2.3用公式法解一元二次方程(第1课时)-北师大版九年级数学上册同步练习

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同步练习题：用公式法求解一元二次方程

2.3 用公式法求解一元二次方程同步练习题 2023-2024学年北师大版九年级数学上册一、选择题1.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A.x2+1=0B.9x2-6x+1=0C.x2-x+2=0D.x2-2x-2=02.把一块长80cm、宽60cm的矩形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm的无盖长方体盒子.设小正方形的边长为xcm，则可列出方程为( ）A.x2-70x+825=0B.x2+70x-825=0C.x2-70x-825=0D.x2+70x+825=03.关于x的一元二次方程x2+4x十k=0有两个实数根，则k的取值范围是( )A.k≤-4B.k＜-4C.k≤4D.k＜44.关于x的一元二次方程x2-(k十3)x十k=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.若关于x的一元二次方程x(x+1)十ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( ).A.-1B.1C.-2或2D.-3或16.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，与其相邻的另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ）A.7mB.8mC.9mD.10m.7.如图，在长为100m、宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化.要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为xm，则可列方程为( ).A.100×80-100x-80x=7644B.(100-x)(80-x)+x2=7644C.(100-x)(80-x)=7644D.100x+80x=3568.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程且有两个相等的实数根，那么下列结论正确的是( ).A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c9.关于x的一元二次方程x2-23x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ).A.m<3B.m>3C.m≤3D.m≥3二、填空题10.方程(2x-1)(x+3)=15的根的判别式的值是________.11.关于x 的一元二次方程x 2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为______.12.关于x 的方程mx 2-2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是______.13.关于x 的一元二次方程x 2-kx+1=0有两个相等的实数根，则k=______.14.已知关于x 的方程(k-1)x 2-2kx+k-3=0有两个相等的实数根，则k 的值是____.15.一个软件群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有870条消息，则这个软件群里的好友个数为________.16.某市体委要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空.解：设应邀请x 支球队参加比赛，则每队共打______场比赛，比赛总场数用代数式表示为___________，根据题意，可列出方程为________________，整理得____________，解这个方程，得____________,经检验，符合实际的解为______________,答：应邀请_____支球队参加比赛.三、解答题17.用公式法解下列方程：(1)x 2-2x-1=0; (2)x 2+16=8x; (3)6(x+3)=x(x+3); (4)2x 2-4x-2=0.18.若关于x 的一元二次方程x 2-(2a+1)x+a 2=0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.19.两个正方形的面积和为106cm 2，它们的周长差是16cm ，求这两个正方形的边长分别为多少厘米.20.当m 取什么值时，关于x 的方程41x 2+(m+2)x+m 2=4, (1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？21.如图，有一块矩形空地，一边靠着20m的墙，另三边由一根长35m的铁丝围成，已知这块矩形空地的面积为125m2，求它的长和宽.22.为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，某单位准备将院内一块长30m、宽20m 的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草.如图，要使种植花草的面积为532m，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度均相等，且每段小道均为平行四边形)23.如图，在直角墙角AOB(OA⊥O B，且OA，OB长度不限)中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96m2，求这块矩形地面的长.24.如图，利用一面墙（墙EF最长可利用25m)，围成一个矩形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有46m长的围墙的材料.若矩形花园的面积为299m2，则矩形花园的长为多少米？25.如图是一个六边形的风筝骨架示意图，它是由甲、乙两个矩形和丙、丁两个等腰直角三角形组成的，其中甲的长比宽长8dm，甲、乙的面积和比丙、丁的面积和小12dm2，求此六边形的面积.26.一个矩形的周长为56cm.(1)当矩形面积为180cm2时，长和宽分别为多少厘米？(2)能围成面积为200cm2的矩形吗？请说明理由.27.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根.。

2.3 用公式法求解一元二次方程同步练习 2021-2022学年北师大版数学九年级上册

用公式法求解一元二次方程一、选择题1．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．B．C．D．2．方程x（x﹣1）＝2的两根为（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2 3．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，84．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0B．2x2﹣3x+1＝0C．2x2+3x﹣1＝0D．2x2﹣3x﹣1＝0 5．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x2﹣x0.110.240.390.560.750.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6B．1.6＜x＜1.7C．1.7＜x＜1.8D．1.8＜x＜1.9 6．若a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣c的解为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝﹣1或x＝2D．x＝﹣2或x＝0 7．下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（）A．ax2﹣x+2＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣x﹣m＝0D．x2﹣mx﹣1＝0 8．一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定9．若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0 10．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k≥﹣B．k≥﹣且k≠0C．k＜﹣D．k＞﹣且k≠011．当a+b＝4时，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+9＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+6x+9＝0D．x2+5x﹣1＝0二、填空题13．已知二次多项式x2﹣ax+a﹣5．（1）当x＝1时，该多项式的值为；（2）若关于x的方程x2﹣ax+a﹣5＝0，有两个不相等的整数根，则正数a的值为．14．若一元二次方程mx+x2+2＝0有两个相等的实数根，则m＝．15．关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有一个实数数根，则k的值是．16．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．17．若关于x的方程x2+6x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为．三、解答题18．用适当的方法解方程：（1）2x2+3x＝1；（2）（x﹣2）（x+5）＝18；（3）（x﹣1）2＝4；（4）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2．19．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．20．已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+（c+2）2＝0，求关于x的方程ax2+bx+c＝0的根．21．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合．上述材料，解决下列问题：（1）M{32，（﹣3）2，﹣32}＝；（2）若min{2x+1，4x﹣3，7}＝2x+1，则整数x的值是；（3）若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，求x的值．。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2-3用公式法求解一元二次方程》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2+x+1＝0D．x2+2x﹣1＝0 2．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1 3．若关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0 4．当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断5．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4且k≠0B．k≥﹣4C．k＞﹣4 且k≠0D．k＞﹣46．用公式法解方程6x﹣8＝5x2时，a、b、c的值分别是（）A．5、6、﹣8B．5、﹣6、﹣8C．5、﹣6、8D．6、5、﹣8 7．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．2x2﹣7x+8＝0B．16x2+9＝24x C．3x2+x﹣5＝0D．7x2+1＝08．若关于x的方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．8B．﹣16C．16D．﹣329．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0 10．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣1＝0D．x2+2x+3＝0 11．下面方程中，有两个不等实数根的方程是（）A．x2+x﹣1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣x+＝0D．x2+1＝012．如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a B．a且a≠0C．a D．a且a≠013．已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞0D．m≥014．一元二次方程x2﹣3x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个相等的实数根D．没有实数根15．如果一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，那么关于x的一元二次方程x2+2x ﹣m＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定16．当4c＞b2时，方程x2﹣bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不等实数根B．有两个相等实数根C．没有实数根D．不能确定有无实数根二．填空题17．若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为．18．若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝．19．当t时，关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解．20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是．21．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，实数k的值为．22．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的整数根，若k为正整数，则k＝．24．方程（x+1）（x﹣2）＝1的根是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．三．解答题26．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，求m的取值范围．27．解方程：（1）．（2）4x2﹣12x+5＝0．28．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，求m的取值范围．29．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．30．用适当方法解下列方程（1）3x2﹣2x﹣2＝0（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）231．已知关于x的一元二次方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，求a的值及此时这个方程的根．32．解方程：x2﹣3（2x+1）＝0．33．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．求实数k 的取值范围．34．已知关于x的方程是，说明：不论m取任意实数，原方程一定有实数根．35．解方程：x2﹣6＝4x﹣2x236．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2022的值．参考答案一．选择题1．解：A、Δ＝﹣4＜0，方程没有实数根；B、Δ＝0，方程有两个相等的实数根；C、Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数根；D、Δ＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．故选：D．2．解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．3．解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，则16﹣4k≥0且k≠0，解得：k≤4且k≠0，故选：D．4．解：∵a＝k﹣2，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（k﹣2）×k＝4k+1．∵当k＜﹣时，Δ＝4k+1＜0．∴该方程无实数根．故选：C．5．解：当k＝0时，原方程为﹣4x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，∵方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．综上可知：k的取值范围是k≥﹣4．故选：B．6．解：原方程可化为：5x2﹣6x+8＝0；∴a＝5，b＝﹣6，c＝8；故选C．7．解：A、Δ＝（﹣7）2﹣4×2×8＝49﹣64＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、方程变形为16x2﹣24x+9＝0，Δ＝（﹣24）2﹣4×16×9＝0，方程两个相等的实数根，所以B选项错误；C、Δ＝12﹣4×3×（﹣5）＝1+60＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；D、Δ＝02﹣4×7×1＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．8．解：∵方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即82﹣4（﹣m）＝0，解得m＝﹣16，故选：B．9．解：ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得：x＝，不合题意；故a≠0，则有b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，则m的取值范围是a≤1且a≠0．故选：C．10．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴有不相等的实数根；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴有相等的实数根；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，∴有不相等的实数根；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴没有实数根．故选：D．11．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．B、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．C、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣1＝0，∴方程有两个相等的实数根．D、移项后得，x2＝﹣1∵任何数的平方一定是非负数．∴方程无实根．故错误．故选：A．12．解：当a＝0时，原方程为x﹣1＝0，解得：x＝1；当a≠0时，有Δ＝12﹣4a×（﹣1）＝1+4a≥0，解得：a≥﹣且a≠0．综上可知：若关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为a≥﹣．故选：A．13．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x，即x2﹣2x﹣m＝0有实数根，∴△≥0，即4+4m≥0，∴m≥﹣1．故选：B．14．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故选：D．15．解：∵一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，∴m+1＜0且m＜0，∴m＜﹣1，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4（m+1）＜0，∴方程没有实数根．故选：C．16．解：∵4c＞b2，∴b2﹣4c＜0，∴方程x2﹣bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4c＜0，∴方程无实数根，故选：C．二．填空题17．解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴有a＝4或b＝4和a＝b两种情况，当a＝4或b＝4时，代入方程可得42﹣6×4+n+1＝0，解得n＝7，此时方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，此时三角形的三边为2、4、4，满足条件；当a＝b时，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得n＝8，此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则三角形的三边为3、3、4，满足条件；综上可知n的值为7或8，故答案为：7或8．18．解：a2+ab﹣b2＝0△＝b2+4b2＝5b2．a＝＝b∴＝．故答案是：19．解：∵关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即Δ＝32﹣4×1×t＝9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．20．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，∴，解得：k≥﹣且k≠0．故答案为：k≥﹣且k≠0．21．解：∵a＝k﹣1，b＝﹣（2k﹣2），c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣2）2﹣4×（k﹣1）×（﹣3）＝4k2+4k﹣8＝0，解得：k＝1或k＝﹣2，∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k＝﹣2，故答案为﹣2．22．解：∵a＝k，b＝﹣2（k+1），c＝k﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝12k+4＞0，即k＞﹣方程有两个不相等的实数根，则二次项系数不为零k≠0．∴k＞﹣且k≠0故答案为k＞﹣且k≠0．23．解：根据题意得：Δ＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，解得：k＜，∵k为正整数，得到k＝1或2，利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，∴k的值为2．故答案为2．24．解：整理得：x2﹣x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，x＝，x1＝，x2＝，故答案为：x1＝，x2＝．25．解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即62﹣4×4m＝0，解得m＝，故答案为：m＝．三．解答题26．解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2．27．解：（1）两边都乘以（x﹣1），得：2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，解得：x＝1，检验：当x＝1时，最简公分母x﹣1＝0，所以x＝1是原分式方程的增根，则原分式方程无解；（2）∵4x2﹣12x+5＝0，∴（2x﹣1）（2x﹣5）＝0，则2x﹣1＝0或2x﹣5＝0，解得：x1＝，x2＝28．解：∵（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3，又知（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，即m﹣2≠0，解得m≠2，故m≤3且m≠2．29．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．30．解：（1）这里a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28x＝＝＝∴x1＝，x2＝；（2）（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0即（2﹣x）（3x﹣8）＝0∴2﹣x＝0或3x﹣8＝0∴x1＝2，x2＝．31．解：∵方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4（a+3）＝24﹣4a＝0，∴a＝6．把a＝6代入原方程，得x2+6x+9＝（x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣3．∴这个方程的根为﹣3．32．解：∵x2﹣3（2x+1）＝0，∴x2﹣6x﹣3＝0，∵△＝（﹣6）2﹣4×（﹣3）＝48＞0，∴x＝＝3±2，∴x1＝3+2，x2＝3﹣2．33．解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＞0，∴k2﹣2k+1﹣k2+1＞0，整理得，﹣2k+2＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围为k＜1．34．解：（1）当m＝﹣2时，是一元一次方程，有一个实根；（2）当m≠﹣2时，Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2+20，∵（m+2）2＞0，∴（m+2）2+20＞0∴方程有两个不等实根；综合上述，m为任意实数时，方程均有实数根．35．解：方程整理得：3x2﹣4x﹣6＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣6，∴△＝16+72＝88，则x1＝，x2＝．36．解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程有一个根为3，所以9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8所以2k2+12k+2022＝2（k2+6k）+2022＝﹣16+2022＝2006．。

《2.3 用公式法求解一元二次方程》课时同步训练 2020-2021年北师大版数学九年级上册

《2.3 用公式法求解一元二次方程》课时同步训练2020-2021年数学北师大版九（上）一．选择题（共10小题）1．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A．B．C．D．2．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，83．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．B．C．D．4．方程x（x﹣1）＝2的两根为（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2 5．已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（）A．3B．2C．1D．06．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤﹣1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤﹣1且m≠0 7．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a≥1且a≠0 8．定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．有一个实根D．没有实根9．将4个数a、b、c、d排成2行、2列．两边各加一条竖线，记成，并规定，例如：＝8×5﹣9×3＝13＝﹣1的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个相等的实数根10．问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y ﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数（）A．4y2+y﹣15＝0B．4y2+y+15＝0C．15y2+y﹣4＝0D．15y2﹣y﹣4＝0二．填空题（共8小题）11．方程4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）＝5的解为．12．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为．13．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为．14．已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是．15．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝．16．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则m＝．17．关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围．18．定义比如，4⊗2＝22⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解．三．解答题（共6小题）19．用公式法解方程：（1）4x2﹣4x+1＝0；（2）3x2﹣2x+1＝0；（3）3x（x﹣3）＝2（x﹣1）（x+1）．20．用公式法解方程：（1）x2+2x﹣2＝0；（2）2x（x+2）＝3﹣x；（3）x2﹣8x+8＝17x2．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．23．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．24．对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）＝有两个相等的实数根，求实数a的值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：∵a＝1，b＝﹣6，∴△＝（﹣4）2﹣4×4×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．2．解：∵3x2﹣3x＝8，∴3x8﹣4x﹣8＝7，则a＝3，b＝﹣4，故选：B．3．解：这里a＝3，b＝5，∵△＝25﹣12＝13，∴x＝，故选：A．4．解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝4，a＝1，b＝﹣1△＝6+8＝9＞7∴x＝解得x1＝﹣1，x4＝2．故选D．5．解：设常数项为c，由题意可知：△＝4﹣4×8c＝4﹣12c≥0，∴c≤，故选：D．6．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥﹣2且m≠0．故选：C．7．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+6＝0有实数根，∴，∴a≤4且a≠0，故选：C．8．解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k4﹣1）＝4k3+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．9．解：∵方程＝﹣1，∴3x4﹣6x＝﹣1，∴7x2﹣6x+7＝0，∴△＝（﹣6）4﹣4×3×7＞0，∴方程＝﹣1两个不相等的实数根，故选：A．10．解：设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，将x＝﹣y代入方程4x2﹣x﹣15＝5，得：4×（﹣y）2﹣（﹣y）﹣15＝8，化简，得：4y2+y﹣15＝4，故选：A．二．填空题（共8小题）11．解：∵4（x+1）5﹣（2x+5）（2x﹣5）＝5，∴4（x2+2x+7）﹣（4x2﹣25）﹣3＝0，∴4x2+8x+4﹣7x2+25﹣5＝6，∴8x+24＝0，∴3x＝﹣24，∴x＝﹣3，故答案为：x＝﹣3．12．解：由题意得：x2+3x+m＝7的解为x1＝1，x8＝﹣4，可得m＝﹣4，方程为x2﹣3x﹣4＝7，分解因式得：（x﹣4）（x+1）＝6，解得：x1＝4，x7＝﹣1．故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．13．解：3x2＝2（x+2），3x6＝5x+10，3x5﹣5x﹣10＝0，故答案为：3x2﹣5x﹣10＝3．14．解：∵x＝（b2﹣4c≥6），∴x2+bx+c＝（）2+b•+c＝++＝＝0，故答案为：0．15．解：∵ax2﹣bx﹣c＝0，∴△＝b5+4ac，∵对于任意实数b，b2≥8，ac＞0，∴b2+7ac＞0，∴一元二次方程ax2+bx+c＝6有两个不相等的实数根．∴x＝．故答案为：．16．解：∵方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，∴△＝（﹣7）2﹣4×7×（﹣m）＝1+4m＝6，解得：m＝﹣．17．解：根据题意得m﹣1≠0且△＝（﹣7）2﹣4（m﹣2）×3＞0，解得m＜且m≠1．故答案为m＜且m≠1．18．解：（1）当x2﹣（x+1）≤8时，方程变为kx2﹣1＝7．∵方程变为kx2﹣1＝3有两个不等实数根，∴△＞0，即△＝4k＞6．∴方程的解为x＝±．又∵x2﹣（x+6）≤1，∴﹣1≤x≤4，∴﹣1≤﹣＜≤2．（2）当x2﹣（x+1）＞5时，x＞2或x＜﹣1，∴方程变为k（x+6）﹣1＝0．因为k≠4时，此方程是一元一次方程方程﹣1，与题意不符；当k≠8时方程不存在，不符合题意．综上，k≥．故答案为：k≥．三．解答题（共6小题）19．解：（1）∵4x2﹣6x+1＝0，∴（4x﹣1）2＝3，则2x﹣1＝8，解得x1＝x2＝2.5；（2）∵3x7﹣2x+1＝7，∴a＝3，b＝﹣2，则△＝（﹣4）2﹣4×5×1＝﹣8＜5，∴该方程无实数根；（3）整理为一般式，得：x2﹣9x+2＝0，∵a＝1，b＝﹣5，∴△＝（﹣9）2﹣8×1×2＝73＞7，则x＝＝，即x4＝，x6＝．20．解：（1）∵a＝1，b＝2，∴△＝b5﹣4ac＝4+2＝12＞0，∴x＝＝﹣7±，即x1＝﹣8+，x2＝﹣7﹣；（2）方程化为2x3+5x﹣3＝2，∴a＝2，b＝5，∴△＝b6﹣4ac＝56+4×2×5＝49＞0，∴方程有两个不等的实数根∴x＝＝，∴x1＝，x2＝﹣3；（3）方程化为4x2+x﹣1＝3，∴a＝2，b＝1，∴△＝b7﹣4ac＝17﹣4×2×（﹣4）＝9＞0，∴方程有两个不等的实数根∴x＝＝，∴x1＝﹣1，x8＝．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+4﹣k＝0有两个不相等的实数根．∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（7﹣k）＞0，解得k＞0．（2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞6，故取k＝1，则x2﹣5x＝0，即x（x﹣2）＝4，解得，x1＝0，x7＝2．22．解：（1）△＝4﹣4（k﹣8）＝12﹣4k＞0，∴k＜3．（2）由（1）可知：k＝2，∴此时方程为：x2+2x＝0，∴x（x+2）＝2，∴x＝0或x＝﹣2．23．解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣8x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤2且k≠7．（2）当k＝2时，方程为：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣6）2＝0，解得：x2＝x2＝1．24．解：（1）﹣2△＝﹣2×++4；（2）∵a△x＝ax+x，∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，∴关于x的方程x△（a△x）＝化为x（ax+x）+ax+x＝﹣，整理得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，∵方程有两个相等的实数根，∴a+1≠6且△＝（a+1）2﹣5（a+1）×＝0，即a的值为0．。

北师大版初三数学上册精编课时练《2.3用公式法求解一元二次方程第1课时公式法》(附答案)

北师大版初三数学上册精编同步练习（附解析）3 第1课时公式法知识点 1 一元二次方程的求根公式1．用公式法解－x 2＋3x ＝1时，需先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次为() A ．－1，3，－1 B ．1，－3，－1C ．－1，－3，－1D ．－1，3，12．用公式法解方程3x 2＋4＝12x ，下列代入公式正确的是( )A ．x ＝12± 122－3×42×3B ．x ＝－12± 122－4×3×42C ．x ＝－（－12）± 122＋4×3×42D ．x ＝－（－12）± （－12）2－4×3×42×3知识点 2 用公式法解一元二次方程3．方程x 2＋3x －14＝0的解是( )A ．x ＝3±652B ．x ＝－3±652C ．x ＝3±232D ．x ＝－3±2324．2017·都匀期末方程2x 2－4x ＋1＝0的根是( )A ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2B ．x 1＝2＋2 2，x 2＝2－2 2C．x1＝1＋22，x2＝1－22D．x1＝2＋2，x2＝2－ 25．用公式法解方程：(1)x2－2x＝1；(2)4x2－3＝12x.知识点 3 一元二次方程根的判别式6．2017·广元方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号7．2017·安顺若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )A．0 B．－1C．2 D．－38．2017·长春若关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是________．9．2017·潍坊若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．10．已知关于x的方程x2＋2 kx－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k≥0 B．k＞0C．k≥－1 D．k＞－111．2017·锦州关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断12．已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对13．2017·通辽若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )图2－3－114．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多( )A．12步 B．24步C．36步 D．48步15．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为( )A ．x ＝－2B ．x 1＝－2，x 2＝3C ．x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32D ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5216．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m 的值．17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.(1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)为m 选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．18．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．1．A .2．D ．3．B4．C [5．解：(1)x 2－2x －1＝0，x ＝2±（－2）2－4×1×（－1）2×1＝1±2， ∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)4x 2－12x －3＝0，x ＝12±（－12）2－4×4×（－3）2×4＝12±8 38＝3±2 32， ∴x 1＝32＋3，x 2＝32－ 3. 6．B7．D .8．49．k ≤1且k ≠010．A11．A ．12．B13．A 14．A15．D16．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，∴2m －1＝±4，∴m ＝52或m ＝－32. 17．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即[－2(m ＋1)]2－4m 2＞0，解得m ＞－12.(2)∵m ＞－12，∴可取m ＝0，此时方程为x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.(答案不唯一)18．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c )×(－1)2＋2b ×(－1)＋(a －c )＝0，∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形．(2)△ABC 是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0，∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0，即a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形．(3)当△ABC 是等边三角形时，(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.。

2020-2021学年度北师大版数学九年级上册同步练习：2.3用公式法求解一元二次方程

2020-2021学年度北师大版数学九年级上册同步练习：2.3用公式法求解一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（）A ．a 4=-，b 5=，c 3=B ．a 4=-，b 5=-，c 3=C ．a 4=，b 5=，c 3=D ．a 4=，b 5=-，c 3=-2．以为根的一元二次方程可能是（） A ．x 2+bx+c=0 B ．x 2+bx ﹣c=0 C ．x 2﹣bx+c=0 D ．x 2﹣bx ﹣c=0 3．方程2x 2-6x+3=0较小的根为p ，方程2x 2-2x-1=0较大的根为q ，则p+q 等于( ) A ．3B ．2C ．1D ．4．下列方程适合用求根公式法解的是（）A ．（x ﹣3）2=2B ．325x 2﹣326x+1=0C ．x 2﹣100x+2500=0D ．2x 2+3x ﹣1=05．用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（）A ．x 1、2B ．x 1、2C ．x 1、2D ．x 1、26．方程2x 2﹣3=0的两根是（）A ．B ．C ．D ．7．解一元二次方程x 2﹣2x ﹣5=0，结果正确的是（）A ．x 1=﹣，x 2=﹣1B ．x 1，x 2=1C ．x 1=7，x 2=5D ．x 1x 2=18．关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定9．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．310．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填空题11．一元二次方程ax2﹣2x+4=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为_____．12．如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值为_____．13．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是．14．方程2x2﹣3x﹣4=0的根的情况是_____．15．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为_____．16．若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则22m nmn的值等于_____．三、解答题17．用公式法解方程：①4x2﹣x+1=0；②x2x﹣3=0．18．先阅读，再填空解题：①方程x2﹣x﹣6=0的根是x1=3，x2=﹣2，则x1+x2=1，x1x2=﹣6；②方程2x2﹣7x+3=0的根是x1=12，x2=3，则x1+x2=72，x1x2=32．根据以上①②你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c为常数，b2﹣4ac≥0）有两根x1、x2，那么x1+x2、x1x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并说明理由．利用公式法求出方程的根即可．19．阅读并回答问题．求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根（用配方法）．解：ax 2+bx+c=0，∵a≠0，∴x 2+b a x+c a=0，第一步移项得：x 2+b a x=﹣c a，第二步两边同时加上（2b a ）2，得x 2+b a x+（）2=﹣c a +（2b a ）2，第三步整理得：（x+2b a ）2=2244b ac a -直接开方得x+2b a∴，∴x 1=2b a -+，x 2=2b a-，第五步上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法．20．已知关于x 的方程（m+1）x 2+2mx+（m ﹣3）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）m 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根．参考答案1．B【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．【详解】∵-4x2+3=5x∴-4x2-5x+3=0，或4x2+5x-3=0∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3．故选B．【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．2．D【解析】【分析】根据求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项进行对比．【详解】根据求根公式可得，-b是一次项系数，二次项系数是1或-1，常数项是-c或c．所以，符合题意的只有D选项．故选：D．【点睛】考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．3．B【解析】试题分析：2x2－6x＋3＝0，这里a＝2，b＝－6，c＝3，∵△＝36－24＝12，∴x，即p 2x 2－2x －1＝0，这里a ＝2，b ＝－2，c ＝－1，∵△＝4＋8＝12，∴x ，即q ＝12；则p ＋q 12＝2．故选：B ．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a ，b ，c ，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解． 4．D【解析】【分析】根据方程的特点及各方法的优缺点解答．【详解】A 选项：此方程适合直接开平方法求解；B 选项：此方程适合因式分解法求解；C 选项：此方程适合因式分解法求解；D 选项：此方程适合公式法求解；故选：D ．【点睛】考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．D【解析】∵3x 2+4=12x ，∴3x2-12x+4=0，∴a=3，b=-12，c=4，∴x=，故选D.6．B【解析】【分析】利用求根公式解方程.【详解】方程：﹣3=0中∴故选：B.【点睛】考查用公式法解一元二次方程，利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．7．B【解析】【分析】用配方法解方程，求出方程的解即可．【详解】方程两边同加上1，得x2-2x-5+1=1，即x2-2x+1=6，配方得（x-1）2=6，开方得∴x1，x2=1故选：B.【点睛】查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是配方法．8．A【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.【详解】()2x k 3x k 0-++=， △=[-(k+3)]2-4k=k 2+6k+9-4k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．9．B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，∴△=22=4×1×(m −2)≥0，解得：m ≤3，又∵m 为正整数，∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求；（2）当m=2时，原方程为x2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求；（3）当m=3时，原方程为x2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；∴ m=2或m=3符合题意，∴m的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.故选B.【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若方程有两个实数根，则△=b2−4ac≥0”是解答本题的关键.10．B【解析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．11．a＜14且a≠0．【解析】【分析】由于方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可知△＞0，即4-16a＞0，解即可．【详解】：∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4-16a＞0，解得a＜14，∵ax2-2x+4=0是一元二次方程，∴a≠0，故答案是：a＜14且a≠0．【点睛】考查了根的判别式，解题的关键是注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．12．±6．【解析】【分析】若一元二次方程有两相等根，则根的判别式△=b2-4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值．【详解】∵方程有两相等的实数根，∴△=b2-4ac=k2-36=0，解得k=±6．故答案是：±6．【点睛】考查了一元二次方程根的判别式的应用，不是很难，解题的关键是根据根的情况列出有关k 的方程．13．c＞9【分析】根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c＜0，再解不等式即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，∴△=（-6）2-4c＜0，即36-4c＜0，解得：c＞9．故答案为c＞9．14．方程有两个不相等的实数根．【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】∵△=（-3）2-4×2×（-4）=41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案是：方程有两个不相等的实数根．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．15．【解析】【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．【详解】方程x2-12x+31=0，变形得：x2-12x=-31，配方得：x2-12x+36=5，即（x-6）2=5，开方得：解得：当则方程x2-12x+31=0的根为故答案是：【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．16．．【解析】【分析】根据已知条件求得，；然后将所求的代数式转化为含有m+n、m-n的形式的代数式，并将，代入求值即可．【详解】∵m＞n＞0，m2+n2=4mn，∴（m+n）2=6mn，（m-n）2=2mn，∴∴22m n mn -=()()m n m n mn +-==故答案是：【点睛】考查了完全平方公式的运用,解题关键是根据已知条件将m+n 、m-n 用所求代数式的分母mn 表示的形式.17．（1）x 1=12，x 2=12；（2）x 1=2，x 2=2；【解析】【分析】分别找出各方程中a ，b ，c 的值，计算判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】①4x 2﹣x+1=0中的a=4，b=﹣，c=1，∵△=32﹣16=16，∴；（2）这里a=1，b=，c=﹣3，∵△=2+12=14，∴．【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．18．∴x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a ，理由见解析．【解析】【分析】分别根据公式法求得方程的解，再求x 1+x 2、x 1x 2的值.【详解】猜想方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2，满足x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a．∵b 2﹣4ac≥0，∴x 12x =， ∴x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a．【点睛】考查解一元二次方程：注：（1）公式法与配方法不能混淆，求根公式是由一元二次方程的一般式用配方法推导出来的．（2）用公式法解方程时，先化为一般形式，再利用公式求解．（3）求解过程中，要先判断b 2-4ac 的符号．19．有错误，在第四步，错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤见解析.【解析】【分析】①检查原题中的解题过程是否有误：在第四步时，在开方时对b 2-4ac 的值是否是非负数没有进行讨论；②更正：分类讨论b 2-4ac≥0和b 2-4ac ＜0时，原方程的根是什么．【详解】解：有错误，在第四步．错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤为：（x+2b a ）2=2244b ac a- ， ①当b 2﹣4ac≥0时，x+2b ax+2b a，∴x 1x 2． ②当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无解．【点睛】考查解一元二次方程：注：（1）公式法与配方法不能混淆，求根公式是由一元二次方程的一般式用配方法推导出来的．（2）用公式法解方程时，先化为一般形式，再利用公式求解．（3）求解过程中，要先判断b2-4ac的符号．20．(1)当m≥﹣32时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根；(2) m=﹣32, x1=x2=﹣3【解析】【分析】（1）根据题意，分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况分析讨论即可；（2）由题意可知，此时原方程是一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求出m的值，并将所得的m的值代入原方程，再解所得方程即可.【详解】（1）关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根，分两种情况讨论如下：①当m+1=0即m=﹣1时，原方程是一元一次方程，此时方程为﹣2x﹣4=0，必有实数根；②当m+1≠0时，此时原方程是一元二次方程，∵此时原方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12≥0，解得：m≥﹣32且m≠﹣1；综上可知，当m≥﹣32时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根；（2）∵关于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12=0，解得：m=﹣32，将m=﹣32代入原方程可得：﹣12x2﹣3x﹣92=0，两边同时乘以﹣2得：x2+6x+9=0，解得x1=x2=﹣3．【点睛】本题的解题要点有以下两点：（1）解第1小题时需分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，不要忽略了其中任何一种；（2）熟知若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等的实数根，则△=b2-4ac=0.。

九年级上册(北师大版)数学课时练习：2.3用公式法求解一元二次方程(有答案)-精选文档

2.3用公式法求解一元二次方程一．填空题（共10小题）1．若a2+ab﹣b2=0且ab≠0，则的值为．2．方程x2﹣6x﹣4=0的两根为x1= ，x2= ，x1+x2= ，x1•x2= ．3．已知a＞b＞0，且++=0，则= ．4．已知+|n﹣1|=0，则方程x2+mx+n=0的根是．5．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．6．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．7．方程x2+2ax+a﹣4=0恒有相异两实根，若方程x2+2ax+k=0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是．8．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．9．关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．10．x，y为实数，且满足，则y的最大值是二．选择题（共12小题）11．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣312．用公式法解方程4y2=12y+3，得到（）A．y= B．y= C．y= D．y=13．关于x的一元二次方程的两根应为（）A． B．， C． D．14．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣4 D．4＜a＜515．一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（）A．4，3 B．3，2 C．2，1 D．1，016．若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．不确定17．关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根只有整数根的一切有理数r的值有（）个．A．1 B．2 C．3 D．不能确定18．若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠019．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限20．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣121．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列说法：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若b=2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④22．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1三．解答题（共7小题）23．（用公式法解一元二次方程）（1）2x﹣1=﹣2x2．（2）．（3）2（x﹣1）2﹣（x+1）（1﹣x）=（x+2）2．24．解方程x2=﹣3x+2时，有一位同学解答如下：解：∵a=1，b=3，c=2，b2﹣4ac=32﹣4×1×2=1，∴x===即：x1=﹣2，x2=﹣1请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解题过程．25．已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根：（2）当k的值取时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）26．已知关于x的方程mx2+x+1=0，试按要求解答下列问题：（1）当该方程有一根为1时，试确定m的值；（2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围．27．已知关于x的方程 x2﹣5x﹣m2﹣2m﹣7=0．（1）若此方程的一个根为﹣1，求m的值；（2）求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．28．已知三整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值．29．m为任意实数，试说明关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根..参考答案一．填空题1．．2．6，﹣4．3．．4．2±5．0或16．6．1＜m＜5．7．a﹣4＜k＜a2．8．m=4．9．m＜且m≠0．10．．二．选择题11．B．12．C．13．B．14．A．15．C．16．C．17．B．18．B．19．C．20．D．21．C．22．C．三．解答题23．解：（1）2x2+2x﹣1=0，△=22﹣4×2×（﹣1）=12，x==所以x 1=，x 2=；（2）3x 2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×3×1=0，x=所以x 1=x 2=；（3）2x 2﹣4x+2﹣1+x 2=x 2+4x+4，2x 2﹣8x ﹣3=0，△=（﹣8）2﹣4×2×（﹣3）=4×22，x==所以x 1=，x 2=．24．解：解答有错误，正确的解法是：方程整理得：x 2+3x ﹣2=0，这里a=1，b=3，c=﹣2，∵△=9+8=17，∴x=，解得：x 1=，x 2=． 25．（1）证明：原方程可变形为x 2﹣5x+4﹣k 2=0．∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k 2）=4k 2+9＞0，∴不论k 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：原方程可化为x 2﹣5x+4﹣k 2=0．∵方程有整数解，∴x=为整数， ∴k 取0，2，﹣2时，方程有整数解．26．解：（1）将x=1代入方程得：m+1+1=0，解得：m=﹣2；（2）由方程有两个不相等的实数根，得到△=b 2﹣4ac=1﹣4m ＞0，且m ≠0，解得：m ＜且m ≠0．27．（1）解：把x=﹣1代入x 2﹣5x ﹣m 2﹣2m ﹣7=0得1+5﹣m 2﹣2m ﹣7=0，解得m 1=m 2=﹣1，即m的值为1；（2）证明：△=（﹣5）2﹣4（﹣m2﹣2m﹣7）=4（m+1）2+49，∵4（m+1）2≥0∴△＞0，∴方程都有两个不相等的实数根．28．解：设=x，则b=ax，c=ax2，由a+b+c=13化为a（x2+x+1）=13．∵a≠0，∴x2+x+1﹣=0 ①又因为a，b，c为整数，则方程①的解必为有理数．即△=1﹣4（1﹣）=﹣3≥0，解得1≤a≤，且为有理数．故1≤a≤16当a=1时，方程①化为x2+x﹣12=0．解得x1=﹣4，x2=3，故a min=1，b=﹣4，c=16；a min=1，b=3，c=9．当a=16时，方程①化为x2+x+=0．解得x1=，x2=．故a max=16，b=﹣12，c=9；a max=16，b=﹣4，c=1．29．解：△=[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣3（m+3）]=m2+10m+37=（m+5）2+12，∵（m+5）2≥0，∴（m+5）2+12＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．。

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北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第1课时）同步练习
1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：
x ＝（其中b 2－4ac 0 ）
2．方程3x 2－5x －2＝0的两个根是(
) A ．x 1＝1，x 2＝23 B ．x 1＝2，x 2＝－13
C ．x 1＝1，x 2＝－1
D ．x 1＝－2，x 2＝－13 3．关于的方程x (x ＋6)＝16的解为(
) A ．x 1＝2，x 2＝2 B ．x 1＝8，x 2＝－4 C ．x 1＝－8，x 2＝2 D ．x 1＝8，x 2＝－2
4．[2013·福州]下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )
A ．x 2＋3＝0
B ．x 2＋2x ＝0
C ．(x ＋1)2＝0
D ．(x ＋3)(x －1)＝0
5．若实数范围内定义一种运算“*”，使a *b ＝＝(a ＋1)2－ab ，则方程(x ＋2)*5＝0的解为(
) A ．x ＝－2 B ．x 1＝－2，x 2＝3
C ．x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32
D ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52 6．若x 1＝－1是关于x 的方程x 2＋mx －5＝0的一个根，则方程的另一个根x 2＝__________．
7．若12
x 2＋1与4x 2－3x －5互为相反数，则x 的值为___________． 8．用公式法解方程：
⑴ x 2－5x ＋2＝0 ⑵ x 2＝6x ＋1
⑶ 2x 2－3x ＝0 ⑷ 3x 2＋6x ＝5
9．用适当方法解下列方程：
⑴(3x＋1)2－9＝0 ⑵x2＋4x－2＝0
⑶2x2－33x＋3＝0；⑷(3x＋2)(x＋3)＝x＋14
10．如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 m2，道路的宽应为多少m?
11．在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围
．．．．镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少?
12．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止;动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．何时点P和点Q之间的距离是10 cm?
答案
1．x ＝－b ±b 2
－4ac
2a (b 2－4ac ≥0)
2．B
3．C
4．C
5．B
6．5
7．x 1＝43，x 2＝-23；
8．（1）x 1＝5＋172，x 2＝5－172；
（2）x 1＝3＋10，x 2＝3－10；（3）x 1＝0，x 2＝32；
（4）x 1＝－3＋26，x 2＝－3－26；
9．（1）x 1＝23，x 2＝－43；
（2）x 1＝－2＋6，x 2＝－2－6；
（3）x 1＝23，x 2＝3；
（4）x 1＝23，x 2＝－4；
10．道路的宽应为1m ；
11．金色纸边的宽应该是5cm ；
12．运动到85s 或245
s 时，点P 和点Q 之间的距离是10 cm ．。