正互反矩阵扰动前后最大特征根的变化量
信息分析与预测特征值和特征向量
1 k1 1
(k1 ≠ 0)
1 1 0.5 p = = 2 1 0.5
1 (a1 a2 an ) p= a1 + a2 + + an
解:
1 1 0 例2 求 A = 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2
1 λ 1 A λE = 4 3λ 1 0
x1 x3 = 0
1 基础解系为 p1 = 0 1
x2 = 0
则属于-1的特 征向量为
1 k1 0 1
(k 1 ≠ 0 )
λ2 = λ3 = 2 ( A λ i E ) x = 0
( A 2E )x = 0
4 1 1 4 1 1 A 2 E = 0 0 0 ~ 0 0 0 4 1 1 0 0 0
A 的特征多项式 的特征多项式记为
f ( λ ) = A λE
则
的n 次多项式,在复数范围内有n 个解,即有n
个特征值. 设 A 的特征值为 λ1 , λ2 ,, λn
1) λ1 + λ2 + + λn = (a11 + a22 + + ann )
2)
λ1 λ2 λn = A
特征值和特征向量的计算方法 特征值和特征向量的计算方法 给定矩阵 A 先求其特征值,即解特征方程
λ1 = 2
( A λi E ) x = 0
( A 2E )x = 0
1 1 x1 0 1 1 x = 0 2
基础解系为
x1 x 2 = 0 x1 = x 2
征向量为
1 p1 = 1
则属于2的特
1 k1 1
(k1 ≠ 0)
λ2 = 4
( A 1E ) x = 0
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解--三种最常用算法一、层次分析法层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．1．递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．2．测度原理决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题． (二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]． 1． 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1 对上层一个因素O 的影响，每次取两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵1,0,ij ij ji n nijA a a a a表示，A 称为正互反矩阵． 一般地，如果一个正互反阵A 满足：,ij jk ik a a a ,,1,2,,i j k n L （1）则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明n 阶一致阵A 有下列性质： ①A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n ；②A 的任一列向量都是对应于特征根n 的特征向量．如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素n C C ,,1 对上层因素O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于A 最大特征根(记作 )的特征向量（归一化后）作为权向量w ，即w 满足：Aw w （2）直观地看，因为矩阵A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素ij a ，所以当ij a 离一致性的要求不远时,A 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．2． 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素i C 和j C 对于一个上层因素O 的影响时，采用Saaty 等人提出的91 尺度，即ij a 的取值范围是9,,2,1 及其互反数91,,21,1 ．3． 一致性检验成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根 的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内．若已经给出n 阶一致阵的特征根是n ，则n 阶正互反阵A 的最大特征根n ，而当n 时A 是一致阵．所以 比n 大得越多，A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用n 数值的大小衡量A 的不一致程度．Saaty 将1nCI n(3)定义为一致性指标．0CI 时A 为一致阵；CI 越大A 的不一致程度越严重．注意到A 的n 个特征根之和恰好等于n ，所以CI 相当于除 外其余1n 个特征根的平均值．为了确定A 的不一致程度的容许范围，需要找到衡量A 的一致性指标CI 的标准，又引入所谓随机一致性指标RI ，计算RI 的过程是：对于固定的n ，随机地构造正互反阵A ，然后计算A 的一致性指标CI ．表1 随机一致性指标RI 的数值表中1,2n 时0RI ，是因为2,1阶的正互反阵总是一致阵．对于3n 的成对比较阵A ，将它的一致性指标CI 与同阶（指n 相同）的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR ，当0.1CICR RI(4) 时认为A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．对于A 利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的A 进行修正． 4． 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有s 层，则第k 层对第一层（设只有1个因素）的组合权向量满足：1,3,4,kkk w W w k s L （5）其中 kW 是以第k 层对第1k 层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:132s s s w W W W w L （6）5． 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．组合一致性检验可逐层进行．如第p 层的一致性指标为p n p CI CI ,,1 (n 是第1 p 层因素的数目)，随机一致性指标为1,,p p nRI RI L ，定义11,,P p p p n CI CI CI w L 11,,p p p p n RI RI RI wL 则第p 层的组合一致性比率为:,3,4,,p p p CI CRp s RIL (7) 第p 层通过组合一致性检验的条件为 0.1pCR ．定义最下层(第s 层)对第一层的组合一致性比率为：2*sP p CR CR (8)对于重大项目，仅当*CR 适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．层次分析法的基本步骤归纳如下:(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于9个）应进一步分解出子准则层．(2) 构造成对比较阵从层次结构模型的第2层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和91 比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．(3)计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵．(三) 层次分析法的优点1．系统性层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．2．实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．3．简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握．(四) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括．第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径． (五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题． 1． 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题． 定理1 对于正矩阵A （A 的所有元素为正数） 1）A 的最大特征根是正单根 ；2） 对应正特征向量w （ 的所有分量为正数）；3）w IA I I A k k k lim ，其中1,1,1 I ，w 是对应 的归一化特征向量．定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根n ；当n 时A 是一致阵．定理2和前面所述的一致阵的性质表明,n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根n ．2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法． (1) 幂法 步骤如下：a ．任取n 维归一化初始向量 0wb ．计算1,0,1,2,k k wAw k %L c ．1k w%归一化,即令ni k ik k ww1111~~d ．对于预先给定的精度 ,当 1||1,2,,k k i i i n L 时,1k w 即为所求的特征向量；否则返回be. 计算最大特征根 111k n ik i in %这是求最大特征根对应特征向量的迭代法, 0w 可任选或取下面方法得到的结果．(2) 和法 步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得1nij ij iji a a%b ．对ij %按行求和得1ni ij j %%c ．将i %归一化 *121,,,ni ini w%%L 即为近似特征向量．d. 计算 11n ii iAw n ，作为最大特征根的近似值．这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为A 的特征向量．(3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 改为对ij %按行求积并开n 次方，即11nn iij j%%．根法是将和法中求列向量的算术平均值改为求几何平均值．3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵A 是一致阵时,ij a 与权向量n w ,,1 的关系满iij ja,那么当A 不是一致阵时，权向量w 的选择应使得ij a 与ij相差尽量小．这样,如果从拟合的角度看确定w 可以化为如下的最小二乘问题： 21,,11min i nniij i n i j j aL (9) 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于i 的非线性方程组，计算复杂，且不能保证得到全局最优解,没有实用价值．如果改为对数最小二乘问题：21,,11min ln ln i nni ij i n i j j aL (10)则化为求解关于ln i 的线性方程组．可以验证，如此解得的i 恰是前面根法计算的结果．特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出． 4． 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢？一般地，由残缺阵 ij A a 构造修正阵 ijA a %%的方法是令,,0,,1,ij ij ij ij i i a a i j a a i jm m i i j%为第行的个数, (11)表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵A 的充分必要条件是A 为不可约矩阵．(六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面． 这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示表2 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价该人体重为55kg维生素A 7500国际单位 (IU)维生素B 1.6338mg热量 R 8548.5kJ考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下：①建立层次结构② 根据偏好建立如下两两比较判断矩阵表3 比较判断矩阵max 2 ，10CI ，100.1CR ，主特征向量0.75,0.25W 故第二层元素排序总权重为 10.75,0.25W表4 比较判断矩阵111max 1113,0,0,0.58CI CR RI ，主特征向量0.4,0.4,0.2W故相对权重 210.4,0.4,0.2,0P③ 第三层组合一致性检验问题因为 2111211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ,212200.1CR CR CI RI故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出E 的总权重为：221221120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W求第四层元素关于总目标W 的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5表5 各营养成分数据的归一化则最终的第四层各元素的综合权重向量为：3320.2376,0.2293,0.5331W P W ，结果表明，按这个人的偏好，肉、面包和蔬菜的比例取0.2376:0.2293:0.5331较为合适．引入参数变量，令10.2376x k ，20.2293x k ，30.5331x k ，代入 1LP123min 0.02750.0060.007f x x x131231231230.352725.075000.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0x x x x x s t LP x x x x x x则得k f 0116.0min13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50k k s t LP k k容易求得1418.1k ，故得最优解 *336.9350,325.1650,755.9767x；最优值 *16.4497f ，即肉336.94g ，面325.17g ，蔬菜755.98g ，每日的食品费用为16.45元．总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．二、模糊数学法模糊数学是1965年美国控制论专家L．A．Zadeh创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果．(一) 模糊数学的研究内容第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；第二，研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；第三，研究模糊数学的应用．(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性1．数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．2．数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．3．数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写出优秀的论文．(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量12,,,m b b b b L ,其中， 01j b ，m为可能出现的评语个数，提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则[7]．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的．最大隶属原则有效度的测量1． 有效度指标的导出在模糊综合评判中，当11max 1,1njj j nj bb 时，最大隶属原则最有效；而在 1max 01,jj nbc c 1n j j b nc 时，最大隶属原则完全失效，且1max jj nb 越大（相对于1njj b 而言），最大隶属原则也越有效．由此可认为，最大隶属原则的有效性与1max jj nb 在1njj b 中的比重有关，于是令：11max njjj nj b b (12)显然，当11max 1,1njj j nj bb 时，则1 为 的最大值，当 1max 01jj nb c c ,1njj bnc时，有1n 为 的最小值，即得到 的取值范围为:11n ．由于在最大隶属原则完全失效时，1n 而不为0，所以不宜直接用 值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：11111n n n n(13)则 可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶属原则的有效性还与j nj b 1sec （jnj b 1sec 的含义是向量b 各分量中第二大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：11sec njjj nj b b(14)可见： 当 1,1,0,0,,0b L 时， 取得最大值12．当 0,1,0,0,,0b L 时， 取得最小值0．即 的取值范围为012 ，设 02120．一般地， 值越大最大隶属原则有效程度越高；而 值越大，最大隶属原则的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：112121n n n n(15) 使用 指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．2. 指标的使用从 指标的计算公式看出 与 成反比，与 成正比．由 与 的取值范围，可以讨论 的取值范围： 当 取最大值， 取最小值时， 将取得最小值0；当 取最小值， 取最大值时， 将取得最大值：因为 0lim ，所以可定义0 时， ．即：0 ．由以上讨论，可得如下结论：当 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当1 时，可认为施行最大隶属原则非常有效；当0.51 时，可认为施行最大隶属原则比较有效，其有效程度即为 值；当00.5 时可认为施行最大隶属原则是最低效的；而当0 时，可认定施行最大隶属原则完全无效．有了测量最大隶属原则有效度的指标，不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级． 讨论a ． 在很多情况下，可根据 值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算 值．根据 与 之间的关系，当0.7 ，且4n 时，一定存在1 ．通常评价等级数取4和9之间，所以4n 这一条件往往可以忽略，只要0.7 就可免算 值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．b ． 如果对 12,,,m b b b b L 进行归一化处理而得到b ，则可直接根据b 进行最大隶属原则的有效度测量． (四) 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用． 举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设 ,,,D V A c 是一个带出发点s v 和收点t v 的容量-费用网络，对于任意,ijv v A ，ijc表示弧 ,i j v v 上的容量，ij 表示弧 ,i j v v 上通过单位流量的费用，0v 是给定的非负数，问怎样制定运输方案使得从s v 到t v 恰好运输流值为0v 的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？(1)从s v 到t v 运送的流的值恰好为0v ；(2)总运输费用最小;(3)在容量ij c 大的弧 ,i j v v 上适当多运输．如果仅考虑条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：,0,,0,,,,min()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ijv v Asj js v v A v v A tj jt v v Av v A ij ji i s t v v A v v A ij ijf f f v f f v M s t f f v V v v f c把条件(3)中的“容量大” 看作A 上的一个模糊子集A %，定义其隶属函数 ： 0,1A 为： 00,0,1,ij ij ij i j A d c c v ij c c v v e c c%其中 1,i j ij v v c A cg （平均容量）21,21,0,1lg 1i j i j ij v v A ij v v A A c c d A c cg g建立ij 是为了量化“适当多运输”这一模糊概念．对条件(2)作如下处理：对容量ij c 大的弧 ,i j v v ，人为地降低运价ij ，形成“虚拟运价”ij ，其中ij 满足：ij c 越大，相应的ij 的调整幅度也越大．选取ij 为 1kij ij ij ， ,i j v v A ．其中k 是正参数，它反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位．决策者越看重条件(3)，k 取值越小；当k 取值足够大时，便可忽略条件(3) ．一般情况下，合适的k 值最好通过使用一定数量的实际数据进行模拟、检验和判断来决定．最后，用ij 代替原模型M 中的ij ，得到一个新的模型M ．用现有的方法求解这个新的规划问题，可期望得到满足条件(3)的解．模型的评价 此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上，增加了模糊约束．新模型比较符合实际，它的解包含了原模型的解，因而它是一个较为理想的模型．隶属度的确定在模糊数学中有多种方法，可以根据不同的实际问题进行调整．同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题．三、灰色系统客观世界的很多实际问题，其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解，对部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统．灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息．灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面．(一)灰色关联分析理论及方法灰色系统理论[9]中的灰色关联分析法是在不完全的信息中，对所要分析研究的各因素，通过一定的数据，在随机的因素序列间，找出它们的关联性，找到主要特性和主要影响因素．计算方法与步骤：1．原始数据初值化变换处理分别用时间序列 k 的第一个数据去除后面的原始数据，得出新的倍数列，即初始化数列，量纲为一，各值均大于零，且数列有共同的起点．2． 求关联系数0000min min ||max max ||||max max ||k i k k i k ik i ki k k i k k i k ikx x x x x x x x3． 取分辨系数 01 4． 求关联度11ni ki k k r n(二) 灰色预测1．灰色预测方法的特点(1)灰色预测需要的原始数据少，最少只需四个数据即可建模；(2)灰色模型计算方法简单，适用于计算机程序运行，可作实时预测；(3) 灰色预测一般不需要多因素数据，而只需要预测对象本身的单因素数据，它可以通过数据本身的生成，寻找系统内在的规律；(4) 灰色预测既可做短期预测，也可做长期预测，实践证明，灰色预测精度较高，误差较小．2． 灰色预测GM(1，1)模型的一点改进一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作，提出了相应的方法．本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上，进一步研究GM(1，1)预测模型的理论缺陷及改进方法[10]．问题的存在及改进方法如下：传统灰色预测GM(1，1)模型的一般步骤为： （1）1-ADO ：对原始数据序列0k x 1,2,,k n L 进行一次累加生成序列 101kk i i x x1,2,,k n L（2）对0x 数列进行光滑性检验：00,k ，当0k k 时：0011101k k k k ii x x x x文献[11]进一步指出只要0101k k ii x x 为k 的递减函数即可．（3）对1x 作紧邻生成： 1111*1*,2,3,,k k k Z x x k n L一般取0.5b ax dtdx 11 （16）为灰色微分方程 01k k x aZ b 的白化方程． （4）按最小二乘法计算参数,a b（5）解（16）式并进行离散化得模拟序列1x 和0x 的计算公式： 1101exp k x x b a ak b a ，其中0,1,2,,k n L01111011exp *exp k k k x x x a x b a ak ，其中1,2,k L并假定 111101x x x文献[12,13]指出：假定 111101x x x 的理由是不充分的，文献[14]认为应当以最后一个 1n x 为已知条件来确定微分方程中常数项m c 的值，理由是最后一个数据是最新的，最能反映实际情况．同时文献[15]又进一步提出常数m c 的确定，由于数据序列中。
正互反矩阵的最大特征值与特向求解-java
正互反矩阵的最⼤特征值与特向求解-java1、正互反矩阵⾸先说⼀下什么是正互反矩阵，见下图，⼀看图其实就知道什么是正互反矩阵。
1.1 使⽤场景当我们现在有⼀堆参数，分了好⼏个层次，每个层次⾥⾯⼜有好多参数，那么每个层次的每个参数权重如何设定，这时候，会⽤到这种类型的矩阵。
为⽅便理解，可以将矩阵A看成下⾯的表格对⾓线元素：⾃⼰和⾃⼰相⽐，同等重要，所以都为1A[0][1]：参数2⽐参数1重要，所以是2（或其他的数字，这是有标准的）A[0][2]：参数3和参数1相⽐，参数3重要，同时也⽐参数2重要，所以参数3的重要程度取值⾄少要⽐A[0][1]的值⼤⾄于⽐较两个参数之间的重要程度的取值，⾃⾏寻找标准。
下⾯是标准之⼀：1-9标度法相对重要性定义说明1同等重要两个⽬标同样重要3略微重要经验或判断，认为⼀个⽬标⽐另⼀个略微重要5相当重要经验或判断，认为⼀个⽬标⽐另⼀个重要7明显重要深感⼀个⽬标⽐另⼀个重要，并且这种重要性已经有实践证明9绝对重要强烈的感到⼀个⽬标⽐另⼀个重要的多2,4,6,8两个相邻判断的中间值折中时采⽤1.2 矩阵计算2 计算三个⽅法公共的代码/*** 计算⽅阵的最⼤特征根及其特征向量** @author silverbeats* @date 2021/8/13 013 20:26*/public class MatrixUtil {// 保留⼩数的位数private final int BIT = 6;/*** 矩阵乘法** @param a 矩阵a* @param b 矩阵b*/public double[][] matrixMult(double[][] a, double[][] b) {int arows = a.length,acols = a[0].length,brows = b.length,bcols = b[0].length;// 判断两个矩阵是否能够进⾏相乘if (acols != brows) {throw new RuntimeException("矩阵a的列数与矩阵b的⾏数不等，⽆法进⾏矩阵相乘");}// 保存矩阵相乘的结果double[][] res = new double[arows][bcols];for (int i = 0; i < bcols; ++i) {// j,k 定位⾏乘列for (int j = 0; j < arows; ++j) {double sum = 0.0;for (int k = 0; k < acols; ++k) {sum += a[j][k] * b[k][i];}res[j][i] = sum;}}return res;}/*** 矩阵的列进⾏归⼀化，某元素在其所在列的⽐例** @param matrix*/public void normalizedColumn(double[][] matrix) {int rows = matrix.length,cols = matrix[0].length,row, col;// 求出矩阵每⼀列之和double[] temp = new double[cols];for (col = 0; col < cols; ++col) {for (row = 0; row < rows; ++row) {temp[col] += matrix[row][col];}}// 对matrix进⾏处理,得出每个元素在其所在列的占⽐for (row = 0; row < rows; ++row) {for (col = 0; col < cols; ++col) {matrix[row][col] /= temp[col];}}}/*** 合并矩阵的列，将m x n的矩阵变为m x 1的矩阵** @param matrix*/public double[][] mergeColumn(double[][] matrix) {int rows = matrix.length, cols = matrix[0].length;double[][] res = new double[rows][1];for (int row = 0; row < rows; ++row) {double sum = 0.0;for (int col = 0; col < cols; ++col) {sum += matrix[row][col];}res[row][0] = sum;}return res;}/*** 合并矩阵的⾏，将m x n矩阵变为1 x n矩阵** @param matrix*/public double[][] mergeRow(double[][] matrix) {int rows = matrix.length, cols = matrix[0].length;double[][] res = new double[1][cols];for (int col = 0; col < cols; ++col) {for (int row = 0; row < rows; ++row) {res[0][col] += matrix[row][col];}}return res;}/*** 保留指定个数的⼩数** @param number 数字*/public double toFixed(double number) {double temp = Math.pow(10, BIT);return Math.round(number * temp) / temp;}/*** arr是⼀维的最⼤特征向量,* 由于最⼤特征向量是⼀个n x 1的⼆维矩阵,会转换为⼀维数组* 易知特向的每⼀个元素以及最⼤特征根是double类型,会对其保留BIT位的⼩数* 存在四舍五⼊后,最⼤特征根的特向元素之和不为1的情况,可能会多或少Math.pow(10, -BIT) * 这⾥做的处理：将这个误差给到权重最⼩的参数⾝上，保证所有参数的权重和为1** @param arr*/public void correction(double[] arr) {int length = arr.length;double bei = Math.pow(10, BIT);double sum = 0.0;for (double v : arr) {sum = sum + v * bei;}// 四舍五⼊后没问题if (sum == bei) return;// 误差double err = sum - bei;// 定位到权重最⼩值的参数位置int minRow = 0;for (int i = 1; i < length; ++i) {if (arr[i] < arr[minRow]) {minRow = i;}}arr[minRow] -= err / bei;}/*** ⼆维数组转⼀维数组** @param matrix*/public double[] convertData(double[][] matrix) {int rows = matrix.length, cols = matrix[0].length;int arrLen = rows * cols;double[] res = new double[arrLen];int index = 0;for (int row = 0; row < rows; ++row) {for (int col = 0; col < cols; ++col) {res[index++] = matrix[row][col];}}return res;}}2.1 根法/*** 计算⽅阵的最⼤特征根及其特征向量** @author silverbeats* @date 2021/8/13 013 20:26*/public class MatrixUtil {/*** 根法求解矩阵matrix最⼤特征根、及其特征向量** @param matrix*/public Map<String, Object> rootMethod(double[][] matrix) {if (matrix.length != matrix[0].length) {throw new RuntimeException("必须是⽅阵");}// 保存结果⽤的Map<String, Object> resultMap = new HashMap<>();final int DIM = matrix.length;// 1、计算权重向量（最⼤特征根的特向）// 1.1 矩阵有DIM⾏，同⾏的元素进⾏相乘，之后再开DIM根号，得到DIM x 1矩阵double[][] w = new double[DIM][1];for (int row = 0; row < DIM; ++row) {double mult = 1.0;for (int col = 0; col < DIM; ++col) {mult *= matrix[row][col];}w[row][0] = Math.pow(mult, 1.0 / DIM);}// 1.2 将w矩阵进⾏归⼀化，得到的就是权重向量normalizedColumn(w);// 2、计算最⼤特征根// 2.1 将matrix按⾏进⾏合并相加double[][] s = mergeRow(matrix);// 2.2 s x w 的结果即为最⼤特征值，s是1 x DIM矩阵，w是DIM x 1矩阵，得到1 x 1矩阵 double maxEigenvalue = matrixMult(s,w)[0][0];// 3、可选：将DIM x 1矩阵转⼀维，对数据进⾏⼩数保留，以及保留后权重和不为1的处理 double[] maxEigenVector = convertData(w);for (int i = 0; i < maxEigenVector.length; i++) {maxEigenVector[i] = toFixed(maxEigenVector[i]);}// 4、易知权重和为1，然⽽在经过⼩数保留后，可能会导致权重和不为1，进⾏处理correction(maxEigenVector);// --------------------------------------------------resultMap.put("maxEigenvalue", toFixed(maxEigenvalue));resultMap.put("maxEigenVector", maxEigenVector);return resultMap;}}2.2 和法public class MatrixUtil {/*** 和法求解矩阵matrix的最⼤特征根、及其特征向量** @param matrix*/public Map<String, Object> sumMethod(double[][] matrix) {if (matrix.length != matrix[0].length) {throw new RuntimeException("必须是⽅阵");}Map<String, Object> resultMap = new HashMap<>();final int DIM = matrix.length;// 判断矩阵w，拷贝⼀份matrix，⽬前与matrix⼀致，后⾯会对w进⾏修改double[][] w = new double[DIM][DIM];for (int row = 0; row < DIM; ++row) {for (int col = 0; col < DIM; ++col) {w[row][col] = matrix[row][col];}}// 1、权重向量（最⼤特征根的特向）// 1.1 将矩阵的每⼀列进⾏归⼀化处理，得到判断矩阵wnormalizedColumn(w);// 1.2 判断矩阵w的所有列进⾏相加，变成n x 1的矩阵后进⾏归⼀化处理// 此时得到的n x 1矩阵就是matrix最⼤特征根的特征向量double[][] t = mergeColumn(w);normalizedColumn(t);// 2、计算最⼤特征根// 2.1 将原矩阵matrix(m x m)与最⼤特向t(m x 1)进⾏矩阵乘法(m x 1)double[][] mx = matrixMult(matrix, t);// 2.2 将mx和maxEigenVector这两个m x 1的列矩阵对应位置进⾏相除for (int row = 0; row < DIM; ++row) {mx[row][0] /= t[row][0];}// 2.3 将mx这⼀列矩阵的所有元素求和，最后取个均值就是最⼤特征根double maxEigenValue = 0.0;for (int row = 0; row < DIM; ++row) {maxEigenValue += mx[row][0];}maxEigenValue /= DIM;// 3、可选：对数据进⾏⼩数保留，以及保留后权重和不为1的处理double[] maxEigenVector = convertData(t);for (int i = 0; i < maxEigenVector.length; i++) {maxEigenVector[i] = toFixed(maxEigenVector[i]);}correction(maxEigenVector);// --------------------------------------------------resultMap.put("maxEigenvalue", toFixed(maxEigenValue));resultMap.put("maxEigenVector", maxEigenVector);return resultMap;}}2.3 幂法public class MatrixUtil {/*** 幂法** @param matrix 矩阵* @param times 最⼤迭代次数* @param accept 可接受的误差*/public Map<String, Object> powMethod(double[][] matrix, int times, double accept) { final int DIM = matrix.length;// 1、初始化// 1.1 初始正列向量Xk，⽤来迭代(k代表是第⼏次迭代)// 1.2 初始化mk（mk是Xk这个列向量中最⼤的值）和yk（Xk/mk）double mk = 1.0;double[][] Xk = new double[DIM][1];double[][] yk = new double[DIM][1];for (int i = 0; i < DIM; ++i) {yk[i][0] = Xk[i][0] = 1.0;}// 2、迭代计算int cnt = 0;while(true) {double oldMk = mk;// 2.1 迭代XkXk = matrixMult(matrix, yk);// 2.2 更新mkmk = Xk[0][0];for (int i = 1; i < DIM; ++i) {if(Xk[i][0] > mk)mk = Xk[i][0];}// 2.3 迭代ykfor (int i = 1; i < DIM; ++i) {yk[i][0] = Xk[i][0] / mk;}++cnt;// 2.4 精度检查，accept是可接受的精度误差// 2.5 迭代次数检查,times是最⼤迭代次数if(Math.abs(mk - oldMk) < accept || cnt >= times)break;}// 3、求最⼤特征值，以及特向// 3.1 最⼤特征值: 即mk// 3.2 特向：对yk进⾏归⼀化后即为所求normalizedColumn(yk);// 4、可选：对mk和yk进⾏⼩数取舍double[] maxEigenVector = convertData(yk);for(int i = 0; i < DIM; ++i) {maxEigenVector[i] = toFixed(maxEigenVector[i]);}correction(maxEigenVector);// ---------------------------------------------Map<String, Object> resultMap = new HashMap<>();resultMap.put("maxEigenvalue", toFixed(mk));resultMap.put("maxEigenVector", maxEigenVector);return resultMap;}}2.4 测试public static void main(String[] args) {double[][] arr = {{1, 2, 6},{0.5, 1, 4},{1 / 6.0, 0.25, 1}};int maxTimes = 10000;double accept = 1e-7;MatrixUtil matrixUtil = new MatrixUtil();Map<String, Object> rootMethodResultMap = matrixUtil.rootMethod(arr);Map<String, Object> sumMethodResultMap = matrixUtil.sumMethod(arr);Map<String, Object> powMethodResultMap = matrixUtil.powMethod(arr, maxTimes, accept); System.out.println("----根法----");rootMethodResultMap.forEach((k, v) -> {System.out.println(k);if (v instanceof double[])System.out.println(Arrays.toString((double[]) v));elseSystem.out.println(v);});System.out.println("----和法----");sumMethodResultMap.forEach((k, v) -> {System.out.println(k);if (v instanceof double[])System.out.println(Arrays.toString((double[]) v));elseSystem.out.println(v);});System.out.println("----幂法----");powMethodResultMap.forEach((k, v) -> {System.out.println(k);if (v instanceof double[])System.out.println(Arrays.toString((double[]) v));elseSystem.out.println(v);});}。
n阶正互反矩阵最大特征根
n阶正互反矩阵最大特征根
n阶正互反矩阵是一种特殊的矩阵，它的特征在于每一行每一列的元素都是互为倒数的。
在这篇文章中，我们将探讨n阶正互反矩阵的最大特征根，并探讨它在数学和实际中的重要性。
让我们来了解什么是矩阵的特征根。
矩阵的特征根是指矩阵与一个标量乘积等于该标量乘积的特征向量。
在正互反矩阵中，我们可以通过求解特征方程来找到特征根。
特征方程是通过矩阵与单位矩阵的差的行列式来定义的，解特征方程可以得到特征根。
对于n阶正互反矩阵，它的最大特征根具有特殊的性质。
最大特征根通常代表着矩阵的最大的特征值，它对于矩阵的性质和行为有着重要的影响。
在正互反矩阵中，最大特征根往往是一个正数，并且具有较大的数值。
这代表着矩阵在某种程度上具有稳定性和收敛性，这对于数值计算和优化问题是非常重要的。
在实际应用中，n阶正互反矩阵的最大特征根有着广泛的应用。
比如在信号处理领域，正互反矩阵可以用来表示信号的相关性，而最大特征根可以用来描述信号的主要成分和重要性。
在优化问题中，最大特征根可以用来指导算法的收敛性和稳定性。
在机器学习和人工智能领域，最大特征根可以用来评估模型的性能和泛化能力。
n阶正互反矩阵的最大特征根是矩阵的重要性质之一，它在数学理论和实际应用中都具有重要的意义。
通过研究最大特征根，我们可
以更好地理解矩阵的结构和行为，为解决实际问题提供更有效的方法和工具。
希望本文的介绍能够帮助读者更深入地了解这一概念，并在相关领域的研究和实践中发挥作用。
层次分析法一致性检验
层次分析法一致性检验层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简称AHP)是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
?1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行: (i)建立递阶层次结构模型; (ii)构造出各层次中的所有判断矩阵; (iii)层次单排序及一致性检验; (iv)层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类: (i)最高层:这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
(ii)中间层:这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包to East for the neijiang-Kunming highway bridge across the River, maming Creek Bridge, pond bridge, bridge, rongzhou bridge, and South Bridge. There are two bridges across the minjiang River: minjiang River Bridge on neikun highway bridge. Inner-city transportation: Shu Nan road, binjiang road, North Road, the minjiang River, the Yangtze River Road, lingang括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
关于层次分析法的例题与解
旅游业发展水平评价问题摘要为了研究比较两个旅游城市Q、Y的旅游业发展水平，建立层次分析法]3[数学模型，对两个旅游城市Q、Y的旅游业发展水平进行了评价.首先，通过对题目中的图1、表1进行了分析与讨论，根据层次分析法，建立了目标层A、准则层B和子准则层C、方案层D四个层次，通过同一层目标之间的重要性的两两比较，得出判断矩阵,利用]1[MATLAB编程对每个判断矩阵进行求解.其次,用MATLAB软件算出决策组合向量，再比较决策组合向量的大小，由“决策组合向量最大”为目标,得出城市Y的决策组合向量为0.4325，城市Q组合向量为0.5675.最后，通过城市Q旅游业发展水平与旅游城市Y旅游业发展水平的决策组合向量比较，得出城市Q的旅游业发展水平较高.关键词层次分析法MATLAB旅游业发展水平决策组合向量1.问题重述本文要求分析QY,两个旅游城市旅游业发展水平,并且给出了两个城市各方面因素的对比，如城市规模与密度，经济条件，交通条件，生态环境条件，宣传与监督，旅游规格，空气质量，城市规模，人口密度，人均GDP，人均住房面积，第三产业增加值占GDP比重，税收GDP，外贸依存度，市内外交通，人均拥有绿地面积，污水集中处理率，环境噪音，国内外旅游人数，理赔金额，立案数量，A级景点数量，旅行社数量，星级饭店数量.建立数学模型进行求解.2.问题分析本文要求分析QY,两个城市的分析Y,两个旅游城市旅游业发展水平，在对Q中，发现需要考虑因素较多，第一、城市规模与密度，包括城市规模与人口密度.第二、经济条件，包括外贸依存度，人均GDP，人均住房面积，第三产业增加值占GDP比重，税收GDP.第三、交通条件，包括市内外交通.第四，生态环境条件包括空气质量，人均绿地面积，污水处理能力，环境噪音.第五、宣传与监督，包括国内外旅游人数，游客投诉立案件数.第六、旅游规格，包括A级景点个数，旅行社个数，星级饭店个数，这就涉及到层次分析法来估算各个指标的权重，评出最优方案.具体内容如下：（1）本文选择了对QY,两个旅游城市旅游业发展水平有影响的19个指标作为评价要素,指标规定如下：城市规模：城市的人口数量.人口密度：单位面积土地上居住的人口数.是反映某一地区范围内人口疏密程度的指标.人口影响城市规模.人口密度越大城市规模也就越大.人均GDP：即人均国内生产总值.人均城建资金：即用于城市建设的资金总投入.第三产业增加值：增加值率指在一定时期内单位产值的增加值.即第三产业增加值越高越能带动城市经济的发展.税收GDP：税收是国家为实现其职能，凭借政治权力，按照法律规定，通过税收工具强制地、无偿地征收参与国民收入和社会产品的分配和再分配取得财政收入的一种形式.外贸依存度：即城市对于外贸交易的依赖程度.市内交通：即城市市区交通情况.市外交通：即城市郊区交通情况.市内交通与市外交通对于城市交通条件具有同等的重要性.空气质量：即城市总体空气质量情况.空气质量越好对于城市生态环境就越好.人均绿地面积：即反应城市绿化面积以及人口密度的比值关系.污水处理能力：城市污水处理水平.环境噪音：城市环境噪音情况.国内外旅客人数：国内外来旅客一年总人数.人数越多说明宣传与监督就越好.理赔金额：即立案后需要赔付的资金数.立案件数：即在旅游时发生违法事件后公安部立案的件数.A 级景点数量：即A 级景点的个数.A 级景点越多,越能带动旅行社数量以及星级饭店数量,则旅游规格越大.旅行社数量：即旅行社的个数.星级饭店数量：即星级饭店在旅游景点的个数.（2）用层次分析法建立模型，根据判断矩阵，利用MATLAB 软件，算出每个判断矩阵的特征向量W 、最大特征根c 、一次性指标CI ，再结合随机一次性指标，得出每个指标的特征向量.（3）用（2）得出的数据，运用MATLAB 软件算出两个城市的决策组合向量，做比较.3.模型假设1.假设两个城市Q 、Y 的人口流动不大.2.假设两个城市Q 、Y 的各项指标短期内不会发生太大的改变.4.符号说明A : 表示目标层；j B : 表示准则层第j 个指标的名称)6,,2,1( =j ；i C : 表示子准则层第i 个指标的名称()19,,2,1 =i ； q D : 表示方案层第q 个指标的名称()2,1=q ；1w : 表示准则层对目标层的特征向量组成的矩阵； 2w : 表示子准则层对准则层的特征向量组成的矩阵； 3w : 表示方案层对子准则层的特征向量组成的矩阵；CI : 表示一次性指标；CR : 表示随机一次性指标； Z : 表示决策组合向量.5.模型建立与求解5.1 根据层次分析法分析以及题目中的图1可以建立如下表5-1的层次分析结构，并构造两两比较判断矩阵在递阶层次结构中，设上一层元素B 为准则层，所支配的下一层元素为1C ……19C ，要确定元素1C ……n C 对于准则层B 相对的重要性即权重，可分为两种情况：（1）如果1C 2C ……n C 对B 的重要性可定量，其权重可直接确定； （2）如果问题复杂，1C 2C ……n C 对B 的重要性无法直接定量，而是一些定性的，确定权重用两两比较方法.（3）其方法是，对于准则层C ，元素i C 和j C 哪一个更重要，重要多少，按1-9比例标度对重要性程度赋值.表5-2中列出了1-9标度的含义.对于准则B ，n 个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵P =()mxn ij P ，表示其中ij P 表示i P 和j P 对B 的影响之比，显然ij P >0，ij P =ijP 1，ij P =1，由ij P 的特点，P 称为正互反矩阵.通过两两判断矩阵用方根法求出他们的最大特征根和特征向量，求法如下： 1. 判断矩阵每一行元素的乘积，其中ij n1j 1p m =∏=，i =1,2…,n .2. 计算i m 的n 次方根_i w ，_i w =n i m .3. 对向量Tn w w w ⎪⎭⎫ ⎝⎛=__1,...,归一化，即∑==n j ji w 1__i w w ，则Tn w w w ⎪⎭⎫⎝⎛=__1,.为所求的特征向量.4. 计算判断矩阵的最大特征跟max λ，()∑==n1max i iinw pw λ，式中()i pw 表示pw 的第i 个元素.5. 定义⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1max n n CI CI λ为矩阵A 的一致性指标，为了确定A 的不一致性程度的容许范围，需要找出衡量A 的一致性指标CI 的标准.引入随机一致性指标RI .平均随机一致性指标RI 是这样得到的；对于固定的n ，随机构造正互反矩阵A ，其中ij a 是从1，2，……9,91......31,21中随机抽取的，这样的A 是最不一致的，取充分大的样子（500个样本）得到A 的最大特征跟的平均值max λ，定义⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1max n n RI λ，对于不同的n 得出随机一致性指标RI 的数值如下表5-3表中n =1,2时RI =0，是因为1,2阶的正互反矩阵总是一致阵.令RICICR =，称CR 为一致性比率，当CR <0.1时，本文认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性.最后通过计算得出下表5-4（其中n B 表示准则层的特征向量中的第n 个数值，in C 表示指标层的特征向量第n 个准则对第j 个指标的数值）层次总排序一致性检验的方法j n1CI c CI j j ∑==j n 1c RI RI j j ∑==RICI CR =若1.0CR时，所以认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断.矩阵，使之具有满意的一致性.5.2根据层次分析法求出各个指标的权重依据题目中的表1分析，对本题做出其中一种假设：（1）经济条件和交通条件重要性相当，生态环境条件最重要，旅游规格、宣传与监督、城市规模与密度依次次之.（2）在城市规模与密度中，城市人口比人口密度重要一点.（3）在经济条件中，第三产业增加值GDP第一重要，其次是人均GDP，税收GDP、外贸依存度、人均城建资金依次次之.（4）在交通条件中，市内交通和市外交通的重要性相当.（5）在生态环境条件中，空气质量第一重要，其次是人均绿地面积，污水处理能力、环境噪音依次次之.（6）在宣传与监督中，国内外旅游人数第一重要，理赔金额、游客投诉立案件数重要性相当.（7）在旅游规格中，A级景点个数第一重要，星级饭店个数、旅行社个数依次次之.（8）对于城市规模，城市Q比城市Y的重要性小一些；对于人口密度，城市Y比城市Q的重要性明显重要；对于人均GDP，城市Q比城市Y的重要性稍重要；对于人均城建资金，城市Q比城市Y的重要性稍微重要；对于第三产业增加值GDP，城市Q比城市Y的重要性小一些；对于税收GDP，城市Q比城市Y的重要性稍小一点；对于外贸依存度,城市Q比城市Y的重要性稍重要；对于市内交通，城市Y比城市Q的重要性稍重要一点；对于市外交通，城市Y比城市Q的重要性比稍重要小一点；归于空气质量，城市Q比城市Y的重要性相当；对于人均绿地面积，城市Y比城市Q的重要性稍重要；对于污水处理能力，城市Y比城市Q的重要性稍重要一些；对于环境噪音，城市Q比城市Y的重要性相当；对于国内外旅游人数，城市Q比城市Y的重要性稍重要；对于理赔金额，城市Q比城市Y的重要性稍重要一些；对于游客投诉立案件数，城市Q比城市Y的重要性稍重要；对于A级景点个数，城市Y比城市Q的重要性稍重要小一些；对于旅行社个数，城市Y比城市Q的重要性稍重要小一些；对于星级饭店个数，城市Q比城市Y的重要性相当.根据上述分析，按1-9比例标度对准则层对目标层、子准层对准则层、目标层对子准则层的重要程度进行赋值，构造准则层对目标层的判断矩阵、子准则层对准则层的判断矩阵、方案层对子准则层的判断矩阵.准则层()6,,2,1 =j B j 对目标层A 的判断矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12312121321141313123412252321114232111431215141411A 利用MATLAB 软件(附录1)求得 最大特征值0719.6m ax =λ特征向量⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1219.00753.03422.02057.02057.00492.01w一致性检验比率1.00116.0<=CR所以矩阵满足一致性检验.子准则层21,C C 对准则层1B 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=131311B利用MATLAB 软件(附录2)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2500.07500.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 子准则层76543,,,,C C C C C 对准则层2B 的判断矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121412312131321431522131511413221412B 利用MATLAB 软件(附录3)求得 最大特征值0681.5m ax =λ特征向量⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0973.01599.04185.00618.02625.0w一致性检验比率1.00152.0<=CR所以矩阵满足一致性检验.子准则层98,C C 对准则层3B 的判断矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11113B 利用MATLAB 软件(附录4)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5000.05000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 子准则层13121110,,,C C C C 对准则层4B 的判断矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1121311121312212133214B 利用MATLAB 软件(附录5)求得最大特征值0104.4m ax =λ特征向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1409.01409.02628.04554.0w 一致性检验比率1.00038.0<=CR所以矩阵满足一致性检验.子准则层161514,,C C C 对准则层5B 的判断矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1221211212215B 利用MATLAB 软件(附录6)求得最大特征值0536.3m ax =λ特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3108.01958.04934.0w 一致性检验比率1.00462.0<=CR所以矩阵满足一致性检验.子准则层191817,,C C C 对准则层6B 的判断矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1221211312316B 利用MATLAB 软件(附录7)求得最大特征值0092.3m ax =λ特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2970.01634.05396.0w 一致性检验比率1.00079.0<=CR所以矩阵满足一致性检验.方案层对子准则层的判断矩阵 方案层21,D D 对子准则层1C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=122111C利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6667.03333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层2C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=155112C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎢⎣=1667.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层3C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=133113C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2500.07500.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层4C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=144114C利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8000.02000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层5C 的判断矩阵：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=122115C利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎢⎣=3333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层6C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=133116C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2500.07500.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层7C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=141417C 利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8000.02000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层8C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=155118C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎢⎣=8333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层9C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=122119C利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6667.03333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层10C 的判断矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111110C 利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5000.05000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层11C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1313111C利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7500.02500.0w因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层12C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1414112C 利用MATLAB 软件(附录8)求得 最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2000.08000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层13C 的判断矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111113C 利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5000.05000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层14C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1331114C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2500.07500.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验.2115⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1441115C 利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8000.02000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层16C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1331116C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2500.07500.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子准则层17C 的判断矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1331117C利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6667.03333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验.2118⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1221118C 利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6667.03333.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 方案层21,D D 对子19C 的判断矩阵： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111119C 利用MATLAB 软件(附录8)求得最大特征值2max =λ特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5000.05000.0w 因为当2=n 时，0=RI ,2阶的正反矩阵总是一致性，所以满足一致性检验. 通过准则层()6,,2,1 =j B j 对目标层A 的判断矩阵、子准则层()19,,2,1 =i C i 对准则层()6,,2,1 =j B j 的判断矩阵得出特征向量，建立层次总表5-5层次总排序一致性检验如下:0073.061==∑=j j j CI B CI65274.0j 61j j ==∑=RI B RI0111.065274.00073.0===RI CI CR 由于1.00111.0<=CR ,所以认为层次总排序的结果具有满意的一致性，因此不需要重新调整判断矩阵的元素取值.5.3 利用MATLAB 进行决策组合向量的运算（附录9）⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⋅⋅=Tw w w Z 2970.0001634.0000005396.00000003108.0000001958.0000004934.00000001409.0000001409.0000002628.0000004554.00000005000.0000005000.00000000973.0000001599.0000004185.0000000618.0000002625.00000002500.0000007500.0132⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡5000.05000.06667.03333.06667.03333.02500.07500.08000.02000.02500.07500.05000.05000.02000.08000.07500.02500.05000.05000.06667.03333.01667.08333.08000.02000.02500.07500.06667.03333.02000.08000.02500.07500.08333.01667.03333.06667.0⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅1219.00753.03422.02057.02057.00492.0 Z ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5675.04325.0 比较Z 值大小可知，12Z Z >,表明城市Q 的旅游发展也水平最高，城市Y 的旅游业发展水平次之，所以城市Q 的旅游发展也水平高.6模型的评价优点：(1) 本文选择了计算比较简单的层次分析法，经过计算得到了相应的综合发展旅游业的估计值，为城市旅游业的发展提供了依据.(2) 使用了MATLAB 软件，减少了计算工作量，大大降低了运算的困难.缺点：判断的结果具有一定的主观性，不能比较切实的结合当地的具体情况，做出科学的决策方案.7参考文献[1] 姜启源等，数学建模（第四版）北京:高等教育出版社.2011年[2] 马莉，数学实验与建模，北京:清华大学出版2010年[3] 王莲芬，层次分析法引论，北京:中国人民大学出版社，1990年附录：附录1x=[1 1/4 1/4 1/5 1/2 1/3;4 1 1 1/2 3 2;4 1 1 1/2 3 2;5 2 2 1 4 3;2 1/3 1/3 1/4 1 1/2;3 1/2 1/2 1/3 2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-6)/5 %一致性指标CR=CI/1.24 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =6.0719W =0.04920.20570.20570.34220.07530.1219B =0.04670.21410.21410.29180.08810.1452CI =0.0144CR =0.0116C =0.2146附录2：>> x=[1 3;1/3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.75000.2500B =0.75000.2500CI =CR =NaNC =0.6250附录3：x=[1 4 1/2 2 3;1/4 1 1/5 1/3 1/2;2 5 1 3 4;1/2 3 1/3 1 2;1/3 2 1/4 1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-5)/4 %一致性指标CR=CI/1.12 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =5.0681W =0.26250.06180.41850.15990.0973B =0.27340.05940.36640.18730.1135CI =0.0170CR =0.0152C =0.2698附录4：x=[1 1;1 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.50000.5000B =0.50000.5000CI =CR =NaNC =0.5000附录5：x=[1 2 3 3;1/2 1 2 2;1/3 1/2 1 1;1/3 1/2 1 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-4)/3 %一致性指标CR=CI/0.90 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =4.0104W =0.45540.26280.14090.1409B =0.43950.27870.14090.1409CI =0.0035CR =0.0038C =0.3131附录6：x=[1 2 2;1/2 1 1/2;1/2 2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-3)/2 %一致性指标CR=CI/0.58 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =3.0536W =0.49340.19580.3108B =0.46060.18790.3515CI =0.0268CR =0.0462C =0.3733附录7：x=[1 3 2;1/3 1 1/2;1/2 2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-3)/2 %一致性指标CR=CI/0.58 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =3.0092W =0.53960.16340.2970B =0.51990.16200.3181CI =0.0046CR =0.0079C =0.4015附录8：% 目标层Q,Y对子准则层C1的赋值>> x=[1 2;1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.33330.6667B =0.33330.6667CI =CR =NaNC =0.5556End% 目标层Q,Y对子准则层C2的赋值x=[1 5;1/5 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.83330.1667B =0.83330.1667CI =CR =NaNC =0.7222End% 目标层Q,Y对子准则层C3的赋值x=[1 1/3;3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.75000.2500B =0.75000.2500CI =CR =NaNC =0.6250End% 目标层Q,Y对子准则层C4的赋值x=[1 4;1/4 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.80000.2000B =0.80000.2000CI =CR =NaNC =0.6800End% 目标层Q,Y对子准则层C5的赋值x=[1 2;1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.66670.3333B =0.66670.3333CI =CR =NaNC =0.5556End% 目标层Q,Y对子准则层C6的赋值x=[1 1/3;3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.75000.2500B =0.75000.2500CI =CR =NaNC =0.6250End% 目标层Q,Y对子准则层C7的赋值x=[1 4;1/4 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.20000.8000B =0.20000.8000CI =CR =NaNC =0.6800End% 目标层Q,Y对子准则层C8的赋值x=[1 5;1/5 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.16670.8333B =0.16670.8333CI =CR =NaNC =0.7222End% 目标层Q,Y对子准则层C9的赋值x=[1 2;1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.33330.6667B =0.33330.6667CI =CR =NaNC =0.5556End% 目标层Q,Y对子准则层C10的赋值x=[1 1;1 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.50000.5000B =0.50000.5000CI =NaNC =0.5000% 目标层Q,Y对子准则层C11的赋值x=[1 1/3;3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.25000.7500B =0.25000.7500CI =CR =NaNC =0.6250End% 目标层Q,Y对子准则层C12的赋值x=[1 4;1/4 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =W =0.80000.2000B =0.80000.2000CI =CR =NaNC =0.6800End% 目标层Q,Y对子准则层C13的赋值x=[1 1;1 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.50000.5000B =0.50000.5000CI =CR =NaNC =0.5000% 目标层Q,Y对子准则层C14的赋值x=[1 1/3;3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.75000.2500B =0.75000.2500CI =CR =NaNC =0.6250End% 目标层Q,Y对子准则层C15的赋值x=[1 4;1/4 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.20000.8000B =0.20000.8000CI =CR =NaNC =0.6800End% 目标层Q,Y对子准则层C16的赋值x=[1 1/3;3 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.75000.2500B =0.75000.2500CI =CR =NaNC =0.6250End% 目标层Q,Y对子准则层C17的赋值x=[1 2;1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.33330.6667B =0.33330.6667CI =CR =NaNC =0.5556End% 目标层Q,Y对子准则层C18的赋值x=[1 2;1/2 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.33330.6667B =0.33330.6667CI =CR =NaNC =0.5556End% 目标层Q,Y对子准则层C19的赋值x=[1 1;1 1];[V,D]=eig(x);%c=max(diag(D)) %最大特征根位置f=find(diag(D)==max(diag(D))); %求lamda（最大特征根）位置----其中:diag 为矩阵对角线上的元素W=V(:,f)/sum(V(:,f)) %归一特征向量B=x/sum(x) %计算权向量CI=(c-2)/1 %一致性指标CR=CI/0 %一致性比率，要小于0.1C=sum(B.*W) %组合权重运算结果：c =2W =0.50000.5000B =0.50000.5000CI =CR =NaNC =0.5000附录9：% 最终组合权向量：x=[0.75 0 0 0 0 0;0.25 0 0 0 0 0;0 0.2625 0 0 0 0;0 0.0618 0 0 0 0;0 0.4185 0 0 0 0;0 0.1599 0 0 0 0;0 0.0973 0 0 0 0;0 0 0.5 0 0 0;0 0 0.5 0 0 0;0 0 0 0.4554 0 0;0 0 0 0.2628 0 0;0 0 0 0.1409 0 0;0 0 0 0.1409 0 0;0 0 0 0 0.4934 0;0 0 0 0 0.1958 0;0 0 0 0 0.3108 0;0 0 0 0 0 0.5396;0 0 0 0 0 0.1634;0 0 0 0 0 0.2970]x =0.7500 0 0 0 0 00.2500 0 0 0 0 00 0.2625 0 0 0 00 0.0618 0 0 0 00 0.4185 0 0 0 00 0.1599 0 0 0 00 0.0973 0 0 0 00 0 0.5000 0 0 00 0 0.5000 0 0 00 0 0 0.4554 0 00 0 0 0.2628 0 00 0 0 0.1409 0 00 0 0 0.1409 0 00 0 0 0 0.4934 00 0 0 0 0.1958 00 0 0 0 0.3108 00 0 0 0 0 0.53960 0 0 0 0 0.16340 0 0 0 0 0.2970y=[0.0492;0.2057;0.2057;0.3422;0.0753;0.1219]y =0.04920.20570.20570.34220.07530.1219z=x*y运算结果：z =0.03690.01230.05400.01270.08610.03290.02000.10290.10290.15580.08990.04820.04820.03720.01470.02340.06580.01990.0362a=[0.3333 0.8333 0.75 0.2 0.3333 0.75 0.2 0.1667 0.3333 0.5 0.25 0.8 0.5 0.75 0.2 0.75 0.3333 0.3333 0.5;0.6667 0.1667 0.25 0.8 0.6667 0.250.8 0.8333 0.6667 0.5 0.75 0.2 0.5 0.25 0.8 0.25 0.6667 0.6667 0.5]a =Columns 1 through 70.3333 0.8333 0.7500 0.2000 0.3333 0.7500 0.20000.6667 0.1667 0.2500 0.8000 0.6667 0.2500 0.8000Columns 8 through 140.1667 0.3333 0.5000 0.2500 0.8000 0.5000 0.75000.8333 0.6667 0.5000 0.7500 0.2000 0.5000 0.2500Columns 15 through 190.2000 0.7500 0.3333 0.3333 0.50000.8000 0.2500 0.6667 0.6667 0.5000c=a*z运算结果：c =0.43250.5675。
13-层次分析法特征根以及其他特别问题汇总
2 1 例 A 1 / 2 1 1 / 6 1 / 4
6 列向量 4 归一化 1
0.6 0.615 0.545 算术 0.587 0.3 0.308 0.364 平均 0.324 w 0.089 0.1 0.077 0.091
n 1
= n是A为一致阵的充要条件。
一致性指标 CI 定义合理
2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
• 精确计算的复杂和不必要 • 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量， 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。 和法——取列向量的算术平均
求Ak的行和
Ak e w 定理1 lim T k k e Ae
特征向量体现多步累积效应
4.不完全层次结构中组合权向量的计算
完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联
不完全层次结构
设第2层对第1层权向量 w(2)=(w1(2),w2(2))T已定
例: 评价教师贡献的层次结构
贡献O 教学C1 科研C2
C1,C2支配元素的数目不等
考察一个特例：
若C1,C2重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T,
P1~P4能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 • 不考虑支配元素数目不等的影响 仍用 w
第3层对第2层权向量 w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得 讨论由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)) 计算第3层对第1层权向量 w(3）的方法
n阶正互反矩阵最大特征根
n阶正互反矩阵最大特征根第1页本文讨论了n阶正互反矩阵的特征根。
首先，本文对n阶正互反矩阵的定义作了简单介绍，提出了讨论的目的，即研究本类矩阵的特征根，并证明了本类矩阵的最大特征根是其谱半径。
接着，本文提出了一个关于n阶正互反矩阵特征根的恒等式，并给出了一个实际的例子来更好地理解该恒等式，以及它的解释。
最后，本文给出了一个计算n阶正互反矩阵的最大特征根的简单方法。
第2页n阶正互反矩阵(Positively Reciprocal Matrix)是一种特殊的矩阵，它的各个元素满足下列关系：Aij=1/Aji; i,j=1,2,...,n.这里Aij代表n阶正互反矩阵A中的元素。
本文基于上述定义，对n阶正互反矩阵的特征根作一深入研究。
本文的目的是研究n阶正互反矩阵的特征根，特别是最大特征根。
首先我们来看一下n阶正互反矩阵的最大特征根。
根据Gershgorin定理，若矩阵A的元素满足Aij=1/Aji，则A的谱半径是其最大特征根。
另外，可以得出以下恒等式：|λ| ≤∑ |Aij|,i=1,2,...,n,j=1,2,...,n.这里|λ|表示本类矩阵A的特征值，即λ。
为了更直观地理解以上恒等式，我们举一个实际的例子：设有如下2阶正互反矩阵A：A= 1 121/12 1第3页令λ = 3,则满足下列不等式：3 ≤ |A11|+|A12|+|A21|+|A22|3 ≤ 1+12+1/12+13 ≤ 13,这就与上面定义的恒等式比较吻合，从而得出以上结论。
最后，本文提出一个简单的计算n阶正互反矩阵最大特征根的方法。
算法：（1）计算矩阵A的谱半径r：r=∑ |Aij|,i=1,2,...,n,j=1,2,...,n（2）则该矩阵A的最大特征根为r=∑|Aij|,i=1,2,...,n,j=1,2,...,n综上可知，n阶正互反矩阵最大特征根就是其谱半径。
由此可见，本文提出的算法可以有效地计算n阶正互反矩阵的最大特征根。
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２ ０ 年 ６月 ０８
无锡 商 业 职 业 技 术 学 院 学 报
层次分 析法 是一 种实用 的多维 决策方法 。 在运
用层次分 析法 的过 程 中 ， 需要 对 判断矩 阵进 行一 致 性 检验 。 因此 ， 论正 互反 矩阵 扰动前 后最 大特 征 讨
Ｐ２ ） （， ～＝Ｐ ２Ｓ ， （，） 这样 Ａ２ １＝ａ— ， 以矩阵 Ａａ 所 与 Ａ： 相似 ， 它们有 相 同的特征 根 。 因此 ， 若不 作 特别 说 明 ， 以后 所 讨论 的扰 动矩 阵都指 在 （ ，） １２ 处扰 动得 到 的矩 阵。 引 理 ２ 若 为 凡阶 一致 性 矩 阵 ， Ｅ为 凡阶 幺 矩阵， 它们 的扰 动矩 阵分 别为 、 ， 力相 似于 如 则
ａ ｎ １
证明 ： ｒ ） （，） ， 当（ｓ ＝ ， 时 结论显然成立 ， 面讨 ， ２ 下
论 （ｓ ≠（，） 的情形 。 ｒ） ， 时 ， ２
由 。 ＝ ，，，＝，…，） 得 于 （ ｋ １， ，， ｆ ２ ｚ可
１ ａ （ △） … 口 ｌ１ ｆ ２＋ 、
１ Ａｔ ＋
１ … ，
设 Ｐ ） （ 是互 换 凡阶单位矩 阵 ， 的 行 与 行 的 位 置得 到 的矩阵 ， 则
Ａ２＝Ｐ（ ，） １ｒＡ Ｐ（，） ２ Ｓ ｌ ２ ｓＰ（，） １ｒＰ（ ，）
Ｉ（（ ） Ｐ（（ ） Ｐ１ １） … ｎａ ） ）
…
：
ｌ
令 ａ ＝Ｐ（， ） ２ Ｓ 由于Ｐ（ ｒ一 ＝Ｐ（ ｒ １ｒＰ（ ，） １） ， １ ）， ，
因此 ， 阵扰动前 后最 大特 征根 的变化 量为 矩 ＝：
ａ， ， ｌ … ａ， ｔ ｌ
一 △
Ｅｌｏ ２
： 一， ｚ ：
， ｚ
［ ＋ ）１ （ 一 １
２
令 Ｏ＝Ｐ（ ａ １ Ｐ ２ ， … Ｐ ｎａｌ ） 又由于 １ ， ） （ ２） （ ） ） （ （－）， １
二、 一致性 矩阵扰 动前后最 大特征 根 的变化量
＋ １ （ Ａ 【１ ｔ ｔ Ａ 卜 —（ｎ ３ ２２ ） ＋ 一 【 ＋ １ （ ） ＋（ ＋ ） 卜 — — １
Ｅ ２ｏ ２
值 的改 变量 ， 到一致性 比率 的 改变量 是有 重要 实 得
践 意义 的。
一
、
预 备知 识
定义 ｌ设 Ａ＝（ｆ 是正互反矩阵 ， ： ａ） 『 元素
为 １ ９之 间的正 整数或 它们 的倒数 ，在 “ 度集 ” － ９标 中 向相 邻 的数字 变动 ， 将此 变动 称为该 矩 阵元 素 的 相邻扰 动 ，当变化 量 为正数 时称 为相邻 正 扰动 ， 当 变化量 为负数 时称为 相邻 负扰动 。０ １ 定 义 ２ 设 Ａ （ “ 是 正互 反 矩 阵 ， 阵 ： Ｊ 矩
【 收稿 日期】 ０ ８ ０ — ６ ２ ０ — ３ ０
【 金 项 目】 苏 省 ２ ０ 基 江 ０ ６年 度 “ 蓝 工程 ” 青 资助
口ｌ ， ７
口： ， ７
… １ Ｊ
【 作者简介】 冯其明（ ９ ８ ） 男， １ ６ 一 ， 江苏无锡人 ， 无锡 商业职业技 术学院基础教学部副教授 ， 硕士。
５ ９
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ａｌ ＋Ａ ） … ｌ１ ｔ （
ａ ２ １ ・・ ・
ａｌ ｌ
Байду номын сангаасａ ２ １
由于 为 一致 性 矩 阵 ， 根据 引理 ２可 得 Ａ 与
Ｅ 有相 同的特 征根 ， 以 １ ， 所 ２
。
而 ｎ阶一致性矩阵 ｌ ４的惟一非零特征根为 ｎ ２ 。１ １
一
＋（ ＋△ｌ １ｎ Ａ Ｐ ）
一 Ｕ
－
—
Ｐ（ ｃ ） ｉ ） ＝Ｐ（ （） ， Ｅ２ （ ｆ．～ 则 ，＝Ｏ— １ ， Ａ （） Ａ２ 即 Ｏ
用定 义 计算 矩 阵 的特 征 根和 特 征 向量 是 相 当 困难 的 ， 别 是矩 阵 阶数较 高 的时候 ， 要求 解 高 特 需 次代数 方程及 高阶线性 方程组 。 面是采 用方 根法 下 来近似计 算矩 阵特征根 和特征 向量 的。
Ｊ ｕ ａ ｆ ｕ ｉＩ ｓｉ ｔ ｆ ｏ ｏ ｒ ｌ ｘ ｎ ｔ ｕ ｅ ｏ ｍｍｅ ｃ ｎ ｏＷ ｔ Ｃ ｒｅ
Ｊ ｎ， ０ ８ ｕ ．２ ０
Ｖ ｌ Ｎｏ３ ｏ－ ８ ．
第 ８卷
第 ３期
正互反 矩阵扰动前后最大特征根 的变化量
冯 其 明
（ 无锡 商 业 职 业技 术 学 院 基 础 教学 部 ， 苏 无锡 ２４ ５ ） 江 １ １３
－
另一 元素 ｒ相邻扰 动为 Ｓ ，其余 元 素不作 变 ｒ
１
动， 这样得 到的新 矩阵称 为矩 阵 Ａ在 （，） 的扰 动 ｒ 处 ｓ 矩阵， 记为 Ａ 。 显然， 阵Ａ 矩 也是 正互反矩 阵 。 引理 ｌ矩 阵 与 有 相同 的特 征根 。
ａ ２ １
ｌ △ｆ ＋
证明 ：设 Ｐ（ｃ） ）是用 数域 Ｐ中非零 数 Ｃ乘单 （
位矩 阵 ， 的 行得 到的矩 阵 。
１ １ △ｆ ＋
１（＋△ｆ ／１ １
ｌ
ｌ
ｌ
～
ｎ
～
ｎ ． ． ●
～
中的一元 素 ａ １ ， ≤，相邻 扰动为 ａ （－Ａ） （ ． ＜Ｓ ｚ ） ｒ １ ｔ， ｓ ｔ －
【 摘
要 】 用 层 次 分析 法就 需要 进 行 一 致性 检 验 ， 应 文章 对一 致 性 矩 阵 、 互 反 矩 阵 扰 动 前后 特征 值 的 改 变量 正
进 行 了研 究。
【 词 】 次分 析 法 ； 动 ； 互反 矩 阵 ； 变量 ； 致性 检 验 ； 大特 征 值 关键 层 扰 正 改 一 最 ［ 中图 分 类 号 ］ ４ ． ０２ １ ６ ［ 献标 识 码 ］ 文 Ｂ 【 章 编 号】 ６ １４ ０ （０ ８ ０ － ０ ９ ０ 文 １７ － ８６ ２０ ）３ ０ ５ － ３