排列组合知识点归纳总结
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
组合排列知识点总结图

组合排列知识点总结图组合和排列是组合数学中的两个基本概念,它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
本文将对组合和排列的基本概念、性质、计算方法和应用进行详细总结。
一、组合的基本概念1.1 定义组合是指从n个元素中任取m个元素的一个过程,即从n个元素中选出m个元素的不同子集的个数,记作C(n,m)。
1.2 性质(1)组合数的对称性: C(n,m)=C(n,n-m);(2)组合数的递推关系: C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1);(3)组合数的定理: C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
1.3 计算方法(1)排列组合法: 通过从n个元素中选择m个元素,再对选出的元素进行排列,计算出不同子集的个数;(2)递推法: 利用组合数的递推关系计算组合数;(3)公式法: 利用组合数的定理计算组合数。
1.4 应用组合数在概率、统计、密码学、组合优化等领域有着广泛的应用,例如在概率中用于计算事件的发生可能性,在密码学中用于设计密码系统等。
二、排列的基本概念2.1 定义排列是指从n个元素中按照一定的顺序取出m个元素的一个过程,即从n个元素中选出m个元素的不同排列的个数,记作A(n,m)。
2.2 性质(1)排列数的递推关系: A(n,m)=n*A(n-1,m-1);(2)排列数的定理: A(n,m)=n!/(n-m)!。
2.3 计算方法(1)递推法: 利用排列数的递推关系计算排列数;(2)公式法: 利用排列数的定理计算排列数;(3)循环法: 利用循环的方法计算排列数。
2.4 应用排列数在数学、经济学、计算机科学等领域有着广泛的应用,例如在计算机科学中用于设计算法和数据结构,在经济学中用于研究排列相关的问题等。
三、组合排列的应用3.1 组合排列的求解(1)组合排列的具体问题求解:如从10个不同的元素中取3个元素,求排列数和组合数等;(2)组合排列的问题求解方法: 利用组合数和排列数的定义、性质和计算方法进行具体问题的求解。
排列组合知识点总结典型例题与复习资料解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定:组合数性质:.2nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,①;②;③;④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合知识点归纳总结高考题

排列组合知识点归纳总结高考题编号一:排列组合基础知识在高考数学中,排列组合是一个重要的考点。
掌握排列组合知识对于解决相关题目至关重要。
本文将对排列组合的基础知识进行归纳总结,并配以高考题进行实例分析。
1. 排列排列是从若干个元素中取出一部分元素,按照一定的顺序进行排列,形成不同的序列。
排列有两种情况:有重复元素的排列和无重复元素的排列。
1.1 有重复元素的排列当从 n 个元素中取出 r 个进行排列时(r ≤ n),若这些元素中有重复元素,则排列的总数为 P(n;r) = n! / (n1! × n2! × ... × nr!),其中 ni 表示第 i 个元素的个数。
【例题1】:某班上有 10 名学生,其中 5 名男生和 5 名女生,现要从这 10 人中选出 3 人组成一支足球队。
求不同的组队方案数。
解:由于男生和女生分别占一定数量,该问题属于有重复元素的排列。
根据公式可知,解法为 P(5;3) = 5! / (2! × 3!) = 10 种。
1.2 无重复元素的排列当从 n 个不同元素中取出 r 个进行排列时(r ≤ n),排列的总数为P(n;r) = n! / (n-r)!。
【例题2】:有 9 个不同的球队参加一场篮球比赛。
其中第一名和第二名分别获得冠军和亚军。
请问这 9 支球队的比赛有多少种可能的结果?解:由于每个球队的位置是不同的,问题属于无重复元素的排列。
根据公式可知,解法为 P(9;2) = 9! / 7! = 72 种。
2. 组合组合是从若干个元素中取出一部分元素,不考虑顺序,形成不同的组合。
同样地,组合也有两种情况:有重复元素的组合和无重复元素的组合。
2.1 有重复元素的组合当从 n 个元素中取出 r 个进行组合时(r ≤ n),若这些元素中有重复元素,则组合的总数为 C(n;r) = (n+r-1)! / (r! × (n-1)!)。
排列组合知识点总结

排列组合 二项式定理1,分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情) 分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法 2,排列3,组合组合定义 从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不同元素中,任取m (m≤n)个元素的所有组合个数 m n Cmn C =!!()!n m n m -性质 mn C =n mn C - 11mmm n n n C C C -+=+排列组合题型总结 一. 直接法1 .特殊元素法例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位。
分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择25A ,其余2位有四个可供选择24A ,由乘法原理:25A 24A =240 2.特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有35A =60,1不在千位时,千位有14A 种选法,个位有14A 种,余下的有24A ,共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。
如上例中(2)可用间接法2435462A A A +-=252 Eg 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?分析::任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个,其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个,这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432Eg 三个女生和五个男生排成一排(1) 女生必须全排在一起 有多少种排法( 捆绑法) (2) 女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻) (3) 两端不能排女生 (4) 两端不能全排女生(5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法二. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。
排列组合知识点

排列组合知识点排列组合的相关知识点什么是排列组合•排列组合是数学中的一个重要概念,用于描述从指定元素集合中选择和排列元素的方法和规律。
排列•排列是指从n个不同元素中,按照一定的顺序取出m个元素,且每个元素只能取一次,所能得到的不同的有序数列的个数。
•使用排列的公式可以计算出排列的数量:–全排列:P(n) = n!,表示将n个元素全部进行排列的情况。
–部分排列:P(n,m) = n! / (n-m)!,表示从n个元素中取出m个元素进行排列的情况。
组合•组合是指从n个不同元素中,选择出m个元素,且不考虑元素之间的顺序,所能得到的不同的无序数列的个数。
•使用组合的公式可以计算出组合的数量:–C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!),表示从n个元素中取出m 个元素进行组合的情况。
排列与组合的区别•在排列中,元素的顺序是重要的,而在组合中,元素的顺序是不重要的。
•例如从字母A、B、C中取出两个字母进行排列,可以得到AB、AC、BA、BC、CA、CB等6种情况。
而从A、B、C中取出两个字母进行组合,则只有AB、AC、BC三种情况。
应用场景•排列组合在许多领域都具有广泛的应用,如数学、计算机科学、概率与统计等。
•在数学中,排列组合是组合数学的分支之一,常用于解决计数问题。
•在计算机科学中,排列组合常被用于算法设计、数据压缩和密码学等领域。
•在概率与统计中,排列组合用于计算事件的可能性和统计分析。
总结•排列组合是数学中的重要概念,用于描述选择和排列元素的方法和规律。
•排列是有序的选择和排列元素的方式,而组合是无序的选择和排列元素的方式。
•排列组合在许多领域都有广泛的应用,如数学、计算机科学、概率与统计等。
中职排列组合数学知识点汇总

排列与组合1.计数原理(1)分类计数原理(加法原理):做一件事情可以分为几类办法,每一类都可以独立完成这件事情,那么完成这件事共有:12n N m m m =+++ 种不同的方法(2)分步计数原理(乘法原理):做一件事情要分为几步,每一步都完成了才能完成这件事情,那么完成这件事共有:12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法2、(1)排列:从n 个不同的元素中取出m 个元素(m ≦n ),按照一定顺序排成一列 (先选后排,符号A n m )(2)排列数公式: (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+阶乘:12)2()1(!⨯⨯⨯-⨯-⨯= n n n n ; 规定1!0=;3、(1)组合:从n 个不同的元素中取出m 个元素(m ≦n),不考虑顺序组成一组(只选不排,符号C n m )(2)组合数公式:(1)...(1)(1)...21m mn nm m A n n n m C A m m ⨯-⨯⨯-+==⨯-⨯⨯⨯ 4. 组合数性质:(1)规定:10=nC ; (2如731010C C =,511510410C C C =+。
5、二项式定理 0,r n r r n n n n C a b C a b n -++(1)通项:1r n r r r n T C a b -+=(2)二项式系数:r n C 叫做二项式系数【注意:二项式系数与项系数的区别】(3)所有二项式系数之和为:n n n n nC C C 2...10=+++: (4)展开式系数之和为:令1x = (或其他参数都取1)。
6.二项式系数的性质(1)与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即m n n m n C C -=(2)n 为偶数时,中间一项(第12n +项)的二项式系数最大; n 为奇数时,中间两项(第12n +项和112n ++项)的二项式系数最大; (3)公式:153142021022-=+++=+++=++++n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C。
排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-;(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nm nm mm ==--+=-11……!!!! 10=nC 规定:组合数性质:.2 nn n n n m n m n m n m n n mnC C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,,①;②;③;④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注:若12mm 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
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排列组合 二项式定理
1、分类计数原理 完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立的完成这个事情)分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法
2、排列
3、组合
组合定义 从 n 个不同元素中,任取 m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中,任取 m (m ≤n )个元素的所有组合个数 m
n
C =
m
n C !!()!
n m n m -性质 =m
n C n m
n C -1
1m m m n n n
C C C -+=+排列组合知识点归纳总结
排列组合题型总结 一. 直接法
1 .特殊元素法
例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字 1 不排在个位和千位
(2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。
A
5A 4分析:(1)个位和千位有 5 个数字可供选择
2 ,其余 2 位有四个可供选择 A 2
,由乘法原理:
=240 25A 2
4
A 2.特殊位置法
(2)544
当 1 在千位时余下三位有 A 3
=60,1 不在千位时,千位有 A 1
种选法,个位有 A 1
种,余下=192所以总共有192+60=252 4的有 A 2
,共有
14A 14A 2
4
A 2
4
35462A A A +-二 间接法 当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。
如上例中(2)可用间接法=252
Eg 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与
9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
分析::任取三张卡片可以组成不同的三位数 3 个,其中 0 在3
33
52A C ⨯⨯百
位的有 个,这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数2242⨯C ⨯2
2
A -=432 3
3
3352A C ⨯⨯2242⨯C ⨯22A Eg 三个女生和五个男生排成一排
(1)女生必须全排在一起 有多少种排法( 捆绑法)(2)女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻)(3)两端不能排女生(4)两端不能全排女生
(5)如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法A
二. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。
例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法?
分析:原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为 10 个,故有=1001
10
19A A ⨯中插入方法。
三. 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。
1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种(
)3324A C ,2,某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物园 30 天内不同的安排方法有( 19 )(注28
129A C ⋅29
意连续参观 2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C 1
其余的就是 19 所学校选 28 天进行排列)
四. 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法
例 5 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共 种 。
分析:此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有C 17
1 种
五 平均分推问题
eg 6 本不同的书按一下方式处理,各有几种分发?
(1)平均分成三堆,(2)平均分给甲乙丙三人
(3)一堆一本,一堆两本,A 一对三本
3,5
2,4
(4)甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案)(5)一人的一本,一人的两本,一人的三本A
分析:1,分出三堆书(a 1,a 2),(a 3,a 4),(a 5,a 6)由顺序不同可以有=6
3
3A 种,而这 6 种分法只算一种分堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有
=15种 3
3
2
2
2426A C C C 2,六本不同的书,平均分成三堆有 x 种,平均分给甲乙丙三人 就有x 种 3
3A 2226
42C C C
3,
5,1236
5
3
C C C
3
3A 1
2
3
653
C C C 五、合并单元格解决染色问题
Eg 如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答)。
分析:颜色相同的区域可能是 2、3、4、5. 下面分情况讨论:
(ⅰ)当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于 4个元素
①③⑤的全排列数
A
44
(ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得
种着色法.
A 4
4
(ⅲ)当 2、4 与 3、5 分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有
三个单元格
①
从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有种方法.
A C 3
334⋅ 由加法原理知:不同着色方法共有2=48+24=72(种)
A C A 3
33
44
4+练习1(天津卷(文))将3种作物种植
在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , 不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)
2、某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分(如图 3),现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种
1 2 3 4
5 2,4
一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有
种(以数字作答).(120)
图 3 图 4
3、如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以反
复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数.
(540) 4、如图 5:四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,
且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的
着色方法是
种(84)
图5
图6
5、将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色方法共
种(420)
5
4
6
13
2
E
D C
B A
43
2
1。