线的解析式为:y=x2+2x+8…①, 则点B(3,5),
2024年九年级数学中考专题复习——二次函数的存在性问题 课件
∵PC＝PD，∴PC 2=PD2
∴x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(y－4)2
P
即y＝－x＋4，
又∵点P(x，y)在抛物线上，
∴－x＋4＝－x2＋2x＋3，整理得，x2－3x＋1＝0，
归纳总结
二次函数中“等腰三角形存在性问题”的解题方法：
几何法： （1）设出动点的坐标； （2）利用“两圆一线”作出动点； （3）利用“勾股定理”求出线段长，由线段长求出动点 的坐标.
答案：
作业布置 如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A（8,4），与x轴交于点 B,且对称轴是直线x=3. （1）求该二次函数的解析式； （2）P是x轴的一个动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，过
点A作AC⊥x轴，垂足为点C，是否存在点P，使得以O、P、Q为
顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点P的坐标，若不 存在，请说明理由.
∴综上可得P1(-5,0),P2(5,0)， P4(8,0)，
P5( ,0).
典例精析
例 如图,已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A，B两点，与y
轴交于点C，D为抛物线的顶点.连接CD,在对称轴右侧的抛物线上 是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，求点P的坐标； 若不存在，请说明理由.
1）以点O为圆心，OA的长为半径画圆，交x轴 于P1，P2，此时有:P1O=OA,P2O=OA.
过点A作AB⊥x轴，垂足为B. 在Rt△ABO中，有：
P1
y
A
o
B P2 x
∴P1O=OA=P2O=5 ∴P1(-5,0),P2(5,0)
合作探究
问题2 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A(4, 3),点P是x轴 上一动点，当△AOP是等腰三角形时，求P点坐标.
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(1)求二次函数的解析式. (2)若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点,求 △ADE面积的最大值.
【解析】(1)∵二次函数y=ax2+bx-3经过点A(-3,0),
B(1,0),
∴ 9aab3b3解30得，0:，
a 1, b 2,
∴二次函数解析式为y=x2+2x-3.
(2)略
题型四 二次函数与四边形的问题 4.(2019·安徽模拟)已知:如图所示,在平面直角坐标 系xOy中,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3,动点P从点C出 发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时, 动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度 的速度运动.设点P、点Q的运动时间为t(s).
∴∴过O146a,aP,A24b三b解3点0得, ,的抛物线的ab 表3,达34 , 式为y=- 3x2+3x.
4
(2)略 (3)略 (4)略
题型五 二次函数与相似三角形
5.(2019·广东中考)如图1,在平面直角坐标系中,抛物
线y= 3 x2 3 3 x 7 3 与x轴交于点A,B(点A在点B右
(3)如图2,连接AD,BD,点M在线段AB上(不与A,B重合), 作∠DMN=∠DBA,MN交线段AD于点N,是否存在点M,使得 △DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请 说明理由.
【解析】(1)抛物线的解析式为:y=- 4(x+5)(x-1)
9
= 4 x2 16 x 20 .
9 99
配方得:y=- 4(x+2)2+4,
9
∴顶点D的坐标为(-2,4).
(2)设点P的坐标为 (a， 4 a2 16,a-5<20a)<-2,
9 99
则PE= 4 a2 16 a,P2G0=2·(-2-a)=-4-2a.
9 99
∴矩形PEFG的周长为2(PE+PG)2=( 4 a2 16 a 20 4 2a)
8
4
8
侧),点D为抛物线的顶点.点C在y轴的正半轴上,CD交x
轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,点A恰好旋
转到点F,连接BE.世纪金榜导学号
(1)求点A,B,D的坐标. (2)求证:四边形BFCE是平行四边形. (3)如图2,过顶点D作DD1⊥x 轴于点D1,点P是抛物线上 一动点,过点P作PM⊥ x轴,点M为垂足,使得△PAM与 △DD1A相似(不含全等).
y=kx+b,用D,F两点坐标求出y=3 x+3 ,再求出点C的 坐标),∴CD=CE= 32 ( 3 2=63),2
∵tan∠CFO=CO ,∴3∠CFO=60°,
FO
∴△FCA是等边三角形,∴∠CFO=∠ECF,∴EC∥BA, ∵BF=BO-FO=6,∴CE=BF, ∴四边形BFCE是平行四边形. (3)略
求出一个满足以上条件的点P的横坐标,直接回答这样 的点P共有几个?
【解析】(1)由y= 3 x2 3 3 x 7 3
8
4
8
= 3(x+3)2-2 3得点D坐标为(-3,-2 ),3
8
令y=0得x1=-7,x2=1,
∴点B坐标为(-7,0),点A坐标为(1,0).
(2)过点D作DG⊥y轴交y轴于点G,设点C坐标为(0,n),
重点题型训练三 二次函数中的存在性问题
题型一 二次函数中几何图形面积问题 1.(2019·凉山州中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象 过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3). (1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC的 周长最小,若存在,请求出点P的坐标及△PAC的周长;若 不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点 M(不与C点重合),使得S△PAM=S△PAC?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)当t=1 s时,求经过点O,P,A三点的抛物线的表达式. (2)当t=2 s时,求tan∠QPA的值. (3)当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,求t的值.
(4)连接CQ,当点P,Q在运动过程中,记△CQP与矩形OABC 重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式.
【解析】(1)当t=1 s时,则CP=2, ∵OC=3,四边形OABC是矩形, ∴P(2,3),且A(4,0), ∵抛物线过原点O, ∴可设抛物线表达式为y=ax2+bx,
2.(2019·眉山中考)如图1,在平面直角坐标系中,抛物
线y=- 4 x2+bx+c经过点A(-5,0)和点B(1,0).
9
榜导学号
世纪金
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)点P是抛物线上A,D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于 点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F. 当矩ຫໍສະໝຸດ PEFG的周长最大时,求点P的横坐标.
∵∠DGC=∠FOC=90°,∠DCG=∠FCO, ∴△DGC∽△FOC,∴ DG CG，
FO CO
由题意得CA=CF,CD=CE,∠DCA=∠ECF,
OA=1,DG=3,CG=n3+2 ,
∵CO⊥FA,∴FO=OA=1,
∴ 3 n 解2 得3，n= , 3
1n
∴点C坐标为(0, )3(或先设直线CD的函数解析式为
9 99
＝ 8 a2 68 a 32＝ 8 (a 17 )2 225 . 9 9 9 9 4 18
∵- <8 0,∴当a=- 时17,矩形PEFG的周长最大,此时,
9
4
点P的横坐标为- 17.
4
(3)略
题型三 二次函数与直角三角形的问题 3.(2019·潮州饶平县期末)如图,在平面直角坐标系中, 二次函数y=ax2+bx-3交x轴于点A(-3,0),B(1,0),在y轴 上有一点E(0,1),连接AE.世纪金榜导学号
【解析】(1)∵抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0), ∴可设交点式为y=a(x+1)(x-3), 把点C(0,3)代入得:-3a=3,∴a=-1, ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3, ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3. (2)略 (3)略
题型二 二次函数与等腰三角形的综合问题