概率2.1

第二章
随机变量及其分布
随机变量的概念 离散型随机变量及其概率分布 分布函数 连续型随机变量及其概率分布 随机变量函数的分布
结束
第一节 随机变量的概念
为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果.
例1
检测一件产品可能出现的两个结果 , 可以用一个离散变量来描述.
1 3 1 C 4 4 4
4 5 4 5
1 64
二项分布的分布形态
若 X ~ Bn， p ， 则
n 1 p k PX k 1 PX k 1 kq
由此可知，二项分布的分布
q 1 p
PX k
n
lim np n 0
n
n
则
lim C p 1 p
k k n n n

nk

n

k
e k！
证明：
令：np
n
k k nk n n n
则
C p 1 p nn 1n 2 n k 1 1 k！ n n
k!
e
k 0， 1， 2，
则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布,
Poisson分布的应用
• Poisson分布是概率论中重要的分布之一． • 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson 分布． • 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到 的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子 数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时 间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在 一定条件下，都是服从Poisson分布的．
如果随机变量 X 的取值是有限个或可列 无穷个，则称 X 为离散型随机变量．
离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为
x1 ， x2 ， ， xn ，
并设 P X xn pn 则称上式或 X
P
n 1,
， ，
2,

x1 p1
x2 p2
xn pn
为离散型随机变量 X 的分布律．
说 明
离散型随机变量可完全由其分布律来刻划． 即离散型随机变量可完全由其可能取值以及取这 些值的概率唯一确定． 离散型随机变量分布律的性质:
⑴．对任意的自然数k，有 P{ X x } p 0, k 1,2.
k k
⑵． P{ X x } p 1.
所以
1 n X n c 1 c 4 1 1 P n 1 n 1 4 1 4
c 3．
二、离散型随机变量的常见分布
1) 两 点 分 布
PX 0 1 p ， PX 1 p
如果随机变量 X 的分布律为 或
X P
则当n比较大，p 比较小时，
令：
np
则有
PX k C p 1 p
k k n
nk

k
k!
e
例 设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600 次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布 近似计算）．
解
设 B={ 600次射击至少命中3次目标 } 进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验.
X： 次射击命中目标的次数． 600
则
X ~ B600， 0.012．
用 Poisson分布近似计算，取 600 0.012 7.2 ．
所以，
PB PX 3 1 PX 3
随机变量是 R 上的映射,
此映射具有如下特点
定义域 事件域
随机性 r.v. X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值，但不 能预知取哪个值。
概率特性 X 以一定的概率取某个值。
引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表达随机 事件,例如
( X 100) —— 表示 “某天9:00 ~ 10:00
k n

1 n 1 2 k 1 k lim n lim1 1 1 lim1 n k! n n n n n n
nk


e k！
k
Poisson定理的应用
由 Poisson 定理,可知： 若随机变量 X ~ Bn， p ，
r.v. 分类
离散型
非离散型
其中一种重要的类型为 连续性 r.v.
引入 r.v. 重要意义 ◇ 任何随机现象可 被 r.v.描述 ◇ 借助微积分方法 将讨论进行到底
第二节 离散型随机变量及其概率分布
一、离散型随机变量及其概率分布 二、离散型随机变量的常见分布
一.离散型随机变量及其概率分布
离散型随机变量的定义
k n n
nk
1 2 k 1 n 1 1 1 1 k! n n n n
k n

nk
对于固定的 k，有
由lim lim np 得 lim
k n n n n n n
则
X ~ B1, p
例8
15 件产品中有4件次品，11件正品．从中取出 1件，令X：取出的一件产品中的次品数．则 X 的取值为 0 或者 1，并且
11 P X 0 ， 15 4 P X 1 15
则
4 X ~ B (1, ). 15
2） 二 项 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
4 3 1 16 16 16
例6
设随机变量 X 的分布律为
1 PX n c 4
n
n 1， 2，
试求常数c．
解
由随机变量的性质，得
1 1 PX n c n 1 n 1 4
n
该级数为等比级数，故有
先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着 k 的增大而减少．这个使得
PX k
达到其最大值的k 称为该二项分布的最可能次数．
0
可以证明：
如果 n 1 p 不是整数，则k n 1 p ；
0
如果 n 1 p 是整数，则 k n 1 p 或 n 1 p 1 ；
接到电话次数超过100次” 这一事件
r.v.的函数一般也是r.v.
例
引入适当的随机变量描述下列事件：
①将3个球随机地放入三个格子中，
事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，
C={全有球}。 ②进行5次试验，事件D={试验成功一次}， F={试验至少成功一次}，G={至多成功3次} 解：1、X：空格数 A：X=1，B：X=2，C：X=0。 2、X：5次试验中成功的次数。D：X=1，noulli试验， 1 A 答对一道题 ，则 P A 4 则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．
设X：该学生靠猜测能答对的题数
1 则 X ~ B 5， 4
所以
P至少能答对4道题 P X 4
P X 4 P X 5
k
lim 1 n
n n
nk
lim 1 n
n
n

nk n n
n
n
e

所以，
lim C p 1 pn
n k n k n
nk
n k
1 2 k 1 n lim 1 1 1 1 n k! n n n n
具体写出，即可得 X 的分布律：
6
5 252
8
35 252
9
70 252
10
126 252
例4
将 1 枚硬币掷 3 次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差． 试求 X 的分布律．
解
X 的取值为-3，-1，1，3． 并且
X
-3
1 8
-1
3 8
1
3 8
3
1 8
P
例5
X P
设离散型随机变量 X 的分布律为
0 1-p
1 p
则称随机变量 X 服从两点分布或0-1分布．
记作 X ~ B1 p ，
两点分布的概率背景
进行一次Bernoulli试验，设：
P A p ， PA 1 p q
令X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数． 或者说：令
1 若事件A发生 X 0 若事件A不发生
1, 次品 X ( ) 0 , 正品
例2
电脑寿命可用一个连续变量 T 来描述.
随机变量 ( random variable ) 定义 设 是试验E的样本空间, 若

按一定法则 实数 X ( ),
则称 X ( ) 为 上的 随机变量。 简记 r.v. X . r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写希腊字母 , , 表示.
例
设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布， 且已知
PX 1 PX 2
试求 PX 4 ．
解
随机变量 X 的分布律为
PX k

k
k!
e
k 0， 1， 2，
由已知
PX 1 PX 2
得
由此得方程 得解
1
1!
e
因此，最可能射击的命中次数为
k 132.44 132.
0
其相应的概率为
P( X 132) C 0.44 0.56 0.04636.
132 132 300