全概率公式贝叶斯公式推导过程

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概率论与数理统计：1_6全概率与贝叶斯公式

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三、全概率公式应用
例2. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比赛
取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛
取得3个新球的概率．
解：Ai={第一次比赛恰取出i个新球}（i=0,1,2,3 )
由乘法公式得， P(B/Ω1)= P(Ω1B)/P(Ω1)= P(Ω1B)，
所以，P(B)= P(Ω1B)，其中 Ω1为Ｅ1的基本空间件。
而，Ω1B= (A1+A2+…+An)B= A1B+ A2B+…+ AnB，从而有
n
n
P(B) P(1B) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
§１.6 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入二、全概率公式推导三、全概率公式应用四、贝叶斯公式及其应用
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全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式问题引入
引例1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
…
故 BAi BAj =Φ（i≠j），
按概率的可加性及乘法公式有
n
B BA1 BA2 BAn BAi
n
n
i1 n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
i 1
i 1

贝叶斯公式的分母本质上就是全概率公式

贝叶斯公式的分母本质上就是全概率公式
贝叶斯公式和全概率公式是概率论中的两个重要公式，它们在某些情况下可以相互转化。

首先，贝叶斯公式用于在给定一些其他变量的条件下更新一个变量的概率。

它的形式为：
P(AB) = (P(BA)P(A)) / P(B)
其中，P(AB)是在B发生的条件下A发生的概率，P(BA)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A)是A发生的概率，P(B)是B发生的概率。

其次，全概率公式用于计算一个事件发生的概率，它可以分解为若干个互斥事件的概率之和。

它的形式为：
P(B) = Σ P(Ai) P(BAi)
其中，P(B)是事件B发生的概率，P(Ai)是第i个互斥事件发生的概率，
P(BAi)是在第i个互斥事件发生的条件下事件B发生的概率。

从形式上看，贝叶斯公式的分母P(B)与全概率公式中的P(B)是相同的，因此可以说贝叶斯公式的分母本质上就是全概率公式的一部分。

但是，全概率公式中的分母是所有可能的互斥事件的概率之和，而贝叶斯公式中的分母只
是与目标事件相关的某个特定事件的概率。

因此，虽然贝叶斯公式的分母与全概率公式有相似之处，但它们的应用场景和意义是不同的。

全概率公式贝叶斯公式推导过程

全概率公式贝叶斯公式推导过程Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 Bi∩ Bj= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi ),P(A|Bi)(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式全概率公式（Law of Total Probability）和贝叶斯公式（Bayes' theorem）是概率论中的两个重要公式，用于计算复杂概率问题的解法。

在本文中，我们将详细介绍这两个公式的含义、推导过程和应用。

一、全概率公式（Law of Total Probability）设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分，即B1,B2,...,Bn两两互不相交，且它们的并集是整个样本空间S。

则对任何事件A，有如下公式成立：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)其中，P(A，Bi)是条件概率，表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率；P(Bi)是事件Bi的概率。

由概率的加法公式可知，P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+…+P(A∩Bn)利用条件概率的定义，P(A，Bi)=P(A∩Bi)/P(Bi)，将其带入上式中，有P(A)=P(A∩B1)/P(B1)P(B1)+P(A∩B2)/P(B2)P(B2)+…+P(A∩Bn)/P(B n)P(Bn)全概率公式的应用非常广泛。

例如，在医学诊断中，假设其中一种疾病的发病率与其中一种基因的突变有关，而该基因的突变状态是未知的。

根据现有的数据，可以计算出在其中一种突变状态下患病的概率。

全概率公式可以用来计算该疾病的总发病率，从而为医学诊断提供帮助。

二、贝叶斯公式（Bayes’ theorem）贝叶斯公式是概率论中的另一个重要公式，是在已知条件下计算事件的条件概率的一种方法。

该公式基于贝叶斯理论，可以通过已知的事实来更新假设的概率。

设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分。

则根据贝叶斯公式，对任何事件A和事件Bi有如下公式成立：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)]其中，P(Bi，A)是在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，称为后验概率；P(A，Bi)是在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，称为似然函数；P(Bi)是事件Bi的概率，称为先验概率。

全概率公式、贝叶斯公式推导过程

全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

1.5 全概率公式和逆贝叶斯公式

于是有
B B
B( A1 A2 Ak )
A1B A2 B Ak B 且有 A B, A B,, A B 两两互斥，所以有 1 2 k P( B) P( A1B A2 B Ak B) P( A1B) P( A2 B) P( Ak B) P( A1 ) P( B A1 ) P( Ak ) P( B An )
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式二、逆概率公式
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
例：袋中有10个球，其中8个白球，2个黑球。若甲先从袋中任取一球不放回，乙在从袋中任取一球，求乙取到的是白球的概率？
解：设 A 表示“甲取得白球”，A 为“甲取到黑球” B，表示 “乙取得白球”。
A A , A A
设有 n 张答卷，其中 k 张答“是”，于是回答“是”的比率是 w，可用频率 k / n 去估计，记为 w ˆ k/n 这里答“是”有两种情况：一种是摸到白球后，回答问题1，答“是”，这是一个条件概率，它是“生日是在7月1日之前”的概率，一般认为是； 0.5 0.5，即P(回答是摸到白球）另一种是摸到红球后，回答问题2，答“是”，这也是一个条件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中占比率所，即 P(回答是摸到红球）最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联系起来
例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2 只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，售货员随机的查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求顾客买下该箱玻璃杯的概率？解： A1 , A2 , A3 分别表示有0，1，2件残次品，则它们构成互斥完备群，B表示顾客买下该箱玻璃，则 P( A1 ) 0.8 P( A2 ) 0.1 P( A3 ) 0.1

贝叶斯公式与全概率公式的运用

贝叶斯公式与全概率公式的运用贝叶斯公式（Bayes' theorem）和全概率公式（Law of Total Probability）是概率论中最常用的两个定理，它们可以用于计算条件概率和概率的分布。

本文将详细介绍贝叶斯公式和全概率公式的运用。

首先，我们来介绍贝叶斯公式。

贝叶斯公式是由18世纪英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）提出的，它用于计算条件概率。

贝叶斯公式的一般形式如下：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

先验概率（prior probability）是指在没有新的信息或证据时，根据以往的经验或知识所做的概率判断。

先验概率可以通过观察历史数据或者领域知识得到。

后验概率（posterior probability）是在获得新的信息或证据后，对事件的概率进行更新的概率。

后验概率可以通过贝叶斯公式计算得到。

下面通过一个实例来说明贝叶斯公式的运用。

假设工厂生产的产品中有5%存在缺陷。

现有一种检测方法，对有缺陷的产品可以100%正确地检测出来，但对没有缺陷的产品会错误地报告为有缺陷的产品，错误率为10%。

现在随机从工厂中抽取了一个产品，并进行了检测，结果显示该产品为有缺陷的。

我们需要计算在这种情况下，该产品是真的有缺陷的概率。

首先，根据先验概率，我们知道有5%的产品是有缺陷的，即P(A)=0.05、根据条件概率，我们知道在产品有缺陷的情况下，检测结果正确的概率为100%，即P(B，A)=1、另外，由于100%正确地检测出有缺陷的产品，所以在产品没有缺陷的情况下，检测结果错误的概率为10%，即P(B，A')=0.1根据贝叶斯公式，我们可以计算后验概率：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)=1*0.05/P(B)P(B)表示检测结果为有缺陷的产品的概率，它可以通过全概率公式来计算。

概率论中的贝叶斯公式解析

概率论中的贝叶斯公式解析概率论是一门研究随机现象的数学学科，而贝叶斯公式是概率论中的一个重要工具。

本文将对贝叶斯公式进行解析，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、贝叶斯公式的基本概念贝叶斯公式是由英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）提出的，它用于计算在已知一些先验信息的情况下，根据新的观测数据来更新对事件发生概率的估计。

贝叶斯公式的表达形式如下：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B 独立发生的概率。

二、贝叶斯公式的推导过程贝叶斯公式的推导过程可以通过概率的乘法规则和全概率公式来完成。

首先，根据概率的乘法规则，我们知道P(A∩B) = P(B|A) * P(A)。

这里，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

其次，根据全概率公式，我们可以将事件B划分为若干互不相容的事件，即B = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn。

这里，B1、B2、...、Bn表示事件B的一个完备事件组。

根据全概率公式，我们可以得到P(B) = P(B1) * P(B|B1) + P(B2) * P(B|B2) + ... +P(Bn) * P(B|Bn)。

假设某种罕见疾病的发生率为1/10000，而一种新的医疗检测方法能够正确地识别出该疾病的概率为99%。

现在，某人接受了这种检测方法，结果显示他患有该疾病。

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全概率公式、贝叶斯公式推导过程
（1）条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
（2）乘法公式
1.由条件概率公式得：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
上式即为乘法公式；
2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥
（1）条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
（2）乘法公式
1.由条件概率公式得：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
上式即为乘法公式；
2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：
P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)
（3）全概率公式
1. 如果事件组B1，B2，.... 满足
，B2....两两互斥，即 B i∩ B j= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;
∪B2∪....=Ω ，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分
设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
上式即为全概率公式（formula of total probability)
2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件
AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)
3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

解：设..... P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=
（4）贝叶斯公式
1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有
上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，B i常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(B i)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(B i|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率
2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：
P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)
（3）全概率公式
1. 如果事件组B1，B2，.... 满足
，B2....两两互斥，即 Bi ∩ Bj = ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;
∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
上式即为全概率公式（formula of total probability)
2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)
3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。