第40届IMO中国国家队选拔考试试题
历届IMO试题（1-44届）
历届IMO试题（1-44届）第1届IMO1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)求证AF、BC相交于N点；（b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；(c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1-√(1+2x))2<2x+93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tanα=4nh/(an2-a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA''B''C''D''（上底面ABCD，下底面A''B''C''D''）。
IMO中国国家集训队选拔考试试题与解答(1995-2010)
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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C2x1 + C2x2 + …+ C2x16 ≤C211 = 55.
①
容易看出 , 当 x1 , x2 , …, x16尽量平均 (至多相差
1) 时 , 上式左端和数最小 , 从而 , x1 + x2 + …+ x16 最
大. 因此 , 当 x1 , x2 , …, x16 中有两个 4 和 14 个 3 时 ,
=
1.
②
比较 ①、②两式可得
AP AQ
=
PC QC
.
③
过 P 作 EF 的平行线分别交 OA 、OC 于 I 、J ,则有
PI QO
=
AP AQ
,
JP QO
=
PC QC
.
④
由 ③、④可得
PI QO
=
JP QO
]
PI = PJ .
又 OP ⊥IJ ,则 OP 平分 ∠IOJ ,
即 OP 平分 ∠AOC.
去掉前 2 行与前 10 列 , 至多去掉 22 + 16 = 38 个 红点 ,余下的 15 ×7 的方格表中至少还有 34 个红点 , 34 = 3 ×4 + 2 ×11. 这些红点至少构成
3 ×4 + 11 = 23 个不同的“红点对”, 23 > 21 = C27 , 必导致边平行于网 格线的红顶点矩形 ,矛盾.
2023第40届全国中学生物理竞赛决赛实验标准答案
第40届全国中学生物理竞赛决赛实验考试标准答案得分阅卷复核第_题（16分）--------------------------------1.1（2分）速度V（t）的表达式：知）=2（"**°厂赢）（1分）收尾速度％的表达式：v0=2（p-y（i分）1.2（2分）估算小球下落速度为O.99v o时的下落距离&=0.000086m〜0.00017Im1.3（3分）粘滞系数的计算公式片史誓竺，（0.5分）粘滞系数〃=1.65P q・s。
（1分）粘滞系数7的不确定度计算公式：M="（琴）2+（¥）2或△!；=3-:撰侦.）2+曾（0.5分）粘滞系数"的不确定度计算结果：0.018或者0.02Pa・s。
（1分）。
1.4（1分）需要进行斯托克斯公式的1阶修正。
1.5（1分）会影响实验结果的准确性的选项是O1.6（2分）你从图中总结出的规律是：粘滞系数随温度升高而减小，室温下粘滞系数越大的液体随温度升高减小的更快，三种液体的粘滞系数大小关系始终不变，曲线没有交点。
（1分）微观解释：液体的粘滞力是相邻层间存在速度差时产生的一种内摩擦力。
温度升高时，液体中分子的热运动加剧，分子间的距离增大，分子间的吸引力减小，从而降低了液体内部的摩擦力。
因此，液体的粘滞系数随温度升高而降低，流动性增加。
（1分）1.7（2分）A=（2.0x10-6〜1.5x10-3）ntPa・s;（1分）B=o（1分）1.8（1分）说法正确的是：C,D o1.9（1分）小球的收尾速度"o=（0.16-0.21）m/s o1.10（1分）关于这个实验设计方案的哪些分析是不正确的：A,C得分阅卷复核2.1（2分）水的体膨胀系数的计算公式6=山（警）2.2 （2分）样品在4（FC时的些=（0.23-0.36）邺,（1分）0.19g/°C<碧<0.23g/°C或0.36g/°C<*<0.40g/°C（0.5分）体膨胀系数（4.63X IO"〜7.25 X10-4真」。
2021年世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方晋级赛试题及答案(精华版)
绝密★启用前2021年世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方晋级赛试题及答案（精华版）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计20分；第三部分：解答题，共计66分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
三年级试题（Ａ卷）（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、填空。
（每题8分，共计64分）1、小明、小华和小新三人的家在同一街道，小明家在小华家西300米处，小新家在小明家东400米处，则小华家和小新家相距________米。
2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长75cm长的木板，中间重叠部分长15cm，这两块木板各长_______厘米。
3、2014年亚太经合组织领导人非正式会议于11月在北京召开，21个成员经济体领导人见面后相互握手致意，每两人握手一次，21人一共握手_______次。
4、“家家捣米做汤圆，知是明朝冬至天。
”冬至吃汤圆，是我国南方的传统习俗。
这天奶奶准备包汤圆，和面、准备馅要用20分钟，包汤圆要1小时30分钟，煮汤圆要20分钟。
如果想在中午12时吃到汤圆，奶奶最迟从上午_____时______分开始动手。
5、一艘远洋轮船上共有30名海员，船上的淡水可供全体船员用40天，轮船离港10天后在公海上又救起15名遇难的外国海员．假如每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可供船上的人再用_________天。
6、如图是某街区的示意图，各线段代表马路。
街区为正方形，边长400米，各小区都是100米×200米的长方形。
在S处的某人想找到G处的那个人，但是，由于他缺乏运动，所以，想尽量走最长的路，顺便锻炼锻炼，并且不想走重复的路。
那么，他最多可以走_________米。
7、某车队买回了一些新轮胎，小明数了一下，发现要是把每辆车的2个前胎全部换掉，还能剩下20个轮胎；如果要把每辆车的4个轮胎全部换掉，就只剩下6个轮胎了。
2021年世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方晋级赛试题及答案(精华版)
绝密★启用前2021年世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方晋级赛试题及答案（精华版）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计20分；第三部分：解答题，共计66分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
三年级试题（Ａ卷）（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、填空。
（每题8分，共计64分）1、小明、小华和小新三人的家在同一街道，小明家在小华家西300米处，小新家在小明家东400米处，则小华家和小新家相距________米。
2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长75cm长的木板，中间重叠部分长15cm，这两块木板各长_______厘米。
3、2014年亚太经合组织领导人非正式会议于11月在北京召开，21个成员经济体领导人见面后相互握手致意，每两人握手一次，21人一共握手_______次。
4、“家家捣米做汤圆，知是明朝冬至天。
”冬至吃汤圆，是我国南方的传统习俗。
这天奶奶准备包汤圆，和面、准备馅要用20分钟，包汤圆要1小时30分钟，煮汤圆要20分钟。
如果想在中午12时吃到汤圆，奶奶最迟从上午_____时______分开始动手。
5、一艘远洋轮船上共有30名海员，船上的淡水可供全体船员用40天，轮船离港10天后在公海上又救起15名遇难的外国海员．假如每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可供船上的人再用_________天。
6、如图是某街区的示意图，各线段代表马路。
街区为正方形，边长400米，各小区都是100米×200米的长方形。
在S处的某人想找到G处的那个人，但是，由于他缺乏运动，所以，想尽量走最长的路，顺便锻炼锻炼，并且不想走重复的路。
那么，他最多可以走_________米。
7、某车队买回了一些新轮胎，小明数了一下，发现要是把每辆车的2个前胎全部换掉，还能剩下20个轮胎；如果要把每辆车的4个轮胎全部换掉，就只剩下6个轮胎了。
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答国际数学奥林匹克竞赛是世界范围内最具影响力和声誉的数学竞赛之一。
每年，来自各个国家的数学高手们聚集在一起，参与这项激烈而充满挑战的竞赛。
本文将介绍一些历年的国际数学奥林匹克竞赛试题，并提供相应的解答。
试题一：证明：当n为正整数时，4^n + n^4不是素数。
解答一：我们可以通过反证法来证明这个命题。
假设4^n + n^4是一个素数，即不存在其他因子能够整除它。
考虑到任何正整数n都可以写成2k或2k+1的形式，其中k是整数。
当n为偶数时，可以将n表示为2k的形式。
那么我们有：4^n + n^4 = (2^2)^n + (2k)^4 = 2^(2n) + (2k)^4我们可以看出，2^(2n)是一个完全平方数，而(2k)^4也是一个完全平方数。
根据完全平方数的性质，它们的和2^(2n) + (2k)^4也是一个完全平方数。
因此，当n为偶数时，4^n + n^4不可能是素数。
当n为奇数时，可以将n表示为2k+1的形式。
那么我们有：4^n + n^4 = (2^2)^n + (2k+1)^4 = 2^(2n) + (2k+1)^4同样地，我们可以看出，2^(2n)是一个完全平方数，而(2k+1)^4也是一个完全平方数。
根据完全平方数的性质，它们的和2^(2n) + (2k+1)^4也是一个完全平方数。
因此，当n为奇数时，4^n + n^4同样不可能是素数。
综上所述，我们可以得出结论：当n为正整数时，4^n + n^4不是素数。
试题二：证明：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 1不是完全平方数。
解答二：我们同样可以使用反证法来证明这个命题。
假设n^2 + 3n + 1是一个完全平方数，即存在另一个正整数m，使得m^2 = n^2 + 3n + 1。
根据完全平方数的性质，m^2必然是一个奇数，因为奇数的平方也是奇数。
我们可以将n^2 + 3n + 1拆分为两部分，即(n^2 + 2n + 1) + n。
【2-平几】4.圆的幂与根轴【学生版】
自招竞赛 秋季数学讲义圆的幂与根轴学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位圆的幂与根轴是上海高中数学中没有提到的内容，但是每年全国高中数学联赛二试必定会考到（40分），在三大联盟的自招中有时也会涉及。
参加三大联盟自招的同学对圆的幂与根轴应稍微掌握。
本课将会介绍圆的幂与根轴的一些基本概念、性质与简单的应用。
知识梳理一. 圆的幂P 是O 所在平面上任一点，定义P 点对O 的幂为22OP R -，其中R 为圆的半径。
由定义知对于定圆，圆内的点圆幂小于0，圆上的点圆幂等于0，圆外的点圆幂大于0.二. 圆幂定理过O 所在平面上任一点P （不在圆上）作直线l 交O 于点A 、B （可以重合），则PA PB ⋅即为圆幂。
证明易。
圆幂定理的逆定理是证明四点共圆的常用手段。
三. 圆的根轴对于平面上任意两个不同心的圆（其中一个圆的半径可以为0，从而成为一个点），称对这两个圆的幂相等的点的集合为这两个圆的根轴。
两圆圆的根轴是一条直线。
特别地，若两圆相交，则它们的根轴是公共弦所在的直线；若两圆相切，则他们的根轴是过切点的公切线。
例题精讲一. 根轴的几个性质【例1】【题目来源】【题目】根据圆的幂与根轴的定义，证明两圆的根轴是一条直线（此性质常被用来证明三点共线与直线垂直）【难度系数】2【例2】【题目来源】【题目】证明：若两圆相交，则它们的根轴是公共弦所在的直线。
【难度系数】1【例3】【题目来源】【题目】证明：若两圆相切，则他们的根轴是过切点的公切线。
【难度系数】1【例4】【题目来源】【题目】证明：三个圆，其两两的根轴相交于一点或互相平行。
（此性质常被用来证明三线共点）【难度系数】1EABCD【例5】 【题目来源】【题目】证明：两圆公切线段的中点在根轴上。
【难度系数】1习题演练【练1】 【题目来源】【题目】以AB 为直径作圆，两弦AC 、BD 相交于E ，求证：2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=【难度系数】3 【练2】 【题目来源】【题目】在线段AB 的同侧作三个互相相似的三角形PAB AQB ABR ∽∽，作P 、Q 、R 关于AB 的中垂线的对称点P ’、Q ’、R ’，求证：P 、Q 、R 、P ’、Q ’、R ’共圆。
IMO中国国家队训练题
2008IMO 中国国家队训练题及解答2008年IMO 中国队培训的主要阶段于6月15日至7月5日在上海中学进行,后期在清华附中调整.在培训期间,单墫、陈永高、冷岗松、余红兵、李伟固、熊斌等教授以及叶中豪、冯志刚先生为国家队队员作了讲座.我们从培训题中精选了一部分,配以个别队员们的解答,推荐给各位读者.1. 设G 为△ABC 内的一点,AG 、BG 、CG 分别交对边于点D 、E 、F.设△AEB和△AFC 的外接圆的公共弦所在的直线为l a ,类似定义l b ,l c .证明:直线l a ,l b ,l c 三线共点.证明:设∆AEB 的外接圆和∆AFC 的外接圆交于1,A A ,则a l 即1AA ,易知1A 在角BAC ∠内,1BAEA 共圆,1CAFA 共圆,类似地定义11,B C . 因为BAEA 1共圆,111FBA ABA A EC ∠=∠=∠故(1.1), 111A A C A A E A B E ∠=∠=∠(1.2), 11A AB A EB ∠=∠(1.3)因为CAFA 1共圆,故∠BFA 1=∠ACA 1=∠ECA 1 (1.4) 由(1.1)、(1.4)得:∆BFA 1~∆ECA 1,1BA BFA E CE=1故(1.5) 对∆BA 1E 用正弦定理并结合(1.2)、(1.3)得111111sin sin sin sin BA A EB A ABA E A BE A AC∠∠==∠∠(1.6) 1111,,b c B ABC C ACB l BB l CC ∠∠同理，在内，在内，即即11sin ,sin C CA AE C CB BD ∠=∠且有11sin sin B BC CDB BA AF∠=∠.故BDCDCE AE AF BF AF CD BD AE CE BF BA BC B CB CA C AC AB A ⋅⋅=⋅⋅=∠∠⋅∠∠⋅∠∠111111B sin sin C sin sin A sin sin 111AC BC CC BC CA AB D E F 而由、、分别交对边、、于、、及塞瓦定理得BD CDCE AE AF BF ⋅⋅=1. BA BC B CB CA C AC AB A 111111B sin sin C sin sin A sin sin ∠∠⋅∠∠⋅∠∠=1,这样利用角元形式的塞瓦定理可知直线AA 1,BB 1,CC 1三线共点.,,a b c l l l 即共点，命题得证。