2021-2022年高三12月月考数学理试题 含解析

2021年高三12月月考数学理试题 含解析【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。

较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。

【题文】一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）【题文】1．已知集合A={1,3,4,6,7,8}，B=｛1,2,4,5,6｝则集合A ∩B 有（ ）个子集 A.3 B.4 C.7 D.8【知识点】集合运算；子集的概念. A1【答案】【解析】D 解析：∵ A ∩B={1,4,6}，∴A ∩B 有个子集，故选D. 【思路点拨】求得A ∩B ，再用公式求其子集个数.【题文】2．设向量满足||15,11a b a b +=-=，则（ ） A.1 B.2 C.3 D.5【知识点】向量的模与与向量数量积的关系. F1 F3【答案】【解析】A 解析：因为||15,11a b a b +=-=，所以222215,a b a a b b +=+⋅+=222211,a b a a b b -=-⋅+=两式相减得:44，所以1，故选A.【思路点拨】将向量的模平方，转化为向量数量积运算，再相减得结论.【题文】3．已知a,b 为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件；必要条件的判定. A2【答案】【解析】B 解析：当a=2,b=1时，，但不成立；当时，，则22211ab ab ab b b a⨯>⨯⇒>成立，所以选B. 【思路点拨】只需判断命题：“若甲则乙”与“若乙则甲”的真假.【题文】4．已知变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤142y x y x y ，则的最大值为( )A.8B.11C.9D.12 【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】B 解析：画出可行域，平移目标函数得最优解为直线y=2与x-y=1的交点（3,2）所以的最大值为11，故选B.【思路点拨】画出可行域，平移目标函数确定最优解即可. 【题文】5．已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且，则=（ ） A.-6或-2 B.-6C.2或-6D.2【知识点】两个集合交集是空集的条件. A1【答案】【解析】A 解析：若，则3232aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠-⎪⎩或32260a a a ⎧-≠⎪⎨⎪++=⎩，解得a= -6或a= -2,故选A.【思路点拨】要使，需使：缺少点（2，3）的直线y-3=3(x-2)与直线ax+2y+a=0平行，或者直线ax+2y+a=0过点（2，3），但不与直线y-3=3(x-2)重合即可.【题文】6已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为( ) A. B. C. D. 不存在 【知识点】等比数列的性质；基本不等式 D3 E6【答案】【解析】A 解析：设等比数列的首项为，公比为q, ,则()654211122021a q a q a q q q q q ⋅=⋅+⋅∴--=∴==-或舍若()114144,66a m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+=∴+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则41493554962n m m n m n ⎛⎫=++≥+=∴+≥= ⎪⎝⎭，故选A 【思路点拨】根据条件求出等比数列的公比，再结合，求出m,n 的和，再结合基本不等式，即可得到答案.【题文】7设斜率为22的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A. B.12 C. D.13 【知识点】直线与圆锥曲线 H8【答案】【解析】C 解析：两个交点的横坐标为-c,c ，所以两个交点分别为，代入椭圆，两边乘以则()()()22222222222222220c b a a b b a c a c a c +==-∴--=22120122c e e a =<<∴=或，故选C. 【思路点拨】先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，再解有关于a 与c 的关系式即可. 【题文】8若8cos82cos8cosπππn S n +++= （），则在中，正数的个数是（ ） A. 882 B. 756 C.750 D. 378 【知识点】三角函数的性质 C3 【答案】【解析】B 解析：由题意可知1234223234cos,coscos,cos cos cos ,cos cos cos cos ,8888888888S S S S ππππππππππ==+=++=+++52345coscoscos cos cos88888S πππππ=++++623456cos cos cos cos cos cos ,888888S ππππππ=+++++，由三角函数值与三角函数的周期性可知前16个值中有6个正数，分别为，16个值为一组呈现周期性，xx 为，所以正数的个数为，故选B【思路点拨】由三角函数值与三角函数的周期性可知前16个值为一个周期，其16个值中有6个正数，分别为，类推可得结果.【题文】9已知A ，B ，C ，D 是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，,B 为轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，在轴上的投影为，则的值为（）A. B． C. D.【知识点】三角函数的图象与性质C4【答案】【解析】D 解析：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ ）（ω＞0，0＜＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E 对称，在x轴上的投影为，所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，所以0=sin（﹣+ ），0＜＜，=．故选D．【思路点拨】通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出ω，利用A的坐标求出的值即可．【题文】10.如图，已知B、C是以原点O为圆心，半径为1的圆与轴的交点，点A在劣弧PQ （包括端点）上运动，其中，OP⊥OQ，作AH⊥BC于H。

若记，则的取值范围是（）A. B. C. D.【知识点】平面向量的基本定理及其意义F1【答案】【解析】B 解析：由题意，B（1，0），C（﹣1，0），由三角函数定义，可设A（cosθ，sinθ），则H（cosθ，0），．∴，，，由，可得，∴，∴，由，知xy ∈， 故选：B ．【思路点拨】由三角函数定义，可设A （cosθ，sinθ），则H （cosθ，0），，利用，求出x ，y ，表示出xy ，即可求出其取值范围. 【题文】二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分） 【题文】11设复数，则_____________ 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4 【答案】【解析】 解析：i 1ii 1i 11zi 1i1i 1i222， 22112z ()()222．故答案为。

【思路点拨】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求模． 【题文】12若命题“a x x R x <-++∈∃|2||1|,”为假命题，则实数的取值范围是_____________【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案】【解析】 解析：∵“a x x R x <-++∈∃|2||1|,”是假命题 ∴“a x x R x <-++∈∃|2||1|,”的否定“∀x ∈R ，”为真命题 令，y 表示数轴上的点x 到数2及-1的距离， 所以y 的最小值为3，∴，故答案为。

【思路点拨】利用已知判断出否命题为真命题；构造函数，利用绝对值的几何意义求出函数的最小值，令最小值大于2，求出a 的范围．【题文】13已知是定义在R 上的奇函数。

当时，，则不等式的解集为______________ 【知识点】二次函数的性质．B5【答案】【解析】[-5，0]∪[5，+∞） 解析：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （0）=0．设x ＜0，则-x ＞0，∴f （-x ）=x 2+4x ，又f （-x ）=x 2+4x=-f （x ），∴f （x ）=-x 2-4x ，x ＜0．当x ＞0时，由f （x ）≥x 得x 2-4x ≥x ，即x 2-5x ≥0，解得x ≥5或x ≤0（舍去），此时x ≥5． 当x=0时，f （0）≥0成立．当x ＜0时，由f （x ）≥x 得-x 2-4x ≥x ，即x 2+5x ≤0，解得-5≤x ≤0（舍去），此时-5≤x ＜0． 综上-5≤x ≤0或x ≥5．故答案为：[-5，0]∪[5，+∞）．【思路点拨】根据函数的奇偶性求出函数f （x ）的表达式，然后解不等式即可． 【题文】14.有两个零点，则______________ 【知识点】函数的图像.B10【答案】【解析】 解析：因为有两个零点，即有两个根,令,即两个函数的图像有两个交点，结合图像可知，故【思路点拨】利用数形结合法即可。

【题文】15.点P （-1,0）在动直线()()R c R a c y c a ax ∈∈=+++,022上的射影为M ，已知点N （3,3），则线段MN 长度的最大值是____________【知识点】等差数列的性质；与直线关于点、直线对称的直线方程．D2H2【答案】【解析】 解析：易知动直线恒过定A 点，则动点M 的轨迹为以AP 为直径的圆B 上，MN 长度的最大值为。

故答案为。

【思路点拨】先求出直线恒过的定点坐标，然后求出动点M 的轨迹，再计算最大值即可。

【题文】三、解答题（本大题共6小题，16，17，18题每题13分，19，20，21题每题12分.） 【题文】16．已知函数。

(1)求函数的最小正周期和值域； (2)若为第二象限角，且，求的值。

【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；的性质；同角三角函数关系；三角函数的求值与化简. C6 C5 C4 C2 C7【答案】【解析】（1）函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[-1,3]；（2）.解析：（1）∵()1cos 12cos()3f x x x x π=+=++，∴函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[-1,3]. (2)∵∴，即，又∵是第二象限角，∴.∵222cos 2sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos cos αααααααα-=+-- =()()()cos sin cos sin cos sin 2cos cos sin 2cos αααααααααα+-+=-∴原式=13323-+==- 【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数公式把函数f(x)化为： ，再确定其周期和值域；（2）由（1）及已知得，. 然后把所求化简得，所求=，从而得所求值.【题文】17.设正项等差数列， 恰好是等比数列的前三项，。