2018年高考理科数学模拟试题1

2018学年高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}=0123A ，，，，{}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ⋂A. {}12，B. {}13，C. {}01， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）A.i -B. iC. 1-D. 13．在等比数列{}n a 中，13521a a a ++=，24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ）A. 255B. 256C. 511D. 5124．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1xy e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ）A.1e B. 21e e -- C. 11e - D. 11e -5．在52)(y x x ++的展开式中，含25y x 的项的系数是（ ）A. 10B. 20C. 30D. 606．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 127．已知函数())2log(xa x f -=在)1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( )A.11<<aB.2110<<<<a a 或C.10<<aD. 210><<a a 或8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数的 可能取值的集合是（ ）{}.2345A ，，， B. {}123456，，，，， {}.12345C ，，，， D. {}23456，，，，9．R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当01x ≤≤时，()2f x x =，则()5log y f x x =-的零点个数为（）A. 4B. 8C. 5D. 1010．如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交 抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD+ 的最小值为（ ） A.172B. 152C. 132D. 11211．已知函数()()224sin sin 2sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅+->⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A. (]0,1B. 30,4⎛⎤⎥⎝⎦C. [)1,+∞ D. 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．已知数列}{n a 中，1a =1，且对任意的*,N n m ∈,都有,mn a a a n m n m ++=+则=∑=201811i ia （） A ．20192018B ．20182017C ． 2D ．20194036第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知平面向量()()2,1,2,a b x ==v v，且()()2a b a b +⊥-v v v v ，则x =__________.14．若变量,x y 满足2{236 0x y x y x +≤-≤≥，且2x y a +≥恒成立，则a 的最大值为______________.15．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面积等于2ab（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．16．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量()()3(sin , 3sin ,sin ,cos ,22a x x b x x f x a b ππ⎫⎛⎫⎛⎫=--==⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭vv v v .（1）求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的取值集合M ； （2）在△ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边,若24C M π+∈且1c =，求△ABC 的周长的取值范围.18．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，90DAB ∠=︒，PA ABCD ⊥底面，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）求证：PAD PCD ⊥平面平面； （Ⅱ）求二面角A CM B --的余弦值。

19．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg 的概率； （Ⅱ）假设该市高一学生的体重X 服从正态分布()257,N a . （ⅰ）估计该高一某个学生体重介于5457kg ～ 之间的概率；（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于5457kg ～之间的人数为Y ，利用（ⅰ）的结论，求Y 的分布列及EY .20．已知右焦点为F 的椭圆222:1(3)3x y M a a +=>与直线7y =相交于P 、Q 两点，且PF QF ⊥．（1）求椭圆M 的方程；（2）O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆E 上不同的三点，并且O 为ABC △的重心， 试探究ABC △的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．21. 已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+>.（1）当2a =时，试求函数图像过点()()1,1f 的切线方程；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212x x x x <、，且不等式()12f x m x ≥g 恒成立， 试求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线2C 的方程为3y x =，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， （1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11||||OA OB +. 23.【不等式选讲】已知()31f x x x =-++，()1g x x x a a =+-+-. （1）解不等式()6f x ≥；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B2．D3．C4．B5．C6．A ，7．A8．A9．C10．C11.D 12.D13．12-或114．4-15．5,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭16．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 17．（1）()cos 3cos a x x =-v，()21333sin cos 3cos sin2cos2sin 223f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=-=--=-⎪⎝⎭v v －， ()f x ∴的最大值为31-，此时22,32x k πππ-=+ 即512x k ππ=+5|, 12k z M x x k k z ππ⎧⎫∈∴=+∈⎨⎬⎩⎭（2）24C M π+∈Q52412C k πππ∴+=+，23C k ππ=+, ()0,C π∈Q 3C π∴= 1c =Q 由2222cos c b a ab c =+-得222c a b ab =+- ()()()()22223344a b a b a b ab a b ++=+-≥+-=2a b ∴+≤又1a b +>Q , 故23a b c <++≤，即周长l 的范围为(]2,3∈l . 18．证明：（Ⅰ）以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为()0,0,0A ，()0,2,0B ，()0,1,0C ，()1,0,0D ，()0,0,1P ，10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()0,0,1AP =u u u v ，()0,1,0DC =u u u v ，故0AP DC ⋅=u u u v u u u v，所以AP DC ⊥，由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC PAD ⊥平面,又DC 在平面PCD 内,故平面PAD PCD ⊥平面。

（Ⅱ）在MC 上取一点(),,N x y z ，则存在R λ∈，使NC MC λ=u u u v u u u u v ，连接,AN BN ，()1,1,NC x y z =---u u u v，11,0,2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u v ，所以1x λ=-，1y =，12z λ=。

要使AN MC ⊥，只要0AN MC ⋅=u u u v u u u u v ，即102x z -=，解得45λ=。

可知当45λ=时，N 点坐标为12,1,55⎛⎫⎪⎝⎭，能使0AN MC ⋅=u u u v u u u u v ，此时，12,1,55AN ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u v ，12,1,55BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，所以0BN MC ⋅=u u u v u u u u v 。

由0AN MC ⋅=u u u v u u u u v ，30AN =u u u v ，30BN =u u u v ，所以2cos ,3AN BN AN BN AN BN⋅==-⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ，故所求二面角的余弦值为23-。

19．（Ⅰ）这400名学生中，体重超过60kg 的频率为()10.040.0154+⨯=， 由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg 的概率为14. （Ⅱ）（ⅰ）∵()257,X N σ～，1(60)4P X >=，∴1(54)4P X <=，∴11(5460)1242P X <<=-⨯=，∴111(5457)224P X <<=⨯=.（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，其中体重介于5457kg ～之间的人数13,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()331344i ii P Y i C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3i =.13344EY =⨯=.20．（1）设()0F c ，，P t ⎛ ⎝，则Q t ⎛- ⎝，∴22317t a +=，即2247t a =①，∵PF QF ⊥1=-，即2297c t -=-②， ∴由①②得224977c a -=-，又223a c -=，24a =， ∴椭圆M 的方程为22143x y +=． （2）设直线AB 方程为：y kx m =+，由22143x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，∴122122834634km x x k m y y k -+=++⎧⎪=⎨+⎪⎪⎪⎩， ∵O 为重心，∴()22863434km m OC OA OB k k -⎛⎫=-+= ⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，，∵C 点在椭圆E 上，故有2222863434143km m k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，可得22443m k =+，而AB ==， 点C 到直线AB的距离d =（d 是原点到AB 距离的3倍得到），∴1922ABC S AB d ====g △， 当直线AB 斜率不存在时，3AB =，3d =，92ABC S =△，∴ABC △的面积为定值92． 21.【解析】（1）当2a =时，有()222ln f x x x x =-+.∵()()221222x x f x x x x-+'=-+=，∴()12f '=， ∴过点()()1,1f 的切线方程为：()121y x +=-，即230x y --=.（2）∵()f x 的定义域为：{}()222|0,22a x x ax x f x x x x-+'>=-+=.令()20220f x x x a '=⇒-+=. 又∵函数()f x 有两个极值点()1212x x x x <、，∴2220x x a -+=有两个不等实数根()1212x x x x <、， ∴1002a ∆>⇒<<，且212111,22x x a x x +==-，从而121012x x <<<<. 由不等式()12f x m x ≥g 恒成立()21111222ln f x x x a x m x x -+⇒≤=恒成立， ∵()()()22111111111221222ln 112ln 1x x x x x f x x x x x x x -+-==--+-， 令()1112ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭，∴()()2112ln 01h t t t '=-+<-，当102t <<时恒成立， ∴函数()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()13ln 222h t h ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭， 故实数m 的取值范围是：3ln 22m ≤--.22.（1）曲线1C 的普通方程为22(2)(2)1x y -+-=， 则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=， 由于直线2C 过原点，且倾斜角为3π，故其极坐标为()3R πθρ=∈（或tan θ=）（2）由24cos 4sin 703ρρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩得：22)70ρρ-+=，故122ρρ+=，127ρρ=，∴121211||||2||||||||7OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===g . 23(1) 解集为{ 2 x x ≤-或}4x ≥；(2) 32a ≥-. （1）当3x ≥时，226x -≥解得4x ≥.当13x -<<时，46≥无解，当1x ≤-时，226x -+≥解得2x ≤-. ∴()6f x ≥的解集为{ 2 x x ≤-或}4x ≥.（2）由已知311x x x x a a -++≥+-+-恒成立.∴3x x a a -++≥-恒成立. 又33x x a x x a -++≥---=33a a --=+.∴3a a +≥-，解得32a ≥-. ∴32a ≥-时，不等式()()f x g x ≥恒成立。