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抛物线的定义与标准方程
抛物线的定义与标准方程
抛物线是一种几何图形，它的形状像弓形，早在古希腊时期就已被哲学家用来描述天体运动的轨道。
抛物线拥有独特的几何结构，是分析数学中的一个重要的几何图形。
抛物线定义为一个二次方程
y=ax^2+bx+c的解集合，其中a是不等于0的实数，b与c是实数。
bx 和c分别表示抛物线的斜率和截距。
抛物线有若干不同的特性，其定义可以用标准方程表示，即：
y=ax2+bx+c，其中a、b、c分别是抛物线的系数，而a必须为不等于0的实数。
抛物线的系数a可以用来确定抛物线的开口方向，如果a>0，则抛物线向上开口；如果a<0，则抛物线向下开口。
抛物线的中点是抛物线函数的最高点或最低点，即y的最大值或最小值。
另外，抛物线的对称轴是横坐标x的值，由其标准方程中的b系数决定。
此外，抛物线的几何图形还具有一些特殊的性质，比如切线的斜率，其斜率的值等于解抛物线方程时的系数a。
另外，抛物线的曲线旁线总是平行于切线，这对抛物线几何图形的描述非常重要。
在学习数学时，抛物线可以用来解决许多复杂的问题，抛物线的定义与标准方程可以帮助人们理解抛物线的相关特性，从而更好地解决各种复杂的数学问题。
尽管抛物线的定义看起来很简单，但是人们在分析抛物线的运动轨迹及其性质时，还有许多需要注意的地方。
抛物线的概念
抛物线的概念1. 定义抛物线是指一个平面曲线，它的形状类似于一个由一个定点（称为焦点）和一条曲线（称为准线）上的所有点构成的路径。
它是一个二次曲线，由一个二次方程所描述。
抛物线的标准方程是：y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是实数，且 a ≠ 0。
具体来说，在抛物线上任意一点的坐标（x，y）满足上述方程。
2. 关键概念抛物线的关键概念包括焦点、准线、顶点、对称性和方程参数的含义。
2.1 焦点和准线抛物线的焦点是指一个定点，位于抛物线的内部，并且到抛物线上的任意一点的距离到焦点都相等。
抛物线的准线是指一条直线，位于抛物线的水平轴上方或下方，并与焦点的距离相等。
2.2 顶点抛物线的顶点是指抛物线的最高点或最低点，位于焦点与准线的交点处。
顶点的坐标可以通过将抛物线的标准方程转化为顶点形式来确定。
抛物线的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
2.3 对称性抛物线具有轴对称性，也就是说，它关于一条垂直于准线通过顶点的直线对称。
抛物线的焦点和顶点都位于对称轴上。
对称轴的方程为：x = -b/2a。
2.4 方程参数的含义抛物线方程中的参数 a、b 和 c 分别对应于抛物线的形状、方向和位置。
•参数 a 控制了抛物线的开口方向和形状：–当 a > 0 时，抛物线开口向上，形状为向上的 U 形。
–当 a < 0 时，抛物线开口向下，形状为向下的 U 形。
•参数 b 控制了抛物线的位置和对称性：–当 b = 0 时，抛物线的对称轴与 y 轴平行，抛物线是关于 y 轴对称的。
–当b ≠ 0 时，抛物线的对称轴与 y 轴不平行，抛物线不是关于 y 轴对称的，而是关于一个垂直于 y 轴的直线对称的。
•参数 c 控制了抛物线的位置：–当 c > 0 时，抛物线在 y 轴以下。
–当 c < 0 时，抛物线在 y 轴以上。
抛物线的标准方程式是什么
抛物线的标准方程式是什么在数学的广袤世界中，抛物线是一种常见且重要的曲线。
要深入理解抛物线，首先就得搞清楚它的标准方程式是什么。
咱们先来说说抛物线的定义。
简单来讲，平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹就叫做抛物线。
这个定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
抛物线的标准方程有四种形式，分别是：第一种，当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上时，标准方程是 y²＝2px（p ＞ 0）。
这里的 p 表示焦点到准线的距离。
比如说，如果 p ＝ 2，那么抛物线的方程就是 y²＝ 4x 。
对于这个方程，它的开口是朝右的。
第二种，当抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上时，标准方程是 y²＝－2px（p ＞ 0）。
此时，抛物线的开口是朝左的。
第三种，当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上时，标准方程是 x²＝2py（p ＞ 0）。
这种情况下，抛物线的开口是朝上的。
第四种，当抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上时，标准方程是 x²＝－2py（p ＞ 0）。
相应地，抛物线的开口是朝下的。
为了更好地理解这些标准方程，咱们来举几个例子。
假设一个抛物线的焦点是 F(1,0) ，准线方程是 x ＝－1 。
因为焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离 p 是 2 ，所以这个抛物线的方程就是 y²＝ 4x 。
再比如，有个抛物线的焦点是 F(0, －2) ，准线方程是 y ＝ 2 。
这时候，焦点在 y 轴的负半轴上，p ＝ 4 ，那么这个抛物线的标准方程就是x²＝－8y 。
那这些标准方程是怎么来的呢？咱们可以通过几何方法来推导。
以焦点在 x 轴正半轴上的抛物线 y²＝ 2px 为例。
假设抛物线上有一点 P(x,y) ，根据抛物线的定义，点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线的距离。
焦点 F 的坐标是（p/2, 0) ，准线方程是 x ＝ p/2 。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程抛物线是平面几何中的一种曲线，它是一种非常常见且重要的曲线形状。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
抛物线的标准方程是描述抛物线形状的数学表达式，它可以帮助我们更好地理解和分析抛物线的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨抛物线的标准方程及其相关知识点。
首先，我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点被称为焦点，定直线被称为准线。
抛物线是关于准线对称的，它是一条开口向上或向下的曲线。
接下来，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线的焦点为F（p,0），准线为直线x=-p，过焦点的直线方程为y=kx。
设抛物线上任意一点为P（x,y），则P到焦点的距离为PF，即√((x-p)²+y²)，P到准线的距离为PM，即|x+p|。
根据抛物线的定义可得：√((x-p)²+y²)=|x+p|。
整理得到：(x-p)²+y²=(x+p)²。
展开得到：x²-2px+p²+y²=x²+2px+p²。
化简得到：y²=4px。
这就是抛物线的标准方程。
从这个方程我们可以看出，抛物线的形状和焦点的位置密切相关，当p为正数时，抛物线开口向右，焦点在右侧；当p为负数时，抛物线开口向左，焦点在左侧。
而抛物线的开口方向由p的正负决定，抛物线的形状由p的大小决定。
抛物线的标准方程还可以进一步转化为其他形式，例如顶点坐标形式和参数方程形式。
顶点坐标形式为(y-k)²=4a(x-h)，其中顶点坐标为(h,k)，参数方程形式为x=at²，y=2at。
这些不同形式的方程可以帮助我们更灵活地应用抛物线的相关知识，解决各种实际问题。
在物理学中，抛物线的运动规律被广泛应用。
例如，抛物线运动是一种自由落体运动，它描述了一个物体在重力作用下的运动轨迹。
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
抛物线的基本知识点
抛物线的基本知识点抛物线是一种二次曲线，具有特殊的形状，其方程一般形式为y=ax^2+bx+c。
在这个方程中，a、b、c是常数，且a不等于0。
抛物线在数学和物理学中都有广泛的应用，了解其基本知识点有助于理解和解决相关问题。
1.定义和特点：抛物线是指平面上满足二次方程y=ax^2+bx+c的所有点的轨迹。
其中a、b、c是常数，且a不等于0。
抛物线的特点有：-对称性：抛物线关于垂直于它的直线（通常是x轴）对称。
-焦点和准线：抛物线上的每个点到焦点的距离等于该点到准线（通常是x轴）的距离，这个点的坐标称为焦点的坐标，准线的方程也可以通过抛物线方程推导得到。
-极值点：抛物线的极值点（最高点或最低点）是抛物线的顶点，坐标可以通过求导数为0的点得到。
2.抛物线的标准方程：抛物线一般可以写为标准方程y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b、c是常数。
-当a>0时，抛物线开口向上，极值点为最低点。
-当a<0时，抛物线开口向下，极值点为最高点。
3.抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点与准线是抛物线的重要参数。
- 焦点的坐标为（h, k），其中h=-b/(2a)，k=c-(b^2-4ac)/(4a)。
这个点到抛物线的任意一点的距离等于该点到准线的距离。
- 准线的方程为y=k-(b^2-4ac)/(4a)，其中k=c-(b^2-4ac)/(4a)，这个方程表示与抛物线每个点距离相等的直线。
4.抛物线的焦距和焦直径：焦距是焦点到准线的距离，而焦直径是焦点之间的距离。
焦距的长度等于，1/(4a)，焦直径的长度等于，1/a。
5.抛物线的图象和方程的性质：-抛物线的图象是平面上的一条曲线，可以通过绘制和连接抛物线上的点得到。
-抛物线的方程是描述抛物线的关系式，通过方程可以得到抛物线的各个参数和性质。
-抛物线的对称轴是垂直于准线，并通过极值点的直线。
-抛物线的开口方向和曲线的形状由a的正负决定。
-若a>0，则抛物线开口向上，极值点为最低点。
抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义及标准方程一、抛物线的定义1. 定义内容- 平面内与一定点F和一条定直线l(F∉ l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
2. 定义理解要点- 强调“平面内”这一前提条件，因为在空间中满足到定点与定直线距离相等的点的轨迹是一个抛物面。
- 焦点F不在准线l上，如果F∈ l，则轨迹为过F且垂直于l的直线。
二、抛物线的标准方程1. 建立坐标系推导标准方程- 设抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作准线l的垂线，垂足为K，以线段FK的中点O为坐标原点，FK所在直线为x轴建立直角坐标系。
- 设|FK| = p(p>0)，则焦点F的坐标为((p)/(2),0)，准线l的方程为x =-(p)/(2)。
- 设抛物线上任一点M(x,y)，根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离。
- 点M到焦点F的距离| MF|=√((x - frac{p){2})^2+y^2}，点M到准线l的距离| x+(p)/(2)|。
- 由√((x - frac{p){2})^2+y^2}=| x+(p)/(2)|，两边平方可得(x-(p)/(2))^2 + y^2=(x + (p)/(2))^2，展开并化简得y^2=2px(p>0)，这就是抛物线的一种标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上的抛物线。
2. 其他几种标准方程形式- 当焦点在x轴负半轴上时，设焦点F(-(p)/(2),0)，准线l的方程为x=(p)/(2)，按照上述推导过程可得抛物线方程为y^2=-2px(p > 0)。
- 当焦点在y轴正半轴上时，设焦点F(0,(p)/(2))，准线l的方程为y =-(p)/(2)，设抛物线上一点M(x,y)，根据定义可得√(x^2)+(y-(p)/(2))^2=|y+(p)/(2)|，化简后得到x^2=2py(p>0)。
- 当焦点在y轴负半轴上时，设焦点F(0,-(p)/(2))，准线l的方程为y=(p)/(2)，可得抛物线方程为x^2=-2py(p>0)。
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程抛物线是平面上一个点到一定直线的距离等于该点到另一定点的距离的轨迹。
抛物线是一种非常常见的曲线，在日常生活和数学领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将重点介绍抛物线及其标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和运用抛物线的相关知识。
首先，让我们来看一下抛物线的基本特点。
抛物线是由一个定点（焦点）F 和一条定直线（准线）l 组成的，其定义是，对于平面上的任意一点 P，到焦点的距离等于到准线的距离。
这个定义可以用一个简单的实例来说明，假设你站在一个点 P，到篮球场的中心点（焦点）的距离等于到篮球场两边观众席的距离（准线），那么你所走过的路径就是一个抛物线。
接下来，我们来讨论抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程通常写作 y = ax^2 + bx + c。
其中 a、b、c 分别为抛物线的参数，而 x 和 y 分别为抛物线上的点的横纵坐标。
在标准方程中，参数a 决定了抛物线的开口方向和大小，当 a 大于 0 时，抛物线开口向上；当 a 小于 0 时，抛物线开口向下。
参数 b 决定了抛物线在x 轴上的位置，而参数 c 决定了抛物线在 y 轴上的位置。
为了更好地理解抛物线的标准方程，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个抛物线，其标准方程为 y = 2x^2 + 3x + 1。
根据标准方程，我们可以得知参数 a 的值为 2，参数 b 的值为 3，参数 c 的值为 1。
根据参数 a 的取值，我们可以得知这个抛物线开口向上；而根据参数 b 和参数 c 的取值，我们可以确定抛物线在 x 轴和 y 轴上的位置。
通过这个例子，我们可以看到，抛物线的标准方程可以帮助我们直观地理解抛物线的形状和特点。
总之，抛物线是一种非常重要的曲线，在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
通过理解抛物线的基本特点和标准方程，我们可以更好地应用抛物线的相关知识，解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解抛物线及其标准方程，为进一步学习和应用抛物线打下坚实的基础。
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例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=
当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px，
9 4
．
A
y
O
x
4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = x 3 2
2 得p= 3
( 1 ) ： 一次项的变量如果为 X （或 Y ），则焦点就在 X 轴（或 Y 轴）上。
( 2 ) ：一次项的系数决定了开 口方向:正数与正半轴同方向，负 数则相反。
例1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程和准线方程。
9 B．3 C. 5 D.2 由抛物线的定义知，点P到该抛物线的距离等于点P到
其焦点的距离，因此点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准 线的距离之和即为点P到点(0,2)的距离与点P到焦点的距离之 和，显然，当P、F、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小 值，最小值等于 答案 A
1 2 0－ ＋2－02＝ 2
4．(2012· 西安月考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4， 则点P到该抛物线焦点的距离是( A．4 B．6 C．8 D．12 解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x＝－2，又由点P 到y轴的距离为4，可得点P的横坐标xP＝4，由抛物线定义可知 p 点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF|＝xP＋ 2 ＝xP＋2 ＝4＋2＝6. 答案 B )．
17 . 2
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（ 1） y2 = 20x （2）x2=
1 y 2
（3）2y2 +5x =0
（4）x2 +8y =0
焦点坐标
准线方程
（ 1） （ 5 ， 0 ）
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
（ 2）
（ 3）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
（4） （0，-2）
y=2
焦点到准线的距离
想一想:
抛物线的位置及其方程还有没 有其它的形式？
一条抛物线，由于它在坐标平面内 的位置不同，方程也不同，所以抛物线 的标准方程还有其它形式。
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
问题：
根据上表中抛物线的标准方 程的不同形式与图形、焦点坐标、 准线方程的对应关系，如何判断 抛物线的焦点位置、开口方向 ？
二、标准方程
设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， l N
y
M
由定义可知，
K o
p 2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
· · F
x
y2 = 2px（p＞0）
2 方程 y
= 2px（p＞0）
叫做抛物线的标准方程 它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上 p p F（ 2 ，0），l：x = 2 其中 p 为正常数，它的几何意义是:
例3、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点
（如图）， 若点M 的横坐标为X0， 则点M到 焦点的距离是
X0 +
— 2
p
y
O F
． ．
M
x
【训练1】
(2011· 济南模拟)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个
动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之 和的最小值为( 17 A. 2 解析 )．
抛物线及其标准方程
一、定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点 F 叫做抛物线的焦点。 定直线 l 叫做抛物线的准线。 N l
M
· F ·
即:
MF ︳ ︳ 若 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳
二、标准方程
l
如何建立 直角坐标 系？
N
M
· F ·
。
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x y2 =x =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
1 （2）准线方程 是x = ； 4
（3）焦点到准线的距离是2。 y2
1．抛物线 y＝ax2 的准线方程是 y＝2，则 a 的值为 ( 1 A. 8 )． 1 B．－ 8 C．8 D．－8