第12讲 切线放缩
高中数学必会技能——导数切线放缩常用到的两张切线图
高中数学必会技能——导数切线放缩常用到的两张切线图
今天我们要讲解的是：高中数学必会技能——导数切线放缩常用到的两张切线图。
封面
您也可以点击视频查看知识点：高中数学必会技能——导数切线放缩常用到的两张切线图
常用的切线放缩有,，e^x≥x+1（x=0取等），e^x≥ex（x=1取等），lnx≤x-1(x=1取等）,lnx≤x/e（x=e取等），其实他们就是y=e^x在（0，1）的切线，y=lnx在（1,0）的切线，以及他们过（0,0）的切线方程。
反应在坐标系中如下：
第一张切线图
当然我们也可以把常用的曲线放缩放进去，比如ln≥1-1/x(x=1取等号），lnx≥-1/ex,效果如下：
第一张切线图拓展
第二张切线图是当x∈[0，π/2）时，tanx≥x≥sinx，当且仅当x=0取等号。
图像如下：
第二张切线图
这两张切线图是我们高中数学中常用到的知识点，一定要记下来哦，如果您想学到更多的高中数学相关知识，可以关注GoFine数学。
GoFine数学每天精选一到高中数学题，难度中等偏上，适合90~140分学生段学习。
同学们只需每天花15分钟认真听讲与思考，坚持不懈，定能突破瓶颈期，取得长足的进步。
切线放缩证明超越不等式
（3）难点在于合理拆分函数，寻找它们的斜率相等的公
切线隔板----以直代曲，
注：切线放缩的一般原则：（1）先对数后指数；（2）合理选用放缩
（一般用得最多指数对数加减）
技能拓展：常见超越不等式谱系图
≥1++
2
≤
以
2
换
以
换
以 −≥
1 换
1
2 证明：当 ≥ 时， ≥ 0.
注：含参函数有时需要根据函数特征将原函数进行适当放缩.
【题2】 2018 ∙ 新课标Ⅲ ∙ 文 已知函数 =
2 证明：当 ≥ 1时， + ≥ 0.
2 +−1
注：复杂形式的函数需要将函数适当转化后再进行放缩.
课堂小结
1.切线放缩法实质是以直（切线）代曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原函数）；
2.切线放缩法中常用的两个定理必须先证明后使用；
3.证明流程为：求切线—构造差函数—证明差函数恒正（负）
--原不等式成立．
4.对于较为简单的导数试题，往往只涉及到一次切线放缩，但是
有些压轴试题涉及到两次不同的切线放缩．
+）
注意事项：
g ( x) min g (0) 0,
（1）适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的
问题（需合理拆成两个函数）----数形结合；
g ( x) 0,
（2）两函数有斜率相同的切线，通过引入一个中间量
又 等号不能同时取到
分别证明两个不等式成立，然后利用传递性就可以了；
切线放缩证明超越不等式
超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），
第12讲 切线放缩(含答案)
2020本讲义由作业帮周永亮老师（白哥）独家编撰，侵权必究知识导航1．两个常见的切线放缩公式（1） ;（2）2．切线放缩在求导过程中的应用在求导的过程中，我们很多时候需要求二次导，乃至三次或多次，其实，对于几乎所有的问题，如果我们能够很好的利用放缩的技巧的话，我们最多只需要求二次导就可以了.3．切线放缩在数列不等式中的应用数列不等式有很多种，其中有一种最常见的叫做“拆和之函数放缩”，而这个函数，一般都是由我们这两个最常见的切线放缩公式演变而来的．知识札记例2（★★★☆☆）（2018·河北石家庄市一模）已知函数（）在处的切线方程为．（1）求，．（2）若，证明：．（1）由题意解答:所以又所以若，则，与矛盾，故，（2）由上题可知，当时，，易证：例1（★★★☆☆）（2018·河北保定市模拟【文】）已知函数，函数，证明：当且时，．若证,即证明：解答:，易证，当时，,即又，即当，时，考点1 切线放缩的基础应用注：本讲对于切线放缩公式的应用，都写了易证，但在正常考试中，需要同学们证明.经典例题12例4（★★★★☆）已知函数，在点处的切线方程为．（1）求，；（2）证明：．（1）函数解答:求导函数可得（）曲线在处的切线方程为，，（2）函数要证，需证，即证（）也就是证例3（★★★★☆）证明：．若证，即证解答:由已知条件得，又因为，当时，易证：所以，当时，又因为，，所以，又，当时，易证所以，当时，易证所以，当时，所以，所以，原不等式得证.考点2 切线放缩拓展应用所以，又当时，，所以，当时，，所以，此时，因为，所以所以，综上，若，证明：．例6（★★★★★）（2018·江苏泰州市期末【文】）已知函数，（，），当，时，求证：．当时，解答:易证：，例5（★★★★☆）（2017·黑龙江大庆市期中【文】）已知，求证：当时，恒成立．令（）解答:（）恒成立因此在上单调递增且所以（）恒成立因此当时，所以，，即，即又因当时为，,所以，当时，易证，即所以，所以，即当时，恒成立.令，则对于恒成立则，则令则当时，，当时，在上为减函数，在上为增函数则的最小值为即故例8（★★★★☆）证明：当，时，．考点3 切线放缩在数列不等式中的应用例7（★★★★★）证明：．构造函数（）解答:令，则当，；，当时，有最小值，即成立当时，成立因为因而只需证明：，恒有已知：（证明略）因此只需证明：当时，恒有，且等号不能同时成立当时，设，则当时，是单调递增函数，且因而时恒有从而时，单调递减从而即故，（）即例11（★★★★☆）（2013·安徽合肥市月考【理】）设函数（），数列满足：，（）．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．（1）解答:又例10（★★★★☆）（2018·辽宁月考【文】）求证：（）．欲证（），即证解答:易证（当且仅当时取等）取，则，即同理，，，，以上各式相加，得故（）得证例9（★★★★☆）（2016·湖南模拟【理】）证明不等式：（）．易证，当且仅当时等号成立解答:令（），则代入上面不等式得：即，即所以，，，，将以上个不等式相加即可得到：当时，易证：，所以，解答:又因为，所以，即练2（★★★★★）（2017·重庆渝中区模拟【理】）已知函数（为实数，为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线平行．（1）求实数的值；（2）证明：当时，．（1）解答:由题设可知曲线在处的切线的斜率解得（2）当时，等价于当时,易证，两边取自然对数，得（）要证明（），只需证明（）即证当时，①设（），则令（）则，当时，，当时，练1（★★★☆☆）（2017·贵州一模【文】）已知函数，证明：对任意，成立．若证，即证明：解答:易证：当，时，即对任意，成立课后练习为首项是、公比为的等比数列（2）易证，所以，所以，原不等式得证练3（★★★★☆） （2016·全国卷）求证：当且时，．当时，易证解答:设，所以，，所以，，即令（且），则化简得同理将上述各式相加可得所以，且时，在区间内单调递减，在区间内单调递增又，，存在，使得当时，，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增又当且仅当时，取等号，即式成立①。
导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)
导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)导数证明中的常用放缩在导数证明中，常用的放缩方法有切线放缩、对数放缩、指数放缩、指对放缩和三角函数放缩等。
其中，常用的放缩公式包括对数放缩和指数放缩。
一、常用放缩公式1.对数放缩对数放缩常常可以将一个函数放缩成一次函数或双撇函数，常用的对数放缩公式包括：lnx≤x-1，lnx<x，ln(1+x)≤xlnxx-1/x，x>1lnxx/2，0<x<1lnx≤x^2-x，ln(1+x)≤x-x^2/2，-1<x<∞ln(1+x)≥x/(1+x)，ln(1+x)>x/2，x>02.指数放缩指数放缩常常可以将一个函数放缩成一次函数或二次函数，常用的指数放缩公式包括：ex≥x+1，ex>x，ex≥ex，x≤0ex<1-x，ex<1-x+x^2/2，x<0ex≥1+x+x^2，ex≥1+x+x^2+x^3，x>03.指对放缩指对放缩常常可以将一个函数的导数放缩成一个常数，常用的指对放缩公式包括：ex-lnx≥(x+1)-(x-1)/2，x>04.三角函数放缩三角函数放缩常常可以将一个函数放缩成一个三角函数或二次函数，常用的三角函数放缩公式包括：XXX<x<tanx，sinx≥x-x^2，-1≤x≤1cosx≤1-sin^2x，-1≤x≤1二、经典例题以函数f(x)=lnx+ax^2+(2a+1)x为例，讨论其单调性和当a<0时的最大值。
1) 解f(x)的定义域为(0,∞)，求导得f'(x)=1/x+2ax+2a+1.当a≥-1/2时，f'(x)>0，因此f(x)在(0,∞)上单调递增；当a<-1/2时，f'(x)<0，因此f(x)在(0,∞)上单调递减。
2) 当a0，因此g(x)在(0,∞)上单调递增，且有g(x)≤g(1)=ln1-2/3=-2/3.又因为f(x)可以表示为f(x)=g(x)+(2a+1)x+ax^2+2/3x，因此有f(x)≤g(1)+(2a+1)x+ax^2+2/3x=-2/3+(2a+1)x+ax^2+2/3x=2/3x+ax^2+(2a+1)x-2/3.当2/3x+ax^2+(2a+1)x-2/3取到最大值时，有x=-(2a+1)/(2a),此时f(x)的最大值为-2/3+(2a+1)^2/(4a)-a(2a+1)^2/(4a)=-3/4a。
切线放缩公式大全
切线放缩公式大全切线放缩公式是微积分中的重要概念之一，它在曲线的切线近似及其应用中起到了关键作用。
本文将为您介绍切线放缩公式的相关内容。
一、切线的定义在微积分中，对于给定函数y=f(x)，在点(x_0, y_0)处，函数的切线是通过该点且与函数图像在该点相切的线。
切线的斜率等于函数的导数在该点处的值，切线的方程可以通过斜率和点的坐标得到。
二、切线的斜率对于函数y=f(x)，在点(x_0, y_0)处的切线斜率可以通过函数的导数在该点处的值f'(x_0)计算得到。
切线的斜率公式如下：k=f'(x_0)三、切线放缩公式切线放缩公式是指通过一个点的切线来近似曲线的局部行为。
在切线放缩公式的推导中，关键是需要利用到函数的导数。
1. 斜率形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，对于点(x_0, y_0)处的切线近似曲线的情况，可以使用切线的斜率和点的坐标来表示切线放缩公式。
切线放缩公式如下：y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)2. 一阶泰勒展开形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，可以使用一阶泰勒展开来近似曲线的局部行为。
一阶泰勒展开形式的切线放缩公式如下：f(x) ≈ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)3. 二阶泰勒展开形式的切线放缩公式在给定函数y=f(x)的情况下，可以使用二阶泰勒展开来更精确地近似曲线的局部行为。
二阶泰勒展开形式的切线放缩公式如下：f(x) ≈ f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2四、切线放缩公式的应用切线放缩公式在微积分中有广泛的应用，特别是在近似计算、求解极限、曲线的性质分析和图像的绘制等方面。
以下是切线放缩公式的一些应用案例：1. 近似计算通过使用切线放缩公式，可以对函数在某一点附近的取值进行近似计算，避免了对整个函数进行详细计算的复杂性。
切(割)线放缩
在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可 以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种 非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律， 更能使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问 题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化 后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝ 0时取等号；(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.
题型二 双切线放缩
例 1 (2023·福州模拟)已知函数 f(x)＝xln x－x.若 f(x)＝b 有两个实数根 x1， x2，且 x1<x2.求证：be＋e<x2－x1<2b＋e＋1e.
f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x. 令f′(x)>0，得x>1； 令f′(x)<0，得0<x<1， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减. 因为f(x)＝b有两个实数根x1，x2，且x1<x2. 所以0<x1<1<x2， 先证不等式 x2－x1<2b＋e＋1e，
设直线y＝b与直线l1交点的横坐标为x′1， －x′1－1e＝f(x1)≥－x1－1e，则 x′1≤x1， 设直线y＝b与直线l2交点的横坐标为x′2， 同理可证x2≤x′2， 因为 x′1＝－b－1e，x′2＝b＋e， 所以 x2－x1<x′2－x′1＝b＋e－－b－1e
＝2b＋e＋1e(两个等号不同时成立)， 因此 x2－x1<2b＋e＋1e. 再证不等式x2－x1>be＋e， 函数f(x)图象上有两点A(1，－1)，B(e,0)，
切线放缩的概念
切线放缩的概念切线放缩是数学中的一个重要概念，主要应用在微积分领域。
它指的是通过对函数图像进行适当的平移和伸缩，来通过切线的性质来近似估算函数的值。
切线放缩的基本思想是，当一个函数在某一点处连续可导时，它的切线可以很好地近似函数在该点附近的变化情况。
我们可以通过对切线的平移和伸缩来近似估算函数在该点的函数值。
具体来说，我们可以通过函数在某一点的切线斜率来估算函数在该点的函数值。
对于一个函数f(x)，如果它在x=a 处可导，那么它在该点的切线斜率为f'(a)。
切线方程可以表示为：y = f(a) + f'(a)(x-a)。
如果我们要近似估算函数在x=a 处的函数值f(a)，我们可以通过切线向函数的函数值的偏差来进行近似。
具体来说，我们可以将切线方程中的x 替换为a，得到y = f(a) + f'(a)(a-a) = f(a)。
这说明切线方程上的点(a, f(a)) 就是函数在该点的函数值。
切线放缩的思想可以通过一个例子来说明。
假设我们要计算函数f(x) = x^2 在x=2 处的函数值。
我们可以通过切线放缩来近似估算。
首先，我们需要计算函数在x=2 处的斜率。
函数f(x) = x^2 的导数为f'(x) = 2x，所以f'(2) = 2*2 = 4。
这说明函数在x=2 处的切线斜率为4。
接下来，我们可以利用切线方程y = f(a) + f'(a)(x-a) 来构建切线方程。
由于我们要估算的点是x=2，所以a=2。
因此切线方程可以表示为y = f(2) + f'(2)(x-2) = 2 + 4(x-2) = 4x - 6。
现在我们可以用切线近似估算函数在x=2 处的函数值。
当x=2 时，切线方程为y = 4*2 - 6 = 2。
因此，函数f(x) = x^2 在x=2 处的函数值约为2.切线放缩不仅适用于简单的函数，也可以应用于复杂的函数。
对于复杂函数，我们可以通过将函数进行局部的平移和伸缩来近似估算函数值。
切线放缩的原理
切线放缩的原理
切线放缩的原理是基于函数的二阶导数。
如果函数在某点处的二阶导数大于0，则函数在该点处向上凸；如果二阶导数小于0，则函数在该点处向下凸；如果二阶导数为0，则该点可能是函数的拐点。
切线放缩是优化算法中的一种方法，通过限制函数的一些特定性质来确定函数的最小值或最大值。
例如，对于函数f(x) = x^2 + 3x - 5，我们可以使用切线放缩法来寻找其在定义域[-2,2]上的最小值。
由于函数在定义域内处处向上凸，我们可以选择一个切线使其与函数图像相切，然后将这个切线向左右两边移动，直到它与函数图像的交点构成的区间完全包含在定义域内，从而找到函数的最小值或最大值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第12讲切线放缩
本讲义由作业帮周永亮老师（白哥）独家编撰，侵权必究
知识导航
1．两个常见的切线放缩公式
（1） ;
（2）
2．切线放缩在求导过程中的应用
在求导的过程中，我们很多时候需要求二次导，乃至三次或多次，其实，对于几乎所有的问题，如果我们能够很好的利用放缩的技巧的话，我们最多只需要求二次导就可以了.
3．切线放缩在数列不等式中的应用
数列不等式有很多种，其中有一种最常见的叫做“拆和之函数放缩”，而这个函数，一般都是由我们这两个最常见的切线放缩公式演变而来的．
知识札记
例2（★★★☆☆）（2018·河北石家庄市一模）
已知函数（）在处的切线方程为
．
（1）求，．
（2）若，证明：．
例1（★★★☆☆）（2018·河北保定市模拟【文】）
已知函数，函数，证明：当且时，．
考点1 切线放缩的基础应用
注：本讲对于切线放缩公式的应用，都写了易证，但在正常考试中，需要同学们证明.
经典例题
例5（★★★★☆）（2017·黑龙江大庆市期中【文】）
已知，求证：当时，恒成立．
例4（★★★★☆）
已知函数，在点处的切线方程为．（1）求，；
（2）证明：．
例3（★★★★☆）
证明：．
考点2 切线放缩拓展应用
例8（★★★★☆）
证明：当，时，．
考点3 切线放缩在数列不等式中的应用
例7（★★★★★）
证明：．
例6（★★★★★）（2018·江苏泰州市期末【文】）
已知函数，（，），当，时，求证：．
例11（★★★★☆）（2013·安徽合肥市月考【理】）
设函数（），数列满足：，（）．（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
例10（★★★★☆）（2018·辽宁月考【文】）
求证：（）．
例9（★★★★☆）（2016·湖南模拟【理】）
证明不等式：（）．
课后练习
练1（★★★☆☆）（2017·贵州一模【文】）
已知函数，证明：对任意，成立．
练2（★★★★★）（2017·重庆渝中区模拟【理】）
已知函数（为实数，为自然对数的底数），曲线在处的切线与直线平行．
（1）求实数的值；
（2）证明：当时，．
练3（★★★★☆）（2016·全国卷）
求证：当且时，．。