2.3.1双曲线标准方程(用)
2.3.1双曲线及其标准方程
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
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2.双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上 标准方程 焦点坐标 a,b,c 的关系
x2 a2
焦点在 y 轴上
y2 a2
− 2=1(a>0,b>0)
b
y2
− 2=1(a>0,b>0)
b
x2
(± c,0) c2=a2+b2
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问题导学
当堂检测
这两点与椭圆的定义有本质的不同,若|PF1|-|PF2|=2a<|F1F2|,点 P 的轨迹仅为双曲线焦点 F2 这一侧的一支,若|PF2|-|PF1|=2a<|F1F2|,点 P 的轨迹仅为双曲线焦点 F1 这一侧的一支,而双曲线是由两个分支组成 的,故定义中应为“差的绝对值”.
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:根据双曲线的定义,乙⇒ 甲,但甲 乙,只有当 0<2a<|F1F2|时, 其轨迹才是双曲线.
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根据双曲线的定义判断动点轨迹时,一定要注意双曲线的定义中 的各个条件,不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数 , 就认为其轨迹是双曲线,还要看该常数是否小于两个已知定点之间的 距离且大于零,否则就不是双曲线.
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2.3.1 双曲线及其标准方程1
2.3 双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程整体设计教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．第1课时教学目标知识与技能使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．过程与方法在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．情感、态度与价值观发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，通过引入b2，使方程形式更对称、简洁，无疑会让学生感到数学的特殊魅力，增强学生学习数学的浓厚兴趣．重点难点教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导.教学过程复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2.椭圆的标准方程(1)焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a>b>0)； (2)焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，(a>b>0)． 3．a 、b 、c 之间有何种关系？a 2＝c 2＋b 2.探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：(A) (B)活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？(几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解)请学生回答：1.不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a.3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线(一部分)．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F 1F 2|且大于零)下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？。
高中数学新课标选修2课件2.3.1双曲线及其标准方程
知识导图
学法指导
1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于 0 且小于|F1F2|” 这一限制条件的几何意义．
2．焦点 F1，F2 的位置是双曲线的定位条件，它决定着双曲线标 准方程的形式；参数 a，b 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定 形条件．
3．学习双曲线时要注意与椭圆的定义及其标准方程进行对比，有 比较才能鉴别，也能更深刻地记忆．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
标准方程
焦点 a，b，c 的关系
_ax_22_－__by_22_＝__1_(a_＞__0_，__b_＞__0_) __ay_22_－__bx_22＝__1_(_a_＞__0_，__b_＞__0)
(－__c_,_0_)，__(_c_,0_)__
∠F1PF2 ＝
∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
方法归纳
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一 ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式 S△PF1F2＝21×|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2 求得面积． (2)方法二：利用公式 S△PF1F2＝21×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标) 求得面积． 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条 件||PF1|－|PF2||＝2a 的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2 与|PF1|·|PF2| 的关系．
弦定理，得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半 径)．
2.3.1双曲线及其标准方程(二)
培养学生的动手计算、分析、归纳的能力。
教学重点
用待定系数法与定义法求双曲线的方程。
教学难点
用待定系数法与定义法求双曲线的方程。
教学方法
对比法、数形结合。
教学过程：
批注
活动一：创设情景、引入课题（5分钟）
问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？
1、双曲线的定义？2、双曲线方程的各种形式？
探究方法：若设点 ，则直线 ， 的斜率就可以用含 的式子表示，由于直线 ， 的斜率之积是 ，因此，可以求出 之间的关系式，即得到点 的轨迹方程．
补充练习：求下列动圆的圆心 的轨迹方程：①与⊙ ： 内切，且过点 ；②与⊙ ： 和⊙ ： 都外切；③与⊙ ： 外切，且与⊙ ： 内切．
解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆 的半径为 ．
①∵⊙ 与⊙ 内切，点 在⊙ 外，∴ ， ，因此有 ，∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左支，即 的轨迹方程是 ；
②∵⊙ 与⊙ 、⊙ 均外切，∴ ， ，因此有 ，∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的上支，∴ 的轨迹方程是 ；
③∵ 与 外切，且 与 内切，∴ ， ，因此 ，∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支，∴ 的轨迹方程是 ．
双曲线的标准方程:
标准方程
不
同
点
图
形
焦点坐标
相
同
点
定义
a、b、c的关系
焦点位置的判断
分母前谁为正值，焦点就在哪个轴上
注：①是 ；
②是 （要区别与习惯思维下的椭圆 ）；
③是定方程“型”与曲线“形”．
问题2：（1）2a=F1F2，则轨迹是什么？(两条射线)
2.3.1双曲线及其标准方程
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
定义 方程
| | MF1 | － | MF2 | | = 2a ( 2a ＜| F1F2
|)
x2 y2 a2 b2 1(a, b o)
x2 y2 b2 a2 1(a, b o)
图象
y
. .B
A1 o A x B1
y
. B.
A1 o A x B1
2
2
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
cx a 2 a (x c)2 y 2
(c2 a 2 )x2 a 2 y 2 a 2 (c2 a 2 )
令c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
小结
1.双曲线定义及标准方程
2.焦点位置的确定方法 3.求双曲线标准方程关键（定位，定量）
例 1. 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
双曲线中， c 2 = a 2 + b 2。
椭圆的标准方程中，哪个二次项的分母大， 焦点就在哪个相应的轴上；
高中数学选修2-1 2.3.1双曲线的标准方程(一)
3.求解方程
（1）建系 （2）设点 M(x,y) （3）限制条件 （4）代入等式 （5）化简整理
y M
O
x
MF1 MF2 2a 0 2a 2c
同学们亲手 练习！
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
4.双曲线的标准方程
2 2 x y y x 2 1(a 0, b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 在双曲线方程中, 总有
2 2 2
双曲线 | MF1 | | MF2 | 2a x2 y2 2 1 2 a b 2 2 y x 2 1 2 a b ( c , 0) (0, c ) c a b
2 2 2
方程
焦点 a , b, c 的关系
四、讲练结合
例1.课本P 47, 例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1 5, 0 , F2 5, 0 , 双曲线上一点P到F1 , F2 距离之差的绝 对值等于6.求双曲线的标准方程. 变式1.已知两点F1 5, 0 , F2 5, 0 , 求与这两点
(1)m ;
( 2)m ; (3)m 1; ( 4) 1 m 2
例3.求根据下列条件, 求双曲线的标准方程 (1)经过点P 3，10 ，Q 6， 2 的双曲线方程; ( 2)c 6 , 经过点( 5, 2), 焦点在x轴上. x y (3)已知双曲线与椭圆 1有共同的 27 36 焦点, 且过点
三、新知讲解
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1 , F2的距离之差的绝对值等 于常数2a (小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两 个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线 的焦距.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案含解析
2．3.1 双曲线及其标准方程[提出问题]问题1：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之和为12，动点P 的轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P 的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线． [导入新知]双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[化解疑难]平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ，关键词“平面内”．当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹不存在．[提出问题]问题1：“知识点一”的问题2中，动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：x 29－y 216＝1.问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(0,5)，F 2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29－x 216＝1.[导入新知]双曲线的标准方程[化解疑难]1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x ，y 的平方差，并且分母大小关系不确定．2．a ，b ，c 三个量的关系：标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a ＞b ＞0，而双曲线中，a ，b 大小不确定．[例1] 已知方程k －5－|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(－2,2)∪(5，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k －5)(|k |－2)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k －5＞0，|k |－2＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5＜0，|k |－2＜0.解得k ＞5或－2＜k ＜2. [答案] B [类题通法]将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．[活学活用]若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：选C 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k ＞1，∴k 2－1＞0，k ＋1＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．[例2] (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[类题通法]1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或x 2b 2－y 2a2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.[例3] 设P 为双曲线x 2－12＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[解] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2， 且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S V 12PF F ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B [类题通法]在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．[活学活用]若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，求△PF 1F 2的面积． 解：由题意PF 1―→·PF 2―→＝0， 得PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2. 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， |F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2) ＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.5.双曲线的定义理解中的误区[典例] 已知定点A (－3,0)和定圆C ：(x －3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过定点A ，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设M (x ，y )，设动圆与圆C 的切点为B ，|BC |＝4.则|MC |＝|MB |＋|BC |，|MA |＝|MB |，所以|MC |＝|MA |＋|BC |， 即|MC |－|MA |＝|BC |＝4＜|AC |.所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x <0)，且a ＝2，c ＝3，所以b 2＝5.所以所求圆心M 的轨迹方程是x 24－y 25＝1(x ≤－2)．[易错防范]1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．[成功破障]求与⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙C 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切的动圆圆心M 的轨迹方程． 解：∵⊙M 与⊙C 1，⊙C 2都外切， ∴|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋2. 从而可知|MC 2|－|MC 1|＝1＜|C 1C 2|.因此，点M 的轨迹是以C 2，C 1为焦点的双曲线的上支，且有a ＝12，c ＝1，b 2＝c 2－a 2＝34.故所求的双曲线的方程为4y 2－4x 23＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥12.[随堂即时演练]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )＞0，即－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：45．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. 解：(1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2得，b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.[课时达标检测]一、选择题1．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选 C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.2．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当点P 在点M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又∵c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.二、填空题6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1三、解答题9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2， 得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2， 故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简，得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C . (1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ， ∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为 x 2－y 23＝1(x ＞1)．。
2.3.1双曲线及其标准方程
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2.3.1
小结
(1) 双曲线标准方程的求解方法是 “ 先定型，后计
算”． 先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，从而设出 相应的标准方程． (2)在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨 论，或可直接设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1 (AB<0)． x2 y2 (3)与双曲线 2－ 2＝1 共焦点的双曲线的标准方程可设为 a b x2 y2 2 2 － ＝ 1( － b < λ < a )． a2－ λ b2＋ λ
点建立平面直角坐标系． (2)设点：设 M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的 焦点坐标为 F1(－c,0)，F2(c,0)． (3)列式：由|MF1|－|MF2|＝± 2a， 可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝± 2a. 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为 x2 y2 － ＝1 (a>0，b>0)． a2 b2 ① (4)化简： 移项， 平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
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2.3.1
问题 4 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列 各条件下点 P 的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6.
解 (1)∵| x＋52＋y2－ x－52＋y2|表示点 P(x，y) 到两定点 F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值， |F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|， 故点 P 的轨迹是双曲线．
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( x c ) y - ( x c ) y 2a ,
2
2
2
2
b x a y a b .
2 2
2 2
2 2
x y 2 1 2 a b
2
2
双曲线的标准方程:
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
双曲线的焦距在x轴,F 1, F 2坐标(c,0),(c,0)
2
A
3. 知 定 圆 1 : x y 10 x 24 0 已 F 2 2 F2 : x y 10 x 9 0 动 圆M 与 定 圆 1 , F2都 外 切 F , 求动圆圆心 的轨迹方程 M .
4 2 4 2 3 x y 1( x ) 9 91 2
M
双 曲 线 的 焦 距c(c 0 ), 2 则F1 , F2 坐 标( c ,0 ), (c ,0 ).
设M ( x , y )是 双 曲 线 上 任 一 点 ,
M
F1
F2
MF 1 MF 2 2a
| MF1 | ( x c) y , | MF2 | ( x c) y ,
1.双曲线的概念
平面内与两个定点F 1、 2 F 距离的差的绝对值是 “ 常数 小于 1 F| )的点的轨迹叫双曲线. （ |F 2
两定点F1,F2叫双曲线的焦点， F1,F2的距离叫双曲线的焦距。
说明: 1.距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支.
2.距离的差的绝对值必须小于焦距.
2.双曲线的标准方程
例2.已知双曲线焦点在 轴上,且双曲线上两点 y 9 P1 (3,4 2 ), P2 ( ,5),求双曲线的标准方程 . 4 2 2
例3 已知双曲线的焦点在x轴上，并且双曲线上
的两点P1、P2的坐标分别（ 2 , 3）， 15 （ 3 , 2 ），求双曲线的标准方程。
设法一：
设法二：
设法三：
2
2
F1
F2
4.求 下 列 双 曲 线 标 准 方 程 : (1).焦 点 坐 标 是 6,0), (6,0), ( 并 且 经 过 点 (5,2) A
x y 1 20 16
(2)经过点（ 3， 7），（ 6 2， 7 . 2 ）
2
2
y x 1 25 75
2
2
5、已知B(5,0), C (5,0)是ABC的两个顶点， 3 且 sin B sin C sin A, 求顶点A的轨迹方程 5
P
A
B
(2)如 图建 立 直 角 坐 标 系xOy, , 使A, B两 点 在 轴 上 x , O与A, B中 点 重 合 设 ( x , y ),则 P | PA | | PB | 2 340 680 2a 680, a 340 又 | AB | 800, 2c 800, c 400 2 2 2 b c a 44400 | PA | | PB | 680 0 x 0 P 所 求 双 曲 线 方 程 A 2 2 x y B 1( x 0) 115600 44400
y x 解 : 设 2 2 1( a 0,b 0) P , P2在 双 曲 线 上 , 适 合 方 程 1 a b ( 4 2 ) 2 3 2 2 1 2 b a 2 2 则 a 16,b 9 9 2 25 ( ) 2 42 1 b a 2 2 y x 1 16 9
2
2
（这里c2=a2+b2）
y x 2 1(a 0, b 0) 2 a b
若,双曲线的焦距在y轴, F 1, F 2坐标(0,-c),(0,c)
2
2
M
F2
F1
说明:1.双曲线有两种不同类型:
标准方 程 (a>0,b>0)
焦点在x轴标 x2 y2 2 1 2 a b
M
焦点在y轴标 2 2 y x 2 1 2 a b
x 2 6、设P为双曲线 y 1上一动点，O为 4 坐标原点，M为OP中点，求M的轨迹方程
2
x 2 7、已知双曲线 y 1与直线y x b 4 相交，求交点弦中点的 轨迹方程
2
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为
（ 2 , 3），（ 标准方程。
15 3
, 2），求双曲线的
例 4.一 炮 弹 在 某 处 爆 , A处 听 到 炸在 爆 炸 声 的 时 间 比 在 B处 2s. 晚 (1)爆 炸 点 应 在 什 么 的 曲 线 上 ? 样 (2)已 知 A, 地 相 距 800m, 且 B两 并 此 时 声 速 为 340m/ 求 曲 线 方 程 . s,
M
图 形
2
F2 F1
Hale Waihona Puke F1F2焦点坐标 F 1, F 2坐标(c,0),(c,0)
F 1, F 2坐标(0,-c),(0,c)
若x 项 系 数 是 正 的 焦 点 在 轴 上 ,则 x , 2 若y 项 系 数 是 正 的 焦 点 在 轴 上 ,则 y .
2.椭圆 与双曲 线方 程中b, c间关 系有区 别 a, : 2 2 2 椭圆 中 b c 且a b 0, a 2 2 2 双曲 线中 a b 且a, b, c大小 关系不 定 c .
x y 1.方 程 1 图形是双曲线 的 , k 5 | k | 2 则k取 值 范 围 ) ( A.k 5 B.k 5或 2 k 2 D. 2 k 2
2
2
C .k 2或k 2
B
x 2 2.F1 , F2是 双 曲 线 y 1 两 焦 点 的 , 4 0 点P在 双 曲 线 上 F1 PF2 90 , ,且 则F1 PF2面 积 是 ) ( A.1 5 B. 2 C .2 D. 5
3.常用思路:①定义法
②
待定系数法
例 .已知双曲线两个焦点的 1 坐标为 F1 ( 5,0), F2 (5,0),双曲线上一点 到 P F1 , F2的距离的差的绝对值对 6, 于 求双曲线的标准方程 .
2 2
x y 解 : 设 2 2 1(a 0, b 0) a b 2a 6,2c 10, a 3, c 5. 2 2 2 b 5 3 16. 2 2 x y 1 9 16