圆锥曲线的中点弦,焦点三角形,第二定义学生版

关于圆锥曲线的中点弦问题
一、求中点弦所在直线方程问题
例1 过椭圆14
162
2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

二、求弦中点的轨迹方程问题
例2 过椭圆136
642
2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。

三、弦中点的坐标问题
例3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42
=截得线段的中点坐标。

例1、求椭圆1
16252
2=+y x 斜率为3的弦的中点轨迹方程。

例2、已知椭圆),0(122
2
2>>=+b a b y a x A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴
例3、已知抛物线C ：
x y =2，直线
,1)1(:+-=x k y l 要使抛物线C 上存
在关于l 对称的两点，k 的取值范围是什么？
与抛物线有关的弦的中点的问题
（1）中点弦问题：
例1 由点)0,2(-向抛物线x y 42=引弦，求弦的中点的轨迹方程。

（2）弦中点轨迹问题
例2 已知抛物线x y 22=，过点)1,2(Q 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，试求弦AB 的中点轨迹方程。

例3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。

1 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为
3
π
的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．
2已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆
截得的弦长为5
10
2，求直线的方程．
3以椭圆
13
122
2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所
作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．
焦点三角形（椭圆）
1、 已知椭圆
124
492
2=+y x 上一点P 与两焦点连线的夹角是直角，求21PF PF ⋅的值。

2.椭圆x 2100＋y 2
64＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°， ，求21PF PF ⋅的值。

3.已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，
θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．
探究提升 4.椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的二个焦点F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，且
021=⋅M F M F 。

求离心率e 的取值范围.
．焦点三角形：（双曲线）
1（（2010全国卷1文）（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、
右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =0
60，则12PF PF ∙=（ ）
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
2．（2010全国卷1理）(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为（ ）
(A)
2
(B)2
同类：（05全国）已知双曲线2
2
12
y x -=的焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线上满足120MF MF ∙= ，则点M 到x 轴的距离是_____
3. (08全国Ⅱ文)设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=
，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．
2
2
1+ B ．
2
3
1+ C ． 21+ D ．31+
4．（08四川文）已知双曲线22
:
1916
x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于()
（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96
5．（07辽宁）设P 为双曲线2
2
112
y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ） A
．
B ．12
C
．
D ．24
6．（06江西）已知12F F ，为双曲线22
221(00)a b x y a b a b
≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异
于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题（ ）
Ａ．12PF F △内切圆的圆心必在直线x a =上;Ｂ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上；
Ｃ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上；Ｄ．12PF F △的内切圆必通过点0a ()，
． 其中真命题的代号是
（写出所有真命题的代号）．
7．（07湖北）过双曲线13
42
2=-y x 左焦点F 的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|+|NF 2|-|MN|的值为
8设
P
为双曲线
22
112
y x -=上的一点，12
F F ，是该双曲线的两个焦点，
12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）
A ．
B ．12 C. D ．24
第二定义
1、一个椭圆的离心率为e=0.5，准线方程为x =4，对应的焦点F （2，0），则椭圆的方程为 ．
2、椭圆221625400x y +=的长轴与半短轴的和等于 , 离心率等于 , 焦点的坐标是 ,顶点的坐标是 ,准线方程是 ,左焦点到右准线的距离等于 .通径是__________.
3、点P 与定点F （4，0）的距离和它到定直线4
25
=
x 的距离之比是4：5，则点P 的轨迹方程是_____________. 4、椭圆252x +9
2
y =1的离心率是____________，准线方程是____________.
5、点P 与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，点P 的轨迹方程为
__________________________.
6、椭圆的两焦点把准线间的距离三等分，则这椭圆的离心率是______________
7、椭圆的中心为()0,0，对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点构成面积为12的三角形，两准线间的距离是
2
25
，则此椭圆方程是____________ 8、已知椭圆的焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是其一条准线. ⑴求此椭圆方程；
⑵又设P 在椭圆上并且满足|PF 1|－|PF 2|=1，求tg ∠F 1PF 2. 双曲线
1（2010江西理）.点00()A x y ，在双曲线22
1432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = 2．（2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
112
42
2=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是__________
3．（07四川）如果双曲线
22
142
x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ）
（A （B （C ） （D ）
4．（06广东改编）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的一点P 到右焦点的距离与该点到右准线的距离之比等于_______
5．（08浙江）若双曲线12222=-b
y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是：
（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5
6．（07重庆）过双曲线422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0
105的直线，交双曲线于P 、Q 两点，则|FP|⋅|FQ|的值为__________.。