工程数学第8讲

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2. 共形映射的概念 的邻域内是一一的, 定义 设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的 在z0具有保 角性和伸缩率不变性, 则称映射 则称映射w=f(z)在z0是共形的, 或称w=f(z)在z0是共形映射. 如果映射w=f(z)在D内的每 . 一点都是共形的, 就称w=f(z z)是区域D内的共形映射.
处的转动角， 处的转动角，并说明它 放大？哪一部分缩小？ 放大？哪一部分缩小？
解
将 z 平面的哪一部分
π ∴ 在 − 1 + 2 i处的转动角为 : arg f ' ( − 1 + 2 i ) = arg 4 i = . 处的转动角为 2 2 2 设 z = x + iy ，则 f ' ( z ) = 2 ( x + 1 ) + y
y z0
θ0
z0 = 1+ 1e = 0.5 + i 0.75 则 cosθ0 + i sinθ0 = −0.5 + i 0.75 cosθ0 = −0.5, sinθ0 = 0.75.
o
x
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z 在 0处 切 量: 正 向 z′(θ0 ) = ie
iθ0
= i(cosθ0 + i sinθ0 )
∂ϕ ∂ϕ + 2 =0 2 ∂ u ∂ v
2 2
4
注:可证明 可证明
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 2 ∂ ϕ 2 + 2 = f '(z) ( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂u ∂v
2 2 2 2
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§1 共形映射的概念
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z平面内的任一条有向连续曲线 平面内的任一条有向连续曲线C可用 z=z(t), α≤t≤β 表示, 它的正向取为t增大时点 增大时点z移动的方向, z(t)为一连 续函数. 则表示z 如果z '(t0)≠0,α<t0<β, 则表示 '(t)的向量(把起点放取在 z0. 以下不一一说明)与C相切于点 0=z(t0). 相切于点z z '(t0) z(t0) z(α) z(β)
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z(t0 +∆t) − z(t0 ) z′(t0 ) = lim ∆t →0 ∆t
计算（ ） x 例 计算（ − 1 2 + y2 = 1 0 在 （ .5, 0.75) 处的切线与 轴的正向的夹角 x .
圆周的参数方程： 解： 圆周的参数方程： z = 1+ e
iθ iθ0
0 ≤ θ ≤ 2π
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即 Arg w '(t0)−Arg z '(t0)=Arg f '( 0) (6.1.1) '(z − 如果假定x轴与 轴与u轴 轴与 轴的正向相同, 轴与v轴的正向相同 如果假定 轴与 轴, y轴与 轴的正向相同 而且将原来的切线 的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线C经 的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线 经 过w=f(z)映射后在 0处的转动角 则(6.1.1)式表明 映射后在z 处的转动角, 式表明: 映射后在 式表明 1)导数 1)导数f '(z0)的辐角Arg f '( 0)是 导数f )的辐角 的辐角Arg '(z )是 曲线C经过 经过w=f(z)映射后在 0处的转动角 映射后在z 曲线 经过 映射后在 处的转动角; 2)转动角的大小与方向跟曲线 的形状与方向无关 转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关 转动角的大小与方向跟曲线 的形状与方向无关. 所以这种映射具有转动角的不变性. 所以这种映射具有转动角的不变性
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y(z) C2 z0v(w)Γ2α
C1 w0
Γ1
O
O x u | w− w0 | 伸缩率| f ′(z) |≈ 由此看出映射w= f (z) | z − z0 |
也将很小的圆| z − z0 |= δ近似地映射成圆 | w− w0 |=| f ′(z0 ) | δ .
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例 试求变换 w = f ( z ) = z 2 + 2 z 在点 z = − 1 + 2 i
y
(z) ∆s P z r z0
v
w =f(z)
C Q0 w0
(w) Q ∆s w
ρ
G
P0
O
x
O
u
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平面内通过点z 设C为z平面内通过点 0的一条有向光滑曲线 它的参数方 为 平面内通过点 的一条有向光滑曲线, 程是: 程是 z=z(t), α≤t≤β, ≤ 增大的方向, 它的正向相应于参数t增大的方向 它的正向相应于参数 增大的方向 且z0=z(t0), z '(t0)≠0, α<t0<β. ≠ 映射w=f(z)将C映射成 平面内通过点 0的 将 映射成 平面内通过点z 映射成w平面内通过点 映射 对应点w 的一条有向光滑曲线G, 对应点 0=f(z0)的一条有向光滑曲线 的一条有向光滑曲线 它的参数方程是 w=f[z(t)], a≤t≤b ≤≤ 增大的方向. 正向相应于参数t增大的方向 正向相应于参数 增大的方向
第六章 共形映射
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本章先分析解析函数所构成的映射的特性,引 本章先分析解析函数所构成的映射的特性 引 出共形映射这一重要概念.这种映射在实际问 出共形映射这一重要概念 这种映射在实际问 题中,如流体力学，弹性力学， 题中 如流体力学，弹性力学，电学等学科中 如流体力学 都有重要应用。 都有重要应用。
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定理一 设函数w=f(z)在区域 在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f ' (z0)≠0, 则映射w=f(z)在z0具有两个性质: z 1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后 所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变 2)伸缩率的不变性. 即通过z0的任何一条曲线的伸缩率 z 均为|f '(z0)|而与其形状和方向无关 而与其形状和方向无关.
' 2 ' 1 ' 2 ' 1
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y
(z) ∆s P z r z0
v
(w) Q ∆σ w
C
P0
w =f(z)
Q0
ρ
Γ
w0
O
w− w0 f (z) − f (z0 ) ρ e ∆σ ρ ∆ s i(ϕ−θ ) = = iθ = ⋅ ⋅ e z − z0 z − z0 ∆ s ∆σ r re
iϕ
x
O
u
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定理二 如果函数w=f(z)在z0解析, f '( 0)≠0;且函数w=f(z)在z0的 '(z 邻域内是一一的, 则映射w=f =f(z)在z0是共形的, 而且Arg f '(z0)表示这个映射在z0的转动角 |f '(z0)|表示伸缩率. 的转动角, 如果解析函数w=f(z)在D内处处有 '(z)≠0;且是一一的, 内处处有f 则映射w=f(z)是D内的共形映射 内的共形映射.
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y
(z) C2 z0
v
(w)
Γ2
α
C1 w0
Γ1
O O x u 定理一的几何意义. 在D内作以 0为其一个顶点的小 内作以z 三角形, 在映射下, 得到一个以 0为其一个顶点的小 得到一个以w 曲边三角形, 这两个三角形对应边长之比近似为 |f '(z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形近似相似 则这两个三角形近似相似.
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因为一个拉普拉斯方程的解经过共形映射仍是 因为一个拉普拉斯方程的解经过共形映射仍是 相应的 拉普拉斯方程的解: ϕ( x, y)是拉普拉斯方程 定理 如果 2 2 ∂ϕ ∂ϕ =0 2 + 2 ∂x ∂ y 的解， 映成一u 的解，那么 若ϕ( x, y)由一共形映射 f映成一u，v的函
数,这个函数仍满足拉普拉斯方程 这个函数仍满足拉普拉斯方程
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根据复合函数求导法, 根据复合函数求导法 有 w ' (t0)=f ' (z0)z ' (t0)≠0 ≠ 因此, 上点w 因此 在G上点 0处也有切线存在 且切线正向与 轴正向的 上点 处也有切线存在, 且切线正向与u轴正向的 夹角是
Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0)
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cwz + dw − az − b = 0 −dw + b z= ,(−a)(−d) − bc ≠ 0 cw − a
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两个分式线性映射的复合, 仍是一个分式线性映射 例 仍是一个分式线性映射. 如 αζ + β w= (αδ − βγ ≠ 0), γζ +δ α' z + β' (α'δ '−β'γ ' ≠ 0), ζ= γ ' z +δ '
Q f '(z) = 2z + 2
f '(−1 + 2i ) = 4i
1 又 f ' ( z ) < 1 ⇔ ( x + 1) + y < 4 1 2 为心， 故 w = f ( z ) = z + 2 z 把以 − 1为心， 为半径 2 的圆周内部缩小， 的圆周内部缩小，外部 放大 .
2 2
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§2 分式线性映射
2
在许多物理应用中,要求一个二元实函数 要求一个二元实函数,它 在许多物理应用中 要求一个二元实函数 它 在已知区域调和,在边界上满足已知条件 在边界上满足已知条件.在一 在已知区域调和 在边界上满足已知条件 在一 些区域比较简单的情形,可从直接找到解析解 可从直接找到解析解, 些区域比较简单的情形 可从直接找到解析解 但当区域复杂时,可通过一个适当的共形映射 但当区域复杂时 可通过一个适当的共形映射 把比较复杂的区域映到比较简单的区域上去讨 论.