一类半线性椭圆方程组的多重正解

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半线性椭圆方程

µ − a + β . K•§ (0.12) – k˜‡
ë•©zµ [1] L. Caﬀarelli, R. Kohn, L. Nirenberg, First order interpolation inequality with weights, Compos. Math. 53 (1984) 259–275. [2] K. Chou, C. Chu, On the best constant for a weighted Sobolev–Hardy inequality, J. Lond. Math. Soc. (2) 48 (1993) 137–151. [3] F. Catrina, Z. Wang, On the Caﬀarelli-Kohn-Nirenberg inequalities: Sharp constants, existence (and nonexistence), and symmetry of external functions, Comm. Pure Appl. Math. 54 (2) (2001) 229–258. [4] X.J. Huang, X.P. Wu, C.L. Tang, Multiple positive solutions for semilinear elliptic equations with critical weighted Hardy-Sobolev exponents, Nonlinear Anal. 74 (2011) 2602–2611 [5] L. Ding, C.L. Tang, Existence and multiplicity of positive solutions for a class of semilinear elliptic equations involving Hardy term and Hardy-Sobolev critical exponents, J. Math. Anal. Appl. 339 (2008) 1073–1083. [6] L. Huang, X.P. Wu, C.L. Tang, Existence and multiplicity of solutions for semilinear elliptic equations with critical weighted Hardy-Sobolev exponents, Nonlinear Anal. 71 (2009) 1916–1924. [7] P. H. Rabinowitz. Minimax methods in critical point theory with applications to diﬀerential equations, Conference Board of the Mathematical Sciences, vol. 65 Providence, RI: American Mathematical Society, 1986. [8] W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1987. [9] H. Brezis, L. Nirenberg, Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Comm. Pure Appl. Math. 36 (4) (1983) 437–477. [10] D. Kang, G. Li, S. Peng, Positive solutions and critical dimensions for the elliptic problems involving the Caﬀarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, J. Jilin. Univ. Sci. 46 (2008) 423–427.

一类半线性椭圆方程组正解的稳定性

＼，）ｇ（，，ｇ（ｕ）
ｒ △ ＋＾＋Ａ７＝一， ∈ ，７
笔者在定理１的证明中用的方程乘以田，在（）中用田的方程乘以，力上分别积分，２在然
后相减，对和的方程做同样的运算，从而得到（，）稳定的条件．ｕ
下面讨论半线性椭圆方程组（）正解的稳定１
假设（，）满足（：，ｇＡ）根据参考文献［］方程３，（）有实的第一本征值（，，在所有的谱２ｕ）它点中有最小实部．么定义：，）＞０，（那／（ｘ则，
（）１
其中Ａ＞０是有界光滑区域．，，ｆｇ是定义在：（，０ ∞）Ｘ（，）的实值函数，０∞ 上在满足一定条件下，论此半线性椭圆方程组正解的稳定性问题．讨
关键词：半线性椭圆方程组；解的稳定性正
０引ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第２６卷第２期
哈尔滨师范大学自然科学学报
ＮＵＲＡＣＥＮＣＳＪＲＮＡＬＯＦＨＡＩＲＭＡＬＵＶＳＴＡＴＬＳＩＥＯＵＲＢＮＮＯＮＩＥＲＩＹ
Ｖ１２，ｏ２２１ｏ．６Ｎ．００
一
类半线性椭圆方程组正解的稳定性水
李萍，仁浩，峻平，玉文崔史王
（哈尔滨师范大学）
【摘要】考虑半线性椭圆方程组
ｒ
Ａ＋ａ（）＝０ ∈ ，ｕｆ，，
｛Ａ（，）＝０ ∈ ， △ ＋ｇｕ，

一类带非线性边界的半线性椭圆方程组的多个解

作者简介：汪继秀（１９８２一），女，安徽安庆人，湖北文理学院数学与计算机科学学院讲师
第３４卷第１１期
湖北文理学院学报
２０１３年第１１期
（ＡｆｌＩ＋以ＩＶ４，５（，）＝Ｊｆ（，）一１￣
ｐＱ
一！ｆｈｒ（，ｙ）出（，Ｖ） ∈ Ⅳ．
ｇｎ
利用条件（Ｈ１）－（Ｈ５）可以证明
函
．
．
（，Ｖ） ∈Ｃ（Ｈ，Ｒ）（参看文献【１】）．众所周知，问题（１）的解就是能量泛
（甜，Ｖ）对应的临界点．
２０１３年１１月
湖北文理学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅ
ＮＯＶ．，２０１３Ｖｂ１．３４ＮＯ．１１
范数为
ｌｉｅｕ，ｖ）ｌｌ＝
一
＋ｌｕｌ＝．１ｕｌ２－＋ｌＶｖｌ＝＋ｌｖｌ＝
对函数（，ｖ） ∈Ｈ是问题（１）的弱解，即对所有的（破，） ∈Ｈ，有
Ｑ
Ｉ（ｖ萌一萌＋ＶｖＶ￣￣－２／．４ＩＶＱ
＋
其
中
八
南－２Ｖｘ ∈ Ｑ
，＿Ｏｖ：Ｉ１，１， ∈ａＱ
ｏｎ
＝
Ｏｕ
：
ｌ

一类拟线性椭圆方程的多解性

一类拟线性椭圆方程的多解性
一类拟线性椭圆方程的多解性在数学上有着重要的意义，相关的研究可以追溯到十九世纪末，其研究一直持续到今天。

本文将围绕一类拟线性椭圆方程的多解性展开，解释其特性，分析可能的原因。

首先，让我们来解释什么是一类拟线性椭圆方程的多解性。

它指的是一类使用二次代数方程式来描述椭圆的多重解答。

当一个函数有两个不同的解时，它就是一个多解性函数。

在本质上，一类拟线性椭圆方程的多解性意味着有多个符合椭圆特性的解。

换句话说，当函数有多个解时，它就具有一类拟线性椭圆方程的多解性。

一类拟线性椭圆方程的多解性可以用许多方法来证明。

最常见的方法是用数学归纳法证明，另一种是用椭圆的算法来证明，第三种方法是用椭圆的系数来证明。

其中数学归纳法用于证明当函数有多个解时，它就具有一类拟线性椭圆方程的多解性。

椭圆的算法可以用来求解椭圆的系数，系数越大，椭圆形状就越明显。

此外，一类拟线性椭圆方程的多解性还可以通过建立模型来验证。

在建立模型时，可以将椭圆转换为多解性函数来解决它的特性。

这样，可以验证椭圆的多解性特性，帮助我们更好地理解它的特性。

最后，一类拟线性椭圆方程的多解性可以用图像来表示。

常见的方法是用图表来显示椭圆的形状，用箭头符号表示椭圆的多解性。

这样，我们可以更全面地了解一类拟线性椭圆方程的多解性特性。

综上所述，一类拟线性椭圆方程的多解性具有重要的意义，它可以使用数学归纳法，椭圆的算法，椭圆的系数，建立模型和图像来证
明。

为此，未来的研究应该结合理论分析和数值实验来进一步探究一类拟线性椭圆方程的多解性特性。

一类椭圆方程共振问题解的存在性和多重性的开题报告

一类椭圆方程共振问题解的存在性和多重性的开题报告
椭圆方程共振问题是指存在一种非线性椭圆方程，其解具有多重性质，即存在多个不同形态的解。

这类问题具有广泛的应用背景，例如在物理学、生物学、化学等领域的研究中都存在这种问题。

椭圆方程解的存在性和多重性一直是一个热门的研究领域，其中最具代表性的问题是Liouville方程的研究。

在19世纪，Liouville首次研究了一类具有特殊非线性项和特定域的二维椭圆方程，并发现该方程具有非平凡解的存在性和多重性。

此后，许多学者继续研究该问题，并提出了许多解的存在性和多重性的判定条件。

基于这些研究成果，学者们提出了一系列解决共振问题的方法，其中包括正则化技术、KAM理论等，这些方法都能够有效地解决椭圆方程共振问题。

总之，椭圆方程共振问题的研究对于深入理解自然现象及其背后的数学本质具有重要意义。

目前，该问题仍存在许多未解决的问题，需要继续深入研究。

一类p-Laplacian椭圆方程的多重正解

ＩＩｌ）＋ｆｄｆｄ１１ＪａｕｘＪ（ｘＪ（ｘｕｐｕｄｕ ≤ ｕ）＿ｆ（）ｕ
收稿日期：２０ — ３１０８０—５
基金项目：遵义师范学院自然科学基金资助项目２００７（０８２）作者简介：龙绍明，，男贵州遵义人，遵义师范学院数学系讲师。
时乘上ｕ取向量场ｗ＝ｌＵｌ，
理，得
Ｕ运用散度定，
Ｉｌ￣ｎ（ｘｌｌ，ｕ）Ｊｆｄｕｐｕ＝
其Ｉ（Ｖａ１示Ｗ（上范中ＩＩＪＩｕｐ／ｏＱ的Ｉ＝Ｉｘ表）ｎ）ｕｐ
数．
由条件（２，Ｆ）有
６１
维普资讯
第１Ｏ卷第３期
遵义师范学院学报
２ｏｏ８年６月
由条件（３，Ｆ）则存在常数ｃ＞，任意的ｔ，Ｏ对 ≥Ｏ
有ｔｔｌ＋ｐｆ）（ｔ（ ≤Ｃ１、从而有
ＡｂｔａｔＢｅＭｏｎａｎＰｓｅｓｒｃ：ｖｔｕｔｉａｓｌｍｍａａｄｔｅｌａｔａｔｎｐｉｅｐｅｈｅｎｎｘｓｅｃｎｈｐｉｉｆｐｓｔｅｓｌ— ｈｎｅｓｃｏｒｉｌ，ｔｏｅｉｔｎｅａｄｍｕｉｌｔｏｏｉｖ０ｕｈｉｎｃｙｉｔｎｒｂａｎｄｆｒａｃａｓｏ－ａｌｃａｌｐｉｑａｏｓｗｔｒｈｅｏｎａｙｖｌｅｐｏｌｍ・ｉｓａｅｏｒｉｅｌｓｆＬｐａｉｎｅｌｔｅｕｔｎｉＤｉｃｌｔｕｄｒａｕｒｂｅｏｏｐｉｃｉｈ／ｂＫｅｒｓＰｓｔｅＳｌ￣ｎＭｏｎａｎＰｓｅｙｗｏｄ：ｏｉｖｏｕｏ；ｕｔｉａｓＬｍｍａＬａｔｔｎＰｎｉｌ．ｉ；ｅｉｒｃｐｅｓＡｃｏｉ

一类半线性椭圆形方程的解及其性质

上海师范大学硕士学位论文一类半线性椭圆形方程的解及其性质姓名：戴清平申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：徐本龙 20100301
上海师范大学硕士学位论文
摘
要
对于一类带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程，许多数学家进行过深入的研究。本文主要是更进一步的讨论一种特殊的带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程的解及其性质。通过直接的和Ｎｅｈａｒｉ．ｔｙｐｅ的交分方法，我们证明了一般的方程的解的情况；对于一种给定函数的特殊的方程，我们利用分歧理论和谱分析，得到了方程的解的精确个数、解的一些性质、解的大致图像；更进一步地，利用无限分歧理论再次讨论了这种方程的解的情况。本论文的内容安排如下：第一章是对一类带狄利克雷边界条件的半线性椭圆形方程的一般形式得出一些好的结论，主要运用直接的和Ｎｅｈａｒｉ．ｔｙｐｅｆｆ＇Ｊ交分方法；第二章则介绍了一种给定函数的特殊的方程的解的情况和解的性质，我们利用分歧理论和谱分析；第三章主要用无限分歧的理论研究了在单位球上解的情况．关键词：半线性椭圆形方程；解的个数；直接的乘ＩＮｅｈａｒｉ－ｔｙｐｅ的变分方法；分歧理论和谱分析；解的大致图像；无限分歧。
个解。
１．２几个引理
｛二三：＿。’：：二三三．
引理１．２．１对任意的入∈（０，等），方程（１．１．１）都有解。
以（“）＝厂ｆ隧２一ＡＦ（心））出．
Ｆ（札）＝／ｏ缸ｍ）班．
/list.php/50010388.html
/list.php/50011699.html
ｈａｄｇｏｔｔｈｅｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
ａｎｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅＷｏｒｄｓ：
ｏｆｔｈｅｓｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｐｒｉｏｒ
ｅｑｕａｔｉｏｎ．

一类椭圆方程多解问题

一类椭圆方程多解问题车平【摘要】文章研究一类拟线性椭圆型偏微分方程-Δpu=f(x,u)多解存在性问题.利用临界点理论,并结合亏格技巧及形变引理给出了该椭圆方程无穷多个非平凡多解的存在性结论.【期刊名称】《成都师范学院学报》【年(卷),期】2019(035)007【总页数】4页(P121-124)【关键词】椭圆方程;临界点理论;弱解【作者】车平【作者单位】成都师范学院附属实验学校,成都 611130【正文语种】中文【中图分类】O175.251引言与预备考虑一类椭圆方程：(1)其中Ω是N(N≥1)中的有界光滑区域，p>1，Δp是p-Laplacian算子，即Δp=div(|u|p-2是-Δp在Ω上狄利克雷零边值问题的最小正特征值。

张小美在文献[1]给出了具有Landesman-Lazer型条件的二阶不对称非线性方程的周期边值问题的周期解；在没有Landesman-Lazer型条件的情况下，饶若峰在文献[2]获得了强振动方程的非平凡解的存在性。

这些文献给出了半线性或拟线性情况下椭圆型偏微分方程的有限几个解的存在性。

受文献[1-7]的一些思想和方法的启发，作者将利用亏格技巧给出无穷多个非平凡解的存在性。

2主要结果与证明在给出本文主要结论之前，我们需要先回顾一下形变引理：形变引理：设空间E是一实的Banach空间，I∈C1(E,)满足PS条件。

若又设U是κc的一邻域，那么存在某以及η∈C([0,1]×E,E)满足：(ⅰ)η(0,u)=u,∀u∈E;(ⅱ)η(t,u)=u,∀t∈[0,1]，并且u满足(ⅲ)对任给的t∈[0,1]，η(t,u)是E到E上的同胚；(ⅳ)|η(t,u)-u||1，∀t∈[0,1]和u∈E；(ⅴ)I(η(t,u))I(u)，∀t∈[0,1]和u∈E；(ⅵ)η(1,Ic+ε-U)⊂Ic-ε；(ⅶ)若κc=∅，η(1,Ic+ε)⊂Ic-ε；(ⅷ)若I是一偶泛函，则η(t,u)关于变量u是奇的。

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…）』Ｉ＋一寄一号（ＩＩ。ｖ扎（Ｉｚ－Ｉｚ一ｆ．Ｉ
则（， ∈Ｃ（ ×Ｈ，，对偶积为： “ ）Ｒ）其
其中ＤＣＲ ≥ ３是包含原点的有界光滑区域，（）
＞Ｏ，＜ｇ２ａ１＞１口＋一２，２：一１＜，＞，，且
（ｃｏｌｏａｈｍａｉｓａｄＳａｉｔｓｏｔ — ｎｒｌＵｎｖｒｉｏｔｏａｉｅ，Ｗｕａ３０４。Ｃｈｎ）ＳｈｏｆＭｔｅｔｎｔｔｓｉ，ＳｕｈＣｅｔａｉｅｓｔｆｒＮａｉｎｌｉｓｃｃｙｔｈｎ４０７ｉａ
基金项目国家自然科学基金资助项目（Ｏ７２９；１７ｌ１）国家民委科研基金资助项目（７Ｎ０）０Ｚ３
ｌ８Ｏ
中南民族大学学报（自然科学版）
第２９卷
若对任意的（， ∈Ｅ，：）有
））完备化空间．Ｅ＝ＨＸＨ表示通常ｄ的用
Ｉ
中， ∈Ⅳ ，，，，（
Ｆｒｃｅ６ｈｔ导数．
一
Ｉ “Ｉ
，其
）示，（，在点（，处的表＾“ ） “ ）
收稿日期
！】００一Ｉ－５ｌ１２
作者简介康东升（９７）男，１６４，教授，博士，研究方向：偏微分方程， — ｉｄ “ ｓ１ｋｎ＠ｙｈｏｃｒ．ＤＥｍａ：ｏｇｈＩａｇａｏ．ｏｎＣｌｅｇ
的Ｓｂｌｖ至Ｉ，２一（， ∈ Ｅ，其等价模定ｏｏｅ司看口）则
１问题的引入
本文考虑ｆ面一类含有Ｈａｄ＝ｒｙ项与非线性耦合
义为：
ＩＩｕＩ寄ｌＪＩＩＬｌ＝ｎＶＶＩ＝＝Ｊ口 —
Ｖｏ．９Ｎｏ．Ｉ２４Ｄｅ．００ｃ２１
一
类半线性椭圆方程组的多重正解
康东升，魏巧玲，双余
（南民族大学数学与统计学学院Байду номын сангаас，汉４０７）中武３０４
摘要
关键词
研究了一类带有多个临界指数的半线性椭圆方程组，用变分法和分析技巧，明了在一定条件下椭圆运证
第２９卷第４期
２１００年１２月
中南民族大学学报（自然科学版）
Ｊｕｎｌｏｏｔ — ｎｒｌＵｎｖｒｉｏｒＮａｉｎｌｔｅＮａ．ｃ．ｉｉｎ）ｏｒａｆＳｕｈＣｅｔａｉｅｓｔｆｔｏａｉｉｓ（ｔＳｉＥｄｔｙｏ
ＡｂｓｒｔＩｈｉｐｅ，ａｓｍｉｉｅａｌｉｉｙｓｅｉｉｓｉａｔｄ，ｗｈｉｈｉｖｖｓｍｕｌｉｌｒｔｃｌｘｎｅｓｔａｃｎｔｓｐａｒｅｌｎｒｅｌｐｔｃｓｔｍｓｎｖｅｔｇｅｃｎｏｌｅｔｐｅｃｉｉａｅｐｏｎｔ．Ｔｈｅｓｅｃａｍｕｌｉｉｉｙｅｕｔｏｐｉｉｅｏｕｔｏｎａｅｅｘｉｔｎｅｎｄｔｐｌｃｔｒｓｌｓｆｏｓｔｖｓｌｉｓｒｏｂａｎｄｙａｉｔｏｎｍｅｈｏａｎａａｌｉｔｉｅｂｖｒａｉａｌｔｄｓｄｎｙｔｃｔｃｅｈｎｉｕｅｑ．Ｋｅｙｗｏｄｓｍｉｉａｒｅｌｉｙｓｅ；ｃｉｉａｘｐｏｎｔｒｓｅｌｎｅｌｉｃｓｔｍｐｔｒｔｃｌｅｎｅ；Ｎｅｒａｆｄ；ｐｏｉｉｅｓｌｔｏｈａｉｍｎｉｏｌｓｔｖｏｕｉｎ
中图分类号
ＭｕｔｐｌｓｔｖｏｕｔｏｏａＳｍｉｉａｌｐｉｙｔｍｌｉｅＰｏｉｉｅＳｌｉｎｓｔｅｌｎｅｒＥｌｉｔｃＳｓｅ
ＫａｇＤｏｇｓｅｇ，ＷｅａｌｎｎｎｈｎｉＱｉｏｉｇ，ＹｕＳｕｎｈａｇ
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＜＾，，）一ｊ（ｕ＋（）（）Ｖ
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）是最佳Ｈａｄ常。ｒｙ
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数．－（：／３／）＝Ｈ表示ｃ（）于模（订ｆ “ ｔ关２－Ｉ（Ｊ一ｄ
我们在积空间Ｅ一Ⅳ ×Ｈ中研究问题（，Ｐ）其
对应的能量泛函为：
项的半线性椭圆方程组：
卜奇＝。Ｉ＋
∈，
１咄一
两Ｎ２
【ｏ：，．，ｏ∈ ：口
Ｉ＋？Ｉ。－ｌｑ￣“ －２ｖ
．半线性椭圆方程组；临界指数；ｈｒ流形；解Ｎｅａｉ正
Ｏｌ５２文献标识码７．５Ａ文章编号１７ — ３１２１）４００ — ５６２４２（０００ — １７０
方程组正解的存在性和多重性．
（）（，）（（）（）一０， ≠ Ｏ０，，，，，），