精编考研数三真题及解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1)若0sin lim(cos )5x x xx b e a→-=-，则a =，b =.(2)函数(,)f u v 由关系式[(),]()f xg y y x g y =+确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2fu v∂=∂∂.(3)设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4)二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为.(5)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则=>}{DX X P .(6)设总体X 服从正态分布),(21σμN ,总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本,则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7)函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界() (A)(?1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).(8)设f (x )在(,)-∞+∞内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则()(A)0x =必是()g x 的第一类间断点.(B)0x =必是()g x 的第二类间断点. (C)0x =必是()g x 的连续点.(D)()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关.(9)设()(1)f x x x =-,则()(A)0x =是()f x 的极值点,但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B)0x =不是()f x 的极值点,但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(C)0x =是()f x 的极值点,且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (D)0x =不是()f x 的极值点,(0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.(10)设有下列命题：①若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.②若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.③若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散. ④若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以下命题中正确的是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④ (11)设)(x f '在[,]a b 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是()(A)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得)(0x f >()f a . (B)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f >()f b . (C)至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f =0.(12)设n 阶矩阵A 与B 等价,则必有()(A)当)0(||≠=a a A 时,a B =||.(B)当)0(||≠=a a A 时,a B -=||. (C)当0||≠A 时,0||=B .(D)当0||=A 时,0||=B .(13)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系() (A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.(14)设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ,对给定的)1,0(∈α,数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|,则x 等于()(A)2αu .(B)21αu-.(C)21αu -.(D)αu -1.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→.(16)(本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和 1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17)(本题满分8分)设f (x ),g (x )在[a ,b ]上连续，且满足⎰⎰≥xaxadt t g dt t f )()(，x ?[a ,b )，⎰⎰=babadt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤baba dx x xg dx x xf )()(.(18)(本题满分9分) 设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格(0,20)P ∈，Q 为需求量. (I)求需求量对价格的弹性d E (d E >0)；(II)推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19)(本题满分9分)设级数的和函数为()S x .求：(I)()S x 所满足的一阶微分方程；(II)()S x 的表达式. (20)(本题满分13分)设Tα)0,2,1(1=,Tααα)3,2,1(2-+=,Tb αb α)2,2,1(3+---=,Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(I)β不能由321,,ααα线性表示;(II)β可由321,,ααα唯一地线性表示,并求出表示式;(III)β可由321,,ααα线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式. (21)(本题满分13分)设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(I)求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ)求可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角矩阵.(22)(本题满分13分) 设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P ,31)|(=AB P ,21)|(=B A P ,令 求(I)二维随机变量),(Y X 的概率分布; (II)X 与Y 的相关系数XY ρ; (III)22Y X Z+=的概率分布.(23)(本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为其中参数1,0>>βα.设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(I)当1=α时,求未知参数β的矩估计量; (II)当1=α时,求未知参数β的最大似然估计量; (III)当2=β时,求未知参数α的最大似然估计量.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】1,4a b ==-【详解】本题属于已知极限求参数的反问题.方法1：根据结论：)()(limx g x f ＝A ，(1)若()0g x →，则()0f x →；(2)若()0f x →，且0A ≠，则()0g x →因为5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x (否则根据上述结论(2)给极限是0，而不是5)，由0lim()lim lim 10xx x x x ea e a a →→→-=-=-=得a =1.极限化00sin lim(cos )lim (cos )151x x x x xx b x b b e x→→- -=-=-等价无穷小，得b =?4.因此，a =1，b =?4.方法2：由极限与无穷小的关系，有sin (cos )5x xx b e aα-=+-，其中0lim 0x α→=，解出 上式两端求极限，000(5)(cos )sin (cos )sin limlim lim 10155x x x x x e x b x x b xa e ααα→→→+---==-=-=++ 把a =1代入，再求b ，(5)(1)cos sin x e b x xα+-=-，两端同时对0x →取极限，得因此，a =1，b =?4. (2)【答案】2()()g v g v '-【详解】应先写出f (u ,v )的表达式，再求偏导数令()u xg y =，v y =，从而：()()u ux g y g v ==，于是由[(),]()f xg y y x g y =+， 推知f (u ,v )=)()(v g v g u+， 所以)(1v g u f =∂∂，2fu v ∂∂∂1()f v u v g v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂== ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭2()()g v g v '=- (3)【答案】12- 【详解】方法1：作积分变换，令1x t -=，则11:2:122x t →⇒-→ 所以211122(1)()f x dx f t dt --=⎰⎰＝1121122()(1)f t dt dt -+-⎰⎰22211112222111122221111(1)(1)2222xx xxe dx dx e dx e ---=+-=--=-⎰⎰⎰11022=-=.(也可直接推出212120x xe dx -=⎰，因为21212x xe dx -⎰积分区间对称，被积函数是关于x 是奇函数，则积分值为零) 方法2：先写出的(1)f x -表达式()()21111,122(1)11,12x x e x f x x -⎧--≤-<⎪⎪-=⎨⎪- -≥⎪⎩即：2(1)13(1),22(1)31,2x x e x f x x -⎧-≤<⎪⎪-=⎨⎪-≥⎪⎩所以2322(1)2131222(1)(1)(1)x f x dx x edx dx --=-+-⎰⎰⎰2233(1)2(1)2211221311(1)22222x x e d x e --⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭⎰11441111()02222e e =--=-=-. (4)【答案】2. 【详解】方法1：因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=由二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑中，ij ji a a =，所以二次型对应的矩阵的i j 行,列元素是i j x x 与乘积项系数的一半，其中.i j ≠于是题中二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得从而2)(=A r ,由二次型的矩阵的秩等于二次型的秩，知二次型的秩为2.方法2：因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=2322321)(23)2121(2x x x x x -+++=2221232y y +=, 其中,21213211x x x y ++=322x x y -=. 二次型的秩()r f =矩阵的秩()r A =正负惯性指数之和p q +，所以此二次型的秩为2.(5)【答案】e1 【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算. 指数分布的概率密度为,0()00x e x f x x λλ-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若若，其方差21λ=DX .于是，由一维概率计算公式，{}()bX aP a X b f x dx ≤≤=⎰，有}{DX X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=11xe eλλ+∞--=(6)【答案】2σ. 【详解】根据公式()()()E XY E X E Y +=+和样本方差是总体方差的无偏估计量，又1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体简单随机样本，X 和Y 都服从正态分布即是12211[()]()1n i i E X X D X n σ=-==-∑，12211[()]()1n i i E Y Y D Y n σ=-==-∑. 所以有()1221[()]1n ii E XX n σ=-=-∑，()1221[()]1n i i E Y Y n σ=-=-∑对于题给式子将分子分离出来即可出现上式，也就不难求出结果.22212121[(1)(1)]2n n n n σσσ=-+-=+-,故应填2σ.二、选择题 (7)【答案】(A) 【详解】方法1：如果()f x 在(,)a b 内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数()f x 在(,)a b 内有界. 当x ?0,1,2时()f x 连续，而2211sin(2)sin(12)sin 3lim ()lim (1)(2)(11)(12)18x x x x f x x x x ++→-→------===-------， 220sin(2)sin(02)sin 2lim ()lim (1)(2)(01)(02)4x x x x f x x x x --→→----===-----，22sin(2)sin(02)sin 2lim ()lim (1)(2)(01)(02)4x x x x f x x x x ++→→--===----， 22111sin(2)sin(12)lim ()limlim (1)(2)(1)(12)x x x x x f x x x x x →→→--===∞----，222222sin(2)sin(2)1lim ()limlim lim (1)(2)(2)2x x x x x x x f x x x x x x →→→→--====∞----，所以，函数f (x )在(?1,0)内有界，故选(A). 方法2：因为0lim ()x f x -→存在，根据函数极限的局部有界性，所以存在0δ>，在区间[,0)δ-上()f x 有界，又如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，则f (x )在闭区间[a ,b ]上有界，根据题设()f x 在[1,]δ--上连续，故()f x 在区间上有界，所以()f x 在区间(1,0)-上有界，选(A).(8)【答案】(D) 【详解】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如果存在，是否等于g (0)，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.因为011lim ()lim()lim ()x x u g x f u f u x x →→→∞= = =a ，又(0)0g =， 所以，当0a =时，)0()(lim 0g x g x =→，即()g x 在点0x =处连续，当0a ≠时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即0x =是()g x 的第一类间断点，因此，()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关，故选(D). (9)【答案】C【详解】由于是选择题，可以用图形法解决，也可用分析法讨论.方法1：由于是选择题，可以用图形法解决,令()(1)x x x ϕ=-，则211()24x x ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，是以直线12x =为对称轴，顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，开口向上的一条抛物线，与x 轴相交的两点坐标为()()0,0,1,0，()()y f x x ϕ==的图形如图.点0x =是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点(0,0)是拐点，选C.方法2：写出()y f x =的分段表达式：()f x =(1),10(1),01x x x x x x ---<≤⎧⎨-<<⎩,从而()f x '=12,1012,01x x x x -+-<<⎧⎨-<<⎩,()f x ''=2,102,01x x -<<⎧⎨-<<⎩, ()00lim ()lim 1210x x f x x ++→→'=-=>，所以01x <<时，()f x 单调增， ()00lim ()lim 1210x x f x x --→→'=-+=-<，所以10x -<≤时，()f x 单调减， 所以0x =为极小值点.当10x -<<时,()20f x ''=>，()f x 为凹函数；当10x >>时,()20f x ''=-<，()f x 为凸函数,于是(0,0)为拐点. (10)【答案】(B)【详解】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. ①是错误的，如令nnu )1(-=，lim 0n n u →∞≠，所以∑∞=1n n u 发散，而()()2121()1111n n n uu ∞-=+=-++-++∑收敛.②是正确的，因为级数∑∞=+11000n n u 比级数∑∞=1n n u 少了前1000项，改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的敛散性，所以这两个级数同敛散.③是正确的，因为由1lim1>+∞→n n n u u ，从而有1lim 1n n nu u +→∞>，于是正项级数1n n u ∞=∑在项数充分大之后，通项严格单调增加，故lim0n n u →∞≠，从而lim 0n n u →∞≠，所以∑∞=1n n u 发散.④是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而11111()n n n u v n n n n ∞=⎛⎫⎛⎫+=-++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑收敛.故选(B).(11)【答案】(D)【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项. 方法1：举例说明(D)是错误的.例：2()4,11f x x x =--≤≤，11(1)220,(1)220x x f x f x =-=''-=-=>=-=-<.但在[1,1]-上()30f x ≥>.方法2：证明(A)、(B)、(C)正确.由已知)(x f '在[,]a b 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ，所以选项(C)正确；另外，由导数的定义0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，根据极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >，所以选项(A)正确.同理，()()()lim 0x bf b f x f b b x-→-'=<-，根据极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >.所以选项(B)正确，故选(D).(12)【答案】(D) 【详解】方法1：矩阵等价的充分必要条件：矩阵A 与B 等价⇔A ,B 是同型矩阵且有相同的秩,故由A 与B等价，知A 与B 有相同的秩.因此，当0||=A 时,n A r <)(,则有n B r <)(,即0||=B ,故选(D).方法2：矩阵等价的充分必要条件：A 与B 等价⇔存在可逆,P Q ，使得PAQ B =.两边取行列式，由矩阵乘积的行列式等于行列式的积，得PAQ P A Q B ==.,P Q 可逆，由矩阵A 可逆的充分必要条件：0A ≠，故00P Q ≠≠，但不知具体数值.由P A Q B =，知0A ≠时，B 不能确定.但0A =有0B =.故应选(D).方法3：由经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：(1)A 中某两行(列)互换得B ，则B A =-.(2)A 中某行(列)乘(0)k k ≠得B ，则B k A =.(3)A 中某行倍加到另一行得B ，则B A =.又由A 与B 等价，由矩阵等价的定义：矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，则称A 与B等价，知.B k A =±故当0A ≠时，0B k A =±≠，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但0||=A ，则0B =，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行列式值的非零性，即若0||=A 0B ⇒=，若0A ≠0B ⇒≠.故应选(D).(13)【答案】(B)【详解】由定理：若12,x x 是Ax b =的解，则12x x -是对应齐次方程组0Ax =的解，及12ξξ≠，得120ξξ-≠是0Ax =的解.由齐次线性方程组有非零解的充要条件，知()r A n <.,0*≠A 由伴随矩阵的定义，知A 中至少有一个代数余子式0,ij A ≠即A 中有1n -子式不为零，由()A r =秩的充要条件是A 的非零子式的最高阶为r ,故()1,r A n ≥-再由上面的()r A n <，得()1r A n =-，故基础解系所含向量个数为(1)1n n --=，故选(B). (14)【答案】(C)【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何0x >有{}{}{}12P X x P X x P X x >=<-=>.或直接利用图形求解. 方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是即有21}{α-=≥x X P ，可见根据分位点的定义有21α-=u x ，故应选(C). 方法2：图一图二如图一所示题设条件.图二显示中间阴影部分面积α，{}P X x α<=.两端各余面积12α-，所以12{}P X u αα-<=，答案应选(C).三、解答题(15)【详解】求“∞-∞”型极限的首要步骤是通分，或者同乘、除以某一式以化简.洛()0312sin 42lim 4x x x x→'⎛⎫- ⎪⎝⎭'201cos 4lim 6x x x →-=2202sin 2lim 6x x x →=sin 22x x 等2202(2)lim 6x x x →43=. (16)【详解】利用对称性与极坐标计算. 方法1：令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y xy x D ，根据二重积分的极坐标变换：()()12{(,)|,}D x y r r r αθβθθ=≤≤≤≤，则：1D σ化为极坐标：221{(,)|4}{(,)|02,02}D x y x y x y r θπ=+≤=≤≤≤≤所以1D σ20d πθ=⎰⎰2220d r dr πθ=⎰⎰；2D σ化为极坐标：2223{(,)|(1)1}{(,)|,02cos }22D x y x y x y r ππθθ=++≤=≤≤≤≤-所以2D σ32cos 22d πθπθ-=⎰⎰32cos 222d r dr πθπθ-=⎰⎰所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ区域D 关于x 轴对称，Dyd σ⎰⎰中被积函数y 为y 的奇函数，根据区域对称性与被积函数的奇偶性：设(),f x y 在有界闭区域D 上连续，若D 关于x 轴对称，(),f x y 对y 为奇函数，则(),0Df x y d σ=⎰⎰，所以0=⎰⎰Dyd σ所以)Dy d σ⎰⎰DDyd σσ=+⎰⎰16(32)9π=-. 方法2：)Dy d σ⎰⎰DDyd σσ=+⎰⎰D 20σ=+⎰⎰上半321616sin sin 333πππθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭16(32)9π=-.(17)【详解】令()F x f x g x =-（）（），⎰=xadt t F x G )()(.因为已知⎰⎰≥xax adt t g dt t f )()(，所以()()x aG x F t dt =⎰[]()()x xxaaaf tg t dt f t dt g t dt =-=-⎰⎰⎰（）（）0≥，[,]x a b ∈()G a ()aaF t dt =⎰0=,又⎰⎰=babadt t g dt t f )()(，所以()()b aG b F t dt =⎰()()()()b b baaaf tg t dt f t dt g t dt =-=-⎰⎰⎰0=从而()b axF x dx ⎰()()G x F x ' =()b axdG x ⎰分部积分()()bba axG x G x dx -⎰()()0G a G b == ()baG x dx -⎰，由于()0,[,]G x x a b ≥∈，故有0)(≤-⎰badx x G ,即()baxF x dx ⎰0≤也即是[]()()b ax f x g x dx -⎰()()b baaxf x dx xg x dx =-⎰⎰0≤因此⎰⎰≤ba b a dx x xg dx x xf )()(.(18)【详解】(I)由于需求量对价格的弹性d E >0，所以dPdQQ P E d =1005Q P =-()10051005P P P '--20P P -=-(0,20)P ∈ 20P P -； (II)由R PQ =，得要说明在什么范围内收益随价格降低反而增加，即收益为价格的减函数，0<dPdR，即证(1)01d d Q E E -<⇒>，换算成P 为120PP>-，解之得：10P >，又已知(0,20)P ∈，所以2010P >>，此时收益随价格降低反而增加.(19)【详解】对()S x 进行求导，可得到()S x 所满足的一阶微分方程，解方程可得()S x 的表达式.(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ， 易见(0)0S =， 因此()S x 满足下述一阶线性微分方程及相应的初始条件：()S x ')](2[2x S x x +=，(0)0S =. 即3()()2x S x xS x '-=，(0)0S =(II)3()()2x S x xS x '-=为一阶线性非齐次微分方程，其对应的线性齐次微分方程为：()()0S x xS x '-=，分离变量：()()dS x xdx S x =，两边积分：21ln ()2x S x C =+，22122()x x C S x e Ce +== 用常数变易法来求非齐次方程的通解：令()22()x S x C x e =于是：()()2222()x x S x xC x e C x e ''=+代入3()()2xS x xS x '-=：()()()22232222x x x x xC x e C x e xC x e'+-= 所以,()2322x x C x e dx c -=+⎰ 因为(0)0S =，所以()20220102S ce =--+=1c ⇒=,所以222()12x x S x e =--；或直接由通解公式，方程3()()2x S x xS x '-=的通解为由初始条件(0)0S =，得1C =.故222()12x x S x e =--. (20)【详解】β可否由321,,ααα线性表示的问题可以转化为线性方程组112233x x x αααβ++=是否有解的问题.因此，设可有数123,,,x x x 使得112233x x x αααβ++=.(*) 记),,(321αααA =.对矩阵),(βA 施以初等行变换,有⨯2行3+3行111101000a b a b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(I)当0=a 时,b 是任意数时，有1111(,)001000A b b β-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.可知，),()(βA r A r ≠.由非齐次线性方程组有解的充要条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，知方程组(*)无解,β不能由321,,ααα线性表示.(II)当0≠a ,且b a ≠时,由可知，3),()(==βA r A r ,由非齐次线性方程组有解得充要条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，由定理：设A 是m n ⨯矩阵，方程组Ax b =，则，(1)有唯一解()()r A r A n ⇔==；(2)有无穷多解()()r A r A n ⇔=<(3)无解：()1()r A r A ⇔+= 可知方程组(*)有唯一解.由同解阶梯形方程求解，得：111x a =-,21x a=,30x =． 此时β可由321,,ααα唯一地线性表示,其表示式为211)11(αaαa β+-=．(III)当0≠a ，0≠=b a 时,对矩阵),(βA 施以初等行变换,由1111(,)010000A a a β-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦111112011120000a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥÷--⎢⎥⎢⎥⎣⎦行行行1100110110000a a ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 可知，2),()(==βA r A r ,由定理：设A 是m n ⨯矩阵，方程组Ax b =，则，(2)有无穷多解()()r A r A n ⇔=<，知方程组(*)有无穷多解，其全部解为111x a =-,21x c a=+,3x c =，其中c 为任意常数． β可由321,,ααα线性表示,但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．(21)【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题,可以直接用0||=-A E λ求特征值，和0)(=-x A E λ求特征向量或将A 分解令(1)A B b E =+-，其中[1]n n B b ⨯=，则()A f B =，f 是多项式，求B 的特征值、特征向量. 【详解】 (I)方法1：10≠b 时，故，A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ．对b n λ)1(11-+=，因为矩阵的秩为1()(1)r E A n λ-=-，故方程组1()0E A x λ-=，基础解系的个数为1()n r E A λ--(1)1n n =--=，故有一个自由未知量.选1x 为自由未知量，取11x =,解得T ξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为T k ξk )1,,1,1,1(1 =(k 为任意不为零的常数)．对b λλn -===12 ，1110001()000b ⎛⎫⎪⎪÷- ⎪⎪⎝⎭行,2,,.i n =矩阵的秩为()1,2,,.i r E A i n λ-==故方程组()0,2,,i E A x i n λ-==，基础解系的个数为()i n r E A λ--1n =-，2,,.i n =故有1n -个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量,将他们的1n -组值(1,0,,0);(0,1,,0);(0,0,,1)---，得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．方法2：111b b b b A b b⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭(1)(1)(1)b b b bb b b b b b b b +-⎛⎫⎪+- ⎪= ⎪ ⎪+-⎝⎭[]111,1,,1(1)1b b E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)bB b E =+-，其中[],1,1,,1TTB ααα==若B 有特征值λ，特征向量ξ，则当f 是多项式时，()f B 有特征值()f λ，其特征向量仍是ξ.因()(),TTn ααααααα==故，nλ=是Tαα的特征值，其对应特征向量为[]11,1,,1Tξα==.从而有(1)T A b b E αα=+-，有特征值111(1)nb b n b λ=+-=+-，其对应特征向量仍是[]11,1,,1Tξα==.又()T TTαααα=，TB αα=是实对称阵，由可知()1r B =，由实对称矩阵的特性：()r E A n k λ-=-，其中k 为特征值的重数，故0λ=是TB αα=的1n -重特征值，其对应的特征向量应满足(0)0TTE x x αααα-=-=，即只需满足120n x x x +++=，其基础解系的个数为1n -，故有1n -个自由未知量.选23,,,nx x x 为自由未知量,将他们的1n -组值(1,0,,0);(0,1,,0);(0,0,,---.得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．从而知(1)TA b b E αα=+-有1n -重特征值(0)0(1)1f b b b λ==⨯+-=-.对应的特征向量仍是23,,,n ξξξ，其全部特征向量为 n n ξk ξk ξk +++ 3322(n k k k ,,,32 是不全为零的常数)． (Ⅱ)1当0≠b时，由A 与对角矩阵相似的充要条件：A 有n 个线性无关的特征向量，知，令),,,(21n ξξξP =，则2 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P ,均有E AP P =-1．(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。